le trébuchet et le mangonneau
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ACCUEIL Des armes du Moyen Age : mangonneau et trébuchet Frédéric Élie, août 2007 La reproduction des articles, images ou graphiques de ce site, pour usage collectif, y compris dans le cadre des études scolaires et supérieures, est INTERDITE. Seuls sont autorisés les extraits, pour exemple ou illustration, à la seule condition de mentionner clairement l’auteur et la référence de l’article. « Si vous de dites rien à votre brouillon, votre brouillon ne vous dira rien ! » Jacques Breuneval, mathématicien, professeur à l’université Aix-Marseille I, 1980 Parmi les armes de jet du Moyen Age, fort nombreuses, servant au siège et à l’attaque des forteresses et des cités, le mangonneau et le trébuchet figuraient comme les plus redoutables. Basés sur le principe du mouvement de rotation d’une poutre de bois, la verge, imprimé par le basculement d’un contrepoids, ces armes ne doivent pas être confondues avec les catapultes ou les balistes, lesquelles utilisaient l’énergie libérée par la tension élastique de ce que l’on pourrait comparer à un arc ou une arbalète géants. La verge entraîne une fronde libérant un projectile, un boulet, qui va parcourir une trajectoire parabolique d’assez grande portée (plusieurs centaines de mètres). Le mangonneau et le trébuchet sont de conception très voisine à ceci près que, pour le mangonneau, le contrepoids est fixe et bascule en même temps que la verge, tandis que dans le trébuchet, il est articulé à la verge de telle sorte que, lorsque celle-ci bascule, il conserve une position verticale ; ce dernier dispositif permet au trébuchet de projeter le boulet en minimisant les à-coups lors du mouvement de rotation de la verge. Le présent article n’a pas vocation de présenter ces armes dans le détail ni d’un point de vue historique : à ces fins, je renvoie aux sites spécialisés, notamment celui http://medieval.mrugala.net ainsi que les travaux de Renaud Beffeyte. Notre article propose d’essayer de comprendre le fonctionnement de ces machines de guerre du seul point de vue de la Mécanique du Solide, donc en recourant à la modélisation mathématique du problème. A partir d’elle il est possible de prédire la portée de maquettes de ces engins (non reproduites ici) pour les amateurs désireux de joindre les plaisirs du calcul à ceux de l’art technique médiéval. D’ailleurs, on verra très vite que les modélisations mécaniques de ces engins aboutissent à des formules assez rebutantes et font appel à tous les principes fondamentaux de la Dynamique du Solide, ce qui offre déjà en soi une belle révision dans ce domaine. Pourtant les ingénieurs (« ensgeniors ») du Moyen-Age, période pas aussi obscure qu’on voudrait le laisser croire, parvenaient à concevoir ces engins sans pratiquement aucun calcul et à l’aide de la géométrie classique héritée des Grecs (Pythagore, Thalès…), et ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 1/35 obtenaient des performances et des précisions qui nécessitent aujourd’hui l’aide de l’ordinateur pour être retrouvées… Présentation succincte du mangonneau et du trébuchet (d’après Renaud Besseyte, « les machines de siège au moyen-âge » et le site http://medieval.mrugala.net) Mangonneau : Le mangonneau est une machine de jet à contrepoids fixe formé d’une huche enfermant une masse de terre ou de pierres (voir figure ci-dessous). Il fut utilisé du douzième au quinzième siècles, et pouvait lancer des boulets de 100 kg avec une portée de 150 mètres. Le contrepoids pouvait peser plusieurs tonnes, et comme il était fixe, cette masse énorme rendait laborieux le réarmement de l’engin : plusieurs hommes (une douzaine) étaient nécessaires pour ramener l’extrémité de la verge (ou flèche) au sol de façon à obtenir le contrepoids en position haute. Très souvent, pour cela, les mangonneaux étaient équipés d’un gigantesque treuil à roue, appelé « roue de carrier », actionné par les hommes. Avec ce système, deux réarmements par heure seulement étaient possibles. Lorsque le mât est libéré, le contrepoids bascule et trouve sa position d’équilibre au plus près du sol. Sa vitesse de rotation, et donc celle de la verge, est élevée. A l’extrémité du mât, une fronde terminée par une poche à projectiles, est attachée. La fronde est entraînée avec une vitesse relativement élevée par la rotation de la verge, et communique une vitesse initiale au projectile lui permettant des portées de 150 mètres. Les mangonneaux manquaient de précision à cause du fait que le contrepoids était fixe : en effet, la terre ou les pierres disposées dans la huche se déplacent au cours de la rotation, provoquant un balourd à la fois néfaste pour le tir et pour la tenue mécanique de l’engin. C’est pour remédier à cet inconvénient que l’on eut l’idée d’utiliser un contrepoids articulé, comme c’est le cas du trébuchet : la masse de la huche ne se déplace plus puisque elle conserve une orientation constante. En outre, comme je crois le déceler dans les calculs que je vais présenter plus bas, il semblerait que l’utilisation d’un contrepoids articulé permet d’atteindre une vitesse maximale de jet plus rapidement… ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 2/35 Dessin issu de : http://medieval.mrugala.net Trébuchet : Le trébuchet obéit au même principe que le mangonneau, mais avec un contrepoids articule (voir dessin ci-après), ce qui permet d’éviter les à-coups lors du tir. Il fut utilisé du douzième au seizième siècle. Sa portée moyenne était de 200 mètres pour des boulets d’une centaine de kilogrammes. La longueur de la verge est de l’ordre de 10 à 12 mètres, et la masse du contrepoids est de 5 à 6 tonnes. La verge était faite en bois de sorbier pour ses propriétés de non déformabilité. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 3/35 Dessin issu de « les machines de siège au Moyen-Age » de Renaud Beffeyte Malgré l’apparente simplicité du mouvement de la verge et de la fronde conduisant au tir du projectile, le mangonneau et le trébuchet, dans leur fabrication, étaient des engins élaborés. La fabrication devait tenir compte de certains problèmes pratiques comme, par exemple: - comment prévenir les vibrations, parfois destructrices, du contrepoids lorsqu’il descend brusquement à son point le plus bas ? Un système de bielles était installé pour cela (voir Wikipedia pour plus de détails). - Comment faire en sorte que la poche de fronde lâche le projectile dans la bonne direction, c’est-à-dire vers l’ennemi, et non pas au-dessus des servants ou vers l’arrière ? Voici quelques éléments de réponse succincts à ce problème (issus de l’encyclopédie libre en ligne Wikipedia), ayant trait au mouvement de la fronde : Mouvement de la fronde et libération du boulet (cf. Wikipedia): Se reporter à la figure ci-après. Après avoir été libérée, la verge, sous l’action du contrepoids, se redresse pour prendre la position verticale, qui est la position d’équilibre mécanique du système. Au cours de ce mouvement de rotation de la verge, le projectile contenu dans la poche de fronde, décrit la courbe ABC. A un moment précis la fronde est parfaitement alignée avec la verge : la fronde est perpendiculaire à l’arc de cercle parcouru par la verge. On démontre (voir mes calculs plus loin), qu’à ce moment précis la vitesse de jet du boulet est maximale. Sous l’effet de la force centrifuge, proportionnelle à la longueur totale de la verge et de la fronde, le projectile s’échappera avec une vitesse élevée. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 4/35 Le point de l’arc de cercle où l’alignement verge-fronde sera obtenu est d’autant plus bas (atteint plus tôt) que la longueur de la fronde est petite : en effet, dans ce cas, la fronde effectue une rotation autour de son point d’attache plus rapide que celle de la verge, donc elle atteindre le point de prolongement plus tôt que si elle est plus longue. Dans ce cas d’une fronde trop courte, le boulet va donc s’échapper vers l’arrière, ce qui n’est pas vraiment ce qui est recherché ! Le boulet doit partir vers l’avant lorsque l’alignement de la fronde et de la verge est obtenu quand elles sont en position verticale. Pour obtenir ce résultat, il fallait donc calculer une longueur suffisante de la fronde. Malheureusement, la chose est un peu plus compliquée encore : dans cette position verticale, l’orientation de la poche de fronde est tournée vers le haut, ce qui fait que, dans ce cas, le boulet part non pas à l’horizontale mais à la verticale, montant puis retombant sur la tête des servants ! Il fallait donc trouver un moyen pour imprimer à la poche de fronde un mouvement tel que le projectile parte horizontalement vers l’avant. Ce changement d’orientation de la poche de fronde était déclenché par une secousse provoquée grâce à un sous-tendeur P (voir figure). Lorsque le projectile est lâché au moment où le sous-tendeur se tend et arrête brusquement la rotation de la fronde, il prend une trajectoire parabolique C’E. Or cet arc de parabole est moins prononcé, donc proche d’une horizontale, lorsque le sous-tendeur, fixé en R à la verge, est fixé sur la fronde en P’ le plus près possible du point d’attache de la fronde sur la verge. Ainsi, pour assurer un tir horizontal vers l’avant, on a intérêt à raidir le sous-tendeur et à l’attacher sur la fronde au plus près de son point d’attache à la verge ; une fixation trop proche de la poche conduirait à obtenir un tir avant que l’on ait atteint la position verticale, et donc dirigé plutôt vers l’arrière. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 5/35 dessin d’après Wikipedia Avant de commencer : rappel des principes de la Dynamique du Solide ! La dynamique du mangonneau et du trébuchet offre un problème assez complet de dynamique du solide, qui nécessite d’ailleurs de s’approprier la modélisation du pendule double (voir plus loin). C’est donc une excellente occasion de faire quelques révisions des principes et théorèmes de la mécanique du solide, ce qui est toujours un plaisir renouvelé ! Pour simplifier l’écriture dans le texte, les grandeurs vectorielles seront écrites en gras. Dans les formules, elles seront écrites normalement (avec des flèches). Champ de vitesse d’un solide (équiprojectivité) : Soit un solide (S) et deux points M et M’ qui lui sont solidaires (voir figure ci-après). Connaissant la vitesse de l’un d’entre eux, disons V(M) de M, on veut savoir quelle est la vitesse V(M’) de M’. Par définition d’un solide, la distance de deux points M et M’ est constante lors du mouvement du solide puisque un solide est indéformable. On a donc : à à à Il existe donc un vecteur W tel que : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 6/35 puisque, en effet, u.(v Ù u) = 0. Or : MM’ = OM’ – OM, et d/dt (MM’) = d/dt OM’ – d/dt OM = V(M’) – V(M), d’où la relation fondamentale : (1) La relation (1) définit la propriété d’équiprojectivité : la projection des vecteurs vitesse V(M’) et V(M) sur le vecteur W a même valeur : Quantité de mouvement en un point M du solide (S) et moment cinétique par rapport à un point A du point M dans le repère (R) : La quantité de mouvement du point M est la quantité vectorielle : où m est la masse en M et V(M) sa vitesse. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 7/35 Le moment cinétique en A du point M, dans le repère (R), est la quantité vectorielle : On définit la quantité d’accélération de M par la grandeur vectorielle : où G(M) = dV(M)/dt est l’accélération en M dans le repère (R). Le moment dynamique par rapport au point A de la quantité d’accélération de M est la quantité vectorielle : Si le solide est un milieu continu de masse volumique r(M) variable d’un point à l’autre, les quantités précédentes pour l’ensemble du solide sont données par les intégrales de volume : Quantité de mouvement : Quantité d’accélération : Moment cinétique du solide en A : Moment dynamique du solide en A : dv (M) étant le volume élémentaire au point M et vaut dv = dxdydz, les coordonnées x, y, z du point M n’étant pas indépendantes puisque le solide a une forme et un volume finis. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 8/35 Si les moments cinétique et dynamique sont ramenés à un point B différent de A, on a les relations de passage : On le démontre aisément en décomposant AM = AB + BM. Ces relations de passage restent valable pour l’ensemble du solide, en remplaçant M par (S). La donnée des grandeurs vectorielles ci-dessus définit deux torseurs, pour lesquels les réductions sont calculées en un point A : - le torseur cinétique, de résultante la quantité de mouvement P et de moment le moment cinétique en A, sA : - le torseur dynamique, de résultante la quantité d’accélération (ou résultante dynamique) D et de moment le moment dynamique en A, dA : Relation entre le torseur cinétique et le torseur dynamique : Les éléments de réduction en A du torseur dynamique se déduisent des éléments de réduction du torseur cinétique en A par les relations : (2a) (2b) Remarque importante : dans la relation (2b) l’égalité du moment dynamique et de la dérivée par rapport au temps du moment cinétique n’arrive que pour les cas particuliers suivants ! - si A est un point fixe O, alors : dO (S) = dsO (S)/dt (évident car V(A) = 0) si A se confond avec le centre d’inertie G du solide, alors : dG (S) = dsG (S)/dt. Cette dernière conclusion résulte immédiatement des propriétés du centre d’inertie G : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 9/35 Démontrons l’égalité (2b) : , or on a : Et d’autre part, on a : Il vient donc : Le premier terme n’est autre que dsA(S)/dt, le deuxième est identiquement nul par propriété du produit vectoriel, le troisième est égal à la quantité V(A) Ù P(S). D’où le résultat. Principe fondamental de la dynamique pour un solide : Le solide est supposé soumis à des efforts extérieurs représentés, dans un référentiel donné, par le torseur des efforts extérieurs dont les réductions en un point quelconque A sont : - la résultante des forces extérieures F(S) - le moment des efforts extérieurs MA (S) = AG Ù F(G), où G est le centre d’inertie. Énoncé du principe fondamental de la dynamique (PFD) : Il existe un référentiel galiléen (R) où les réductions en un point quelconque A du torseur des efforts extérieurs à (S), sont égales à celles du torseur dynamique : Résultante des efforts = = résultante dynamique (3a) Moment des efforts = = moment dynamique (3b) Conséquence calculatoire : pour déterminer les équations du mouvement d’un solide (S), il faut donc choisir un référentiel galiléen (R) dans lequel on écrit les éléments de réduction du torseur dynamique. Toujours dans (R) on fait, par ailleurs, le bilan des efforts extérieurs pour obtenir les éléments de réduction du torseur des efforts que l’on égalise au torseur dynamique par application du PFD. Le calcul du moment dynamique dans (R) nécessite souvent l’emploi de l’équation (2b) dans laquelle le moment cinétique est exprimé à l’aide des composantes du moment d’inertie et des relations de passage afférentes, comme on va le voir plus loin. Lorsque l’on veut calculer les quantités vectorielles, quelles qu’elles soient, dans un repère (R’) mobile par rapport à un repère galiléen (R), on doit utiliser la formule de la base mobile donnée ci-après. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 10/35 Formule de la base mobile : La formule de la base mobile résulte du fait que la base (i, j, k) reste orthonormée lorsqu’elle se déplace sous l’effet d’une rotation d’angle instantané W pour donner la nouvelle base (i’, j’, k’). En effet : i² = j² = k² = 1 ® i.di/dt = j.dj/dt = k.dk/dt = 0 il existe donc des nombres scalaires g, d, s, a, b, x tels que : di/dt = gj + dk ; dj/dt = si + ak ; dk/dt = bi + xj. les vecteurs de base étant orthogonaux i.j = 0, i.k = 0, j.k = 0, on en déduit les relations entre composantes : x = -a, b = -d, g= -s. Introduisant le vecteur rotation instantané de composantes dans (R) : on obtient les relations de Poisson : (4) On montre alors facilement que si (R’) se déduit du repère (R) par une rotation de vitesse angulaire instantanée W (R/R’), alors pour tout vecteur U, son taux de variation dans le repère ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 11/35 (R’) se déduit du taux de variation dans (R) par : (5) Preuve : La formule (5) s’applique par exemple lorsqu’on veut calculer la vitesse ou l’accélération d’un mobile dans un référentiel tournant (comme un manège) lorsqu’on connaît sa vitesse ou son accélération dans le référentiel qui lui est attaché. Moment d’inertie du solide par rapport à un point, et expression du moment cinétique avec lui : On appelle moment d’inertie du solide (S) par rapport à un point O quelconque l’application linéaire symétrique, représentée par une matrice 3x3 symétrique, qui à un vecteur W (le vecteur rotation instantanée) fait correspondre le vecteur [J O (S)]W tel que : (6) On démontre alors facilement que les composantes de la matrice moment d’inertie sont données comme suit : (6bis) avec: (6ter) On démontre le théorème d’Huygens : le moment d’inertie par rapport à un point A quelconque est obtenu à partir du moment d’inertie par rapport au centre d’inertie G du solide par la relation de passage : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 12/35 (7) où m est la masse totale du solide. Attention ! on voit trop souvent le moment d’inertie introduit directement par la relation du moment cinétique : Cette relation n’est vraie que pour certains cas particuliers (quoique fréquents) car en général le moment cinétique en un point quelconque A est égal à : à cause de la relation (1). Comme on a : , par définition du centre d’inertie G, l’expression ci-dessus devient, compte tenu de la définition du moment d’inertie en A : (8) Le second terme de (8) disparaît seulement pour les deux cas suivants : - A = G (moment cinétique par rapport au centre d’inertie G) : sG (S) = [JG (S)] W (S) - A = O (point fixe) : sO (S) = [JO (S)] W (S) La relation (8) s’écrit aussi : (8bis) Expression du moment dynamique à l’aide du moment d’inertie : Des relations (2b) et (8) on déduit : Or : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 13/35 Mais : D’où finalement : (9) Il est utile d’abord de comprendre le fonctionnement du pendule double Le pendule double est constitué de deux bras rigides rectilignes OA et AB. Le bras OA est fixé en O qui est un point fixe, mais peut se déplacer uniquement dans le plan Oxy. Le bras AB est articulé en A au bras OA et peut également uniquement se déplacer dans le plan Oxy. Les repères sont indiqués comme sur la figure suivante, les vecteurs orthonormés u et v sont rattachés au repère lié à OA, et les vecteurs orthonormés u’ et v’ sont rattachés au repère lié à AB. Le repère galiléen est (Oxy) avec sa base orthonormée i et j. Le vecteur unitaire u est porté sur OA, tandis que u’ est porté sur AB. Les angles que font OA et AB avec la verticale Ox sont respectivement a et b. Les bras OA et AB ont même longueur 2L et même masse m (pour simplifier un peu les calculs, qui sont déjà gratinés !). Leurs centres d’inertie sont respectivement G1 et G2. Pour établir les équations de la dynamique, il est commode d’écrire dans le repère galiléen les moments par rapport aux points fixes relatifs aux repères liés aux bras et au repère galiléen. Or, dans le repère galiléen le point fixe est O, et dans le repère lié à AB le point fixe est A (attention ! il ne l’est pas dans le repère galiléen Oxy). L’application du PFD dans le repère ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 14/35 galiléen fournira alors les équations différentielles sur les positions angulaires a et b. On détermine alors les torseurs des efforts dans le repère galiléen, dont les éléments de réduction sont ramenés aux points fixes O et A, sachant que les seules forces extérieures sont les poids de chaque branche : - moment des efforts par rapport au point A considéré fixe dans le repère lié à la branche AB: (10) - moment des efforts par rapport au point O, fixe dans le repère galiléen Oxy, de l’ensemble des deux branches (OA)U(AB) : (11) Développement des moments des efforts (10) et (11) : Développement de (10) : Les vecteurs de base du repère lié à AB sont : Le centre d’inertie de AB est donné dans ce repère par : Le moment des efforts devient donc : Soit: (10bis) où le vecteur unitaire k complète dans l’espace R3 le repère galiléen et est orthogonal en O aux vecteurs de base du plan Oxy avec qui il forme une base orientée dans le sens direct. Développement de (11) : Les vecteurs de base du repère lié à OA sont : Centres d’inertie : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 15/35 (11) devient alors : (11bis) D’après le PFD, dans le repère galiléen, les moments (10bis) et (11bis) sont respectivement égaux aux moments dynamiques de AB par rapport à A et de OAB par rapport à O. Il nous faut donc connaître ces moments dynamiques. Moment dynamique en A de AB dans le repère galiléen: Dans le repère lié à AB, le point A est un point fixe, par contre il ne l’est pas dans le repère galiléen. Pour calculer dans ce dernier le moment cinétique de AB en A il faut donc utiliser (8) : où est le module du vecteur vitesse instantanée de rotation de AB autour de l’axe Ak passant par l’articulation A. Le moment dynamique est alors donné par (2b) : Explicitons chaque terme : Vitesse du centre d’inertie G2 de (AB) dans le référentiel lié (Au’v’) : Vitesse de A dans le référentiel galiléen : Terme : Terme : Moment d’inertie en A de AB : dm = rdr avec dr élément de longueur de la tige et r² = x² + y², d’où ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 16/35 D’où le moment cinétique en A de (AB) dans le référentiel galiléen : (12) Dérivée par rapport au temps du moment cinétique : Moment dynamique : (13) Application du PFD pour AB dans le référentiel galiléen : Par application du PFD, l’égalité de (13) et de (10bis) donne comme première équation du mouvement : (14) Moment dynamique en O de OAB dans le repère galiléen : Le moment cinétique du solide composé OAB est la somme des moments cinétiques de ses composants mobiles, c’est-à-dire de la branche OA et de la branche AB : Calcul du moment cinétique en O de OA : le point O étant fixe, la relation (8) donne , où est le module du vecteur vitesse angulaire instantanée de OA autour de l’axe Ok. Calcul du moment cinétique en O de AB : comme O n’appartient pas à (AB), le moment cinétique en O de AB est la somme du moment cinétique de AB par rapport à son centre d’inertie G2 et du moment cinétique de celui-ci par rapport à O, ce qu’exprime la relation (8bis). Le moment cinétique de AB par rapport à G 2 fait intervenir le moment d’inertie [J G2 (AB)] = 1/3.mL² : Or : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 17/35 D’où le moment cinétique en O de (OAB) : (15) Le point O étant fixe, le moment dynamique de (OAB) en O s’obtient, à partir de (2b), en dérivant (15) par rapport au temps : (16) Application du PFD à OAB dans le référentiel galiléen : Par application du PFD, l’égalité de (16) avec (11bis) fournit une deuxième équation du mouvement : Pour faire apparaître une symétrie du même type que celle de (14), on exprime terme de l’expression ci-dessus en fonction de (14). On obtient en définitive : du deuxième (17) qui fait bien jouer à a et b des rôles symétriques par rapport à l’équation (14). Les équations (14) et (17) sont les équations du mouvement du pendule double composé de deux branches articulées identiques. Non linéaires, elles ne sont pas facilement intégrables. Elles présentent des termes de couplage entre l’évolution de l’angle a et celle de l’angle b. Le mangonneau en tant que pendule à contrepoids fixe Modèle du mangonneau sans la fronde : La figure ci-après donne les repères et les paramètres pour la modélisation simplifiée du mangonneau sans sa fronde : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 18/35 L’appareil est assimilé à une tige AOB pouvant pivoter en O dans le plan Oxy. Cette tige est terminée en B par une masse supposée ponctuelle M et le tronçon AO est assimilé à une barre homogène de longueur L et de masse m. Le tronçon OB de longueur l est supposé de masse négligeable. La position initiale est celle représentée sur le dessin : A est maintenu près du sol (par des cordes non représentées) de telle sorte que le contrepoids B est en position haute. Nous allons voir que, lorsque A est lâché, le contrepoids B bascule vers le sol moyennant une certaine condition sur la position du centre d’inertie. La position de G est donnée par : avec: et : d’où : Comme , on a en définitive : (18) Remarque : suivant les valeurs des masses et des longueurs, le centre d’inertie peut se trouver ou non en position instable. Ce qui est recherché est l’obtention d’une position instable au ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 19/35 commencement afin que le mouvement spontané du contrepoids soit une recherche d’équilibre au plus près du sol (minimisation de l’énergie potentielle). Si l’altitude de G est inférieure à celle de l’axe O, l’ensemble est dans une position proche de la stabilité : G va spontanément se positionner sur l’axe O’Oy et A, au lieu de s’élever, va encore plus s’abaisser. En revanche, si l’altitude de G est plus grande que celle de O, donc si G se trouve dans le quart supérieur droit yOx (ses coordonnées sont toutes deux positives dans le repère Oij ), alors l’ensemble est instable et pour que G se ramène spontanément sur la verticale O’Oy, le contrepoids B va se diriger vers le sol et A va s’élever. La condition d’instabilité se traduit donc par : (18bis) Puisque la longueur L = OA de la verge doit être suffisamment grande pour imprimer à A une vitesse élevée, la condition (18 bis) montre que B doit avoir une masse très grande devant celle m de OA. Les équations du mouvement qui vont suivre vont confirmer cela. Pour déterminer la vitesse maximale de jet en A, on a besoin d’exprimer la vitesse angulaire da/dt en fonction de la position angulaire a. Pour cela on utilise le théorème de l’énergie mécanique : - énergie potentielle de G par rapport à O : puisque g = -gj - énergie cinétique : puisque O est un point fixe Dans les expressions de la matrice d’inertie (6) et (6ter), compte tenu des symétries le seul terme non nul de cette matrice est : Il s’ensuit que l’énergie mécanique totale est : La constante (énergie) est déterminée par les conditions initiales : a = a0 et Ec = 0, donc : Constante = La vitesse angulaire est donc reliée à la position angulaire par : (19) ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 20/35 Remarque : si l’on veut tenir compte de la forme du contrepoids (huche) il suffit de remplacer dans les équations le moment d’inertie Ml² par son moment d’inertie réel J’O. L’équation du mouvement est obtenue en dérivant (19), on trouve : (20) Si on choisit comme position initiale a0 Î [0, p/2] (altitude de A inférieure à l’altitude de O), pour que B puisse basculer vers le sol, donc si on a a > a0 , la relation (19) n’est possible que si Ml > mL, comme déjà dit dans la remarque plus haut. Pour de faibles écarts angulaires par rapport à la verticale, avec B vers le bas, l’équation (20) devient celle du pendule composé : En effet, dans ce cas, a est proche de p, a = e + p avec e petit, on a sin a = -sin e » -e, donc de solution, compte tenu des conditions initiales : a(t) = p + e0 cos Wt. Revenons au cas général (19) et cherchons pour quels angles le système trouve une configuration de stabilité. Il y a équilibre si : ® ® a = 0 (B en haut) ou a = p (B en bas) Cet équilibre est stable si : ® ® Ml > mL pour a = p, ou bien Ml < mL pour a = 0. Ce qui est recherché ici est que la position d’arrivée de B soit stable pour B en bas c’est-à-dire a = p, on doit donc avoir la condition (18bis) : contrepoids B très lourd avec petit bras de levier OB = l. Détermination de la vitesse angulaire maximale : La vitesse angulaire est maximale si sa dérivée par rapport au temps est nulle, donc, d’après (20) si : ce qui n’arrive que pour a = 0 ou bien p. Compte tenu des conditions initiales choisies et de la condition (18 bis), seule convient : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 21/35 am = p (la vitesse maximale est atteinte lorsque A est à l’apogée : O’OA vertical) Pour cette position, la relation (19) donne la valeur de la vitesse maximale angulaire : (21) La vitesse de jet du projectile en A est donc : En introduisant les paramètres de forme et de masse : la vitesse initiale de jet du projectile se réécrit : (22) La vitesse maximale de A dépend de la position angulaire initiale a0, ce qui est normal puisque si A n’est pas suffisamment abaissé au départ il prendra une accélération plus faible. La valeur maximale de v0 est obtenue, d’après (22), pour cos a0 = 1 donc pour a0 = 0, c’est à dire A le plus proche du sol possible, qui est la position initiale la plus instable. Mais la vitesse de jet en A est aussi maximale, à L fixée, pour : Comme m = m/M <<1 on doit avoir l <<1 c’est-à-dire : Autrement dit le bras de levier OA doit être très grand devant celui OB : c’est pourquoi le contrepoids B devra être placé au plus près de l’axe de rotation O. Connaissant la vitesse et la position initiales du projectile, il est possible d’en calculer la portée. Au moment du tir, la position du projectile est donnée par son altitude et son abscisse dans le repère O’xy. Sachant que l’axe de rotation O est à une distance OO’ = H du sol et que, au moment du tir, le projectile en A est sur l’axe vertical O’OA et à une distance L de O, son altitude initiale est H + L. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 22/35 Le vecteur vitesse initiale est considéré horizontal (angle de tir nul). L’équation de la trajectoire du boulet est donc un arc de parabole d’équation (voir l’article « balistique extérieure » pour s’en convaincre) : La portée est donnée par y = 0 (le boulet rencontre le sol supposé horizontal), soit avec les paramètres : (23) Les conditions précédentes étant adoptées (conditions initiales, rapports de forme et de masse), la portée est maximale lorsque H est grande, c’est-à-dire lorsque l’axe de rotation est haut au-dessus du sol. (les dimensions ne sont pas à l’échelle) Modèle du mangonneau avec la fronde : Qu’apporte l’emploi d’une fronde F, de masse m’, reliée à A par une corde de masse négligeable et de longueur R ? Cela améliore-t-il la portée par rapport à la situation précédente où le projectile est directement lancé depuis A ? et si oui, de quel rapport ? Hypothèses adoptées : - 1/ la corde AF est suffisamment longue pour que, à l’instant initial où la tige AOB est libérée, lorsque a = a0 et A au plus près du sol, la fronde F repose sur le sol. Lorsque la ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 23/35 verge AOB se met en rotation autour de O, la fronde glisse sur le sol avec une vitesse V(F) , puis quitte le sol pour un angle a = a’. Il s’ensuit que la vitesse de glissement de F au sol est supposée égale au module de la vitesse de A : V(F) = V(A) tant que a’ n’est pas atteint. - 2/ au moment du « décollage » de la fronde pour a = a’ et lors de sa course entraînée par la verge AOB, on suppose la corde AF toujours tendue. Cela suppose que la force centrifuge de la fronde F soit suffisante pour contrebalancer la tension de la corde T. D’après l’hypothèse (1) : - il faut : (24) - comme V(F) = V(A) tant que a < a’, on a : vitesse de glissement au sol de la fronde : (25) Angle de la tige lorsque la fronde décolle du sol : on voit immédiatement sur la figure que (26) avec la contrainte (24). ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 24/35 Équations du mouvement du mangonneau avec fronde : Établissons l’équation du mouvement de la fronde dans le repère galiléen Oijk : Reportons-nous à la figure ci-dessous pour les notations géométriques, et appliquons le PFD pour le torseur des efforts extérieurs exercés sur le centre d’inertie G’ = F de cette fronde : Le centre d’inertie G’ de la fronde est supposé confondu avec F, de masse m’. Les efforts extérieurs sur G’ = F sont représentés par son poids m’ g et la tension de la corde AF : T = -T u’ (attention au choix d’orientation des vecteurs de base liés à BOA et AF cette fois, ainsi qu’à l’orientation des angles !), et par le moment de ces forces par rapport au point d’attache A autour duquel la fronde tourne lorsque la tige BOA bascule. En écrivant l’égalité du moment des efforts avec le moment dynamique dans le repère Oxyz, on obtiendra l’équation du mouvement sur l’angle q. Remarque préliminaire : attention aux orientations des axes et des angles dans le cas de la figure ci-dessus! En effet, pour les vecteurs de base u’ et v’ : u’ = -sinqi - cosqj ; v’ = du’/dq = -cosqi + sinqj ; dv’/q = sinqi + cosqj = -u’ ; u = -sina i - cosa j ; du/da = -cosa i + sina j = v ; dv/da = sina i + cosa j = -u. OA = Lu ; AG’ = AF = Ru’ ; tension de la corde : T = -Tu’, son moment par rapport à A est donc ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 25/35 nul : AFÙT = 0. Il s’ensuit que le moment des efforts extérieurs en A, dans le repère galiléen Oxyz, se réduit à celui du poids de la fronde : Donc : (27) Calcul du moment cinétique, qui permettra ensuite de déduire le moment dynamique : La relation (8) donne ici : (le signe ‘’-‘’ devant le second terme vient de ce que q est compté dans le sens inverse du sens trigonométrique) Avec F = G’ et JA(AF) qui se réduit à m’R², et compte tenu de ce que : le développement du moment cinétique donne : avec la remarque préliminaire sur les vecteurs de base, on obtient finalement : (28) Par application de (2b), nous obtenons le moment dynamique : Et avec la dérivée de (28), on obtient finalement : (29) Du PFD, dA (AF) = MA (AF), compte tenu de (27) et (29) on tire l’équation de mouvement : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 26/35 (30) Remarque : si A est fixe (a constante) ou bien pour L = 0, l’équation (30) se réduit à celle du pendule simple AF, ce qui est cohérent : A elle seule l’équation (30) ne fournit pas complètement l’équation du mouvement de l’ensemble du mangonneau. Pour fermer le problème il nous faut une seconde équation du mouvement. Or l’ensemble constitué de la verge BOA et de la fronde AF peut être assimilé à un pendule double pivotant autour du point fixe O, dans la mesure où l’hypothèse (2) ci-dessus est adoptée (corde tendue). Nous procédons alors comme pour le problème du pendule double vu précédemment en appliquant le PFD à l’ensemble BOAF par rapport au point O : Il nous faut donc connaître les moments des efforts et calculer les moments dynamiques à partir des moments cinétiques au même point O : Moments cinétiques : - moment cinétique en O du solide (OAB, mangonneau sans fronde) : - moment cinétique en O du solide (AF, fronde) : sA(AF) est donné par (28), et avec OA = Lu, et : D’où : (31) Remarque : pour da/dt = 0 (BOA fixe), le moment cinétique sO(BOAF) se réduit à : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 27/35 -m’R²(dq/dt)k, comme il se doit. Réécrivons (31) : (31 bis) Moment des efforts sur l’ensemble (BOAF) en O : Le centre d’inertie G du mangonneau sans fronde est donné par (18) : Centre d’inertie G’ de la fronde : Le moment des efforts est donc : (32) Calcul du moment dynamique à partir de (31bis), puisque O est un point fixe, on a : Par le PFD, l’égalisation de cette dernière expression avec (32) fournit : Remarque : pour a = 0, on retrouve bien en F l’équation du pendule simple : R²d²q/dt² + Rgsinq = 0. Dans l’équation différentielle ci-dessus on remplace d²q/dt² par (30) : Ce qui donne la deuxième équation du mouvement : (33) à laquelle il faut adjoindre les équations (30) et (19) : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 28/35 (30) (19) Remarque : (33) se réduit à (19) et (20) pour m’ = 0 comme il se doit. Conditions de vitesse de jet maximale du projectile : L’évolution de l’angle de la verge a et celle de l’angle de la fronde q sont couplées par les équations (30) et (33). Les vitesses angulaires sont déterminées chaque fois que ces angles le sont, et par conséquent la vitesse de la fronde F. On se demande alors pour quel angle a de la verge la vitesse V(F) de la fronde est maximale ? Cette vitesse sera la vitesse de jet du projectile contenu dans le sac de fronde. Calculons le module de la vitesse V(F) : V(F). Dans le référentiel galiléen Oxyz, le vecteur vitesse de F est : Le module est donc donné par : (34) Le module est maximal lorsque dV(F)/dt = 0, ce qui, à partir de (34), conduit à la condition : (35) Remarque : pour R = 0 (pas de fronde), on retrouve la condition de vitesse maximale d²a/dt² = 0 du mangonneau sans fronde, comme il se doit. Le but est d’obtenir une condition reliant les vitesses angulaires et les angles, donc où les accélérations angulaires ont été éliminées. Pour cela, réécrivons les équations du mouvement (30) et (33) à l’aide des paramètres ci-dessous : (36) ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 29/35 En remplaçant d²a/dt² par son expression de la première équation ci-dessus, dans celle de d²q/dt², on obtient : (37) Et en remplaçant ces expressions de d²a/dt² et d²q/dt² dans la condition (35) on obtient une relation entre (a, da/dt, q, dq/dt) pour avoir une vitesse V(F) maximale. Cette relation est compliquée et, pour la résoudre, il nous faut adopter des hypothèses réalistes. On suppose donc, de plus, que la vitesse V(F) est maximale lorsque l’on a simultanément les vitesses angulaires da/dt et dq/dt maximales. Par conséquent, dans la condition (35) on fait d²a/dt² = 0 et d²q/dt² = 0, d’où la condition supplémentaire remplaçant (35): (38) qui est satisfaite lorsque : (38a) (coïncidence des vitesses angulaires) ou lorsque : a = q (38b) (coïncidence des angles) Ces deux conditions doivent évidemment rester compatibles avec les relations (37) lorsque d²a/dt² et d²q/dt² sont rendues nulles : (37bis) 1/ condition de coïncidence des angles (38b) compte tenu de (37bis) : elle donne sina = 0 et sinq = 0 donc (39) Ainsi, la vitesse de jet est maximale lorsque la fronde est à l’apogée, dans le prolongement de la verge et du contrepoids. Cette condition est assez conforme à ce qui est observé. 2/ condition de coïncidence des vitesses angulaires (38a) compte tenu de (37bis) : elle donne la condition sur les angles (40) et donc impose comme vitesse angulaire de la fronde AF : (41) où a et q sont reliés par (40) ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 30/35 Cette valeur donnée par (41) interdit d’avoir la coïncidence des angles pour laquelle on aurait une valeur infinie de la vitesse angulaire de la fronde. Elle impose donc que la vitesse maximale est atteinte non seulement avant l’apogée de la fronde mais encore avec un angle de celle-ci tel que sin (a - q) > 0. Comme les angles évoluent entre 0 et p, cette condition entraîne : - soit que, pour a et q < p/2 : dans ce cas q < a, l’angle de la fronde AF avec la verticale est plus fermé que l’angle de la tige BOA avec la verticale - soit que, pour a et q > p/2 : dans ce cas q > a, l’angle de la fronde AF avec la verticale est plus ouvert que l’angle de la tige BOA avec la verticale Par ailleurs, comme sin (a - q) = cosq sina - sinq cosa, la relation (40) sur la position des angles et la condition sin (a - q) > 0 entraînent la condition sur les données géométriques et de masses de l’ensemble mangonneau : B/AL > 1 Explicitant les valeurs de B et A données en (36), cette dernière condition se réécrit : (41) que l’on peut encore écrire : m’(R + L) > Ml – mL. On a vu par ailleurs que l’on doit avoir Ml >> mL. La condition requise est donc d’avoir une longueur de fronde suffisante : (41 bis) Remarque : bien que la condition (41 bis) soit facilement satisfaite avec les géométries utilisées pour la conception des mangonneaux, la condition (40) sur les angles reste tout de même trop restrictive. La condition de coïncidence des angles (39) pour déterminer la vitesse maximale de jet reste donc la moins contraignante et physiquement plus acceptable : on s’attend à ce que lorsque l’énergie potentielle de l’ensemble est rendue minimale (lorsque le contrepoids B est au plus bas), l’énergie cinétique est maximale, en raison de la conservation de l’énergie mécanique. Par conséquent, on s’attend à ce que cela se passe aux environs des angles identiques et proches de p. Aussi, revenons donc au cas pour lequel on a (39), et déterminons la portée de tir obtenue en présence de fronde, et comparons-la avec le cas où celle-ci est absente (mangonneau sans fronde. Reprenant (37 bis) : on fait le rapport membre à membre des égalités, d’où : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 31/35 Or sina et sinq sont du même ordre et leur rapport tend vers l’unité, on a finalement : Par conséquent la vitesse de F (34) devient avec ces valeurs : (42) Admettant que la fronde ait peu d’influence sur le mouvement de la verge BOA, en première approximation on peut considérer que la vitesse angulaire de celle-ci, da/dt, reste donnée par (21) et que l’on a (da/dt)m » v0/L, où v0 est la vitesse de jet pour un mangonneau sans fronde, donnée par (22). Il s’ensuit que (42) permet de comparer les vitesses de jet avec fronde V(F) et sans fronde v 0 : (43) La portée avec fronde est : (23) : et la portée sans fronde est donnée par . D’où le résultat final : La fronde, jointe au mangonneau, a pour effet d’amplifier la vitesse de tir d’un facteur égal à (1 + AR/B) et la portée d’un facteur: (44) Ces gains en vitesse de tir et en portée augmentent avec la longueur de la fronde R. En utilisant (36), (44) se réécrit : (44 bis) Exemple numérique : OB = l = 1m ; L = OA = 11m ; M = 4000 kg ; m’ = 100 kg ; m = 100 kg ; H = 3m ; R = 10m ; d’où : G = 2,14. Modèle du trébuchet Dans le modèle du trébuchet, le segment CB (voir figure ci-après), articulé en C à OC, reste parallèle à g. ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 32/35 L’équation (30) reste valable pour AF : (30) Mais pour l’ensemble on a besoin du moment des efforts en O (point fixe), et donc d’abord du moment cinétique de l’ensemble du trébuchet en O : On a déjà vu que : Reste à calculer le moment cinétique en O de la partie AOCB, or celui-ci se décompose en : avec, immédiatement : ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 33/35 où l’on a posé m’’ masse du tronçon OC. D’où le moment cinétique en O total : (45) Le point O étant fixe, on déduit le moment dynamique comme suit : (46) Moment en O des efforts externes, ceux-ci se réduisant aux poids : avec G centre d’inertie de la poutre AOC : Comme on a : u = -(sina i + cosa j) et u’ = -(sinq i + cosq j), et que OF = OA + AF = Lu + Ru’, ainsi que OB = OC + CB = -l u –h j, il vient : (47) Par application du PFD, en égalisant (46) et (47), et en remplaçant d²q/dt² à l’aide de (30), on arrive aux équations du mouvement de l’ensemble : (48) (30) La condition de maximalité de V(F) est toujours donnée par (35), ce qui, avec l’hypothèse comme ci-dessus qu’elle est satisfaite lorsque les accélérations angulaires sont simultanément nulles, donne la condition (35). Comme dans le cas du mangonneau, on a les deux possibilités : (38a) (coïncidence des vitesses angulaires) ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 34/35 a = q (38b) (coïncidence des angles) Le cas (38b) conduit aux mêmes conclusions que pour le mangonneau. Pour le cas (38a), l’injection dans (48) et (30) conduit aux conditions sur les angles : (49) du même type que (40), et à une vitesse angulaire correspondante de la fronde inchangée par rapport au cas du mangonneau : (50) où a et q sont reliés par (49) Pour cette valeur de la vitesse angulaire de la fronde, la vitesse de jet de cette-ci a pour module : D’où : (51) où q et a sont reliées par (49). ©Frédéric Élie, août 2007 - http://fred.elie.free.fr - page 35/35
