Spécialité Terminale S IE3 PPCM

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2010-2011
1
Exercice 1 : /4
a)
Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108.
Exercice 2 : Nombres de Mersenne /6
a)
Le nombre 2
11
–
1 est
-
il premier
?
b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme :
S = 1 + 2
p
+ 2
2p
+ 2
3p
+ … + 2
(q-1)p
peut-elle encore s'écrire ?
c) En déduire que 2
pq
 1 [2
p
– 1].
d) Démontrer que 2
pq
– 1 est divisible par les deux nombres 2
p
– 1 et 2
q
– 1.
e) En déduire (par contraposition) que si le nombre 2
n
– 1 est premier alors n est lui-même premier.
f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse.
Les nombres premiers de la forme 2
n
– 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
Spécialité Terminale S IE5 PPCM – PGCD – Nombres premiers S2 2010-2011
Exercice 1 : /4
a)
Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72.
Exercice 2 : Nombres de Mersenne /6
Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2
p
–
1, avec p
entier
naturel.
a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ a
n-1
.
b) Montrer que, par contraposition que, si a
n
– 1 est un nombre premier, alors a = 2.
c) Montrer, que si n est composé, alors 2
n
– 1 est composé.
Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2
m
+ 2
2m
+ …. + 2
(l-1)m
d) En déduire une condition nécessaire pour que 2
n
– 1 soit premier
e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple.
f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers.

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2010-2011
CORRECTION
2
Exercice 1 : /4
g)
Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108.
h) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108.
a)
Les diviseurs positifs de 108 sont
:
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 12 - 18 - 27 - 36 - 54 – 108.
b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y)
g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk
On a donc g(k – 3) = 108
Donc g est un diviseur de 108 compris entre 10 et 15 : donc g = 12
On en déduit k = 108
12 + 3 = 12 puis que p = 12×12 = 144
Si PGCD(x ;y) = 12 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤ y’) tels que x=12x’
et y=12y’.
On a donc xy = 144x’y’ = pg = 12×144
D’où : x’y’ = 12
On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;12) ;(3 ;4) } (2 ;6) ne convient pas car 2 et 6 ne sont pas premiers
entre eux.
Si x’ = 1 et y’ = 12 alors x = 12 et y = 144
Si x’ = 3 et y’ = 4 alors x = 36 et y = 48
Les couples (x ;y) cherchés sont donc (12 ;144) et (36 ;48)
Exercice 2 : Nombres de Mersenne /6
a)
Le nombre 2
11
–
1 est
-
il premier
?
b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme :
S = 1 + 2
p
+ 2
2p
+ 2
3p
+ … + 2
(q-1)p
peut-elle encore s'écrire ?
c) En déduire que 2
pq
 1 [2
p
– 1].
d) Démontrer que 2
pq
– 1 est divisible par les deux nombres 2
p
– 1 et 2
q
– 1.
e) En déduire que si le nombre 2
n
– 1 est premier alors n est lui-même premier.
f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse.
Les nombres premiers de la forme 2
n
– 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
a)
2
11
–
1 = 2047 = 23
×
89 n’est pas un nombre premier.
b) On reconnait la somme des q premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 2
p
.
Donc S = 2
pq
- 1
2
p
- 1
c) On a 2
pq
– 1 = S×(2
p
– 1) avec S étant un nombre entier.
Donc 2
p
– 1 divise 2
pq
– 1.
Donc 2
pq
 1 [2
p
– 1]
d) On a déjà montré dans la question précédente que 2
p
– 1 divise 2
pq
– 1.
En considérant S’ = 1 + 2
q
+ 2
2q
+ 2
3q
+ … + 2
(p-1)q
somme des q premiers termes de la suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 2
q
, on obtient :
2
pq
– 1 = S’×(2
q
– 1) (S’ est un entier)

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S1 2010-2011
CORRECTION
3
Donc 2
q
–
1 divise aussi 2
pq
–
1
.
e) Montrons que si n est composé alors 2
n
– 1 est aussi composé.
Si n est composé alors il existe deux entiers p et q tels que n = pq avec p ≥2 et q ≥ 2.
On a montré dans la question précédente que 2
p
– 1 et 2
q
– 1 sont deux diviseurs de 2
n
– 1
différents de 1 et de 2
n
– 1.
Donc 2
n
– 1 est composé.
Par contraposition, on en déduit que si 2
n
– 1 est premier alors n est premier.
f) La réciproque est fausse car 2
11
– 1 est composé alors que 11 est premier.

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S2 2010-2011
CORRECTION
4
Exercice 1 : /4
a)
Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72.
a)
Les diviseurs positifs de
72
sont
:
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 9 - 12 - 18 - 24 - 36 – 72.
b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y)
g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk
On a donc g(k – 4) = 108
Donc g est un diviseur de 72 compris entre 30 et 40 : donc g = 36
On en déduit k = 72
36 + 4 = 6 puis que p = 36×6 = 216
Si PGCD(x ;y) = 36 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤y’) tels que x = 36x’
et y = 36y’.
On a donc xy = 36²x’y’ = pg = 36×216
D’où : x’y’ = 6
On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;6) ;(2 ;3) }
Si x’ = 1 et y’ = 6 alors x = 36 et y = 216
Si x’ = 2 et y’ = 3 alors x = 72 et y = 108
Les couples (x ;y) cherchés sont donc (36 ;216) et (72 ;108)
Exercice 2 : Nombres de Mersenne /4
Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2
p
–
1, avec p entier naturel.
a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ a
n-1
.
b) Soit a un entier naturel différent de 1
Montrer que, par contraposition que, si a
n
– 1 est un nombre premier, alors a = 2.
c) Montrer, que si n est composé, alors 2
n
– 1 est composé.
Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2
m
+ 2
2m
+ …. + 2
(l-1)m
d) En déduire une condition nécessaire pour que 2
n
– 1 soit premier
e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple.
f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers.
a)
On reconnait la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison a.
On a donc : 1 + a + ….+ a
n-1
= a
n
– 1
a - 1 pour a ≠ 1.
b) Montrons que si a est différent de 1 et de 2 alors pour n ≥ 2 a
n
– 1 est composé.
Si a ≠ 2, alors a
n
– 1 = (a – 1)×( 1 + a + ….+ a
n-1
)
Si a ≠ 2 alors a – 1 ≠ 1 et a – 1 ≠ a
n
– 1 (car n ≠ 1)
Donc a – 1 divise a
n
– 1
Et par suite, a
n
– 1 est composé.
Par contraposition, on déduit que si a
n
– 1 est premier alors a= 2.
c) Si n est composé ; il existe deux entiers l et m tels que n = l×m (avec n ≠ m et m > 1).

Spécialité Terminale S IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers S2 2010-2011
CORRECTION
5
1 + 2
m
+ 2
2m
+ …. + 2
(l
-
1)m
est la somme des l premiers termes de la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison 2
m
.
On a donc 1 + 2
m
+ 2
2m
+ …. + 2
(l-1)m
= 2
ml
– 1
2
m
- 1
On en déduit que : 2
n
– 1 = (2
m
- 1)×( 1 + 2
m
+ 2
2m
+ …. + 2
(l-1)m
)
Donc 2
m
– 1 est un diviseur de 2
n
– 1 différent de 1 et de 2
n
– 1.
Donc 2
n
– 1 est composé.
d) Par contraposition de la propriété de la question précédente, on obtient la condition
nécessaire suivante :
2
n
– 1 est premier si n est premier.
e) 11 est premier et pourtant 2
11
– 1 = 2047 = 23×89 n’est pas premier.
La condition précédente n’est pas suffisante.
f) Pour n = 2, 2
2
– 1 = 3 est premier
Pour n = 3, 2
3
– 1 = 7 est premier
Pour n = 5, 2
5
– 1 = 31 est premier
Pour n = 7, 2
7
– 1 = 127 est premier
(Pour n = 13, 2
13
– 1 = 8191 est premier)