liste des démonstrations exigibles en TS et des ROC posées au bac

Liste des démonstration figurant dans la colonne capacités attendues
dans le programme de TS
Suites
1- Théorème de comparaison
Démontrer que si (un ) et (v n ) sont deux suites telles que :
- un est inférieur ou égal à v n à partir d’un certain rang ;
- un tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞ ;
alors v n tend vers + ∞ quand n tend vers + ∞.
2- Limite suite géométrique
Démontrer que la suite ( qn), avec q >1, a pour limite + ∞.
Rq : Les démonstrations suivantes, quoique ne figurant pas dans la colonne capacités attendues, figurent au
programme :
- Majoration d’une suite croissante et convergente
On démontre que si une suite est croissante et admet pour limite L, alors tous les termes de la suite sont
inférieurs ou égaux à L.
- Suite croissante non majorée
Il est intéressant de démontrer qu’une suite croissante non majorée a pour limite + ∞.
Fonction exponentielle
3-Unicité
Démontrer l’unicité d’une fonction dérivable sur R, égale à sa dérivée et qui vaut 1 en 0.
4- Limites
Démontrer que
x
x
lim e =+∞ et lim e =0
x →+∞
x →−∞
Rq: Une autre peut tomber:http://www.apmep.fr/IMG/pdf/BacSAmeriqueduNordmai2012.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/AmeriqueSudS_nov-_2012.pdf
Intégration
Aucune démonstration exigible directement mais deux démonstrations figurent au programme dans la
colonne commentaire :
Théorème :
x
« Soit f est une fonction continue et positive sur [a ;b]. La fonction F définie sur [a ;b] par F ( x) = ò f ( t ) dt
a
est dérivable sur [a ;b] et a pour dérivée f. »
Il est intéressant de présenter le principe de la démonstration du théorème dans le cas
où f est positive et croissante.
Théorème : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.
Il est intéressant de démontrer ce théorème dans le cas d’un intervalle fermé borné, en admettant que la
fonction a un minimum.
Complexes :
Pas de démonstration explicitement au programme mais ça n'empêche pas les sujets :
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_S_19_juin_2014.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/PondicheryS18avril2012.pdf
Espace :
I Géométrie vectorielle
Une démonstration dans la colonne commentaire, aucune dans la colonne capacité attendues
Théorème du toit : Il est intéressant de présenter la démonstration du théorème dit « du toit ».
II Produit scalaire
5- Equation de plan
Caractériser les points d’un plan de l’espace par une relation ax + by + cz + d = 0 avec a , b , c trois
nombres réels non tous nuls.
6- Orthogonalité droite et plan
Démontrer qu’une droite est orthogonale à toute droite d’un plan si et seulement si elle est orthogonale à
deux droites sécantes de ce plan.
Probabilité :
I Conditionnement, indépendance
7- Indépendance
Démontrer que si deux événements A et B sont indépendants, alors il en est de même pour A et B .
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Polynesie_S_13_juin_2014.pdf
II Notion de loi à densité à partir d’exemples
8- Espérance de loi exponentielle
Démontrer que l’espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ est
1
l
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Asie_S_16_juin_2015.pdf et
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Antilles_22_juin_2015.pdf
Plusieurs sujets demandent aussi de démontrer les formules donnant P( X ⩾a) ou P( X ⩽a) ou
P(a⩽X⩽b) : Début du sujet http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Metropole_22_juin_2015-2---copie.pdf
et partie C de http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Metropole_S_20_juin_2016.pdf ou encore dans la partie B de
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Antilles-Guyane_S_20_juin_2016.pdf où on retrouve aussi la démonstration suivante
qui figure seulement dans la colonne commentaire du programme:
Loi exponentielle sans mémoire
On y démontre qu’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle vérifie la propriété de durée de vie
sans vieillissement. C'est aussi le cas dans les sujets: http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Pondichery_S_avril_2014.pdf
et http://www.apmep.fr/IMG/pdf/Amerique_Sud_S_22_nov_2016.pdf .
9- Seuil avec précision α pour loi normale centrée réduite N (0,1)
Démontrer que pour α ∈]0,1[, il existe un unique réel positif uα tel que P(− uα ≤ X ≤ uα
suit la loi normale N (0,1).
)=1−α
lorsque X
III Intervalle de fluctuation et estimation
10-Expression d’un intervalle de fluctuation asymptotique
Démontrer que si la variable aléatoire Xn suit la loi B (n, p), alors, pour tout α dans ]0,1[ on a :
X
√p (1− p) ; p +u √p(1− p) =1−α soit : lim P æ X n Î I ö = 1 - a où I désigne
lim P n ∈ p−uα
n
n÷
α
ç
n ®+¥
n
n→+∞
√n
√n
è n
ø
( ]
[)
é
p (1 - p )
p (1 - p ) ù
; p + ua
l’intervalle ê p - ua
ú
n
n
ëê
ûú
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Caledonie_mars_2014.pdf
Rq : La version simplifiée (intervalle de fluctuation de seconde) a aussi donné lieu à une question :
http://www.apmep.fr/IMG/pdf/S_Antilles_Guyane_2013.pdf