MOD et DIV sur une calculatrice

MOD et DIV sur une calculatrice
Soit m>0 et aun entier. Soit rle reste de aaprès division par m
et qtel que a=qm +r.
Calculatrice : rest (aMOD m) et qest (aDIV m).
Donnera quoi (aDIV m)∗m+ (aMOD m)?
Réponse : a.
MAT1500 1 of 29

Le reste est l’unique nombre naturel rtel que m|(a−r)et
0≤r<m. Donc associer le nombre ràaest vraiment une
fonction avec domaine Zet avec codomaine les nombres naturels
entre 0 et m−1.
On devrait écrire quelque chose comme
Reste-après-division-par-m:Z→ {0,1,2,...,m−1}
où
Reste-après-division-par-m(a) = r.
Pour des raisons historiques on écrit (amod m) = r,ou même
r=amod m.
(Le manuel le fait malheureusement, mais moi j’essaie d’éviter
cette notation.)
MAT1500 2 of 29

Malheureusement ça introduit une confusion avec la notation
r≡amod m
pour la relation d’équivalence r≡ma.
Il faut faire attention :
On écrit r≡amod msi m|(a−r)(seulement).
On écrit r=amod msi m|(a−r)et 0≤r<m.
MAT1500 3 of 29

Donc il faut comprendre :
On a
r=amod msi et seulement si r≡amod met 0 ≤r<m.
Et aussi
a≡bmod msi et seulement si (amod m)=(bmod m).
MAT1500 4 of 29

Soient a,bdeux nombres entiers non-zéro. Posons d=pgcd(a,b).
Alors dest un maximum
d=Max({m∈N|m|aet m|b}).
Mais dest aussi un minimum (pour une autre propriété) :
d=Min({m∈N|m>0 et ∃(s,t)∈Z2:m=sa +tb})
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