09 Cours - L`ensemble R des réels.nb

09 Cours - L'ensemble R des réels.nb
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L’ensemble des réels
I) Relation d’ordre b dans 1) Définition
2) Variantes
3) Propriétés
II) Majorant, minorant
1) Définitions
2) Utilisation de la valeur absolue
3) Exemple
III) Maximum, minimum
1) Théorème et définition
2) Exemples
IV) Borne supérieure, borne inférieure
1) Définitions
2) Exemples
3) Liens entre borne supérieure et maximum
4) Existence d’une borne supérieure dans V) Valeur absolue
1) Définition
2) Propriétés
VI) Intervalles de 1) Définitions
2) Théorème de caractérisation
VII) Approximations d’un nombre réel
1) Partie entière
2) Valeur décimale approchée à 10-n
VIII) Nombres irrationnels
1) Définition
2) Sommes et produits d’irrationnels
3) Répartition des rationnels et des irrationnels dans IX) Un problème classique
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I) Relation d’ordre b dans 1) Définition
Soient a et b deux réels. Alors: a b b ñ b - a œ + .
2) Variantes
Soient a et b deux réels. Alors:
•a r b ñ b b a
• a < b ñ a b b et a ∫ b
• a > b ñ a r b et a ∫ b
3) Propriétés
1) " x, y œ , Hx b y et y b xL ñ x = y
(La relation d’ordre b est antisymétrique)
2) " x, y, z œ , Hx b y et y b zL fl x b z
(La relation d’ordre b est transitive)
3) " x, y, z œ , x b y fl x + z b y + z
(La relation d’ordre b est compatible avec l’addition)
4) " x, y œ , " z œ D 0, +¶@, x b y fl x äz b yä z
(La relation d’ordre b est compatible avec la multiplication)
Attention à la multiplication par un réel négatif: " x, y œ , " z œ D - ¶, 0@, x b y fl x äz r yä z
II) Majorant, minorant
1) Définitions
Pour un élément x œ :
Soit A une partie de et soit x un réel. Alors:
• x est un majorant de A ñ " a œ A, a b x. On dit aussi que A est majorée par x .
• x est un minorant de A ñ " a œ A, x b a. On dit aussi que A est minorée par x .
Pour une partie A Õ :
Soit A une partie de . Alors:
• La partie A est majorée si et seulement si elle admet un majorant .
• La partie A est minorée si et seulement si elle admet un minorant .
• La partie A est bornée si et seulement si elle majorée et minorée .
C’est à dire:
Soit A une partie de . Alors:
• La partie A est majorée ñ $ M œ ê " a œ A, a b M .
• La partie A est minorée ñ $ m œ ê " a œ A, m b a .
• La partie A est bornée ñ $ m, M œ ê " a œ A, m b a b M .
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2) Utilisation de la valeur absolue
La partie A de est bornée ñ $ M œ + ë " a œ A,
a
b M.
Ce résultat est important en pratique car il permet de ne travailler qu’avec des nombres positifs, ce qui est commode avec les
inégalités.
3) Exemple
Quel sont les ensembles MA et mA des majorants et minorants dans de:
A = @0, 1D
A = : í n œ * >
A = 9x œ ê 4 b x2 b 16=
1
n
A = III) Maximum, minimum
1) Théorème et définition
Soit A une partie de . Alors:
• il existe au plus un majorant de A qui est dans A. Cet élément, s’il existe, est le maximum de A (ou le plus grand
élément de A), et est noté max A.
•• Il existe au plus un minorant de A qui est dans A. Cet élément, s’il existe, est le minimum de A (ou le plus petit
élément de A), et est noté min A.
On peut donc affirmer que:
Etant donnés A une partie de et x œ :
x œA
x = max A ñ ;
" a œ A, a b x
et
x = min A ñ ;
x œA
.
" a œ A, x b a
2) Exemples
Calculer s’ils existent, le maximum et le minimum de:
A = @0, 1D
B = D 0, 1D
C = 9x œ ê 4 b x2 < 16=
D = : í n œ * >
1
n
IV) Borne supérieure, borne inférieure
1) Définitions
Soit A une partie de . Alors:
• La borne supérieure de A est, s’il existe, le minimum de l’ensemble des majorants de A dans . On le note sup A.
•• La borne inférieure de A est, s’il existe, le maximum de l’ensemble des minorants de A dans . On le note inf A.
Ou encore
S’ils existent, alors sup A = min 8majorants de A< et inf A = max 8minorants de A<.
On peut donc affirmer que:
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Soient A une partie de et x un réel. Alors:
" a œ A, a b x
x = sup A ñ ;
" M majorant de A, x b M
et
x = inf A ñ ;
" a œ A, x b a
" m minorant de A, m b x
2) Exemples
Calculer si elles existent, les bornes inférieures et supérieures de:
A = @0, 1D
B = D 0, 1D
C = 9x œ ê 4 b x2 < 16=
E = : í a, b œF 0, + ¶@> .
a
b
3) Liens entre borne supérieure et maximum
Soit A une partie de . Alors:
• Si max A existe, alors sup A existe et sup A = max A.
• Si sup A existe, on ne peut rien dire sur l’existence de max A.
De même avec min A et inf A.
4) Existence d’une borne supérieure dans • Toute partie non vide et minorée de admet une borne inférieure.
•• Toute partie non vide et majorée de admet une borne supérieure.
Admis. C'est une propriété très importante de l'ensemble des réels
V) Valeur absolue
1) Définition
Pour x œ on pose
x si x r 0
.
-x si x b 0
=
x
Par exemple, |-3.5| = 3.5 et |p| = p. Le graphe de la fonction valeur absolue:
2) Propriétés
a) " x œ ,
x
r 0 et H x = 0 ñ x = 0L
b) " x, x0 œ , " a œ + ,
c) " x, y œ ,
xy
d) " x, y œ ,
x +y
e) " x, y œ ,
x
f) " x œ ,
=
x
b
-
x2 = x .
b a ñ x œ @x0 - a, x0 + aE
x - x0
y
y
x
+
y
b
x +y
(inégalité triangulaire)
D = : í n œ * >
1
n
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VI) Intervalles de 1) Définitions
Les 10 types d’intervalles de sont : « , [a,b] , [a,b[ , ]a,b] , ]a,b[ , [a,+¶[ , ]a,+¶[ , ]-¶,b] , ]-¶,b[ , ]-¶,+¶[ .
Par exemple ]a,b] = {x œ / a < x b b}.
• [a,b] est un segment.
• « , ]a,b[ , ]a,+¶[ , ]-¶,b[ , ]-¶,+¶[ sont les intervalles ouverts.
• « ,[a,b] , [a,+¶[ , ]-¶,b] , ]-¶,+¶[ sont les intervalles fermés.
• « , [a,b] , [a,b[ , ]a,b] , ]a,b[ sont les intervalles bornés.
2) Théorème de caractérisation
Une partie I de est un intervalle de ñ " x, y œ I, x b y fl @x, yD Õ I
L’implication fl est claire: on vérifie la propriété pour les 10 types d’intervalles. Pour l’implication ›:
Soit I une partie de qui vérifie HPL : " x, y œ I, x b y fl @x, yD Õ I . La partie I est par exemple minorée et non majorée. On note alors a = inf HIL et on montre
que I =D a, +¶@ ou que I = @a, +¶@ . Il suffit pour celà de justifier les deux propriétés
H1L " x œ D - ¶, a@, x – I et H2L " x œ D a, +¶@, x œ I. La propriété (1) est vraie car a = inf HIL est un minorant de I.
Prouvons (2).
Soit x > a. Montrons que x œ I . Comme a = inf HIL, $ y œ I ê y b x (sinon x est un minorant de I, ce qui est faux car x > a)
Par ailleurs $ z œ I ê z > x (car I n’est pas majoré). Alors HPL fl @y, zD Õ I fl x œ I . CQFD.
VII) Approximations d’un nombre réel
1) Partie entière
a) Théorème et définition
Etant donné x œ , il existe un unique entier relatif k tel que k b x < k + 1.
Cet entier k s’appelle la partie entière de x, et est noté dxt (anciennement @xD ou E HxL).
Par exemple, dpt = 3 et e-
2 u = -2
b) Définition équivalente
La partie entière k = dxt du réel x est l’unique entier relatif k qui vérifie: x - 1 < k b x .
4
3
2
c) Graphe
1
-2
1
-1
2
3
4
5
-1
-2
d) Exercice
On pose f HxL = 3 d2 xt - 2 d3 xt. Prouver que " x œ , - 2 b f HxL b 1 puis tracer le graphe de la fonction f .
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2) Valeur décimale approchée à 10-n près
a) Théorème et définition
Etant donnés x œ et n œ , il existe un unique entier relatif p tel que
p
p+1
b x < n . Alors:
n
10
10
p
est la valeur approchée décimale de x à 10-n près par défaut.
10n
p+1
••
est la valeur approchée décimale de x à 10-n près par excès.
10n
•
Calculer par exemple les valeurs approchées à 10-3 près par défaut et à 10-5 près par excès de 3.41099 .
VIII) Nombres irrationnels
1) Définition
Soit x œ .
x est irrationnel ñ x n’est pas rationnel ñ x œ \ ñ x ne peut pas s’écrire sous la forme x =
p
avec p œ et q œ * .
q
On notera ici I l’ensemble des nombres irrationnels .
2 , e , p, ln 2 sont des irrationnels célèbres.
2) Sommes et produits d’irrationnels: vrai ou faux ?
A: La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel.
B: Le produit d’un rationnel et d’un irrationnel est un irrationnel.
C: La somme de deux irrationnels est un irrationnel.
D: Le produit de deux irrationnels est un irrationnel.
E: Si
a
est rationnel, alors a et b sont des entiers.
b
3) Répartition des rationnels et des irrationnels dans (Hors programme PCSI)
a) Lemme du fossé
Soient x, y, z œ tels que 0 < z < y - x . Alors $ n œ ê n z œ D x, y@.
Un lemme est un résultat utile à la démonstration d’un théorème et qui peut servir aussi dans d’autres circonstances.
L’appellation “lemme du fossé” n’est pas homologuée. L’idée est que si l’on fait des pas réguliers de longueur z sur une route
où se trouve un fossé D x, y@ avec 0 < z < y - x = largeur du fossé, alors on tombe dans le fossé...
Soient x, y, z œ tels que 0 < z < y - x . Notons n =
y
z
. Comme n b
y
z
< n + 1, alors n z b y < n z + z, donc n z b y < n z + z. Mais 0 < z < y - x donc
x < y - z , donc x < n z + z - z = n z . On en déduit que x < n z b y.
Si y ∫ n z , alors x < n z < y et l’entier n convient. Et si y = n z , alors n - 1 convient car x < y - z = Hn - 1L z < n z = y.
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b) Théorème
Tout intervalle non vide D x, y@ de contient un rationnel et un irrationnel.
Soit p un entier tel que 0 <
1
< y - x. ( p =
p
1
y-x
+ 1 convient par exemple). Alors d’après le lemme avec z =
1
p
,$ n œ êx<
n
p
< y. Or
n
p
œ , donc D x, y@
contient un rationnel.
Soit p un entier tel que 0 <
n
p
2
p
< y - x. ( p =
2
y-x
+ 1 convient par exemple). Alors d’après le lemme avec z =
2
p
,$ n œ êx<
n
p
2 < y. Or
2 – (sauf si n = 0, donc D x, y@ contient un irrationnel. Si n = 0, alors x < 0 < y et on recommence sur D 0, x@ pour conclure.
c) Exercices
a) Prouver que tout rationnel est la limite d’une suite d’irrationnels.
b) Prouver que tout irrationnel est la limite d’une suite de rationnels.
g) Prouver que tout intervalle D x, y@ non vide de contient une infinité de rationnels et une infinité d’irrationnels
IX) Un problème classique
On cherche toutes les fonctions f: ö qui vérifient: ;
H1L " x, y œ , f Hx + yL = f HxL + f HyL
.
H2L " x, y œ , f Hx ä yL = f HxLäf HyL
1) Prouver que la fonction nulle convient.
On fait un raisonnement par analyse - synthèse pour trouver toutes les fonctions solutions.
Dans les questions 2) à 8), f est une fonction solution qui n’est pas la fonction nulle.
2) Prouver que f H0L = 0.
3)a) Prouver que f H1L = 0 ou que f H1L = 1.
b) Prouver que si f H1L = 0, alors f est la fonction nulle. En déduire que f H1L = 1.
4) Prouver que " n œ , f HnL = n.
5) Prouver que " n œ , f HnL = n.
6) Prouver que " r œ , f HrL = r.
7) Prouver que f est croissante sur .
8) On suppose qu’il existe a œ tel que f HaL ∫ a, par exemple f HaL < a. En utilisant un rationnel r œ D f HaL, a@, montrer que
c’est exclu.
9) Trouver toutes les fonctions solutions.