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 COURS LES ANGLES Objectifs : Être capable de connaître les angles Être capable de mesurer un angle Être capable de comprendre les cosinus et les sinus , Être capable d’appliquer des formules. Définition d’un angle : Un angle est formé de deux demi­droites de même origine. Cette origine est appelée le sommet de l’angle. Les demi­droites sont appelées les côtés de l’angle. L’unité de mesure d’un angle est le degré. On le mesure avec un rapporteur. Angle nul
Un angle nul mesure 0°. Les deux droites sont superposées 1 Angle aigu ​
La mesure d’un angle aigu est comprise entre l’angle nul et l’angle droit, donc entre 0° et 90°. Angle droit Angle obtus Un angle droit mesure 90°. ​
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Un angle obtus est compris entre un angle droit et un angle plat. Sa mesure est donc comprise entre 90° et 180°. Angle plat Un angle plat mesure 180°. Les deux droites ​
sont à l’opposé. 2 Construire un angle avec un rapporteur Pour construire un angle droit avec un rapporteur, il nous faut donc un rapporteur. Il faut tracer une droite et mettre un point dessus. Il faut mettre le 0 du rapporteur sur le point de la droite, et mettre deux points : un au 0 puis un au 90. Exemple : 3 Calculer les angles d’un triangle Quelques formules à savoir... Ces formules permettent de calculer des longueurs ou des angles dans un triangle. Mais avant de commencer, déterminons dans un triangle le coté opposé d’un angle, le coté adjacent et l'hypoténuse… 4 Sur ce triangle, L’hypoténuse est le grand côté soit AC le côté opposé à l’angle A est le segment BC Le côté adjacent est le segment AB On peut calculer des valeurs (les cosinus et les sinus) d’un angle avec une calculatrice : Sur le tableau par exemple, le cosinus de 60° est égal à 0,5 On sait aussi grâce à la formule (+haut) que : 5 et pour le sinus Si on connaît la mesure de l’angle en A (41°) et la longueur de l’hypoténuse (AC = 5,4 cm) On peut trouver avec le sinus et la formule la longueur de BC (le coté opposé à l’angle en A) Pour Cela j’utilise la formule : Sin A = Côté opposé / Hypoténuse 6 Je remplace par les chiffres que j’ai : Sin 41 = Côté Opposé / 5,4 Avec la calculette je trouve sin 41 = 0,65 Ce qui donne : 0,65 = Côté Opposé / 5,4 donc 0,65 X 5,4 = Côté Opposé = 3,51 cm __ Je peux aussi faire l’inverse c’est­à­dire trouver l’angle si je connais des longueurs : Si je sais que AB = 4,1 cm (Coté adjacent) et que l’hypoténuse = 5,4 cm J’utilise la formule du cosinus : cos A = AB / AC = 4.1 / 5.4 = 0.75 cos A = 0.75 avec une calculette on peut trouver l’angle en A, en utilisant la fonction inverse du cosinus : (Pas de panique 7 c’est sur la calculatrice !) en appuyant sur ​
2nd cos​
puis 0.75​
puis ​
entrée​
= 41° On peut vérifier en faisant cos 41° = 0.75 Donc l’angle en A est de 41°. ____ Maintenant il faut comprendre visuellement à quoi correspondent les cosinus et les sinus. Voici un cercle trigonométrique, il nous donne les sinus et les cosinus : Le centre du cercle c’est le zéro, et les bords sur l’axe horizontal et vertical c’est 1. 8 Par exemple, pour cos 60° il faut suivre la ligne en pointillés, et ça nous donne ½. (sur l’axe horizontal) et bien le cos de 60° est égal à 0,5 ! Voilà d’où vient la réponse de la calculatrice ! 9 Pour le sin 60° on suit les pointillés jusqu’à l’axe vertical : ce qui donne V3/2 (Racine de 3 sur 2) = 0, 86 EXERCICES POUR S’ENTRAÎNER 1) Les angles : 10 Dessinez un triangle aigu et donnez sa mesure : Dessinez un angle obtus et donnez sa mesure : Dessinez un angle plat et donnez sa mesure : Dessinez un angle nul et donnez sa mesure : Dessinez un angle droit et donnez sa mesure : 2) ​
Sinus et cosinus : a. A l’aide de la page 8, trouvez le sinus de 135°, de 150°, de 90° et de 180°. 3) ​
Exemple​
: Dans un triangle rectangle ABC rectangle en B (=90°) AC est l’hypoténuse, AC mesure 5 cm, AB mesure 3 cm, peut­on trouver combien mesure BC ? On sait que le sin en C ou de l’angle ACB = côté opposé / hypoténuse = ⅗ = 0.6 11 avec la calculatrice je fais 2nd sin 0.6 et je connais l’angle en c =36.86° quand je connais l’angle en C je peux chercher la longueur de BC comme ça cos 36.86° = coté adjacent/ hypothénuse = ? / 5 donc 5 X cos 36.86° = coté adjacent = 0.8 X 5 = 4 Si je construis un dessin, je vérifie avec une règle et ça marche ! Maintenant je peux même calculer le troisième angle (car la somme des angles d’un triangle; c’est 180°) donc c’est 180 ­90 ­ 36.86 = ??? 12