Fiche de soutien Qu`est-ce que des figures équivalentes ? Pour

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géométrie – CST
Les figures équivalentes
p. 68 à 80
Fiche de soutien
Qu’est-ce que des figures équivalentes ?
Pour définir correctement des figures équivalentes, il faut considérer les trois cas possibles
de figures géométriques : les figures en une seule dimension (traits ou lignes), les figures
en deux dimensions (figures planes) et les figures en trois dimensions (solides).
• Pour que deux traits soient dits équivalents, ils doivent avoir la même longueur.
Exemple : Les deux traits ci-dessous mesurent 5 cm.
• Pour que deux figures planes soient dites équivalentes, elles doivent avoir la même aire.
Exemple : Les deux figures ci-dessous ont une aire de 12 unités carrées.
• Pour que deux solides soient dits équivalents, ils doivent avoir le même volume.
Exemple : Les deux solides ci-dessous ont un volume de 4 unités cubes.

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Fiche de soutien (suite)
Comment déterminer si des figures sont équivalentes ?
• Méthode du calcul de la longueur, de l’aire ou du volume, selon le cas
Il suffit de calculer la mesure demandée pour les deux figures et vérifier si c’est la même
dans les deux cas.
• Méthode de décomposition et de superposition
Il s’agit de décomposer la première figure et de construire la seconde à l’aide de tous
les éléments de la décomposition.
Exemple : Montrer que les deux solides illustrés ci-dessous sont équivalents.
Réponse :
Quelques propriétés concernant les figures équivalentes
• De tous les polygones équivalents à n côtés, c’est le polygone régulier qui a le plus
petit périmètre.
• De deux polygones réguliers convexes équivalents, c’est le polygone ayant le plus de côtés
qui a le plus petit périmètre. (À la limite, c’est le cercle équivalent qui a le plus petit
périmètre.)
• De tous les prismes à base rectangulaire de même aire totale, c’est le cube qui a le plus
grand volume.
• De tous les prismes à base rectangulaire de même volume, c’est le cube qui a la plus petite
aire totale.
• De tous les solides de même aire totale, c’est la boule qui a le plus grand volume.
• De tous les solides de même volume, c’est la boule qui a la plus petite aire totale.

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Fiche de soutien (suite)
1. À l’aide de la méthode de décomposition et de superposition, montrez que les figures
ci-dessous sont équivalentes.
a)
Les figures sont équivalentes. Démarche :
b)
Les figures sont équivalentes. Démarche :
2. Sachant que les droites d1 et d2 sont parallèles, montrez que les trois triangles ci-dessous
sont équivalents.
Les trois triangles sont équivalents. Démarche :
L’aire d’un triangle est donnée par , où b est la mesure de la base et h la mesure
de la hauteur.
Les trois triangles ont la même base, selon la représentation ci-dessus.
Ils ont également la même hauteur, car d1 et d2 sont des droites parallèles et la distance
entre ces deux droites représente la hauteur des trois triangles.
Les trois triangles ont donc la même aire.
Par conséquent, ils sont équivalents.

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Fiche de soutien (suite)
3. Observez bien le carré ci-contre. Quelle est la mesure des côtés
d’un triangle équilatéral qui serait considéré comme équivalent
à ce carré ?
La mesure des côtés d’un triangle équilatéral qui est équivalent
au carré est d’environ 7,6 cm. Démarche :
L’aire du carré est de 25 cm2, soit Acarré = 5 × 5.
L’aire du triangle équilatéral doit également être de 25 cm2.
On sait que Atriangle = . On a donc = 25.
Par la relation de Pythagore, on sait que + h2 = b2.
On peut exprimer h en fonction de b et on obtient :
L’aire du triangle peut alors s’écrire en fonction de la variable b.
= 25 ⇒ = 25 ⇒ b2 = ⇒ b = ⇒ b ≈ 7,5984 cm
4. Observez bien le prisme à base rectangulaire ci-contre.
a) Quelle est la mesure du rayon d’une boule équivalente
à ce prisme ?
Le rayon d’une boule équivalente au prisme est
d’environ 5,64 cm. Démarche :
Le volume du prisme est de 750 cm3, soit
Vprisme = 5 × 15 × 10.
Le volume de la boule doit également être de 750 cm3.
On sait que Vboule = . On a donc = 750.
Il suffit d’isoler la variable r.
= 750 ⇒ 4
π r3 = 2250 ⇒ r3 = ⇒ r = ⇒
r ≈ 5,6363 cm
b) Sans faire de calculs, nommez le solide ayant la plus petite aire.
La boule.

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Exercices supplémentaires
1. Dans chaque groupe de figures ci-dessous, déterminez lesquelles sont des figures
équivalentes.
a)
Les figures 1 et 3 sont équivalentes, de même que les figures 2 et 4.
b)
Les figures 1 et 2 sont équivalentes.
c)
Les figures 1 et 5 sont équivalentes, de même que les figures 3 et 4.
2. Un rectangle mesure 10 cm sur 4 cm. Quelles sont les dimensions du carré ayant la même
aire que ce rectangle ?
Les côtés du carré mesurent environ 6,32 cm. Démarche :
L’aire du rectangle est de 40 cm, soit 10 × 4.
L’aire du carré doit également être de 40 cm.
On sait que Acarré = c2.
On a donc c2 = 40.
D’où c ≈ 6,3246 cm, soit c = .