Mécanique du solide

Sciences physiques EXERCICES
http://www.plaf.org/phycats Prépa ATS Dijon - Sciences physiques – MÉCANIQUE DU SOLIDE
M 70. Losange articulé.
On considère un losange articulé dont le sommet 0 est fixe. Dans le plan du losange, un disque
repose sur deux côtés, le contact se faisant sans frottement. Les articulations sont parfaites.
On note m la masse d'un côté, l la longueur d'un côté, r le rayon du disque et m' sa masse.
1) Exprimer l'énergie potentielle du système {losange + disque}.
2) Déterminer la position d'équilibre de l'ensemble en exprimant la valeur de θ correspondante.
Application numérique: m = 40 g, m' = 200
g, l = 50 cm, r = 8 cm ; on indique que l'équation
17,5t
3
– t
2
– 1 = 0 a pour racine positive t ≈ 0,405.
M 72. Barre qui glisse.
Dans le plan Ox, Oy, l'axe Ox est vertical vers le bas et Oy horizontal. Une barre AB,
de masse m et de longueur 2l glisse sans frottement sur Ox et Oy. On repère sa
position par l'angle θ = ( , )Ox OG . On donne : J
G
=(
1
/
3
)ml².
1) Justifier et traduire la conservation de l'énergie mécanique de la barre.
En déduire l'expression de
ɺ
ɺ
θ en fonction de θ .
2) Traduire le théorème du centre de masse pour en déduire les expressions en
fonction de θ et
θ
ɺ
des réactions en A et B.
Rép 1) :
3g
4l
sin
θ
θ = −
ɺɺ
M 73. Pendule de torsion.
Une tige M
1
M
2
est reliée par son centre O à un fil de torsion ∆ exerçant sur celle-ci un couple de
rappel. On donne OM
1
= OM
2
= R, on repère la position de la tige par l'angle θ qu'elle fait avec sa
position d'équilibre (voir figure). On note C la constante de torsion du fil. Les frottements sont
négligés.
1) La tige a une masse négligeable et à ses extrémités sont fixées deux masses de valeurs m
1
= m
2
= m/2. Quelle est l'équation différentielle du mouvement de la tige ? En déduire la période
propre T
0
du mouvement oscillatoire.
2) Les deux masses sont retirées, la tige a une masse M et un moment d'inertie par rapport à son
centre
²
O
MR
J
3
= . Exprimer M en fonction de m pour que la période propre soit inchangée.
M 74. Tige amortie.
Une tige de longueur l, de masse m et de moment d'inertie par rapport à son extrémité
²
O
ml
J
3
= est maintenue en O par une liaison parfaite. Elle est mobile dans un fluide de
faible viscosité, et on modélise la force de frottement par l'action élémentaire subie par
chaque point M de la tige :
( ) ( )
. .
df M k M dl
= − v , k étant une constante, dl un élément de
longueur au voisinage de M et
( )
M
v la vitesse du point. Le mouvement de la tige sera
repéré dans le plan xOy par l'angle θ avec la verticale.
Exprimer la pulsation propre et le facteur d'amortissement relatif du mouvement pour des
oscillations de faibles amplitudes.
M 75. Cylindre en rotation autour d'un axe.
Un cylindre de masse M et de rayon R peut tourner librement autour de son axe horizontal
∆ qui est fixe par rapport au référentiel terrestre considéré comme galiléen. Son moment
d'inertie par rapport à ∆ est J = ½.MR².
Un fil inextensible et de masse négligeable est enroulé autour du cylindre ; un corps de
masse m est attaché à l'extrémité de ce fil (voir figure).
1) A t = 0, la masse m est lâchée sans vitesse initiale en z = z
0
. On appelle z la position de
la masse à une date quelconque et θ l'angle dont a tourné le cylindre depuis la date t = 0.
Exprimer z en fonction de z
0
, θ et R et en déduire l'expression de la vitesse de la masse.
2) Utiliser le théorème de la puissance cinétique appliqué au système
{cylindre+fil+masse m} pour trouver l'équation horaire du mouvement de la masse.
Note : ce système étant déformable, on recensera les actions intérieures. On montrera que Σ W
int
= 0.
Rép : ²
0
mg
z t z
2m M
= +
+
70
75
M

Sciences physiques EXERCICES
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M 76. Roue sur un plan incliné (translation + rotation)
Un cylindre de masse m, de rayon r, de moment d'inertie par rapport à son axe
²
1
J mr
2
= , roule sans glisser sur un plan incliné d'un angle α par rapport à
l'horizontale.
Déterminer l'équation différentielle du mouvement du centre d'inertie G(x,y) du
cylindre :
1) par les théorèmes de la résultante cinétique et du moment cinétique en G.
2) par le théorème de la puissance cinétique. On indique que du fait de la rotation du cylindre autour de G, l'énergie
cinétique prend la forme
( )
( )
2
2
C
1 1
J m G
2 2
ω = + v
E
.
M 78. Bilan d'énergie et introduction à la thermodynamique.
Considérons le système ci
-
contre, délimité par une paroi rigide e
t
adiabatique (c'est-à-dire thermiquement isolante) constitué d'un ressort,
d'un mobile solide de masse m et de barycentre G, et de l'air contenu dans
le volume fermé. Caractéristiques du ressort : masse négligeable, raideur k,
longueur à vide l
v
. La masse de l'air est négligée ; sa viscosité provoque des
frottements fluides sur le ressort et le mobile. On suppose parfaites les
liaisons ressort↔paroi et ressort↔mobile ; le glissement du mobile sur la
paroi sera supposé sans frottement.
Nous ferons l'étude énergétique de ce système dans le référentiel lié à la paroi, supposé galiléen ; nous utiliserons le
repère Ox horizontal, dont l'origine correspond à la position de G à l'équilibre.
A t = 0, on écarte le mobile de x
0
vers la droite, et on le lâche sans vitesse initiale.
1) Quel est le barycentre du système {ressort + mobile + air}?
2) Effectuer le bilan des actions extérieures au système. L'environnement du système est-il conservatif? Exprimer Ep
ext
,
en choisissant comme origine des énergies potentielles la position d'équilibre du mobile.
3) Effectuer le bilan des actions intérieures au système. Le système est-il conservatif? Exprimer Ep
int
, en choisissant
comme origine des énergies potentielles la position d'équilibre du mobile.
4) Exprimer l'énergie mécanique Em du système dans son environnement. Cette énergie est-elle constante? Pourquoi?
Exprimer sa variation entre t = 0 et t = +∞. En déduire le travail des forces dissipatives.
5) Interprétation thermodynamique.
On pose Ec
µ
: énergie cinétique microscopique de l'air. Cette énergie non prise en compte en mécanique est
proportionnelle à la température absolue du fluide.
En admettant que la quantité E = Em + Ec
µ
est constante, montrer que la température de l'air augmente.
6) Application numérique : x
0
= 4 cm ; k = 50 N.m
-1
; Ec
µ
= 2T. Calculer ∆ T.
M79. Dans ma cuve à fioul.
Aucun rapport avec la mécanique, mais pour le coup, c'est du concret ! Notez que le raisonnement et les calculs à faire sont
assez proche de ce qui peut se rencontrer en électromagnétisme, par exemple.
Ma cuve à fioul est assimilable à un cylindre de rayon intérieur R = 64 cm et de longueur intérieure L, non mesurée.
Sa capacité est de 3000 L. Elle est disposée de façon à ce que les bases du cylindre soient verticales.
1) Ma jauge étant défectueuse, j'ai mesuré la hauteur de liquide depuis le fond de la cuve : h = 52,5 cm, le 21 janvier
2003. Combien de fioul me reste-t-il ?
Rép : 1,16 m
3
2) Je souhaite remplacer ma jauge par une règle me permettant de lire directement le volume de fioul.
Comment placer les graduations ? Calculez les positions des repères à placer pour lire le volume par pas de 100 L.
76
79
M