Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Exercice n°1 : Véhicule automobile 1. Déterminer la puissance développée par l'action mécanique de : • (S1) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1); P ( S 2 → S / S 1 )=C . ω (S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S0); • P (S 0 → S / S 0 )=O (S0) sur (S), dans le mouvement de (S) par rapport à (S1); • P (S 0 → S / S 1)=−T. r. ω (S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0); • P (S →S 1 /S 0)=Y.v (S) sur (S1), dans le mouvement de (S1) par rapport à (S). • P (S →S 1 /S )=O 2. Déterminer entre les dates t1 = 0s et t2 = 30s le travail de l'action mécanique de la roue (S) sur la roue (S1) dans le mouvement de (S1) par rapport à (S0). Loi de vitesse : v =γ t ; Application numérique γ=2,2 m/ s² et Y =300 N t2 t1 3 W (S → S 1 /S 0)=297 10 J Exercice n°2 : Machine d'essai 1. Quelle relation y a-t-il entre φ et θ ? a. ϕ=−r . θ 2. Quelle équation obtient-on en appliquant le théorème de l'énergie cinétique à (S) dans son mouvement par I θ̈ .(m+ 2 ).(r −a )+m.g.sin θ=0 a 3. En supposant que l'angle θ reste petit au cours du mouvement, déterminer la période T des oscillations I ( m+ 2 )(r−a) de (S). a T =2. π . m.g rapport à R? √ 4. En déduire le moment d'inertie I de (S), sachant que T = 5 secondes. I =5,3.10−2 Kg.m 2 θ=θ0 et θ̇=0 . Déterminer la valeur maximale de θ0 pour que (S) roule sans glisser sur (I). 5. On suppose à la date t = 0, que on applique le PFD à S en C, on obtient 3 équations et des 3 équations on en déduit : tan θ 0 max= f (1+m a2 ) I Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Exercice n°4 : étude d'un arbre à cames 1. Déterminer le vecteur vitesse de glissement au point I de (S) par rapport à (T). ⃗ V I ,S / R=−a ω ⃗x+e ω y⃗1 2. Déterminer le travail perdu par frottement par les actions mutuelles entre (S) et (T) pendant un tour de l'excentrique. W 20 π (S ⇔T )=− f.m π(2.a.g+(e. ω)2) 3. Déterminer l'expression, en fonction du temps, du moment du couple moteur qui entraîne en rotation (S) à vitesse angulaire constante. Conclusion. Théorème de l'énergie cinétique appliqué à S : C m=m g e cos θ+m(g −e ω2 sin θ)( f (a+e sin θ)+e cos θ) Exercice n°5 : Laminoir Un moteur électrique entraîne un laminoir. Son arbre est solidaire d'un volant d'inertie (S) de rayon r=1 m, dont la masse M = 500 kg est supposée répartie sur la jante. L'arbre moteur entraîne en rotation, en sens inverse, les deux cylindres (S1) et (S2) du laminoir, par l'intermédiaire d'engrenages . Soit K= 2 le rapport des vitesses de rotation entre les cylindres et l'arbre 3 moteur. Soit I=10 kg·m² le moment d'inertie des cylindres par rapport à leur axe de rotation. Les différentes liaisons sont supposées parfaites. 1. Déterminer l'inertie équivalente du volant d'inertie et des cylindres, rapportée à l'arbre moteur du laminoir; 2 2 2 I E =2.I K +mr =509 kg.m Pendant la phase de démarrage du laminoir. Le moteur exerce un couple de moment constant C0 = 160 mN. 2. Déterminer au bout de combien de temps le moteur aura atteint sa vitesse angulaire de fonctionnement de 600 tr/min. ω ω tf = I E f =200s et ω̇= f =0,31 rad /s C0 tf A l'instant où l'on engage une barre la vitesse angulaire du moteur est de 600 tr/min. Lorsque la barre est, passée à travers le laminoir, cette vitesse n'est plus que de 450 tr/min. 3. Déterminer le travail exilé par cette opération, sachant qu'elle a duré 1,5 seconde, et que le moteur a développé une puissance constante de 10 kW. W absorbée =455 kJ Exercice n°6 : Trappe de désenfumage Soit le mécanisme de commande d'ouverture automatique de trappe de désenfumage ci-dessous. Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Au bâti 0 est associé le repère R g (O , x⃗g , y⃗g , z⃗g ) , on pose: ⃗ OB=b x⃗g +c y⃗g Le bras 1 de masse m1 et de centre d'inertie G1, est lié au bâti 0 par une liaison pivot parfaite d'axe (O , z⃗g ) . ⃗ OA=a x⃗1 ; ⃗ OG 1=e x⃗1 ; α=( x⃗g , x⃗1 ) Le repère R1 (O , x⃗1, y⃗1, z⃗1 ) est lié à l. On pose [ A1 0 0 L'opérateur d'inertie associé à 1 est I O (1)= 0 B1 0 0 0 C1 ] R1 La roulette 2 de masse m2, de rayon R, de centre d'inertie A, est liée au bras 1 par une liaison pivot parfaite d'axe ( A , z⃗g ) . Le repère R2 ( A , x⃗2, y⃗2, z⃗2 ) est lié à 2 et on pose β=( x⃗1, x⃗2) L'opérateur d'inertie associé à 2 est [ A2 I A (2)= 0 0 0 0 B2 0 0 C2 ] R2 Le plateau 3 de masse m3 et de centre d'inertie G3, est liée au bâti par une liaison glissière parfaite de direction y⃗g . Le repère R3 (C , x⃗3, y⃗3, z⃗3) est lié à 3 et on pose ⃗ BC=λ y⃗g et ⃗ CG 3 =k y⃗g La roulette 2 est en contact en I avec le plateau 3. Le problème est supposé plan. L'action de la trappe sur 3 est modélisée par le torseur ( ( ) R⃗1 C M z⃗g O X B x⃗g +Y B y⃗g +Z B z⃗g L B x⃗g+M B y⃗g + N B z⃗g Le bras 1 est entraîné par une courroie qui exerce sur 1 un torseur ) B On note: Σ = {1 + 2 + 3} 1. Écrire le non glissement en I; en déduire en projection sur en projection sur y⃗G : λ̇=a α̇ cos α α̇ x⃗G : β̇= (a sin α−R) R α̇ λ̇=a α̇ cos α et β̇= R (a sin α−R) 2. Calculer l'énergie cinétique de l'ensemble Σ dans le mouvement par rapport à Rg 1 1 1 Ec(1+2+3/ 0)= C 1 α˙ 2 + (C 2 ( α̇+β)2 +m 2 a 2 α̇2 ) m 3 λ˙ 2 2 2 2 3. Déterminer l'inertie équivalente rapportée au bras 1. a 2 I E =C 1 +C 2 ( ) sin α2 +m2 a 2+m3 a2 cos α2 r 4. Déterminer la puissance des efforts intérieurs à Σ dans son mouvement par rapport au bâti O. P interieure=0 car liaisons parfaites et roulement sans glissement Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses 5. Déterminer la puissance des efforts extérieurs appliqués à Σ P (ext→3/0)=λ̇ Y B ; P (ext→1/0)=α̇ C M ; P ( pes →3/0)=−m3 g λ̇ ; P ( pes →2 /0)=−m 2 g a α̇ cos α ; P ( pes →1/0)=−m1 g e α̇ cos α ; P (0→1/0)=0 ; P (0→3/0)=0 6. En considérant que YB et α̇ sont connus, déterminer l'expression de CM C M =−a cos α (Y B−m3 g )+(m1 e+m2 a) g cos α+( C2 r 2 −m3)a 2 cos α sin α α̇2 Exercice 7 : Cylindre qui roule n'amasse pas … Un cylindre dont la géométrie est connue (masse m, rayon R, hauteur h) est initialement lancé avec un mouvement de translation sur un plan horizontal à la vitesse V 0 dans la direction x . Il commence par glisser sur le plan supposé non frottant. A la date t = 0 et à l'abscisse x=0, aborde une frontière à partir de laquelle il y a frottement (coefficient de frottement f) et où il est donc ralenti et mis progressivement en rotation autour de son axe G z . Au bout d'un certain temps Δt et à l'abscisse x = L, il finit par avoir un mouvement de roulement sans glissement sur le plan à la vitesse constante V 1 et poursuit ainsi. La figure ci-dessous récapitule les différentes phases du mouvement. Durant la phase de dérapage avec frottement, on peut décrire le champ de vitesse et les actions mécaniques extérieures à l'aide de la figure ci-dessous : il Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses 1. Déterminer la longueur sur laquelle il dérape (L), la durée de cette phase ( Δt ) et la vitesse atteinte (V1 ) une fois le mouvement de roulement sans glissement retrouvé. Pendant la phase de dérapage (x>0) A⃗1 /2=− f.An ⃗x +An ⃗y et ⃗ P =−mg ⃗y ⃗ y On applique le TRD à 2 sur An=mg A⃗1 /2=− f.An ⃗x +An ⃗y =mg (− f ⃗x +⃗y ) TEC à 2 par rapport à 1 V V̇ +( R2 )ω ω̇=− f.g.(V +R. ω) (1) 2 On applique le TRD à 2 sur x⃗ : m. V̇ =−f.mg d'où V̇ =−f.g , on en déduit V (t )=−f.g.t +cte . A t=0 on a V =V 0 d'où V (t )=−f.g.t +V 0 On remplace V dans l'expression (1) et on en déduit : Le rouleau s’arrête de déraper lorsque Δt −2.f.g R d'où ω(t )= −2.f.g .t R V V (A⃗,2 /1) =V ⃗x +R.ω ⃗x=⃗ 0 d'où Δt= 0 3.f.g Détermination de la longueur parcourue : Δt ω̇= 2 1 V0 L=∫ V (t )dt =∫ (−f.g.t +V 0 )dt = 9 f.g 0 0 Exercice 8 : Étude d'un réducteur Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Le schéma de principe d'un réducteur à train épicycloïdal à axes parallèles est représenté ci-contre. Le R0 O , x0, y0, z0 st un repère galiléen lié au bâti (S0) du réducteur. L'ensemble (S1 ), constitué par l'arbre moteur et la roue dentée de n 1 dents qui lui est liée, a une liaison pivot d'axe O , x0 avec (S0). Soit I1 le moment d'inertie de (S1) par rapport à l'axe O , x0 . S 1 / R0 =1 x0 L'arbre récepteur (S2) a une liaison pivot d'axe O , x0 avec (S0). Soit I2 le moment d'inertie de (S2 ) par rapport à l'axe O , x0 . On pose: Le repère S 2 /R 0= 2 x0 . R0 O , x0, y , z est lié à (S2). Le satellite (S) de n dents, a une liaison pivot d'axe A , x0 avec (S2 ), telle que OA=d y x0 (d>O). Soient m la masse de (S) et I son moment d'inertie par rapport à l'axe A , x0 . Le point A est le centre d'inertie de (S). On pose : S / R = x . On pose : 0 0 (S) engrène avec une couronne de n0 dents d'axe O , x0 , liée à (S0). Le moteur exerce sur (S1) une action mécanique représentée par un couple de moment exerce sur (S2) une action mécanique représentée par le couple de moment −C 2 x0 Toutes les liaisons sont parfaites, l'action mécanique de la pesanteur est négligée. C 1 x0 . Le récepteur 2 et = 1 1 1. Déterminer et en fonction de n, n1 et n0 ω n λ= ω21 = 1 n0 +n1 On pose = n n n μ=λ + 1 (λ−1)= 1 (1− 0 ) n n0 +n1 n 2. Déterminer l’énergie cinétique de l'ensemble E = {S1, S2, S} dans son mouvement par rapport à R0 1 Ec(1+2+S /0)= ω̇21 ( I 1 +I 2. λ2 +I.μ 2 +m.d 2 λ 2) avec 2 I E =I 1+I 2. λ 2 +I. μ 2+m.d 2 λ2 3. Déterminer la relation reliant le couple moteur et le couple récepteur à la vitesse de rotation d'entrée du mécanisme. On applique le TEC à 1+2+S par rapport à 0 C 1=C 2. λ+ω̇1 . I E Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Problème 1 : Embrayage Mercedes (Centrale 2002) L’objet de cette partie est de déterminer l’énergie dissipée et le temps de passage de la phase débrayée à la phase embrayée. Le modèle retenu pour cette étude est donné par le schéma de la figure ci-dessus. ωb est la vitesse angulaire de l’arbre d’entrée de la boîte de vitesses et J b le moment d’inertie équivalent, par rapport à (O , ⃗x) , des éléments en rotation ramenés à l’arbre d’entrée de la boîte. ωm est la vitesse angulaire de l’arbre moteur et J m le moment d’inertie équivalent, par rapport à (O , ⃗x) , des éléments en rotation ramenés à l’arbre de sortie du moteur On retient, pour cette phase, les hypothèses suivantes : Les frottements dans les paliers sont négligés ; Dès le contact établi entre les plateaux 1 et 2, le module du couple d’embrayage C 1→ 2 prend instantanément la valeur maximale C T , puis reste constant. La vitesse angulaire du moteur ωm reste constante ; Le module du couple résistant C b →2 , de la boîte de vitesses sur l’ensemble 2, est constant et inférieur ou égal à la valeur C T . 1. Exprimer le temps t e nécessaire à l’arbre d’entrée de la boîte de vitesses pour passer de la vitesse angulaire C b →2 ωb0 , à l’instant initial t = 0, à la vitesse angulaire ωm en fonction de ωb0 , ωm , C T , et J b . On isole le plateau 1 TMD sur l'axe (O , ⃗ x) C M =−C (2/ 1)=C T On isole (2+b) : TMD sur l'axe (O , ⃗x) : t e =J B 2. Calculer ce temps pour J b=0,7 kg.m 2 . (ω M −ωb0 ) (C T −C b) ωb0 =0 , ωm =2000 tr /min , C T =150 N.m , C b →2=50 N.m et t e =1,43 s 3. Exprimer la puissance développée par les inter-efforts entre 1 et 2 en fonction de W wb (t) , wm et CT . En déduire l’expression littérale de l’énergie, 12 , dissipée par frottement dans l’embrayage pendant le temps t e en fonction de ωm C T , C b →2 et J b . P (1←→2)=C T .(ωb−ωM ) Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses t2 (C T −C b0 ) t 2 JB ω2M W (1←→2)=∫ C T .(ωb−ωM ) dt=C T.( −ω M . t e )=C T . JB 2 (C T −C b0) 2 t1 4. Calculer cette énergie et préciser sa nature. W (1←→2)=−11,5 kJ En déduire la fonction technique à assurer. La fonction technique à assurer est de dissiper cette energie en évacuant la chaleur 5. Critiquer la pertinence de ce modèle à permettre l’analyse d’un embrayage de véhicule automobile. Les problèmes sont : – couple moteur et vitesse moteur variable – couple résistant entrée de la boite de vitesse – C12 ne peut pas prendre la valeur de CT instantanément. Problème 2 : Étude de la fonction « Recevoir et déplacer les charges » (CCP PSI 2005) Le treuil est constitué : • D’un moteur électrique • D’un réducteur roue et vis sans fin • D’une poulie de traction • D’un volant d’inertie • D’un embrayage frein à tambour Données de l'étude : • • masse de la cabine avec sa charge maxi : mc = 1000 kg masse du contrepoids : mp = 800 kg moteur : • puissance mécanique nominale : Pm = 4,7 kW • couple moteur (supposé constant) : Cm = 30Nm • vitesse de rotation en charge : w m = 1500 tr/min réducteur + poulie : • rapport de réduction du réducteur : = 1/50 • diamètre de la poulie : dp • rendement de l’ensemble réducteur + poulie : h • hypothèse : pas de glissement du câble sur la poulie Plan d’appui de la machinerie y0 la machinerie moment d'inertie : • poulie + roue du réducteur + axe : Ipr • • rotor + vis du réducteur + tambour du frein : Im • • câbles : masses négligées , donc exclus de l’étude l'action du système de guidage sur la cabine est un glisseur vertical passant par G (centre de gravité de l’ensemble cabine charge) qui a pour module F (frottement). L'action du système de guidage sur le contrepoids est négligée. • • • G volant d’inertie : Iv le cahier des charges impose l’accélération la vitesse (hors phase d'accélération ) est V G max < 0.5 m.s -2 + Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Pour limiter l’accélération et la décélération de la cabine, les treuils d’ascenseur sont équipés d’un volant d’inertie monté sur l’arbre moteur. L’objet de cette première étude est de déterminer les dimensions de ce volant de façon à répondre au cahier des charges en terme d’accélération. En première approximation, le volant est considéré comme un disque plein homogène d’épaisseur e imposée et de diamètre D à déterminer. La masse volumique de l’acier est notée r. 1. Donner l’expression littérale du moment d’inertie IV du volant autour de son axe de rotation en fonction de D, e et IV = MR 2 4 e =ρ π D 2 32 Pour déterminer le moment d’inertie Iv (et donc D) du volant, on propose d’utiliser le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble E = {E 1 + E2 + E3} avec : E1 : ensemble des solides en translation verticale. E2 : ensemble des solides solidaires de la poulie (ayant la vitesse de rotation de la poulie p). E3 : ensemble des solides solidaires de l’arbre moteur (ayant la vitesse de rotation du moteur m). Pour la suite, le moment d’inertie du volant sera simplement noté I V. Remarque : Pour les questions 2 à 7, on exprimera les résultats en fonction du paramètre cinématique V, w vitesse de la cabine, et non pas m , vitesse de rotation du moteur. Les calculs se feront dans le cas de la montée de la cabine à l’accélération. 1. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec1 de l’ensemble E1. 1 Ec1= (mc+mp)V 2 2 2. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec2 de l’ensemble E2. 1 1 4 Ec2= I pr ω2P= I pr 2 V 2 2 2 Dp 3. Donner l’expression de l’énergie cinétique Ec3 de l’ensemble E3. 1 1 4 2 2 Ec2= ( I v +I m) ω m= ( I v +I m ) V 2 2 2 λ Dp 4. Donner l’expression littérale de la puissance des actions extérieures à l’ensemble E. P ( pes →E / R)=( m p−mc ) g.V ; P (mot →E / R)=C m ω m=C m 2 V λ Dp ; P f =−F.V 5. Donner l’expression littérale de la puissance des actions intérieures. P intérieure=−(1−η) P mot =−C m 2 V (1−η) λ Dp 6. En déduire l’expression littérale de IV pour que IV⩾ G max ne soit jamais dépassée. λ 2 D2p 2 4 ( ηC m +( m p−mc ) g−F−( mc +m p) V ˙max b−I pr 2 V ˙max )−I M 4 λ Dp Dp Problème 3 : Rugosimètre 3d à grande vitesse (Concours Mines Ponts PSI 2006) La rugosimétrie est la mesure de l’état de surface des pièces mécaniques. L’ordre de grandeur des défauts mesurés est le micron. Cette mesure des états de surfaces est aussi répandue et indispensable que la mesure des caractéristiques dimensionnelles et géométriques des pièces mécaniques (longueur, orientation, perpendicularité…). La figure 1 représente un relevé rugosimétrie tridimensionnel d’une partie d’une aube de turbine de haute précision (à droite en fausses couleurs). Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses La mesure de rugosimétrie repose traditionnellement sur deux éléments distincts : le capteur, qui peut être mécanique (palpeur) ou optique, et le traitement du signal et des données (algorithmes informatiques), qui permet de traduire les mesures physiques de base, produites par le capteur, en données numériques exploitables, représentatives des caractéristiques physiques de la surface analysée. De la conjonction des caractéristiques techniques du capteur et du traitement numérique vont découler les qualités essentielles du rugosimètre : sa rapidité ; sa résolution ; sa précision ; son amplitude de mesure. Lorsque l’ensemble est suffisamment rapide, il peut être utilisé pour réaliser des relevés de surface (z fonction de (x, y), ou « mesure 3D ») et non plus simplement des profils linéaires (z fonction de x, ou « mesure 2D »). Si, à cette exigence de rapidité, on ajoute celle de précision ainsi que celle de grande amplitude de mesure, on arrive, avec les technologies actuellement disponibles, à des capteurs très chers (de l’ordre de 50 000 euros). Cela fait que le développement de la rugosimétrie 3D de précision a été, jusqu'à présent, assez lent. Le projet, dont est tiré le sujet, a pour ambition de développer et de mettre sur le marché un rugosimètre 3D de précision à faible coût. L’objet de cette étude est d’effectuer un pré dimensionnement des moteurs montés sur le prototype du rugosimètre 2D. Ce prototype a été conçu par le laboratoire SATIE de l’École Normale Supérieure de Cachan. Ce projet est le fruit d’un travail pluridisciplinaire qui a impliqué des commerciaux, des scientifiques et des techniciens, et a été financé par l’Agence pour la Valorisation de la Recherche d’Ile-de-France. STRUCTURE GENERALE DU RUGOSIMETRE A GRANDE VITESSE Le principe d’un capteur opto-mécanique (association d’un capteur optique et d’un capteur mécanique) a été retenu, pour ce prototype. Il est décrit succinctement ci-contre (figure 2) : • un capteur optique assure une résolution verticale comparable à celle des meilleurs capteurs mécaniques actuels (< 10 nm). Ce capteur, de faible amplitude de lecture (20 μm), permet une mesure rapide des hautes fréquences spatiales (variations rapides) des profils rugosimétriques mesurés ; • un asservissement mécanique vertical à grande amplitude (environ 10 mm) permet à la tête optique de suivre les moyennes et basses fréquences spatiales (variations plus lentes) des profils. Un second capteur donne la position verticale de la tête optique. Le profil complet sera obtenu par la somme des signaux fournis par les deux capteurs. Le déplacement vertical du capteur optique est assuré par une Unité de Rotation (U.R.) portée par le coulisseau (2) (figure 3) ; Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Ce capteur opto-mécanique est lui-même déplacé au dessus de la surface à mesurer par une Unité de Translation (U.T.) à vitesse régulée (figure 3), ce qui permet d’obtenir un « profil 2D », z fonction de x. La vitesse de déplacement visée par ce prototype est de 20 mm.s-1. Dans sa future version 3D, une seconde U.T. de direction ⃗y permettra de donner une image de la surface par une juxtaposition de profils 2D : on « scannera » la surface. Le coût estimé de ce rugosimètre est de 10 000 euros. PRINCIPE DE MESURE DU CAPTEUR OPTIQUE Le principe de mesure du capteur optique est l’écartométrie. Ce procédé, déjà utilisé en robotique, n’a encore jamais servi en rugosimétrie industrielle. Un faisceau laser (« émission ») est focalisé sur la surface à mesurer. La tache focale se déplace devant les images de deux demi-disques de réception. L’intensité lumineuse d’émission se partage ainsi entre deux photorécepteurs. Cette différence d’intensité permet de calculer la position horizontale de la tache focale d’émission. Cette position horizontale de la tache focale est ensuite convertie en position verticale de la surface par rapport au point focal (qui sera noté par la suite (P)) (figure 4). U CALCULS PREVISIONNELS DES ACTIONNEURS Les calculs d’avant projet doivent permettre de dimensionner les différents composants qui seront utilisés et de définir certains paramètres de réglages (paramètres d’asservissement…). Les calculs prévisionnels visent, dans un premier temps, à déterminer les équations dynamiques qui permettront de déterminer les couples moteurs (minimum) des différents actionneurs en fonction des caractéristiques géométriques, massiques et inertielles des pièces ainsi que des conditions d’utilisation. Dans toute cette partie, nous considérerons que seules l'unité de translation ⃗ x et l’unité de rotation sont actionnées. g =−g. z⃗0 avec g=9,81 m/s 2 L’accélération de la pesanteur sera notée ⃗ Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses MISE EN PLACE DU PROBLEME La figure 5 présente le schéma et le paramétrage qui sera utilisé pour cette partie de l’étude. Ce système comporte quatre pièces : • le bâti (0) : on associe à cette pièce le repère R0 (O , x⃗0, y⃗0, z⃗0) que l’on considère galiléen ; • le rotor (1) : −6 2 ◦ moment d’inertie selon l’axe (O , x⃗0) noté J 1 avec J 1=10 kg.m OG 1=−a x⃗0 ; ◦ centre d’inertie G1, avec ⃗ ◦ la liaison pivot L0/1, dont le paramètre angulaire est ϕ=( y⃗0, y⃗1) , présente un frottement B B B B ⃗ M (O ,0 /1)=− f1. ϕ̇ . x⃗0 avec visqueux de coefficient f1, créant un moment : −5 −1 f =5.10 Nm/( rd.s ) ; B B 1 ◦ un moteur M1 gère le mouvement de rotation de (1) par rapport à (0). Le couple moteur appliqué • sur (1) est noté : ⃗ M (O , CEM 1 0 /1)=C m1 . x⃗0 . le coulisseau (2) : ◦ masse : m2 avec m2 = 2 kg ; o centre d’inertie G2 ; ◦ la liaison hélicoïdale L1/2 (supposée parfaite) possède un pas noté ( pa ) ( pa = 0,5 mm/tour ). Ce pas est à droite (sens classique) ; OA= x. x⃗0 ◦ la liaison glissière L0/2, dont le paramètre de position (translation) est noté x : ⃗ B B B B B B B B B B B B B présente un frottement visqueux de coefficient f 2 , créant une force : B B f 2=5 N /m.s ; • B ⃗ R0 / 2=− f2 . ẋ. x⃗0 avec l’ensemble (3) : ◦ masse : m3 B B ⃗ AG3=r . x⃗3 ; r = 27,5 mm A −F −E ◦ matrice d’inertie en A : [ℑ A (3)]= −F B −D −E −D C ( x⃗ y⃗ ⃗z ) ◦ la liaison pivot L2/3, de paramètre angulaire θ=( x⃗0, x⃗3 ) présente un frottement visqueux de coefficient f3, créant un moment : ⃗ M ( A,2 /3)=− f3. θ̇ . y⃗0 ; ◦ centre d’inertie G3 : B B [ B ] 3, 3, 3 B B ◦ un moteur M3 gère la rotation de l’ensemble (3) par rapport à (2). Le couple moteur appliqué sur (3) est noté : ⃗ M ( A , CEM 3 2/3)=C m3 . y⃗0 ; ◦ un système d’équilibrage (ressort de torsion) permet à la tête optique d’être horizontale ( θ = 0° ) en position de repos, c’està-dire lorsque le moteur M3 n’est pas alimenté. Ce système d’équilibrage exerce sur l’ensemble (3) un couple de rappel noté : ⃗ M ( A , ressort 2/3)=Cr . y⃗0 avec Cr = −(Ktors .θ + C0 ) . Le terme C0 permet d’équilibrer le moment en A créé par l’action de pesanteur sur (3) lorsque ( θ = 0° ). B B B B Comme le montre la figure 6, l’ensemble (3) est constitué de plusieurs Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses solides en liaison encastrement : • • • le bras (4) lié au moteur couple, la tête optique (5), un contrepoids (6). Ce contrepoids (6) a été ajouté pour assurer que le centre d’inertie G 3 soit sur l’axe ( A , x⃗3) . B Les caractéristiques géométriques de l’ensemble étudié sont données ci-après : AG 4=−b4 • bras (4) du moteur couple : masse : m4 = 1 g ; centre d’inertie : ⃗ y⃗0 AG 5=a5 x⃗3 +b5 y⃗3+c5 z⃗3 tête optique (5) : masse : m5 = 5 g ; centre d’inertie ⃗ B • B • B B B B B B B B B B B avec a5 = 40 mm ; b5 = 0,8 mm ; c5 = 10 mm ; contrepoids (6) : masse : m6 = 2 g ; centre d’inertie : avec a6 = 10 mm ; c6 = 25 mm. B avec b4 = 4 mm ; B B B ⃗ AG 6=a 6 x⃗3 +c 6 z⃗3 B EQUATIONS DYNAMIQUES Le système étudié possède deux mobilités, il est donc nécessaire de déterminer deux équations pour pouvoir atteindre les grandeurs recherchées, le couple moteur dans l’actionneur de l’unité de rotation C m3 et le couple moteur dans l’unité de translation Cm1 en fonction des caractéristiques dimensionnelles et matérielles des pièces, des lois de mouvement et des dissipations dans les liaisons. B B B B 1. Tracer le graphe d’isolement complet du système. On recherche l’expression du couple moteur dans l’actionneur de l’unité de rotation C m3. Dans un premier temps, on pense utiliser le Théorème de l’Énergie Cinétique (TEC) pour déterminer cette expression. b B 2. Isoler l’ensemble 3, établir le bilan des puissances et déterminer les expressions de chacune des puissances. Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses 3. Déterminer l’expression de l’énergie cinétique T(3/0) de 3 dans son mouvement par rapport à 0. 4. Pourquoi ne pourra-t-on pas déterminer l’expression de C m3 en utilisant le TEC. 5. Proposer une autre méthode permettant de trouver l’expression de C m3. b B Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses L’expression permettant de déterminer Cm3 est la suivante : B B C m3 − K tor . θ − f3.dot θ +m3.g.r.(cos θ −1)= B. θ̈ − m3.r. ẍ . sinθ On cherche à déterminer la relation permettant de calculer le couple moteur C m1. Cette relation peut nécessiter l’écriture de plusieurs équations, mais elle ne doit pas, au final, contenir d’inconnues mécaniques transmissibles dans les liaisons L0/1, L1/2, L2/3, L0/2. B B B B B B B B B B 6. Isoler l’ensemble Σ={1+2+3}, établir le bilan des puissances, déterminer les expressions de chacune des puissances ainsi que les différentes énergies cinétiques concernées. Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses 7. Écrire une relation liant les paramètres ϕ̇ , ẋ et le pas pa . B 8. A partir du résultat fourni par le théorème de l’énergie cinétique appliqué à l’ensemble Σ={1+2+3} et à l’équation précédente, exprimer le couple C m1 uniquement en fonction de ẋ , θ̇ et de leurs dérivées. B B Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses DETERMINATION DES COUPLES MOTEURS Les deux équations que vous venez d’obtenir sont des équations différentielles couplées et non linéaires. Pour résoudre, algébriquement ce système d’équations, l’étude du mécanisme dans des conditions particulières est nécessaire. Lorsque le point focal de la tête optique suit le profil moyen de la surface, l’angle θ varie au voisinage de 0°. On peut montrer que cette variation de position est d’amplitude très faible, et qu’en conséquence, il est possible de réaliser une linéarisation de ces équations au voisinage de 0° ( θ reste petit). On suppose également que les termes de la forme sont négligeables devant le terme en ẍ . a. θ̈ et b. θ̈ La loi de commande de l’unité de translation est représentée à la figure 7. La vitesse nominale (constante) recherchée est notée V 0. L’accélération maximale est notée Ac Max . B B 9. En utilisant les simplifications mentionnées, déterminer, dans la phase d’accélération, puis dans la phase de déplacement à vitesse constante, les expressions littérales de C m1 et C m3. B 10. Calculez la valeur du couple Cm1 maximal ( V 0 =0,2 m.s B B −1 P ; B b B Ac Max =0,2 m.s−2 ). P Le choix des moteurs (M1 et M3) se fera à partir d’un cahier des charges, dont le couple maximal transmissible par les moteurs est une des caractéristiques. Il existe bien d’autres spécifications comme, la vitesse et l’accélération maximale, la surintensité supportée, l’encombrement axial et longitudinal… Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses Problème 4 : Modélisation mécanique du boîtier papillon (SIA 2015) Modèle mécanique simplifié Cette partie porte sur la validation de la solution adoptée et la recherche d'un modèle du comportement dynamique de la vanne-papillon, sur la base d'un modèle simplifié. On considère que les actions mécaniques de frottement dans les différentes liaisons sont négligeables par rapport aux actions mécaniques mises en jeu. On donne dans le diagramme ci-dessous, un extrait des exigences imposées sur le fonctionnement du boîtier papillon. On propose un modèle cinématique du mécanisme dans la figure ci-dessous. La butée mécanique qui permet le positionnement angulaire de la vanne-papillon au repos, ni la butée mécanique qui délimite la rotation maximale de la vanne-papillon ne sont représentées. Le bâti sera considéré lié à un repère galiléen (R_g). roue 32 vannepapillon axe roue 21 pignon 22 arbre intermédiaire 2 pignon 11 rotor du moteur moteur A partir de ce schéma, nous pouvons poser un paramétrage cinématique : • la rotation absolue (θs) de l'ensemble 3 {vanne-papillon ; axe ; roue dentée 32} ; Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses • la rotation absolue (θi) de l'ensemble 2 {arbre intermédiaire 2 ; pignon 22 ; roue dentée 21} ; • la rotation absolue (θe) de l'ensemble 1 {pignon 11 ; rotor du moteur}. Nous pouvons également noter les vitesses absolues de chacun des sous-ensembles cinématiques précédents : ω s=( dθ s dθ i dθ e ; ωi =( ; ω e=( ) ) ) . dt Rg dt Rg dt Rg Pour simplifier les écritures on posera K red1 = ωi ωe , K red2 = ωs ωi K red = et ωs ωe Nota : certaines données concernant les pignons, les roues et la machine à courant continu sont fournies en ANNEXE. 1. calculer la valeur numérique de la rotation absolue θe en degrés du rotor du moteur pour que la vannepapillon tourne d'un angle égal à θs = 105°. Z11 Z22 14 10 1 . = . = Z21 Z32 57 49 20 θS θE = =105∗20=2000 ° K red K red = Nous disposons de certaines valeurs de moment d'inertie, notamment celle du moment d'inertie de l'ensemble 1 par rapport à son axe de rotation (J1), égale à 4.10-6 kg.m2 et celle du moment d'inertie de l'ensemble 2 par rapport à son axe de rotation (J2), égale à 7,5.10-9 kg.m2. Nous connaissons également la valeur du moment d'inertie de l'axe et du pignon 31 de l'ensemble 3 par rapport à l'axe de rotation (Jaxe), égale à 3,4.10-8 kg.m2. La géométrie de la vanne-papillon est sensiblement un disque lenticulaire qui peut être assimilé d'un point de vue cinétique à un disque plat d'épaisseur constante égale à ep = 2 mm. La vanne-papillon est en polymère (PEHD) de masse volumique notée ρvp. On note son diamètre D. 2. Déterminer l'expression du moment d'inertie de la vanne-papillon par rapport à son axe de rotation, Jpap en fonction de ρvp, ep et D. En déduire l'expression du moment d'inertie total J3 de l'ensemble 3 par rapport à l'axe de rotation en fonction des différents moments d’inerties. 2 Par définition (et vu en TD) Jpap= 2 4 3 m.r e d e +m =ρ π e +ρ π d 2 4 12 64 48 On prendra dans la suite du sujet J3 = 8,4.10-7 kg.m² 3. Calculer l'énergie cinétique totale Ec des ensembles 1, 2 et 3 par rapport au repère galiléen Rg. En déduire l'expression littérale du moment d'inertie équivalent du système complet, Jeq, rapportée à l'axe du moteur. Montrer que Jeq ≈ J1. 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 Ec(1 /Rg )= J 1 ωe ; Ec(2/ Rg )= J 2 ωi = J 2 K red1 ω e ; Ec(3/ Rg)= J 3 ω s = J 3 K red ωe 2 2 2 2 2 1 Ec= ( J 1 +J 2 K 2red1 +J 3 K 2red ) ω2e d'où J eq= J 1 +J 2 K 2red1+J 3 K 2red 2 2 −9 2 −10 2 Lorsque on fait l'application numérique on a : J 2 K red1 =7,510 (10/49) =3.10 kg.m et 2 10 14 J 3 K 2red =8,4 10−7 ( ) =1,5 10−9 kgm2 d'où on peu considérer que Jeq ≈ J1 49 57 Pour permettre un retour de la vanne-papillon dans une position permettant un fonctionnement au ralenti du moteur en cas de défaillance du boitier, un couple de précharge (valeur numérique fournie en ANNEXE) est appliqué par le ressort de rappel. Ce couple est exercé par un ressort hélicoïdal de torsion de raideur KR (valeur numérique fournie en ANNEXE). 4. Pour une rotation de 105° de la vanne-papillon, en déduire la valeur de l'accroissement maximum de couple exercé par le ressort sur l'axe, ΔCR (on pourra poser 105° ≈ 2rad). Conclure sur l'hypothèse de couple constant exercé par le ressort sur l'axe. Le couple de précharge appliqué par le ressort de rappel est proportionnel à l’angle de rotation de l’ensemble 3. ΔCr= K R θ S AN : ΔCr=0,1×2=0,2 N.m Le couple de rappel est : Cr=1,7 N.m d'où ΔCr =10 % CR Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses L’hypothèse « couple constant exercé par le ressort sur l’axe » est acceptable. Nous supposerons : • que le couple de rappel Cr est constant et égal à sa valeur de précharge fournie en ANNEXE ; • que le rapport de réduction du réducteur est • que Jeq = 4.10-6 kg.m². k red = ωs 1 = ω e 20 ; Nous pouvons désormais mettre en place les actions mécaniques dans le système lors d'une phase de commande : • les actions de liaison ; • l'action du moteur par rapport au bâti. La valeur du couple nominal Cn exercé par le moteur sur le pignon d'entrée est fourni en ANNEXE ; • l'action du ressort de rappel entre le bâti et la vanne-papillon (précharge) ; • l'action du flux d'air sur la vanne-papillon sera considérée comme négligeable devant l'action du ressort. 5. Écrire, à partir du Théorème de l'énergie-puissance appliqué sur le système des ensembles 1, 2 et 3, l'équation reliant le couple moteur Cm et le couple exercé par le ressort à la dynamique du système isolé. TEC appliqué à 1+2+3 par rapport au bâti 0 d (Ec (1+2+3 /0))0=P ( AME→1+2+3 /0)+P ( AMI ←→1+2+3) dt BAME BAMI P ( AME →1+2+3/0) P (AMI ←→1+2+3) 0→1 0 1←→2 0 0→2 0 2←→3 0 0→3 0 air→3 0 moteur →1 C N ωE ressort→3 −C R ωS =−C R K red ω E d (Ec (1+2+3 /0))0= J eq ω E ω˙ E dt D'où J eq ω˙ E=C N −C R K red 6. A partir de l'équation précédente, déterminer l'expression littérale de la valeur du couple moteur Cm à appliquer sous la forme d'un échelon, pour qu'en un temps t ouverture, la vanne-papillon s'ouvre d’un angle de rotation θs ω˙ E = C N −C R K red J eq on en déduit que d'où C N= ωE= 2.θ S J eq K red . t 2 C N −C R K red t J eq d'où θE = C N −C R K red t 2 θ S = J eq 2 K red +C R . K red 7. Calculer la valeur numérique du couple Cm qui permet de respecter l’exigence de rapidité (on pourra poser 105° ≈ 2rad). Conclure sur la faisabilité d'une telle ouverture si le concepteur limite le couple moteur à son couple nominal. C N= 2.θ S J eq 1,7 +C R . K red =8,10−3+ ≈0,08 N.m <0,21 Nm=Couple nominal 20 K red . t 2 Le couple nominal est suffisant pour respecter l’exigence de rapidité. Lors d'une défaillance du moteur, nous pouvons faire le bilan suivant des actions mécaniques dans le système : les actions de liaison ; • • • l'action du moteur : le couple exercé par le moteur sur le pignon d'entrée est égal à Cm = 0 mN ; l'action du ressort de rappel entre le bâti et la vanne-papillon (précharge) ; L'action du flux d'air sur la vanne-papillon reste considérée comme négligeable devant l'action du ressort. Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses 8. A partir de l'écriture judicieuse du Théorème de l'énergie-puissance, déterminer l'expression littérale du temps tretour que met la vanne-papillon pour revenir complètement à sa position de repos depuis la position complètement ouverte. À partir du TEC précédent on peut donner l'équation : ω˙ E = −C R K red J eq car C N =0 d'où par intégration, en tenant compte des conditions initiales ( θ (t) −C R K red t 2 θ S0 θE = S = + K red J eq 2 K red θ S ( t retour )=0 t retour = √ θ S ( 0)=θS0 ) : au bout d'un temps tretour le système revient à sa position initiale c'est à dire 2.J eq θ S0 2 C R . K red 9. Calculer la valeur numérique de ce temps (on pourra poser 105° ≈ 2rad). Quel dommage peut apparaître pour un temps de retour très faible ? t retour = √ 2×2×10−6×202 =0,06 s 1,7 . Un temps de retour très faible aura pour conséquence un choc brutal avec le bâti, il est judicieux de réaliser une étude pour déterminer si l’énergie cinétique acquise à ce moment d’impact est supportable par le matériau 10. Calculer la valeur de l'énergie cinétique Ec du système au moment du choc en ne tenant compte que de l'ensemble 3. En s'appuyant sur les informations données en ANNEXE, et pour une section de denture égale à Sdent = b.m, conclure si le matériau supporte l'impact. −C R K red 1 1 Ec(3/ Rg)= J 3 ω 2s = J 3 K 2red ωe2 et ω˙ E = 2 2 J eq ωE= √ −C R K red −C R K red 2.J eq θ S0 t retour = . J eq J eq C R . K 2red Application numérique : d'où 2.C R θS0 1 1 Ec(3/ Rg)= J 3 K 2red ω2e = J 3 K 2red 2 2 J eq Ec(3/ Rg)=2 10−3 J E rupture= E rupture surfacique ×b×m AN : E rupture=100.10−3 J ≫2.10−3 J L’énergie cinétique au moment du choc est inférieure à l’énergie de rupture, Le matériau supporte l’impact. Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses ANNEXE Travaux dirigés ENERGETIQUE réponses