correction Première S EABJM Correction des exercices sur la conservation de l’énergie Exercice 1: pendule simple: 1. La somme Ec + Epp se conserve: Le système {bille S} est soumis à 2 forces extérieures: • • Son poids . La tension du fil . Comme les frottements sont négligés, il n’y a pas de perte d’énergie sous forme thermique. Toute l’énergie potentiel de pesanteur se transforme en énergie cinétique et vis-versa. . La somme Ec + Ep se conserve donc. A l'instant initial (instant 1) Energie cinétique: Ec1 = 1/2.m.V12. Energie potentielle de pesanteur: Ep1 = m.g.h1 avec h1=L.(1-cos(θ1)), d'où: Ep1 = m.g.L.(1-cos(θ1)) Somme Ec + Epp Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos(q1)) 2. Angle maximum de remontée: A l'instant final (instant 2) Énergie cinétique: Ec2 = 0. Energie potentielle de pesanteur: Ep2 = m.g.h2 avec h2=L.(1-cos(θm)), d'où: Ep2 = m.g.L.(1-cos(θm)) Somme Ec + Epp S.COUTRY correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 1 sur 6 correction Première S EABJM Ec2 + Ep2 = m.g.L.(1-cos(θm)) La somme Ec + Ep se conserve, donc: 1/2.m.V12 + m.g.L.(1-cos(θ1)) = m.g.L.(1-cos(θm)) 1/2.V12 + g.L - g.L.cos(θ1) = g.L - g.L.cos(θm) V12 -2.g.L.cos(θ1) = -2.g.L.cos(θm) 2.g.L.cos(θ1) - V12 cos(θm) = 2.g.L 2 x 9,81 x 0,80 x cos(30) - 1,52 cos(θm) = 2 x 9,81 x 0,80 cos(θm) = 0,72 θm = 44°. Mouvement ultérieur du pendule: La somme Ec + Ep se conserve. Le pendule ne perd pas d'énergie et le pendule va osciller indéfiniment entre les angles +qm et -qm. 3. Vitesse V1': A l'instant initial: Énergie cinétique: Ec1 = 1/2.m.V1'2. Énergie potentielle: Ep1 = m.g.L.(1-cos(θ1)) On en déduit: Ec1 + Ep1 = 1/2.m.V1' 2 + m.g.L.(1-cos(θ1)) Énergie mécanique finale: Énergie cinétique: 1/2.m.V22. Énergie potentielle: Ep2 = 2.m.g.L (le pendule est à la verticale). On en déduit: Ec2 + Epp2 = 1/2.m.V22 + 2.m.g.L La somme Ec + Ep se conserve, donc: Ec1 + Ep1 = Ec2 + Ep2 1/2.m.V1' 2 + m.g.L.(1-cos(θ1)) = 1/2.m.V22 + 2.m.g.L V1'2 + 2.g.L.(1-cos(θ1)) = V22 + 4.g.L S.COUTRY correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 2 sur 6 correction Première S EABJM V1'2 + 2.g.L. - 2.g.L.cos(θ1) = V22 + 4.g.L V1'2 = V22 + 2.g.L + 2.g.L.cos(θ1)) V1'2 = V22 + 2.g.L.(1 + cos(θ1)) V1'2 = 5,02 + 2 x 9,81 x 0,80.(1 + cos(30)) V1'2 = 54,3m2.s-2 V1' = 7,4m.s-1. Exercice 2: tir d'un projectile: 1. Coordonnées du vecteur vitesse initiale: 2. Expression de l'altitude Zs du sommet S la trajectoire: de Le système {pierre} n'est soumis qu'à son poids La somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur) se conserve car les frottements sont négligés. Au point O: Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2. Énergie potentielle: Epp(O) = 0. D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2. Il est immédiat que: Vo2.(1-cos2(α)) . Au point S (sommet de la trajectoire): Énergie cinétique: Ec(S) = 1/2.m.Vs2. Vox = Vo.cos(α) Énergie potentielle: Epp(S) = m.g.zs. Voz = Vo.sin(α) D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs. La somme Ec + Epp se conserve, donc: Ec(O) + Epp(O) = Ec(S) + Epp(S) = 1/2.m.Vo2 = 1/2.m.Vs2 + m.g.zs Vo2 = Vs2 + 2.g.zs Or Vs = Vox = Vo.cos(α), d'où: Vo2 = Vo2.cos2(α) + 2.g.zs 2.g.zs = Vo2.(1 - cos2(α)) zs = 2.g 3. application numérique: Pour a = 30,0°: 15,02 x (1 - cos2(30,0)) zs = 2 x 9,81 zs = 2,87 m. Pour α= 60,0°: zs = 8,60 m. S.COUTRY correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 3 sur 6 correction Première S EABJM 4. Vitesse au point d'impact avec le sol: Au point O: Énergie cinétique: Ec(O) = 1/2.m.Vo2. Énergie potentielle: Epp(O) = 0. D'où Ec(O) + Epp(O) = 1/2.m.Vo2. Au point D: Énergie cinétique: Ec(D) = 1/2.m.VD2. Énergie potentielle: Epp(D) = 0. D'où Ec(D) + Epp(D) = 1/2.m.VD2. La somme Ec + Epp se conserve, donc: EmO = EmD 1/2.m.Vo2 = 1/2.m.VD2 Vo2 = VD2 Vo = VD La vitesse au point D est VD = 15,0m.s-1. Remarque: Vecteur vitesse au point D: voir schéma (le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire au point D). Exercice 3: la boutique de l’homme fort: 1. Référentiel, origine des espaces, origine des énergies: S.COUTRY correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 4 sur 6 correction Première S EABJM 2. Distance parcourue par le palet: Au point A Énergie cinétique: Ec(A) = 1/2.m.Vo2. Énergie potentielle: Epp(A) = m.g.yA. D'où Ec(A) + Epp(A) = 1/2.m.Vo2 + m.g.yA. Au point B (endroit de l'arrêt) Énergie cinétique: Ec(B) = 0. Énergie potentielle: Epp(B) = m.g.yB. D'où Ec(B) + Epp(B) = m.g.yB. D'autre part, le palet est soumis à 2 forces extérieures: • • Son poids . La réaction du support du plan incliné. WAB( )=0 car et la somme Ec + Epp (énergie cinétique + énergie potentielle de pesanteur) se conserve car toutes les forces extérieures (sauf le poids) effectuent un travail nul. Ec(A) + Epp(A) = Ec(B) + Epp(B) => 1/2.m.Vo2 + m.g.yA = m.g.yB => Vo2 = 2.g.(yB - yA) S.COUTRY correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 5 sur 6 correction Première S EABJM Or yB - yA = L.sin(α), d'où: Vo2 Vo2 = 2.g.L.sin(α) => L = 2.g.sin(α) 5,002 => L = 2 x 10 x sin(20) => L = 3,73 m. 3. Pourquoi la distance parcourue est-elle inférieure? Il existe en fait des forces de frottements dont le travail n'est pas nul. la somme Ec + Epp (énergie mécanique) n'est pas constante. Soit ΔEm la variation d'énergie mécanique du palet ΔEm = EmB - EmA => => => => => ΔEm = EcB + EpB -EcA - EpA ΔEm = m.g.yB - m.g.yA - 1/2.m.Vo2 ΔEm = m.g.(yB - yA) - 1/2.m.Vo2 ΔEm = m.g.L.sin(a) - 1/2.m.Vo2 ΔEm = m.(g.L.sin(a) - Vo2/2) Application numérique: ΔEm = 5 x (9,81 x 2,5 x sin(20) - 52/2) => ∆Em = -20,6 J. Travail des forces de frottements: Soit la résultante de forces de frottements. Le travail de est égal à la variation d'énergie mécanique. W( ) = ΔEm => W( ) = -20,6 J. Résultante des forces de frottements: effectue un travail résistant et W( ) = - f.L, d'où: - (-20,6) - W( ) f= => f L S.COUTRY = => f = 8,24N. 2,5 correction des exercices sur le travail et l’énergie Page 6 sur 6