3e – Révisions Systèmes d`équations
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3e – Révisions Systèmes d’équations Exercice 1 Résoudre par substitution les systèmes suivants : 3x − 5y = 27 3x + y = − 16 x + 3y = − 5 − 4x + 2y = 28 3x − − 5x Exercice 2 Résoudre par combinaisons les systèmes suivants : 5x + 4y = 7 4x − 7y = − 15 2x + 7y = − 8 6x + 2y = 13 2x − 3y = 3 − 4x + 5y = − y=2 + 2y = − 2 7 Exercice 3 Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boites. Léa achète 6 boites et 5 albums et paie 57 €. Hugo achète 3 boites et 7 albums et paie 55,50 €. Quel est le prix d’une boite ? D’un album ? Exercice 4 a) Résoudre le système suivant : 8x + 3y = 39,5 7x + 9y = 50,5 b) Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes. Le premier groupe, composé de 8 adultes et 3 enfants, paie 39,50 €. Le second, composé de 7 adultes et 9 enfants, paie 50,50 €. Quel est le prix d’un ticket pour un adulte ? Pour un enfant ? Exercice 5 Cédric joue à un jeu qui se déroule en 15 manches. S’il gagne une manche, il gagne 5 points de vie. S’il perd une manche, il perd 3 points de vie. A la fin de la partie, Cédric a gagné 19 points de vie. Combien a-t-il gagné de manches ? Combien en a-t-il perdues ? Exercice 6 Au café, Sandrine et Julien entendent : « Trois jus d’orange et cinq limonades : 18,50 € » « Deux jus d’oranges et sept limonades : 21,50 € » Combien le barman va-t-il leur rendre pour trois jus d’orange et deux limonades s’ils donnent un billet de vingt euros ? Exercice 7 Au rugby, un essai transformé rapporte 7 points. Un essai non transformé rapporte 5 points et une pénalité 3 points. a) Une équipe a marqué deux essais transformés et trois non transformés. Combien a-t-elle marqué de points ? b) Lors de la coupe du monde 2007, l’équipe de France a marqué 87 points contre la Namibie (qui elle n’en a marqué que 10). L’équipe de France n’a pas marqué de point de pénalité, elle a marqué 13 essais. Combien a-t-elle marqué d’essais transformés ? 3e – Révisions Systèmes d’équations- Correction Exercice 1 Résoudre par substitution les systèmes suivants : 3x − 5y = 27 x + 3y = − 5 3x − 5y = 27 x + 3y – 3y = − 5 − 3y 3x − 5y = 27 x = − 5 − 3y 3x + − 4x y = − 16 + 2y = 28 3x − − 5x y=2 + 2y = − 2 3x + − 4x y − 3x= − 16 − 3x + 2y = 28 3x − − 5x y − 3x = 2− 3x + 2y = − 2 y = − 16 − 3x − 4x + 2y = 28 3 (− 5 − 3y) x = − 5 − 3y − 5y = 27 −15 − 9y − 5y = x = − 5 − 3y 27 −15 − 14y = x = − 5 − 3y 27 −15 − 14y + x = − 5 − 3y 15 = 27 + 15 − − y = − 16 − 3x − 4x + 2 (− 16 − y = − 16 − 3x − 4x − 32 − 6x 3x) = 28 = 28 y = 2− 3x 5x + 2y = − 2 y = − 2 + 3x − 5x + 2y = − 2 y = − 2 + 3x − 5x + 2 (− 2 + 3x) = − 2 y = − 16 − 3x − 10x − 32 = 28 y = − 2 + 3x − 5x − 4 + 6x = y = − 16 − 3x − 10x − 32 + 32 y x = − 2 + 3x −4=−2 = 28 + 32 −2 − 14y = 42 x = − 5 − 3y y = − 16 − 3x − 10x = 60 y x = − 2 + 3x −4+4=−2+4 − 14y = 42 – 14 – 14 x = − 5 − 3y y = − 16 − 3x – 10x = 60 – 10 – 10 y x = − 2 + 3x =2 y = – 3 x = − 5 − = − 16 − 3x =–6 =−2+32=−2+6=4 =2 3y y x y x 3 (– 3) = – 5 + 9 = 4 y x = − 16 − 3 (– 6) = – 16 + 18 = 2 =–6 y x =4 =2 y x =2 =–6 y = – 3 x = − 5 − y = – x = 4 3 Vérification : 3 4 – 5 (– 3) = 12 + 15 = 27 4 + 3 (– 3) = 4 – 9 = – 5 Le couple (4 ; -3) est la solution du système. Vérification : 3 (– 6) + 2 = – 18 + 2 = – 16 – 4 (– 6) + 2 2 = 24 + 4 = 28 Le couple (-6 ; 2) est la solution du système. Vérification : 32–4=6–4=2 – 5 2 + 2 4 = – 10 + 8 = – 2 Le couple (2 ; 4) est la solution du système. Exercice 2 Résoudre par combinaisons les systèmes suivants : 5x + 4y = 7 4x − 7y = − 15 2x + 7y = − 8 6x + 2y = 13 5x 2x + 4y = 7 + 7y = − 8 ×2 × (-5) 10x + 8y = 14 -10x – 35y = 40 ×7 (-4) 35x + 28y = 49 -8x – 28y = 32 -27 y = 54 27x = 81 -27y = 54 -27 -27 27x = 81 27 27 y= -2 x=3 Vérification : 5 3 + 4 (-2) = 15 – 8 = 7 2 3 + 7 (-2) = 6 – 14 = -8 Le couple (3 ; -2) est la solution du système. -----------------------------------------------------------------4x − 7y = − 15 6x + 2y = 13 ×3 × (-2) 12x – 21y = -45 -12x – 4y = -26 ×2 7 8x – 14y = -30 42x + 14y = 91 -25y = -71 50x = 61 -25y = -71 -25 -25 50x = 61 50 50 y= 2,84 x = 1,22 Vérification : 4 1,22 – 7 2,84 = 4,88 – 19,88 = -15 6 1,22 + 2 2,84 = 7,32 + 5,68 = 13 Le couple (1,22 ; 2,84) est la solution du système. -----------------------------------------------------------------2x − − 4x 3y = 3 + 5y = − 7 4x − − 4x 6y = 6 + 5y = − 7 -y = -1 y=1 ×2 1 ×5 3 10x − − 12x 15y = 15 + 15y = − 21 -2x = -6 -2x = -6 -2 -2 x=3 Vérification : 23–31=6–3=3 -4 3 + 5 1 = -12 + 5 = -7 Le couple (3 ; 1) est la solution du système. 2x − 3y = 3 − 4x + 5y = − 7 Exercice 3 Pour classer des photos, un magasin propose deux types de rangement : des albums ou des boites. Léa achète 6 boites et 5 albums et paie 57 €. Hugo achète 3 boites et 7 albums et paie 55,50 €. Quel est le prix d’une boite ? D’un album ? Soit a le prix d’un album et b le prix d’une boite. 6a + 5b = 57 1 ×7 3a + 7b = 55,5 × (-2) × (-5) 6a + 5b = 57 -6a – 14b = -111 42a + 35b = 399 -15a – 35b = -277,5 -9b = -54 27a = 121,5 -9b = -54 -9 -9 27a = 121,5 27 27 b=6 a = 4,5 Vérification : 6 4,5 + 5 × 6 = 27 + 30 = 57 3 4,5 + 7 × 6 = 13,5 + 42 = 55,5 Un album coûte 4,5 € et une boite 6 €. Exercice 4 a) Résoudre le système suivant : 8x + 3y = 39,5 7x + 9y = 50,5 8x 7x + 3y = 39,5 + 9y = 50,5 56x + 21y = 276,5 -56x - 72y = -404 ×7 × (-8) × (-3) 1 -24x 7x + -51 y = -127,5 - 9y = -118,5 9y = 50,5 -17x = -68 -51y = -127,5 -51 -51 -17x = -68 -17 -17 y= 2,5 x=4 Vérification : 8 4 + 3 2,5 = 32 + 7,5 = 39,5 7 4 + 9 2,5 = 28 + 22,5 = 50,5 Le couple (4 ; 2,5) est la solution du système. b) Une balade d’une heure en mer est proposée à deux groupes de touristes. Le premier groupe, composé de 8 adultes et 3 enfants, paie 39,50 €. Le second, composé de 7 adultes et 9 enfants, paie 50,50 €. Quel est le prix d’un ticket pour un adulte ? pour un enfant ? Soit x le prix d’un ticket pour un adulte et y le prix d’un ticket pour un enfant. 8x + 3y = 39,5 7x + 9y = 50,5 D’après la question précédente, on a x = 4 et y = 2,5. (Remarque : il est inutile de refaire la résolution du système, elle a déjà été faite à la question a.) Un ticket pour un adulte coûte 4 € et pour un enfant 2,50 €. Exercice 5 Cédric joue à un jeu qui se déroule en 15 manches. S’il gagne une manche, il gagne 5 points de vie. S’il perd une manche, il perd 3 points de vie. A la fin de la partie, Cédric a gagné 19 points de vie. Combien a-t-il gagné de manches ? Combien en a-t-il perdues ? Soit x le nombre de manches gagnées et y le nombre de manches perdues. x + y = 15 15 manches 5x : gains 3y : pertes 5x – 3y = 19 x + y = 15 5x – 3y = 19 × (-5) -5x – 5y = -75 5x – 3y = 19 ×3 3x 5x -8 y = -56 + 3y = 45 – 3y = 19 8x = 64 -8y -56 = -8 -8 8x 64 = 8 8 y= 7 x=8 Vérification : 8 + 7 = 15 5 × 8 – 3 × 7 = 40 – 21 = 19 Il a gagné 8 manches et en a perdu 7. Exercice 6 Au café, Sandrine et Julien entendent : « Trois jus d’orange et cinq limonades : 18,50 € » « Deux jus d’oranges et sept limonades : 21,50 € » Combien le barman va-t-il leur rendre pour trois jus d’orange et deux limonades s’ils donnent un billet de vingt euros ? Soit x le prix d’un jus d’orange et y le prix d’une limonade. 3x 2x + 5y = 18,5 + 7y = 21,5 6x + 10y = 37 -6x – 21y = -64,5 ×2 × (-3) ×7 × (-5) 21x + 35y = 129,5 -10x – 35y = -107,5 -11 y = -27,5 11x = 22 -11y -27,5 = -11 -11 11x 22 = 11 11 y= 2,5 x=2 Vérification : 3 × 2 + 5 × 2,5 = 6 + 12,5 = 18,5 2 × 2 + 7 × 2,5 = 4 + 17,5 = 21,5 Un jus d’orange coûte 2 euros et une limonade 2,50 euros. 3 2 + 2 2,5 = 6 + 5 = 11 : prix à payer pour 3 jus d’orange et 2 limonades. 20 – 11 = 9 Le barman va leur rendre 9 €. Exercice 7 Au rugby, un essai transformé rapporte 7 points. Un essai non transformé rapporte 5 points et une pénalité 3 points. a) Une équipe a marqué deux essais transformés et trois non transformés. Combien a-t-elle marqué de points ? 2 × 7 + 3 × 5 = 14 + 15 = 29 Elle marque 29 points. b) Lors de la coupe du monde 2007, l’équipe de France a marqué 87 points contre la Namibie (qui elle n’en a marqué que 10). L’équipe de France n’a pas marqué de point de pénalité, elle a marqué 13 essais. Combien a-t-elle marqué d’essais transformés ? Soit x le nombre d’essais transformés et y le nombre d’essais non transformés par la France. x + y = 13 La France a marqué 13 essais Points marqués 7x + 5y = 87 x + y = 13 7x + 5y = 87 -7x – 7y = -91 7x + 5y = 87 × (-7) × (-5) -5x – 5y = -65 7x + 5y = 87 -2y = -4 -2y -4 = -2 -2 2x = 22 2x 22 = 2 2 y= 2 x = 11 Vérification : 11 + 2 = 13 7 × 11 + 5 × 2 = 77 + 10 = 87 La France a marqué 11 essais transformés et 2 non transformés.
