Documents de Physique

1
Thème : Lois et modèles
Partie : Temps, mouvement et évolution.
Cours 21 : Mouvement d’un satellite-Lois de Kepler.
I.
Mouvement d’un satellite.
Problème : Comment démontrer que, dans l’approximation des trajectoires circulaires, le mouvement d’un
satellite, d’une planète, est uniforme.
1.
Quel référentiel choisir ?
On étudie le mouvement d’un satellite par rapport à l’ensemble de la Terre.
Le référentiel géocentrique est adapté à l’étude de ce mouvement circulaire, dont l’axe de rotation (quel qu’il
soit passe par le centre de la terre).
Ce référentiel est galiléen.
2.
Quel est le système ?
Le système est le satellite qui sera assimilé à un solide dont la masse est concentrée en son centre d’inertie G.
3.
Quelles sont les forces qui s’appliquent au satellite ?
Seule la force gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite sera tenue en compte.
𝑀 𝑚𝑆
Le vecteur force gravitationnelle a pour expression 𝐹⃗ = 𝐺 ∙ (𝑅 𝑇
𝑇 +ℎ)
2
∙ 𝑛⃗⃗ = 𝐺 ∙
𝑀𝑇 𝑚𝑆
𝑅2
∙ 𝑛⃗⃗
RT = rayon de la Terre (m) et h altitude (m) avec R = RT + h.
𝑛⃗⃗ est le vecteur normal à la trajectoire dirigé vers le centre de la Terre.
4.
Application de la deuxième loi de Newton.
𝐹⃗ = 𝑚𝑆 ∙ 𝑎⃗𝐺
La force gravitationnelle est centripète.
𝑀
𝑎⃗𝐺 = 𝐺 ∙ 2𝑇 ∙ 𝑛⃗⃗
𝑅
𝑎⃗𝐺 = 𝑎⃗𝑛 + 𝑎⃗𝜏 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝜏⃗ +
𝑑𝑣
2
𝑣𝐺
𝑅
. 𝑛⃗⃗
𝑎⃗𝜏 = ⃗0⃗ , on a donc
=0
𝑑𝑡
Le vecteur accélération est alors également centripète et
sa valeur est constante donc le mouvement circulaire est
uniforme de vitesse vG.
5.
Expression de la vitesse du satellite.
Nous avons donc aG =
2
𝑣𝐺
𝑅
=𝐺∙
𝑀𝑇
𝑅2
Alors la valeur de la vitesse est vG = √
𝐺∙𝑀𝑇
𝑅
=√
𝐺∙𝑀𝑇
𝑅𝑇 +ℎ
RT = rayon de la Terre (m) et h altitude (m)
Conclusion :
Dans le référentiel géocentrique, le mouvement du centre d’inertie d’un satellite est
circulaire uniforme. Sa vitesse est fonction que de son altitude.
Elle est indépendante de la masse du satellite.
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2
6.
Expression de sa période.
Le satellite effectue un tour de circonférence égale à 2R pendant une durée T, appelée période.
T=
2𝜋𝑅
𝑣𝐺
= 2𝜋𝑅 √
𝑅
𝐺∙𝑀𝑇
= 2𝜋√
𝑅3
𝐺∙𝑀𝑇
Avec R = RT + h.
On remarque que la période augmente avec l’altitude.
De plus
7.
𝑇2
𝑅3
=
4𝜋2
𝐺∙𝑀𝑇
= constante (Terre).
Cas particulier du satellite géostationnaire.
Les satellites géostationnaires sont immobiles par rapport à la Terre car sa période de révolution est égale à la
période de rotation de la Terre autour de son axe.
Il tourne en orbite circulaire dans le plan de l’équateur terrestre et dans le même sens de rotation que la
Terre autour de son axe.
Questions :
-
Quelle est la période T de révolution ?
A quelle altitude, ce satellite tourne-t-il autour de la Terre ?
Données :
Masse de la Terre : MT = 5,98 × 1024 kg.
Rayon de la Terre : RT = 6 380 km.
Constante de gravitation universelle G = 6,67 × 10-11 S.I.
Réponses :
-
La période de révolution étant égale à la période de rotation de la Terre autour de son axe, sa
valeur est égal au jour sidéral, soit 23 h 56 min 4 s
T = 23,934 × 3 600 = 86164 s.
-
Le rayon orbital est égal à R = √
3 𝑇 2 ∙𝐺∙𝑀𝑇
4𝜋2
3 861642 ×6,67×10−11 ×5,98×1024
4𝜋2
=√
h = R – RT = 42 000 – 5 980 = 35 620 km.
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= 42 000 km.
3
II.
Mouvement d’une planète autour du Soleil.
1.
Expression de la période de révolution de la terre autour du Soleil.
Dans ce cas, le référentiel à choisir est le référentiel héliocentrique.
Les relations deviennent :
T = 2𝜋√
𝑅3
𝐺∙𝑀𝑆
et
4𝜋2
𝐺∙𝑀𝑆
= constante (Soleil).
MS est la masse du Soleil et R le rayon de la distance Terre-Soleil (1 unité astronomique = 1 U.A.)
2.
Applications.
A l’aide de ces relations, on peut selon les données fournies :
-
Déterminer la période de révolution de toutes les planètes du système solaire.
Déterminer la masse du Soleil.
Déterminer le rayon orbital d’une planète.
Dans le cas des exoplanètes, déterminer ces grandeurs physiques dans un système stellaire autre
que le système solaire.
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III.
Les lois de Képler.
1.
Approche historique :
D’après un travail d’Eric Butz (IREM de la Réunion) www.reunion.iufm.fr
L’astronome Tycho Brahé (1546 – 1601) fait de nombreuses observations très précises sur les trajectoires des
planètes.
Képler (1571 – 1630) utilise les résultats de ces observations pour vérifier la théorie de Copernic suivant laquelle les
planètes tournent autour du Soleil d’un mouvement circulaire, uniforme, centré au Soleil.
En particulier, une petite différence de 8 minutes d’angle (1 minute d’angle = 1/60 ème de degré) entre les
observations de Mars par Tycho Brahé et la position calculée de cette planète sur le cercle théorique lui font
rejeter le modèle circulaire de Copernic et trouver les deux premières lois :
Première loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :
« Les orbites des planètes sont des ellipses dont le centre du Soleil occupe l’un des foyers »
Question : Faire un schéma décrivant cette première loi.
Réponse :
Remarque : l’ellipse dessinée est très exagérée pour plus de clarté.
Deuxième loi de Képler, réécrite par Laplace en 1796 :
« Les aires décrites autour de ce centre, par les rayons vecteurs des planètes sont proportionnelles aux temps
employés à les décrire »
Question :
Parmi ces trois schémas, quel est celui qui correspond à l’énoncé de la deuxième loi de Képler ?
n°1
n°2
n°3
Réponse :
Le schéma n°2 correspond à l’énoncé de la deuxième loi de Képler
Troisième loi de Képler :
Après un grand nombre de tentatives continuées pendant 17 ans, Kepler réussit à établir une troisième loi reliant la
période de révolution T au demi-grand axe a de l’orbite d’une planète autour du Soleil.
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Question :
A partir des données du tableau suivant sur lequel Kepler aurait pu travailler, on cherche une relation entre la
distance moyenne a d’une planète autour du Soleil et la durée moyenne T de leurs révolutions.
Planètes
Mercure
Vénus
Terre
Mars
Jupiter
Saturne
-
distance moyenne au Soleil a
0,39
0,72
1,00
1,52
5,20
9,64
durée moyenne T des révolutions
0,24
0,62
1,00
1,88
11,86
29,46
Tracer sur un tableur le graphe T = f(a) et afficher l’équation de la courbe de tendance.
Réponse :
-
Graphe T = f (a)
L’équation de la courbe est y = 0,9992 x1,4975, soit environ y = 1 x1,5
On peut écrire que T = a3/2
2
Si on élève cette équation au carré, on obtient T 2 = a3, soit
T 1
3
a
2
-
La troisième loi de Képler s’écrit
T = constante
3
a
On peut vérifier que ce modèle est valide dans un autre cas comme celui des satellites de Jupiter.
Question
Compléter la dernière colonne du tableau et conclure.
Satellite de Jupiter
Io
Europe
Période de révolution du
satellite autour de Jupiter
(s)
1,53  105
3,07  105
Distance du satellite à
Jupiter (m)
4,22  108
6,71  108
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2
T
3
a
6
6,19  105
1,44  106
Ganymède
Callisto
1,07  109
1,88  109
Réponse :
Satellite de Jupiter
Période de révolution du
satellite autour de Jupiter (s)
Io
Europe
Ganymède
Callisto
1,53
3,07
6,19
1,44




105
105
105
106
Distance du satellite à
Jupiter (m)
4,22
6,71
1,07
1,88




108
108
109
109
2
T
3
a
3,11  10-16
3,12  10-16
3,13  10-16
3,12  10-16
2
Pour les satellites de Jupiter, le rapport
T est constant et égal à environ 3,12  10-16 S.I.
3
a
2
Pour les satellites d’une autre planète, le rapport
T est également constant mais sa valeur sera différente.
3
a
2
La valeur du rapport
2.
T est caractéristique de l’astre central autour duquel tourne les planètes ou satellites.
3
a
Enoncés des lois de Képler.
Première loi :
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d’une planète est une ellipse dont le
centre du Soleil est l’un des foyers.
Deuxième loi :
Le rayon qui relie le centre du Soleil au centre de la planète balaie des aires égales pendant les
durées égales.
2
Troisième loi :
T = constante
3
a
T : période de révolution a : demi-grand axe
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