KANGNI Kinvi TOURE Saliou

KANGNI Kinvi
TOURE Saliou
ANALYSE HARMONIQUE ABSTRAITE
Troisième cycle
Nouvelle édition,

ANALYSE HARMONIQUE ABSTRAITE

TABLE DES MATIERES
Introduction ................................................................3
Chapitre I : Groupes Topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
§ I-1 Généralités sur les groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
I-1-1 Notions de base .................................................7
I-1-2 Intégration sur un groupe localement compact . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
I-1-3 Notions de paire de Guelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
§ I-2 Groupes de Lie ..................................................54
I-2-1 Variétés différentiables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
I-2-2 Structure de base d’un groupe de Lie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .60
I-2-3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65
I-2-4 Groupes de Lie linéaires.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .68
Chapitre II LES ALGEBRES DE LIE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .89
§ II-1 Généralités sur les algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
II-1-1 Définitions et Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
II-1-2 Homomorphismes d’Algèbres de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94
II-1-3 Dérivation.....................................................96
II-1-4 Produit tensoriel...............................................99
II-1-5 Extension du corps des scalaires et modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
§ II-2 Algèbres de Lie nilpotentes et résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
II-2-1 Définition et propriétés
des algèbres de Lie nilpotentes et résolubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
II-2-2 Les théorèmes d’Engel et de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
II-2-3 Formes bilinéaires invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
II-2-4 Critères de Cartan pour les algèbres de Lie résolubles . . . . . . . . . 126
§ II-3 Algèbre de Lie semi-simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
II-3-1 Propriétés élémentaires de algèbres de Lie semi-simples . . . . . . . 133
II-3-2 Réductibilité complète des représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
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II-3-3 Sous algèbre de Cartan d’une algèbre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Chapitre III Théorie des Représentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ III-1 Représentations des Groupes Topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
III-1-1 Représentations des groupes localement compacts. . . . . . . . . . . . 145
III-1-2 Représentations des groupes compacts.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .160
III-1-3 Applications au groupe de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ III-2 Représentation Induite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
III-2-1 Représentations différentiables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
III-2-2 Représentations unitairement induites d’un groupe de Lie . . . 185
III-2-3 Système d’imprimitivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .195
III-2-4 Théorème de réciprocité de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
Chapitre IV : Fonctions sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
§ IV-1 Généralités sur les fonctions sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205
IV.1-1 Notions de base .............................................205
IV.1-2 Fonctions sphériques sur un groupe de Lie résoluble . . . . . . . . . 219.
IV.1-3 Transformation de Fourier Sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.
§ IV-2 Fonctions sphériques de Type δ................................ 251
IV.2-1 Fonction trace sphérique .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .251
IV.2-2 Fonction Sphérique de type δ................................255
IV.2-3 Quelques propriétés différentielles .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .264
Bibliographie..............................................................269
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Introduction
L’analyse Harmonique fut à l’origine, l’étude des séries de Fourier et des inté-
grales de Fourier portant sur des variables réelles. Le problème consistant, pour une
fonction donnée, à trouver les harmoniques qui la constituent (Analyse harmonique)
puis à la reconstituer à partir de ces harmoniques (Synthèse harmonique).
Ces questions n’ont cessé de se développer jusqu’à nos jours.On peut par exemple
les travaux de Bochner, de Plancherel, de Wiener, Paley - Wiener etc...
L’analyse harmonique fut généralisée sous l’impulsion de A. Weil aux groupes
localement compacts commutatifs quelconques.
La plupart des théorèmes démontrés pour les séries et intégrales de Fourier
furent étendus aux groupes localement compacts quelconques. Les fonctions x−→
einx (n∈N)pour les séries de Fourier et x−→ eian (a∈R)pour les intégrales de
Fourier sont les caractères pour les groupes commutatifs et des représentations irré-
ductibles pour les groupes quelconques.
C’est seulement vers 1925, avec les travaux fondamentaux de H. Weyl, qu’on
s’est aperçu que les développements en série de Fourier des fonctions périodiques
n’exprimaient pas autre chose que la décomposition de la représentation régulière
du groupe compact T=R/Z, cas particulier du théorème de Peter-Weyl (III-2).
La connaissance d’un objet mathématique peut s’approfondir si on l’assimile à
un membre plus élémentaire ou plus simple de la même classe, le transfert respec-
tant les propriétés essentielles. Il est possible d’obtenir ainsi des renseignements sur
les structures algébriques aussi bien que sur les structures topologiques. La com-
paraison doit s’opérer, non grâce à un isomorphisme niveleur, mais plutôt via un
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