Thermodynamique et mécanique des fluides appliquées aux

Lycée Newton - PT
TMF - TD3 - Energétique des écoulements en conduite
Thermodynamique et mécanique des fluides
appliquées aux machines thermiques
TD no 3 : Energétique des écoulements en conduite
Ex 1
Canalisation coudée
On consière une canalisation coudée de section S constante, formant un coude à angle droit, parcourue par un
écoulement d’eau à la vitesse v. On note P la pression loin en amont du coude et ρ la masse volumique de l’eau.
L’écoulement est stationnaire et supposé parfait. On néglige les effets de la pesanteur.
1.1. Déterminer la résultante (norme et direction) des actions de l’eau sur la partie coudée de la canalisation.
Ex 2
Vidange d’un récipient
On considère un récipient cylindrique de section horizontale S initialement rempli d’eau jusqu’à la hauteur h. En
bas du récipient, on perce un trou de section s S. L’écoulement est supposé parfait.
2.1. En précisant les approximations faites, déterminer la vitesse de l’eau à la sortie du récipient.
2.2. En déduire le temps nécessaire pour que le récipient se vide complètement.
Ex 3
Vase de Tantale
Un bassin rectangulaire est alimenté en permanence par de l’eau (fluide parfait incompressible, de masse volumique
ρ), avec un débit volumique entrant constant De . La surface totale du bassin est S = 20 m2 . Un siphon BC de diamètre
d = 10 cm (section s) en assure la vidange. Il se termine en C donnant sur l’air libre, à l’extrémité d’un tronçon
horizontal dont l’axe est pris comme origine des cotes verticals. Le haut du siphon est à la cote h2 = 3 m. Le fond du
bassin est lui à la cote h0 = 1 m.
On donne ρ = 1000 kg · m−3 ; g = 9,8 m · s−2 ; PA = P0 = 1 bar la presseion atmosphrique.
Le siphon fonctionne de la façon suivante :
• il s’amorce dès que le niveau d’eau arrive à la hauteur h2 = 3 m ; l’écoulement de l’eau se produit alors et dure
tant que le siphon ne se désamorce pas ;
• dès que le niveau d’eau dans le bassin arrive à la hauteur h1 = 2 m, de l’air pénètre dans le siphon ; il se
désamorce et se vide alors complètement de toute l’eau qu’il contenait.
z
De
h2
z
A
•
•
B
h1
h0
•
C
Ds
On suppose le siphon initialement amorcé et z = h2 .
3.1. Calculer le débit sortant initial Ds en C lorsque z = h2 , puis discuter qualitativement de l’évolution du
système selon la valeur de De .
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3.2. On se place toujours dans le cas où le niveau initial est en h2 ; le débit d’netrée est fixé à De = 30 L · s−1 . En
déduire la cote zm pour laquelle les deux débits De et Ds sont égaux. Conclure sur l’évolution de la cote z de la
surface libre de l’eau.
3.3. Quel temps t1 met le plan d’eau pour atteindre sa cote minimale ?
On donne :
Z
√
√
dx
= 2 x + 2a ln( x − a) + cte
√
x−a
√
où a < x est une constante.
3.4. Déterminer le temps t2 de remontée de la surface libre jusqu’à l’état initial.
3.5. Déterminer la période des oscillations (dites de relaxation).
Ex 4
Sonde de Pitot
La figure ci-dessous montre une sonde de Pitot placé dans un écoulement d’air permanent et uniforme, à la vitesse
constante v = vex , loin en amont de la sonde. Deux trous sont percés dans la sonde : le trou A fait face à l’écoulement
et le trou B est sur le côté de la sonde.
B
•
v
•
A
sonde de Pitot
(a) Shéma d’une sonde de Pitot
(b) Sonde de Pitot
Chaque trou mène sur une cavité bouchée, au fond de laquelle se trouve un capteur de pression.
4.1. En faisant les hypothèses simplificatrices nécessaires, montrer que la différence de pression PA − PB permet
de connaître la norme de la vitesse v et donner l’expression de v.
4.2. Ces trous portent les noms de « prise de pression dynamique » et « prise de pression statique ». Expliquer
pourquoi.
4.3. En réalité, la masse volumique de l’air varie avec l’altitude et l’expression trouve à la question 4.1 n’est pas
exploitable directement. En assimilant l’air à un gaz parfait de masse molaire M, déterminer l’expression de la
vitesse v en fonction de la constante des gaz parfaits R, la température T, M, PA et PB .
4.4. Pourquoi les sondes de Pitot sont-elles indispensables dans un avion ?
Ex 5
Effet Venturi et trompe à eau
La trompe à eau, schématisée figure 2 est utilisée pour générer une dépression importante par effet Venturi à l’aide
d’un écoulement d’eau. Cela est mis à profit en chimie pour la filtration sur Büchner.
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Figure 2 – Effet venturi et trompe à eau
On suppose l’écoulement parfait, homogène, incompressible, stationnaire dans le référentiel du laboratoire supposé
galiléen.
5.1. Préciser le sens physique de chacun des termes utilisés dans la phrase précédente.
5.2. A l’aide d’une équation de conservation de la matière, établir un lien entre la vitesse au point A (à la sortie
du robinet, dans le tube de rayon RA ) et la vitesse en un point B (dans la zone de rétrécissement, de rayon
RB < RA ).
5.3. A l’aide d’une équation d’évolution, en déduire la dépression PB − PA en fonction des rayons des tuyaux,
de la masse volumique µ de l’eau.
5.4. La dépression est limitée par la pression de vapeur saturante de l’eau à la température ambiante qui est
Π(Tambiante ?
5.5. Calculer la vitesse maximale et le débit maximal du robinet dans ces conditions. Application numérique :
RA = 1 cm et RB = 0,2 cm.
Ex 6
Etude d’une éolienne
On étudie l’interaction mécanique entre l’air en mouvement (le vent) et le rotor de l’éolienne. La description est faite
dans le référentiel terrestre RT , considéré comme galiléen. Il lui est lié une base cartésienne (ex , ey , ez ). En amont, loin
de l’éolienne, le vent est uniforme et permanent, de vitesse v0 = v0 ex , et la pression est elle aussi uniforme, de valeur
notée P0 . On suppose que les effets de la pesanteur sont négligeables à l’échelle de l’éolienne. On note ρ la masse
volumique de l’air.
L’éolienne est formée très schématiquement d’un mât portant un rotor d’axe horizontal. La figure 3 montre un tube
de courant s’appuyant sur le pourtour du rotor de l’éolienne. La vitesse et la pression loin en amont sont uniformes
(v0 et P0 ).
La pression loin en aval est uniforme et vaut P0 . La vitesse loin en aval n’est uniforme que dans le tube de courant
et vaut vS .
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rotor
x
E
A B
S
Figure 3 – Schéma du tube de courant freiné par l’éolienne.
I On suppose que la perturbation apportée par le mât à l’écoulement de l’air est négligeable.
I On ne s’intéresse pas aux détails de l’écoulement de l’air au voisinage du rotor et donc pas plus à la forme
précise des pales qui forment le rotor. Il suffira sonc de modéliser la surface balayée par ce dernier par un
disque de centre O, de diamètre D et d’axe (O, ex ).
L’écoulement de l’air est supposé parfait (sauf au voisinage immédiat du rotor), stationnaire et incompressible. Il
présente une symétrie de révolution autour de l’axe (O, ex ). On suppose que l’influence du sol est négligeable.
La section du tube de courant est supposée varier lentement avec x : on la note S(x). Elle varie d’une valeur SE , loin
2
en amont, à une valeur SS , loin en aval, en passant par une valeur SR = πD
4 au niveau du rotor.
Du fait de la variation lente de S(x), la vitesse peut être condidérée comme uniforme sur chaque section x = cte du
tube de courant, et dirigée selon ex (approximation), v = v(x)ex . En particulier, on considère qu’au niveau du rotor,
la vitesse du fluide est vR = vR ex . On notera P(x) la pression dans le tube de courant à l’abscisse x. Dans le tube de
courant, on fait l’approximation de considérer l’écoulement comme uniforme loin en aval du rotor, vS = vS ex . La
pression y est aussi uniforme, à la même pression qu’en amont.
On définit quatre sections E, A, B, S du tube de courant (voir figure 3). Les sections A et B sont situées de part de
d’autre du rotor, à sa proximité immédiate. On considérera ainsi que SA = SB = SR et que vA = vB = vR = vR ex ,
conformément au modèle de l’hélice plate. Enfin, la pression à l’extérieur du tube de courant est supposée non
modifiée par la présence de l’éolienne, et a donc la valeur uniforme P0 . On node F = Fex la résultante des actions
exercées par l’éolienne sur l’air.
6.1. Etablir deux relations, l’une entre les grandeurs v0 , vS , SE et SS , l’autre entre les grandeurs v0 , vR , SE et SR .
Justifier l’évasement du tube de courant au niveau du rotor.
6.2. A l’aide d’un bilan de quantité de mouvement sur un système que l’on définira précisément, établir une
relation entre v0 , vS , SE , ρ et F.
6.3. A l’aide d’un bilan de quantité de mouvement sur un système que l’on définira précisément, établir une
relation entre PA , PB , SR et F. En déduire une relation entre v0 , vS , ρ, F et SR .
6.4. Déduire des questions précédentes l’expression de la vitesse vR de l’air au niveau du rotor, en fonction de
v0 et vS .
6.5. Pourquoi l’écoulement ne peut-il pas être considéré comme parfait au voisinage immédiat du rotor ?
6.6. Déterminer l’expression de la puissance P prélevée au vent par le rotor en fonction de ρ, SR , v0 et du rapport
α = vvS0 .
6.7. Montrer que cette puissance P atteint une valeur maximale Pmax pour une valeur de α que l’on précisera.
Exprimer Pmax en fonction de ρ, SR et v0 .
6.8. Définir le rendement énergétique η de l’éolienne et donner son expression en fonction de α. Que vaut le
rendement maximal ηmax (formule de Betz des éoliennes) ?
6.9. On examine les fiches techniques de deux éoliennes de types très différents : une de faible puissance, destinée
à être montée sur un petit voilier pour l’alimenter en énergie électrique, l’autre de forte puissance, destinée à
produire de l’énergie électrique pour un réseau de distribution régional. Pour chacune, la fiche technique indique
(entre autres données) le diamètre D du rotor, la « vitesse nominale » v0 du vent pour laquelle elle a été conçue
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préférentiellement, et pour laquelle elle fournit sa « puissance nominale » P. Les fiches techniques sont établies
en prenant pour masse volumique de l’air ρ = 1,225 kg · m−3 . On rappelle qu’un nœud représente une vitesse de
1,852 km · h−1 .
faible puissance
forte puissance
D = 1,14 m
D = 47 m
v0 = 24 nœuds
v0 = 15 m · s−1
P = 400 W
P = 600 kW
Commenter ces données à l’aide des résultats obtenus précédemment. On attend ici des commentaires faisant
appel à des arguments quantitatifs.
6.10. Déterminer la vitesse au bout d’une pale d’éolienne de forte puissance lors de son fonctionnement normal,
caractérisé par un demi-tour fait en une seconde. Pourrait-on envisager de construire une éolienne géante dont
le diamètre serait par exemple quatre fois supérieur ? Justifier la réponse.
6.11. L’étude d’une hélice de propulsion (avion, bateau, etc) est-elle différente de celle d’une éolienne ? Quels
sont les éléments qui diffèrent ?
Ex 7
Conduite forcée pour une canalisation hydroélectrique
Une conduite gravitaire amène l’eau (fluide parfait incompressible de masse volumique ρ) d’un barrage vers une
turbine de type Pelton. La conduite cylindrique, de diamètre constant D = 30 cm, se termine horizontalement, son
axe étant situé à H = 160 m au-dessous de la surface libre de l’eau dans le barrage de grande capacité. Le départ de
la conduite est H0 = 20 m au-dessous de la surface libre de l’eau, de niveau pratiquement constant (grande capacité).
Les frottements (et donc les pertes de charge) sont négligés.
z
H
injecteur
O
A la sortie de l’injecteur, à l’air libre, le jet d’eau frappe les augets de la turbine pour l’animer d’un mouvement de
rotation.
Pour les applications numériques, prendre : la pression atmosphérique P0 = 105 Pa, l’accélération de la pesanteur
g = 10 m · s−2 et ρ = 103 kg · m−3 .
Dans les questions 7.1 et 7.2, l’injecteur n’est pas encore en place.
7.1. Calculer la vitesse vA de l’eau à la sortie A de la conduite (sans injecteur). A.N.
7.2. Que peut-on dire du champ des vitesses dans la conduite ? En déduire la loi de pression P(z) dans la
conduite. Montrer que l’on a un phénomène de cavitation (ébullition de l’eau sous très faible pression) dans une
région de la conduite à déterminer (on admet que la cavitation apparaît quand la pression devient voisine de
zéro). A.N.
On visse sur l’extrémité A un injecteur (tubulure de section décroissante) de diamètre d < D et d’axe horizontal.
7.3. La vitesse d’éjection est-elle modifiée ? Et la vitesse dans la conduite ? Etablir la loi de variation P0 (z) de la
pression dans la conduite et montrer que la cavitation y disparaît totalement (c’est le but recherché) pour d < d0 ;
calculer d0 .
7.4. En prenant d = 15 cm, calculer la vitesse vS de l’eau à la sortie S et le débit volumique QV . Calculer ensuite
la puissance cinétique du jet (son énergie cinétique par unité de temps), et montrer qu’elle s’exprime sous la
forme du produit de la pression cinétique (à évaluer) par le débit volumique.
Ex 8
Perte de charge singulière dans un élargissement
Un fluide incompressible de masse volumique ρ s’écoule dans une canalisation cylindrique de section circulaire S1 ,
et d’axe horizontal Ox.
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L’écoulement est supposé unidimensionnel (la vitesse v1 et la pression P1 ne dépendent que de z et sont donc
uniformes dans un plan z = cte), laminaire.
Il n’y a pas de perte d’énergie mécanique tant que la section ne varie pas, le fluide peut alors être considéré comme
parfait.
A la cote z = 0, un élargissement impose un brusque changement de section qui passe de S1 à S2 . Dans ces conditions,
l’expérience montre l’existence d’une perte de charge dite singulière, liée à cette géométrie, et localisée autour de la
zone x = 0.
Une étude expérimentale prouve que le tube de courant de la conduite amont se décolle de la paroi à partir de
l’élargissement pour la rejoindre un peu plus loin, puis l’écoulement redevient laminaire :
Entre ce tube et la paroi, se trouve une zone dite « de fluide mort » où les vitesses sont très faibles, mais dans laquelle
existent des tourbillons. La pression P du fluide reste constante à la valeur P1 dans toute cette partie, même dans la
zone morte.
8.1. Montrer que, dans la partie amont de section constante S1 , la vitesse et la pression sont uniformes. Calculer
la vitesse v2 du fluide en aval, assez loin de la zone morte, là où l’écoulement peut à nouveau être considéré
comme unidimensionnel.
8.2. Calculer la pression P2i qui régnerait après élargissement si le fluide était parfait.
8.3. Réaliser un bilan de quantité de mouvement sur le système fermé situé à l’instant t dans le volume de
contrôle en pointillé, puis lui appliquer le théorème de la résultante dynamique (ou deuxième loi de Newton).
8.4. En déduire, en négligeant les forces de viscosité entre le fluide et la paroi, la pression avale P2 en fonction
de P1 , v1 , v2 et ρ.
8.5. Calculer la perte de charge singulière ∆Ps introduite par la singularité d’élargissement, en fonction de v1 ,
S1 , S2 , et ρ. Commenter le résultat.
8.6. Quelle est l’expression du coefficient K de perte de charge ?
8.7. En déduire la puissance mécanique perdue par le fluide à cause de l’élargissement. Que devient-elle ?
8.8. Dans le cas d’un rétrécissement (S2 < S1 ), l’allure des lignes de courant est-elle identique (en faisant tourner
le schéma de 180 deg) ? La répartition des pressions est-elle similaire ? Justifier. Quels sont les résultats qui
demeurent valables ?
Ex 9
Dimensionnement d’un circuit d’alimentation d’eau
Pour alimenter une collectivité isolée en eau potable, le cahier des charges impose à l’entrée du bâtiment, pour
un débit délivré DV = 600 L/minute, une pression Pe , qui doit rester au moins à 2 bars au dessue de la pression
atmosphérique P0 .
Le tuyau d’arrivée, en polyéthylène, a un diamètre intérieur d = 32 mm et son constructeur donne une rugosité
maximum ε = 0,032 mm lorsqu’il est usagé (la rugosité est la taille des aspérités en surface intérieure de la conduite).
La masse volumique de l’eau est notée ρ et sa viscosité vaut η = 1,0 × 10−3 PI, g = 9,8 m · s−2 .
Le diagramme de Moody est fourni pour le calcul des pertes de charge régulières :
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9.1. Utilisation d’un réservoir type « chateau d’eau »
L’ingénieur chargé du projet a l’idée de placer un réservoir en hauteur pour répondre au cahier des charges,
suivant le schéma suivant :
air P0
eau
Rétricissement (KR = 0, 40)
h0
Elargissement (KE )
Coude (KC = 0, 17)
Vanne (KV = 0, 80)
L = 50 m
La hauteur h0 est maintenue constante par apport extérieur.
Le tuyau, de diamètre d, est partout identique. L’installation comprend aussi un rétrécissement, un coude et une
vanne ouverte, dont les coefficients de perte de charge singulière sont donnés sur le schéma.
Une singularité de coefficient K créée une perte de charge
∆PS =
1
Kρv2
2
où v est la norme de la vitesse débitante (ou moyenne) du fluide dans le tuyau.
En fin de parcours se trouve enfin un élargissement dont le coefficient de perte de charge singulière s’écrit :
2
S1
KE = 1 −
S2
avec ici S2 S1 .
9.1.a. Pourquoi est-il nécessaire de maintenir une pression d’eau suffisante à l’entrée du bâtiment ?
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9.1.b. Dans le cas le plus contraignant du cahier des charges, calculer numériquement la vitesse v, le
ρdv
nombre de Reynolds de l’écoulement dans le tuyau Re = η , et en déduire le coefficient de perte de charge
régulière Λ, défini par la formule de Darcy :
∆P = Λ
ρLv2
2d
9.1.c. Exprimer la perte de charge totale en fonction des données, de v et de Λ.
9.1.d. En déduire la hauteur minimale h0 , et faire l’application numérique. Commenter. (difficile à réaliser)
9.2. Utilisation d’une pompe
L’ingénieur propose maintenant d’utiliser une pompe située dans un local technique à distance du bâtiment,
suivant le schéma suivant :
air P0
eau
Sortie pompe (KP = 1, 9)
Elargissement (KE )
Vanne (KV = 0, 80)
pompe
L = 50 m
Les autres caractéristiques sont inchangées. La pompe est supposée être dimensionnée pour pouvoir obtenir un
fonctionnement avec le débit DV et la pression Pe à l’entrée du bâtiment à la limite du cahier des charges.
9.2.a. Dans ces conditions, exprimer et calculer numériquement la perte de charge totale depuis la pompe
(en tenant compte de KP ).
9.2.b. Quelle est l’énergie par unité de volume du fluide BA au point A juste avant la sortie de la pompe ?
En déduire la puissance mécanique développée par la pompe.
9.2.c. Définir et calculer le rendement en puissance de l’installation. Quel devient la puissance perdue ?
9.2.d. Quelle précaution faut-il prendre à la fermeture de la vanne ou lorsque la consommation d’eau
dans le bâtiment est stoppée ?
Réponses :
1.1 F→tuy = (PS + Dm v)(ex − ey )
6.8 ηmax ' 0, 59
3.5 T ' 24 min50 s
q
4.3 v = P2RT
(PA − PB )
BM
7.3 d0 ' 19,7 cm
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9.1.d h0 ' 45 m
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