liste des démonstrations exigibles en TS et des ROC posées au bac

Liste des démonstration figurant dans la colonne capacités attendues
dans le programme de TS
Suites
1- Théorème de comparaison
Démontrer que si
(un)
et
(vn)
sont deux suites telles que :
-
un
est inférieur ou égal à
vn
à partir d’un certain rang ;
-
un
tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ ;
alors
vn
tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞.
2- Limite suite géométrique
Démontrer que la suite ( qn), avec q >1, a pour limite + ∞.
Rq : Les démonstrations suivantes, quoique ne figurant pas dans la colonne capacités attendues, figurent au
programme :
- Majoration d’une suite croissante et convergente
On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite L, alors tous les termes de la suite sont
inférieurs ou égaux à L.
- Suite croissante non majorée
Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite + ∞.
Fonction exponentielle
3-Unicité
Démontrer l’unicité d’une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.
4- Limites
Démontrer que
lim
x→+∞ ex=+∞
et
lim
x→−∞ ex=0
Rq: Une autre peut tomber:http://www.apmep.fr/IMG/pdf/BacSAmeriqueduNordmai2012.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AmeriqueSudS_nov-_2012.pdf
Intégration
Aucune démonstration exigible directement mais deux démonstrations figurent au programme dans la
colonne commentaire :
Théorème :
« Soit f est une fonction continue et positive sur [a ;b]. La fonction F définie sur [a ;b] par
( )
( )
x
a
F x f t dt=ò
est dérivable sur [a ;b] et a pour dérivée f. »
Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas
où f est positive et croissante.
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d’un intervalle fermé borné, en admettant que la
fonction a un minimum.
Complexes :
Pas de démonstration explicitement au programme mais ça n'empêche pas les sujets :
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_S_19_juin_2014.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/PondicheryS18avril2012.pdf

Espace :
I Géométrie vectorielle
Une démonstration dans la colonne commentaire, aucune dans la colonne capacité attendues
Théorème du toit : Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit « du toit ».
II Produit scalaire
5- Equation de plan
Caractériser les points d’un plan de l’espace par une relation ax + by + cz + d = 0 avec a , b , c trois
nombres réels non tous nuls.
6- Orthogonalité droite et plan
Démontrer qu’une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de ce plan.
Probabilité :
I Conditionnement, indépendance
7- Indépendance
Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour A et
B
.
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Polynesie_S_13_juin_2014.pdf
II Notion de loi à densité à partir d’exemples
8- Espérance de loi exponentielle
Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est
1
l
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asie_S_16_juin_2015.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Antilles_22_juin_2015.pdf
Plusieurs sujets demandent aussi de démontrer les formules donnant
P(X⩾a)
ou
P(X⩽a)
ou
P(a⩽X⩽b)
: Début du sujet http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Metropole_22_juin_2015-2---copie.pdf
et partie C de http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_S_20_juin_2016.pdf ou encore dans la partie B de
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Antilles-Guyane_S_20_juin_2016.pdf où on retrouve aussi la démonstration suivante
qui figure seulement dans la colonne commentaire du programme:
Loi exponentielle sans mémoire
On y démontre qu’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie
sans vieillissement. C'est aussi le cas dans les sujets: http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Pondichery_S_avril_2014.pdf
et http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Amerique_Sud_S_22_nov_2016.pdf .
9- Seuil avec précision α pour loi normale centrée réduite N (0,1)
Démontrer que pour α ∈] 0,1 [ , il existe un unique réel positif u α tel que P (− u α ≤ X ≤ u α )= 1 −α lorsque X
suit la loi normale N (0,1).
III Intervalle de fluctuation et estimation
10-Expression d’un intervalle de fluctuation asymptotique
Démontrer que si la variable aléatoire Xn suit la loi B (n, p), alors, pour tout α dans ]0,1[ on a :
lim
n→+∞
P
(
Xn
n∈
]
p−uα
√
p(1−p)
√
n; p +uα
√
p(1−p)
√
n
[
)
=1−α
soit :
lim 1
n
n
n
X
P I
n
a
®+¥
æ ö
Î = -
ç ÷
è ø
où In désigne
l’intervalle
(1 ) (1 )
;
p p p p
p u p u
n n
a a
é ù
- -
- +
ê ú
ê ú
ë û
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Caledonie_mars_2014.pdf
Rq : La version simplifiée (intervalle de fluctuation de seconde) a aussi donné lieu à une question :
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Antilles_Guyane_2013.pdf