Exercice n°1 : Centre de masse d`un cylindre et d`un cône

© S.Boukaddid
°
Série n 1
Spé MP
Mécanique des systèmes
Exercice n°1
: Centre
de masse d'un cylindre et d'un cône homogène
1. Déterminer le centre de masse d'un cylindre homogène ?
2. Déterminer le centre de masse d'un cône de base circulaire (rayon R) et de hauteur
h à répartition de masse homogène en volume ?
3. Interpréter physiquement ce dernier résultat en comparant avec un cylindre de
mêmes base et hauteur que le cône.
Exercice n°2 : Mouvement de rotation d'une tige homogène
Une tige régide,de longueur L,de section négligeable,de masse M répartie uniformément
sur la longueur L,tourne dans un plan Oxy à la vitesse angulaire ω autour de l'extrémité
O de la tige . La position de la tige est repérée par l'angle θ. On a θ̇ = ω . On note (R)
le référentiel lié aux axes (Ox, Oy).
1. Déterminer le mouvement du référentiel barycentrique (R∗ ) de la tige et représenter les axes liés à (R∗ ) à deux instants diérents. Exprimer la résultante cinétique
→
−
P de la tige.
→
−
2. Exprimer le moment cinétique L O de cette tige en fonction de M, L, ω et des
vecteurs de base
→
−
3. Déterminer L ∗ sans calcul intégral
→
−
4. Calculer directement par une intégrale L ∗ dans (R∗ ). Conclure.
Exercice n°3 : Système de deux points matériels
z
Soit un système (S) de deux points matériels
identiques,de masse idividuelle m. chaque
point matériel est lié en un point O d'un
axe vertical Oz par un l de masse négligeable,toujours tendu,de longueur L. Les
deux masses se font face. Le l et l'axe font
entre eux l'angle θ,qui peut varier au cours
du temps mais qui reste le même pour tous
les points matériels.
O
P0
θ
L
→
−
eθ
→
−
eϕ
P
→
−
er
L'axe Oz est en mouvement de rotation uniforme par rapport au référentiel du laboratoire (R) galiléen et entraine avec lui les deux masses. La vitesse angulaire est notée
−
ω0 . L'axe Oz est orienté par un vecteur unitaire →
e z . On étudie le système dans le
référentiel galiléen (R)
→
−
1. Exprimer le moment cinétique L O de l'une des masses,en fonction de L, m, θ, θ̇
et ω0
→
−
2. En déduire le moment cinétique total L O (S) du système complet.
Exercice n°4 : Problème à deux corps
Une planète et une étoile sont en interaction gravitationnelle.
1/2
© S.Boukaddid
°
Série n 1
Spé MP
1. Montrer que le référentiel barycentrique est galiléen. Trouver,dans ce référen−−→ −−−−→
tiel,une équation vérifée par GM = M1 M2 ,vecteur liant les positions de l'étoile
et de la planète. On fera notamment apparaître une masse µ,appelée masse réduite.En déduire la troisième loi de Kepler
2. Si la distance planète-étoile reste xe et égale à d = 1, 5.1011 m pour le couple
soleil-terre,donner la trajectoire de l'étoile. Quel est le rayon de l'orbite solaire à
cause de la présence de la terre (ms = 2.1030 kg et mT = 6.1024 kg ) ? Application
à la détection des exoplanètes (planètes hors du système solaire) ?
Exercice n°5 : Machine d'Atwood
Une poulie sans masse est attachée au plafond par une tige. Cette polie tourne sans
frottements autour de son axe. Un l inextensible et souple,de masse négligeable,attaché
à ses deux bouts à deux masses m1 et m2 coulisse sans glisser sur cette poulie.
1. Montrer que la poulie transmet les tensions c'est-à-dire que les tensions du l de
chaque côté de la poulie sont identiques
2. Montrer que la tension est la même tout au long de la corde libre.
3. En déduire les accélérations des deux masses. Commenter le résultat.
Exercice n°6 : Théorème du Viriel (Mines ponts)
Une particule ponctuel,de masse m,est soumise à une force dérivant d'une énergie
potentielle Ep k-homogène c'est-à-dire
−
−
−
∀α > 0, ∀→
r , Ep (α→
r ) = αk Ep (→
r)
1. Donner deux exemples de tels potentiels
−−→
−
2. Montrer que →
r .gradEp = kEp
Z
1 T
f (t)dt la valeur moyenne de f . Montrer que 2 <
3. On note < f >= lim
T →∞ T 0
Ec >= k < Ep > lors d'un mouvement borné. Commenter cette relation pour
deux exemples précédents
4. Pour un système de N particules en interaction,soumises à l'énergie potentielle
−
−
k-homogène Ep (→
r 1 , ..., →
r N ),établir une relation similaire
5. Pour une étoile homogène de masse M ,de rayon R et de température T ,exprimer
< Ec > en supposant que les N particules la constituant peuvent être considérées
comme formant un gaz parfait monoatomique. Calculer la capacité calorique C
de l'étoile (On n'oubliera pas l'énergie potentielle de gravitation). Que remarquezvous ?
2/2