Spécialité Terminale S IE3 PPCM

Spécialité Terminale S
IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers
S1 2010-2011
Exercice 1 :
a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108.
/4
Exercice 2 : Nombres de Mersenne
/6
11
a) Le nombre 2 – 1 est-il premier ?
b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme :
S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2(q-1)p
peut-elle encore s'écrire ?
c) En déduire que 2pq  1 [2p – 1].
d) Démontrer que 2pq – 1 est divisible par les deux nombres 2p – 1 et 2q – 1.
e) En déduire (par contraposition) que si le nombre 2n – 1 est premier alors n est lui-même premier.
f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse.
Les nombres premiers de la forme 2n – 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
Spécialité Terminale S
IE5 PPCM – PGCD – Nombres premiers
S2
2010-2011
Exercice 1 :
a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72.
/4
Exercice 2 : Nombres de Mersenne
/6
p
Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2 – 1, avec p entier
naturel.
a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ an-1.
b) Montrer que, par contraposition que, si an – 1 est un nombre premier, alors a = 2.
c) Montrer, que si n est composé, alors 2n – 1 est composé.
Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2m
+ 22m + …. + 2(l-1)m
d) En déduire une condition nécessaire pour que 2n – 1 soit premier
e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple.
f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers.
1
Spécialité Terminale S
IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers
CORRECTION
S1 2010-2011
Exercice 1 :
/4
g) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 108.
h) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 10 et 15 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 3×PGCD(x ;y) = 108.
a) Les diviseurs positifs de 108 sont :
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 9 - 12 - 18 - 27 - 36 - 54 – 108.
b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y)
g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk
On a donc g(k – 3) = 108
Donc g est un diviseur de 108 compris entre 10 et 15 : donc g = 12
108
On en déduit k =
+ 3 = 12 puis que p = 12×12 = 144
12
Si PGCD(x ;y) = 12 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤ y’) tels que x=12x’
et y=12y’.
On a donc xy = 144x’y’ = pg = 12×144
D’où : x’y’ = 12
On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;12) ;(3 ;4) }
(2 ;6) ne convient pas car 2 et 6 ne sont pas premiers
entre eux.
Si x’ = 1 et y’ = 12 alors x = 12 et y = 144
Si x’ = 3 et y’ = 4 alors x = 36 et y = 48
Les couples (x ;y) cherchés sont donc (12 ;144) et (36 ;48)
Exercice 2 : Nombres de Mersenne
a) Le nombre 211 – 1 est-il premier ?
b) Si p et q sont deux entiers naturels non nuls, comment la somme :
S = 1 + 2p + 22p + 23p + … + 2(q-1)p
peut-elle encore s'écrire ?
c) En déduire que 2pq  1 [2p – 1].
d) Démontrer que 2pq – 1 est divisible par les deux nombres 2p – 1 et 2q – 1.
e) En déduire que si le nombre 2n – 1 est premier alors n est lui-même premier.
f) La réciproque est-elle vraie ? Justifier la réponse.
Les nombres premiers de la forme 2n – 1 sont appelés nombres premiers de Mersenne.
/6
a) 211 – 1 = 2047 = 23×89 n’est pas un nombre premier.
b) On reconnait la somme des q premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison 2p.
2pq - 1
Donc S = p
2 -1
pq
c) On a 2 – 1 = S×(2p – 1) avec S étant un nombre entier.
Donc 2p – 1 divise 2pq – 1.
Donc 2pq  1 [2p – 1]
d) On a déjà montré dans la question précédente que 2p – 1 divise 2pq – 1.
En considérant S’ = 1 + 2q + 22q + 23q + … + 2(p-1)q somme des q premiers termes de la suite
géométrique de premier terme 1 et de raison 2q, on obtient :
2pq – 1 = S’×(2q – 1) (S’ est un entier)
2
Spécialité Terminale S
IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers
CORRECTION
S1 2010-2011
Donc 2q – 1 divise aussi 2pq – 1.
e) Montrons que si n est composé alors 2n – 1 est aussi composé.
Si n est composé alors il existe deux entiers p et q tels que n = pq avec p ≥2 et q ≥ 2.
On a montré dans la question précédente que 2p – 1 et 2q – 1 sont deux diviseurs de 2n – 1
différents de 1 et de 2n – 1.
Donc 2n – 1 est composé.
Par contraposition, on en déduit que si 2n – 1 est premier alors n est premier.
f) La réciproque est fausse car 211 – 1 est composé alors que 11 est premier.
3
Spécialité Terminale S
IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers
CORRECTION
S2 2010-2011
Exercice 1 :
a) Déterminer tous les entiers naturels qui divisent 72.
b) Déterminer tous les couples (x ;y) d’entiers naturels avec x ≤ y dont le PGCD est strictement
compris entre 30 et 40 et qui vérifient PPCM(x ;y) - 4×PGCD(x ;y) = 72.
/4
a) Les diviseurs positifs de 72 sont :
1 - 2 - 3 - 4 - 6 - 8 - 9 - 12 - 18 - 24 - 36 – 72.
b) On pose p = PPCM(x ;y) et g = PGCD(x ;y)
g divise p ; donc il existe k entier tel que p = gk
On a donc g(k – 4) = 108
Donc g est un diviseur de 72 compris entre 30 et 40 : donc g = 36
72
+ 4 = 6 puis que p = 36×6 = 216
On en déduit k =
36
Si PGCD(x ;y) = 36 alors il existe x’ et y’ entiers premiers entre eux (avec x’ ≤y’) tels que x = 36x’
et y = 36y’.
On a donc xy = 36²x’y’ = pg = 36×216
D’où : x’y’ = 6
On a donc (x’ ;y’) ∈ {(1 ;6) ;(2 ;3) }
Si x’ = 1 et y’ = 6 alors x = 36 et y = 216
Si x’ = 2 et y’ = 3 alors x = 72 et y = 108
Les couples (x ;y) cherchés sont donc (36 ;216) et (72 ;108)
Exercice 2 : Nombres de Mersenne
/4
p
Les nombres de Mersenne sont les nombres premiers de la forme N = 2 – 1, avec p entier naturel.
a) Pour a différent de 1 et n entier au moins égal à 2, simplifier la somme 1 + a + ….+ an-1.
b) Soit a un entier naturel différent de 1
Montrer que, par contraposition que, si an – 1 est un nombre premier, alors a = 2.
c) Montrer, que si n est composé, alors 2n – 1 est composé.
Indication : on pourra en supposant que n est composé, écrire n = l×m et simplifier la somme 1 + 2m
+ 22m + …. + 2(l-1)m
d) En déduire une condition nécessaire pour que 2n – 1 soit premier
e) Montrer que cette condition n’est pas suffisante en fournissant un contre-exemple.
f) Donner la liste des 4 premiers nombres de Mersenne premiers.
a) On reconnait la somme des n premiers termes de la suite géométrique de premier terme 1 et de
raison a.
an – 1
On a donc : 1 + a + ….+ an-1 =
pour a ≠ 1.
a-1
b) Montrons que si a est différent de 1 et de 2 alors pour n ≥ 2 an – 1 est composé.
Si a ≠ 2, alors an – 1 = (a – 1)×( 1 + a + ….+ an-1)
Si a ≠ 2 alors a – 1 ≠ 1 et a – 1 ≠ an – 1 (car n ≠ 1)
Donc a – 1 divise an – 1
Et par suite, an – 1 est composé.
Par contraposition, on déduit que si an – 1 est premier alors a= 2.
c) Si n est composé ; il existe deux entiers l et m tels que n = l×m (avec n ≠ m et m > 1).
4
Spécialité Terminale S
IE3 PPCM – PGCD – Nombres premiers
CORRECTION
S2 2010-2011
1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m est la somme des l premiers termes de la suite géométrique de premier
terme 1 et de raison 2m.
2ml – 1
m
2m
(l-1)m
On a donc 1 + 2 + 2 + …. + 2
= m
2 -1
n
m
On en déduit que : 2 – 1 = (2 - 1)×( 1 + 2m + 22m + …. + 2(l-1)m)
Donc 2m – 1 est un diviseur de 2n – 1 différent de 1 et de 2n – 1.
Donc 2n – 1 est composé.
d) Par contraposition de la propriété de la question précédente, on obtient la condition
nécessaire suivante :
2n – 1 est premier si n est premier.
e) 11 est premier et pourtant 211 – 1 = 2047 = 23×89 n’est pas premier.
La condition précédente n’est pas suffisante.
f) Pour n = 2, 22 – 1 = 3 est premier
Pour n = 3, 23 – 1 = 7 est premier
Pour n = 5, 25 – 1 = 31 est premier
Pour n = 7, 27 – 1 = 127 est premier
(Pour n = 13, 213 – 1 = 8191 est premier)
5