Cahier de l`élève

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2
Situation d’apprentissage
MAT-5153-1 Séquence CST 5 e secondaire
Mise en situation
Les châteaux forts, vestiges d’une autre
époque certes font encore aujourd’hui la
fierté des Européens. Ces monuments
sont la preuve de savoirs faire hors pair
et il est très compréhensible de tout
mettre en place pour les conserver.
Comme les mouvements de sol et les
tremblements de terre ont pour effet de
déplacer les monuments, la préservation
de ces derniers exige donc un grand
savoir-faire. En effet, comme ils ont été bâtis à des endroits stratégiques et parfois difficiles
d’accès, les arpenteurs-géomètres, agissant comme vigiles du patrimoine, doivent utiliser
des techniques de mesure précises et des techniques de calcul rigoureuses afin de s’assurer
que les monuments sont sécuritaires pour les touristes qui parcourent la planète pour les
visiter. À la suite de l’analyse comparative d’une année à l’autre de ces mesures, les
gestionnaires de ces sites historiques peuvent intervenir au besoin, en vue de le rénover et
de les maintenir dans un état presque identique à celui du moment de leur construction.
Prenons, par exemple, un château fort entouré de quatre tours ayant la forme de prismes
droits à base carrée. Dans le but de s’assurer que les mouvements de sol liés aux
tremblements de terre n’ont pas trop altéré les fondations des tours, des arpenteursgéomètres prennent des mesures, à l’aide d’instruments, qu’ils colligent par la suite dans un
carnet.
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Carnet des arpenteurs
Hauteur de la tour
Les arpenteurs géomètres prennent la mesure des angles d’élévation à deux endroits
différents (K) et (L) distants de 30 m entre eux. Le schéma ci-dessous illustre bien la
méthode utilisée.
Identification de
l’angle de mesure
Mesure
en degré
∠𝐺𝐾𝐻
26,92o
∠𝐺𝐿𝐻
38,12o
Vue de côté
Dimension de la base de la tour
Les arpenteurs géomètres prennent la mesure des angles de visées entre eux (E et F) et
les coins de la tour (C et A sur le schéma). Les mesures sont effectuées à deux endroits
différents (F) et (E) distants de 47,17 m entre eux.
Le schéma ci-dessous illustre bien la méthode utilisée.
Identification de
l’angle de mesure
Mesure
en degré
∠𝐶𝐸𝐴
21,11o
∠𝐴𝐸𝐹
88,85o
∠𝐶𝐹𝐴
14,32o
∠𝐶𝐹𝐸
37,66o
Vue de haut
À l’aide des informations contenues dans le carnet des arpenteurs-géomètres,
déterminez les dimensions d’une des tours (la hauteur et les côtés de la base) et
comparez vos résultats avec ceux colligés depuis les deux dernières années.
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En vue identifier les limites des connaissances acquises en 4e secondaire en ce qui a trait à la
trigonométrie, nous vous suggérons d’explorer la situation et de faire ressortir les obstacles de
calcul.
EXPLORER LA SITUATION DE DÉPART
La recherche de mesure dans de telles situations peut se faire en identifiant deux sousproblèmes :


Déterminer la hauteur de la tour en utilisant les relations trigonométriques des
triangles rectangles ;
Déterminer la mesure des côtés de la base de la tour à l’aide de relations
trigonométriques dans les triangles quelconques ;
Avant de procéder aux calculs des mesures d’angles et de côtés, utilisons différentes
stratégies en vue de faire ressortir des données pertinentes utiles.
Stratégie 1 (séparer la figure initiale en plus petites figures connues)
En vue de bien cerner la situation problème, nous avons fait ressortir deux triangles du
schéma contenu dans le carnet. Sur ces figures, inscrivez les mesures (angles et de côtés) du
carnet.
E
C
E
F
A
F
Stratégie 2 (Éclater la figure initiale en vue d’avoir le plus d’alternatives possible)
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Les quatre triangles ci-dessous représentent un découpage stratégique de l’illustration de
départ. À l’aide de vos connaissances sur les triangles, déduisez le plus de mesures que vous
pouvez et inscrivez-les ci-dessous.
Nous avons ajouté un point Q qui est commun aux quatre triangles.
E
C
Q
A
F
Suggestions : Utiliser le théorème de la somme des angles intérieurs d’un triangle, ainsi que la loi des
sinus afin de déduire les mesures.
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L’OBSTACLE
Vos déductions vous ont sûrement amenées à identifier le triangle CQA où Q représente le
point de rencontre des lignes de visée des arpenteurs-géomètres, comme la clé pour
résoudre cette situation problème.
Bien que nos déductions nous ont permis de déterminer l’angle Q, ainsi que les mesures des
côtés QC et QA, nous ne connaissons ni l’angle C, ni l’angle A ainsi en l’absence des mesures
opposées à ces mesures, nous ne pouvons pas déduire la diagonale de la tour (CA).
C
?
Q
A
La loi des sinus est inutile dans la situation C-A-C (côté – angle - côté), il est donc nécessaire
de rechercher de nouvelles propriétés des triangles quelconques.
Nous verrons dans la suite de la situation d’apprentissage un nouvel outil qui complétera
nos connaissances pour résoudre tous les types de triangles.
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LOI DES COSINUS
Soit le triangle quelconque ABC suivant :
C

A


B
Démontrez que la mesure de a, côté opposé à l’angle 
formule : 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶).
Indice :
Construire une hauteur issue du sommet C relative à la base AB et utiliser la relation de Pythagore
deux fois!
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EXEMPLE D’APPLICATION DE LA LOI DES COSINUS
Avant de revenir à la situation de départ et résoudre le triangle pour la diagonale CA,
résolvez l’exercice ci-dessous.
Soit le triangle ABC ci-dessous, utilisez loi des cosinus pour déterminer la
mesure de l’angle 


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RETOUR SUR LA SITUATION DE DÉPART
Revenez à la situation de départ, inscrivez les mesures sur le triangle QAC et déterminez la
mesure du côté CA.
Espace pour votre démarche
C
Q
A
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De plus, déterminez la hauteur de la tour en utilisant les informations du carnet.
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Comparez vos déductions avec les mesures des années antérieures.
Voici les données colligées depuis les deux dernières années.
An 1
Hauteur de la tour : 45,36 m
Diagonale de la tour : 19,89 m
An 2
Hauteur de la tour : 44,87 m
Diagonale de la tour : 20,81 m
Inscrivez vos conclusions dans cet espace.
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SITUATION PROBLÈME (NOUVELLE)
En vue de consolider vos nouveaux apprentissages, nous vous suggérons cette nouvelle
situation problème.
À vous de jouer!
Dans la région de la Bretagne, en France, plus précisément à
Plogoff, on y a érigé un phare sur un rocher. Ce monument
fut construit entre 1882 et 1887 et chaque année, des
arpenteurs-géomètres n’ayant clairement pas accès
facilement au phare mesure à l’aide d’instruments sa
hauteur afin de déterminer sa portée.
Voici comment ils s’y prennent, à bord d’un bateau :
1. Ils dessinent un triangle ABC sur une carte telle que B représente la base du
rocher et tel que l’ordre des sommets du triangle se fait dans le sens antihoraire des
aiguilles d’une montre;
2. Ils mesurent à l’aide d’un GPS la distance entre B et C ;
3. Ils mesurent l’angle entre les côtés BC et CA ;
4. Ils mesurent avec un GPS la distance entre C et A ;
5. En A, ils mesurent l’angle d’élévation au-dessus du niveau de la mer (base du rocher)
et la hauteur du phare (H).
Voici les résultats de leurs mesures à chacune des étapes:
𝑚𝐵𝐶 = 74,56𝑚
𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 43𝑜
𝑚𝐶𝐴 = 87,50𝑚
𝑚∠𝐵𝐴𝐻 = 29,22𝑜
À l’aide de ces données, déterminez la hauteur du phare sans vous mouiller!
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