3e – Révisions Systèmes d`équations

3e – Révisions Systèmes d’équations
Exercice 1
Résoudre par substitution les systèmes suivants :
3x − 5y = 27
x + 3y = − 5 
3x + y = − 16
− 4x + 2y = 28 
3x − y = 2
− 5x + 2y = − 2
Exercice 2
Résoudre par combinaisons les systèmes suivants :
5x + 4y = 7
2x + 7y = − 8 
4x − 7y = − 15
6x + 2y = 13 
2x − 3y = 3
− 4x + 5y = − 7
Exercice 3
Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boites.
Léa achète 6 boites et 5 albums et paie 57 €.
Hugo achète 3 boites et 7 albums et paie 55,50 €.
Quel est le prix d’une boite ? D’un album ?
Exercice 4
a) Résoudre le système suivant :
8x + 3y = 39,5
7x + 9y = 50,5
b) Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et 3 enfants, paie 39,50 €.
Le second, composé de 7 adultes et 9 enfants, paie 50,50 €.
Quel est le prix d’un ticket pour un adulte ? Pour un enfant ?
Exercice 5
Cédric joue à un jeu qui se déroule en 15 manches. S’il gagne une manche, il gagne 5 points de vie. S’il perd une manche,
il perd 3 points de vie. A la fin de la partie, Cédric a gagné 19 points de vie. Combien a-t-il gagné de manches ? Combien
en a-t-il perdues ?
Exercice 6
Au café, Sandrine et Julien entendent :
« Trois jus d’orange et cinq limonades : 18,50 € »
« Deux jus d’oranges et sept limonades : 21,50 € »
Combien le barman va-t-il leur rendre pour trois jus d’orange et deux limonades s’ils donnent un billet de vingt euros ?
Exercice 7
Au rugby, un essai transformé rapporte 7 points. Un essai non transformé rapporte 5 points et une pénalité 3 points.
a) Une équipe a marqué deux essais transformés et trois non transformés. Combien a-t-elle marqué de points ?
b) Lors de la coupe du monde 2007, l’équipe de France a marqué 87 points contre la Namibie (qui elle n’en a marqué
que 10). L’équipe de France n’a pas marqué de point de pénalité, elle a marqué 13 essais. Combien a-t-elle marqué
d’essais transformés ?

3e – Révisions Systèmes d’équations- Correction
Exercice 1
Résoudre par substitution les systèmes suivants :
3x − 5y = 27
x + 3y = − 5
3x − 5y = 27
x + 3y – 3y = − 5 − 3y
3x − 5y = 27
x = − 5 − 3y
3 (− 5 − 3y) − 5y = 27
x = − 5 − 3y
−15 − 9y − 5y = 27
x = − 5 − 3y
−15 − 14y = 27
x = − 5 − 3y
−15 − 14y + 15 = 27 + 15
x = − 5 − 3y
− 14y = 42
x = − 5 − 3y
− 14y
– 14 = 42 – 14
x = − 5 − 3y
y = – 3
x = − 5 − 3y
y = – 3
x = − 5 − 3  (– 3) = – 5 + 9 = 4
y = – 3
x = 4
Vérification :
3  4 – 5  (– 3) = 12 + 15 = 27
4 + 3  (– 3) = 4 – 9 = – 5
Le couple (4 ; -3) est la solution du
système.
3x + y = − 16
− 4x + 2y = 28
3x + y − 3x= − 16 − 3x
− 4x + 2y = 28
y = − 16 − 3x
− 4x + 2y = 28
y = − 16 − 3x
− 4x + 2 (− 16 − 3x) = 28
y = − 16 − 3x
− 4x − 32 − 6x = 28
y = − 16 − 3x
− 10x − 32 = 28
y = − 16 − 3x
− 10x − 32 + 32 = 28 + 32
y = − 16 − 3x
− 10x = 60
y = − 16 − 3x
– 10x
– 10 = 60 – 10
y = − 16 − 3x
x = – 6
y = − 16 − 3  (– 6) = – 16 + 18 = 2
x = – 6
y = 2
x = – 6
Vérification :
3  (– 6) + 2 = – 18 + 2 = – 16
– 4  (– 6) + 2  2 = 24 + 4 = 28
Le couple (-6 ; 2) est la solution du
système.
3x − y = 2
− 5x + 2y = − 2
3x − y − 3x = 2− 3x
− 5x + 2y = − 2
− y = 2− 3x
− 5x + 2y = − 2
y = − 2 + 3x
− 5x + 2y = − 2
y = − 2 + 3x
− 5x + 2  (− 2 + 3x) = − 2
y = − 2 + 3x
− 5x − 4 + 6x = − 2
y = − 2 + 3x
x − 4 = − 2
y = − 2 + 3x
x − 4 + 4 = − 2 + 4
y = − 2 + 3x
x = 2
y = − 2 + 3  2 = − 2 + 6 = 4
x = 2
y = 4
x = 2
Vérification :
3  2 – 4 = 6 – 4 = 2
– 5  2 + 2  4 = – 10 + 8 = – 2
Le couple (2 ; 4) est la solution du
système.

Exercice 2
Résoudre par combinaisons les systèmes suivants :
5x + 4y = 7
2x + 7y = − 8 
4x − 7y = − 15
6x + 2y = 13 
2x − 3y = 3
− 4x + 5y = − 7
5x + 4y = 7
2x + 7y = − 8
× 2 × 7
× (-5)  (-4)
10x + 8y = 14
-10x – 35y = 40
35x + 28y = 49
-8x – 28y = 32
-27 y = 54 27x = 81
-27y
-27 = 54 -27 27x 27 = 81 27
y= -2 x = 3
Vérification :
5  3 + 4  (-2) = 15 – 8 = 7
2  3 + 7  (-2) = 6 – 14 = -8
Le couple (3 ; -2) est la solution du système.
------------------------------------------------------------------
4x − 7y = − 15
6x + 2y = 13
× 3 × 2
× (-2)  7
12x – 21y = -45
-12x – 4y = -26
8x – 14y = -30
42x + 14y = 91
-25y = -71 50x = 61
-25y
-25 = -71 -25 50x 50 = 61 50
y= 2,84 x = 1,22
Vérification :
4  1,22 – 7  2,84 = 4,88 – 19,88 = -15
6  1,22 + 2  2,84 = 7,32 + 5,68 = 13
Le couple (1,22 ; 2,84) est la solution du système.
------------------------------------------------------------------
2x − 3y = 3
− 4x + 5y = − 7
× 2 × 5
 1  3
4x − 6y = 6
− 4x + 5y = − 7
10x − 15y = 15
− 12x + 15y = − 21
-y = -1 -2x = -6
y = 1 -2x
-2 = -6 -2
x = 3
Vérification :
2  3 – 3  1 = 6 – 3 = 3
-4  3 + 5  1 = -12 + 5 = -7
Le couple (3 ; 1) est la solution du système.

Exercice 3
Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boites.
Léa achète 6 boites et 5 albums et paie 57 €.
Hugo achète 3 boites et 7 albums et paie 55,50 €.
Quel est le prix d’une boite ? D’un album ?
Soit a le prix d’un album et b le prix d’une boite.
6a + 5b = 57
3a + 7b = 55,5
 1 × 7
× (-2) × (-5)
6a + 5b = 57
-6a – 14b = -111
42a + 35b = 399
-15a – 35b = -277,5
-9b = -54 27a = 121,5
-9b
-9 = -54 -9 27a 27 = 121,5 27
b = 6 a = 4,5
Vérification :
6  4,5 + 5 × 6 = 27 + 30 = 57
3  4,5 + 7 × 6 = 13,5 + 42 = 55,5
Un album coûte 4,5 € et une boite 6 €.
Exercice 4
a) Résoudre le système suivant :
8x + 3y = 39,5
7x + 9y = 50,5
8x + 3y = 39,5
7x + 9y = 50,5
× 7 × (-3)
× (-8)  1
56x + 21y = 276,5
-56x - 72y = -404
-24x - 9y = -118,5
7x + 9y = 50,5
-51 y = -127,5 -17x = -68
-51y
-51 = -127,5 -51 -17x -17 = -68 -17
y= 2,5 x = 4
Vérification :
8  4 + 3  2,5 = 32 + 7,5 = 39,5
7  4 + 9  2,5 = 28 + 22,5 = 50,5
Le couple (4 ; 2,5) est la solution du système.
b) Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes.
Le premier groupe, composé de 8 adultes et 3 enfants, paie 39,50 €.
Le second, composé de 7 adultes et 9 enfants, paie 50,50 €.
Quel est le prix d’un ticket pour un adulte ? pour un enfant ?
Soit x le prix d’un ticket pour un adulte et y le prix d’un ticket pour un enfant.
8x + 3y = 39,5
7x + 9y = 50,5
D’après la question précédente, on a x = 4 et y = 2,5.
(Remarque : il est inutile de refaire la résolution du système, elle a déjà été faite à la question a.)
Un ticket pour un adulte coûte 4 € et pour un enfant 2,50 €.

Exercice 5
Cédric joue à un jeu qui se déroule en 15 manches. S’il gagne une manche, il gagne 5 points de vie. S’il perd une manche,
il perd 3 points de vie. A la fin de la partie, Cédric a gagné 19 points de vie. Combien a-t-il gagné de manches ? Combien
en a-t-il perdues ?
Soit x le nombre de manches gagnées et y le nombre de manches perdues.
x + y = 15
5x – 3y = 19
 15 manches
 5x : gains 3y : pertes
x + y = 15
5x – 3y = 19
× (-5) × 3
-5x – 5y = -75
5x – 3y = 19
3x + 3y = 45
5x – 3y = 19
-8 y = -56 8x = 64
-8y
-8 = -56 -8 8x 8 = 64 8
y= 7 x = 8
Vérification :
8 + 7 = 15
5 × 8 – 3 × 7 = 40 – 21 = 19
Il a gagné 8 manches et en a perdu 7.
Exercice 6
Au café, Sandrine et Julien entendent :
« Trois jus d’orange et cinq limonades : 18,50 € »
« Deux jus d’oranges et sept limonades : 21,50 € »
Combien le barman va-t-il leur rendre pour trois jus d’orange et deux limonades s’ils donnent un billet de vingt euros ?
Soit x le prix d’un jus d’orange et y le prix d’une limonade.
3x + 5y = 18,5
2x + 7y = 21,5
× 2 × 7
× (-3) × (-5)
6x + 10y = 37
-6x – 21y = -64,5
21x + 35y = 129,5
-10x – 35y = -107,5
-11 y = -27,5 11x = 22
-11y
-11 = -27,5 -11 11x 11 = 22 11
y= 2,5 x = 2
Vérification :
3 × 2 + 5 × 2,5 = 6 + 12,5 = 18,5
2 × 2 + 7 × 2,5 = 4 + 17,5 = 21,5
Un jus d’orange coûte 2 euros et une limonade 2,50 euros.
3  2 + 2  2,5 = 6 + 5 = 11 : prix à payer pour 3 jus d’orange et 2 limonades.
20 – 11 = 9
Le barman va leur rendre 9 €.