Hivert

Leçons d’agrèg
Hélène Hivert
2011 −2012

Avertissement
Le document proposé ici regroupe toutes les leçons que j’ai préparées
pour l’agrégation. Je ne prétends pas être à l’origine de toutes les idées
de plans qui y sont présentées car je me suis largement inspirée de ce
qui a été fait dans la prépa agrèg de Rennes mon année, les quelques
années précédentes, ainsi que -je tiens à le préciser à cause du nombre
considérable d’emprunts que je lui fais- des leçons préparées l’année
d’avant moi par Victor. Il y a beaucoup d’erreurs de frappe et des pa-
renthèses non fermées tout au long du document, et probablement des
erreurs plus graves, des erreurs de maths que je n’ai pas vues ou pas pris
le temps de corriger une fois qu’on me les aura signalées. Je pense ce-
pendant que ce document peut être intéressant pour des gens décidant
de préparer les leçons d’agrégation : ils y trouveront des références, des
idées de plans (qui sont tout à fait discutables et auquels il convient
d’avoir réfléchi) ainsi que des questions posées sur les leçons en classe
et lors des oraux blancs. Certaines sont très classiques et méritent de
tenter d’y répondre.
Vous pouvez bien évidemment me communiquer vos remarques concer-
nant ce document.
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Table des matières
1101-Groupes opérant sur un ensemble 8
2103-Sous-groupes distingués, groupes quotients 11
3104- Groupes finis 15
4105- Groupes des permutations d’un ensemble fini 19
5106-GL(E), sous groupes de GL(E)23
6107- Représentation et caractères d’un groupe fini 28
7108- Parties génératrices d’un groupe 33
8109- Anneaux Z/nZ38
9110- Nombres premiers 42
10 111- Anneaux principaux 47
11 112- Corps finis 51
12 113- Complexes de module 155
13 114- Séries formelles 58
14 115- Fractions rationnelles 61
15 116- Polynômes irréductibles. Corps de rupture 65
16 117-Polynômes à nindéterminées 69
17 119- Actions de groupe sur les espaces de matrices 72
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4TABLE DES MATIÈRES
18 120- Dimension et rang 76
19 123- Déterminant 80
20 124- Polynômes d’endomorphismes. Réduction 83
21 125- Sous-espaces stables 89
22 126- Endomorphismes diagonalisables 92
23 127- Exponentielle de matrices 95
24 128- Endomorphismes trigonalisables et nilpotents 100
25 130- Matrices symétriques réelles, hermitiennes 104
26 131-Formes quadratiques. Orthogonalité. Isotropie 108
27 132- Formes linéaires et hyperplans 112
28 133-Endomorphismes remarquables 117
29 135- Isométries 121
30 137- Barycentres ; convexité 125
31 140- Systèmes linéaires 129
32 145- Méthodes combinatoires, dénombrement 133
33 146- Résultant 137
34 148- Formes quadratiques 140
35 149- Représentatons de petits groupes finis 146
36 150-Racines de polynômes, fonctions symétriques élémentaires 149
37 151- Extensions de corps 153
38 201- Espaces de fonctions 158
39 202- Parties denses 162
40 203-Utilisation de la notion de compacité 165

TABLE DES MATIÈRES 5
41 204- Connexité 169
42 205-Espaces complets 173
43 206- Théorèmes de point fixe 177
44 207-Prolongement de fonctions 182
45 208-EVN. Applications linéaires continues 187
46 213- Hilbert et bases hilbertiennes 192
47 214- Inversion locale, fonctions implicites 196
48 215-Applications différentiables 200
49 216-Etude métrique des courbes 204
50 217- Sous variétés de Rn208
51 218- Formules de Taylor 211
52 219- Problèmes d’extremums 215
53 220-Équations différentielles. Études qualitatives 218
54 221-Equadiffs linéaires. Systèmes diffs linéaires 221
55 223-Convergence des suites numériques 225
56 224-Cpt asymptotique. Rapidité de CV 229
57 226-Cpt d’une suite réelle ou vectorielle un+1 =f(un)232
58 228-Continuité et dérivabilité de fonctions Rd’une variable R235
59 229-Fonctions monotones. Fonctions convexes 238
60 230-Séries de Rou C. Cpt des restes ou des sommes partielles 242
61 232-Méthodes d’approximation des solutions de F(X) = 0 245
62 234- Espaces Lp248
63 235-Suites et séries de fonctions intégrables 251