09 Cours - L`ensemble R des réels.nb

L’ensemble  des réels
I) Relation d’ordre b dans 
1) Définition
2) Variantes
3) Propriétés
II) Majorant, minorant
1) Définitions
2) Utilisation de la valeur absolue
3) Exemple
III) Maximum, minimum
1) Théorème et définition
2) Exemples
IV) Borne supérieure, borne inférieure
1) Définitions
2) Exemples
3) Liens entre borne supérieure et maximum
4) Existence d’une borne supérieure dans 
V) Valeur absolue
1) Définition
2) Propriétés
VI) Intervalles de 
1) Définitions
2) Théorème de caractérisation
VII) Approximations d’un nombre réel
1) Partie entière
2) Valeur décimale approchée à 10
-
n
VIII) Nombres irrationnels
1) Définition
2) Sommes et produits d’irrationnels
3) Répartition des rationnels et des irrationnels dans 
IX) Un problème classique
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I) Relation d’ordre b dans 
1) Définition
Soient
a
et
b
deux réels. Alors: abbñb-aœ
+
.
2) Variantes
Soient
a
et
b
deux réels. Alors:
• arbñbba
• a<bñabbet a∫b
• a>bñarbet a∫b
3) Propriétés
1) "x,yœ,
H
xbyet ybx
L
ñx=y (La relation d’ordre b est antisymétrique)
2) "x,y,zœ,
H
xbyet ybz
L
flxbz (La relation d’ordre b est transitive)
3) "x,y,zœ,xbyflx+zby+z (La relation d’ordre b est compatible avec l’addition)
4) "x,yœ,"zœ
D
0, +¶
@
,xbyflxäzbyäz (La relation d’ordre b est compatible avec la multiplication)
Attention à la multiplication par un réel négatif: "x,yœ,"zœ
D
- ¶, 0
@
,xbyflxäzryäz
II) Majorant, minorant
1) Définitions
Pour un élément xœ:
Soit
A
une partie de  et soit x un réel. Alors:
• x est un majorant de
A
ñ "aœA,abx. On dit aussi que
A
est majorée par x .
• x est un minorant de
A
ñ "aœA,xba. On dit aussi que
A
est minorée par x .
Pour une partie
A
Õ:
Soit
A
une partie de . Alors:
• La partie
A
est majorée si et seulement si elle admet un majorant .
• La partie
A
est minorée si et seulement si elle admet un minorant .
• La partie
A
est bornée si et seulement si elle majorée et minorée .
C’est à dire:
Soit
A
une partie de . Alors:
• La partie
A
est majorée ñ $Mœ
ê
"aœA,abM .
• La partie
A
est minorée ñ $mœ
ê
"aœA,mba.
• La partie
A
est bornée ñ $m,Mœ
ê
"aœA,mbabM .
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2) Utilisation de la valeur absolue
La partie
A
de  est bornée ñ $Mœ
+
ë
"aœA,abM .
Ce résultat est important en pratique car il permet de ne travailler qu’avec des nombres positifs, ce qui est commode avec les
inégalités.
3) Exemple
Quel sont les ensembles M
A
et m
A
des majorants et minorants dans  de:
A
=
@
0, 1
D
A
=
A
=
:
1
n
í
nœ
*
>
A
=
9
xœ
ê
4bx
2
b16
=
III) Maximum, minimum
1) Théorème et définition
Soit
A
une partie de  . Alors:
• il existe au plus un majorant de
A
qui est dans
A
. Cet élément, s’il existe, est le maximum de
A
(ou le plus grand
élément de
A
), et est noté max
A
.
•• Il existe au plus un minorant de
A
qui est dans
A
. Cet élément, s’il existe, est le minimum de
A
(ou le plus petit
élément de
A
), et est noté min
A
.
On peut donc affirmer que:
Etant donnés
A
une partie de  et xœ:
x=max Añ
;
x
œ
A
"aœA,abxet
x
=min Añ
;
x
œ
A
"aœA,xba .
2) Exemples
Calculer s’ils existent, le maximum et le minimum de:
A
=
@
0, 1
D
B=
D
0, 1
D
C=
9
xœ
ê
4bx
2
<16
=
D=
:
1
n
í
nœ
*
>
IV) Borne supérieure, borne inférieure
1) Définitions
Soit
A
une partie de . Alors:
• La borne supérieure de
A
est, s’il existe, le minimum de l’ensemble des majorants de
A
dans . On le note sup
A
.
•• La borne inférieure de
A
est, s’il existe, le maximum de l’ensemble des minorants de
A
dans . On le note inf
A
.
Ou encore
S’ils existent, alors sup A=min
8
majorants de A
<
et inf A=max
8
minorants de A
<
.
On peut donc affirmer que:
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Soient
A
une partie de  et x un réel. Alors:
x=sup Añ
;
"
a
œ
A
,
a
b
x
"M
majorant
de
A
,
xbMet x=inf Añ
;
"
a
œ
A
,
x
b
a
"m
minorant
de
A
,
mbx
2) Exemples
Calculer si elles existent, les bornes inférieures et supérieures de:
A=
@
0, 1
D
B=
D
0, 1
D
C=
9
xœ
ê
4bx
2
<16
=
D=
:
1
n
í
nœ
*
>
E=
:
a
b
í
a,bœ
F
0, +¶
@
>
.
3) Liens entre borne supérieure et maximum
Soit
A
une partie de . Alors:
• Si max
A
existe, alors sup
A
existe et sup
A
= max
A
.
• Si sup
A
existe, on ne peut rien dire sur l’existence de max
A
.
De même avec min
A
et inf
A
.
4) Existence d’une borne supérieure dans 
• Toute partie non vide et minorée de  admet une borne inférieure.
•• Toute partie non vide et majorée de  admet une borne supérieure.
Admis. C'est une propriété très importante de l'ensemble des réels
V) Valeur absolue
1) Définition
Pour xœ on pose x=
x
si
x
r
0
-xsi xb0 .
Par exemple, |-3.5| = 3.5 et |p| = p. Le graphe de la fonction valeur absolue:
2) Propriétés
a)
"
x
œ
,
x
r
0
et
H
x
=
0
ñ
x
=
0
L
b) "x,x
0
œ," a œ 
+
,x-x
0
ba ñ xœ
@
x
0
- a,x
0
+ a
E
c) "x,yœ,x y =x y
d)
"
x
,
y
œ
,
x
+
y
b
x
+
y
(inégalité triangulaire)
e)
"
x
,
y
œ
,
x
-
y
b
x
+
y
f) "xœ,x
2
=x .
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VI) Intervalles de 
1) Définitions
Les 10 types d’intervalles de  sont : « , [a,b] , [a,b[ , ]a,b] , ]a,b[ , [a,+¶[ , ]a,+¶[ , ]-¶,b] , ]-¶,b[ , ]-¶,+¶[ .
Par exemple ]a,b] = {x œ  / a < x b b}.
• [a,b] est un segment.
• « , ]a,b[ , ]a,+¶[ , ]-¶,b[ , ]-¶,+¶[ sont les intervalles ouverts.
• « ,[a,b] , [a,+¶[ , ]-¶,b] , ]-¶,+¶[ sont les intervalles fermés.
• « , [a,b] , [a,b[ , ]a,b] , ]a,b[ sont les intervalles bornés.
2) Théorème de caractérisation
Une partie I de  est un intervalle de  ñ "x,yœI,xbyfl
@
x,y
D
ÕI
L’implication fl est claire: on vérifie la propriété pour les 10 types d’intervalles. Pour l’implication ›:
Soit I une partie de  qui vérifie
H
P
L
:"x,yœI,xbyfl
@
x,y
D
ÕI. La partie I est par exemple minorée et non majorée. On note alors a=inf
H
I
L
et on montre
que I=
D
a,+¶
@
ou que I=
@
a,+¶
@
. Il suffit pour celà de justifier les deux propriétés
H
1
L
"xœ
D
- ¶,a
@
,x–I et
H
2
L
"
x
œ
D
a
,
+
¶
@
,
x
œ
I
. La propriété (1) est vraie car a=inf
H
I
L
est un minorant de I.
Prouvons (2).
Soit x>a. Montrons que xœI. Comme a=inf
H
I
L
, $yœI
ê
ybx (sinon x est un minorant de I, ce qui est faux car x>a)
Par ailleurs $zœI
ê
z>x (car I n’est pas majoré). Alors
H
P
L
fl
@
y,z
D
ÕIflxœI . CQFD.
VII) Approximations d’un nombre réel
1) Partie entière
a) Théorème et définition
Etant donné x œ , il existe un unique entier relatif k tel que
k
b
x
<
k
+
1
.
Cet entier k s’appelle la partie entière de x, et est noté
d
x
t
(anciennement
@
x
D
ou E
H
x
L
).
Par exemple,
d
p
t
= 3 et
e
-2
u
= -2
b) Définition équivalente
La partie entière k=
d
x
t
du réel x est l’unique entier relatif k qui vérifie: x-1<kbx .
c) Graphe
-2-1 1 2 3 4 5
-2
-1
1
2
3
4
d) Exercice
On pose
f
H
x
L
=3
d
2x
t
-2
d
3x
t
. Prouver que
"
x
œ
,
-
2
b
f
H
x
L
b
1
puis tracer le graphe de la fonction
f
.
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