4.2 C`est quoi ton code

4.2 C’est quoi ton code ?
Les codes servent parfois à cacher des informations que l’on ne veut
pas partager, mais ils peuvent aussi servir à en faciliter le partage.
Cette activité propose aux élèves de lire des textes traitant des mathématiques qui se cachent derrière des codes que l’on voit tous les
jours et de traduire en leurs propres mots ce qu’ils en auront compris. Ils pourront ensuite s’entraider et expliquer aux autres ce qu’ils
auront appris. L’activité permet donc aux élèves de comprendre, de
traduire et de communiquer des principes mathématiques ainsi que
de coopérer entre eux.
Intentions pédagogiques
• Développer la capacité de lecture et de compréhension de textes à
caractère mathématique de l’élève
• Développer la capacité à rendre compte de principes mathématiques et à vulgariser ses connaissances
Forme de la production attendue
• Réponses courtes à des exercices
• Plan de présentation
• Présentation de quelques minutes de chaque dyade aux quatre
autres membres de l’équipe
Concepts utilisés
• Manipulations arithmétiques
• Algèbre de base
• Section « Curieux » : Notation binaire et changement de base
Ressources matérielles
• Dagenais, Jocelyn ( été-automne 2006 ). « Codes numériques,
Codes-barres ». Accromath [revue], Volume 1, sur le site
Accromath, http ://accromath.uqam.ca/
Présentation | 4.2 C’est quoi ton code ? Commentaires sur l’activité
Préparation
• La première étape consiste en une période de lecture et de compréhension de textes à caractère mathématique et de recherche sur
le sujet afin de se préparer à l’activité. Elle peut se faire en classe,
mais tout aussi bien en devoir. Cette partie se déroule de façon individuelle, mais il est important que les élèves comprennent bien le
rôle qu’ils devront jouer par la suite.
• Préciser les étapes du travail avec les élèves avant de les laisser
travailler.
Réalisation
• Dans la deuxième et la troisième étape, les élèves doivent faire une
présentation, en équipe de deux, aux quatre autres membres de
leur équipe. Un plan de présentation est demandé afin de les amener à transposer en leurs mots leur compréhension des textes qu’ils
ont lus.
• On peut demander aux élèves de préparer des exercices supplémentaires afin d’aider leurs pairs à mieux comprendre. En un certain
sens, on leur demande de devenir des enseignants.
• Préciser aux élèves qu’ils peuvent enrichir leur présentation en faisant des recherches sur Internet si la ressource est disponible au
moment de la préparation.
• Prévoir un moment en classe afin de s’assurer que les jeunes valident leur compréhension ( correction de leurs exercices, temps
pour poser des questions, etc. ) avant de présenter leur exposé aux
autres. Insister sur une démarche claire dans leurs exercices afin
qu’ils puissent servir de solutionnaires pour les autres.
Intégration
• À la suite de chaque présentation, proposer des exercices
afin de s’assurer que tous ont
bien compris.
• Des séries d’exercices sont proposées pour chaque sujet, en
plus d’une série d’exercices portant sur tous les sujets. Selon
la force du groupe ou le temps
disponible, on peut distribuer
les exercices dans l’ordre souhaité.
• L’objectif de cette activité est
d’amener les élèves à interpréter, à produire et à transmettre
des messages à caractère mathématique. Dire aux élèves que
développer la compétence 3 :
« Communiquer à l’aide du
langage mathématique » les
amène à approfondir leur compréhension des concepts par la
clarification de leurs idées sur
le sujet.
Pistes de différenciation
• Il serait pertinent de répéter fréquemment l’intention de la présentation, soit de s’assurer que tous les membres de l’équipe comprennent, afin que tous les élèves soient capables de faire chacun des
exercices.
• Selon le degré d’autonomie du
groupe, on peut laisser plus ou
moins de place à l’initiative des
élèves.
• Selon le temps disponible, on peut terminer l’activité par des présentations en grand groupe. On pige trois dyades au hasard. De préférence, chaque équipe provient d’un groupe différent. Ces équipes
doivent présenter le sujet pour lequel ils ont lu les extraits de textes.
• Une activité sous la même forme
pour la notation binaire est disponible en annexe. On peut
s’en servir comme d’une partie
« Curieux » pour les élèves qui
ont de l’avance ou on peut la
distribuer comme les autres.
• Rappeler aux élèves qu’ils ont la responsabilité de l’apprentissage
des autres et que c’est un mandat important.
• Inviter l’auditoire à poser des questions et à compléter l’information,
en grand groupe.
Annexe
• Cest_quoi_ton_code_annexe : Cette annexe permet aux élèves de
voir ce qu’est la notation binaire. Ce texte est extrait d’un blogue
( http ://www.mathoman.com ). Il ne s’agit donc pas d’un article
scientifique, mais plutôt d’une vulgarisation de la notation binaire
par Bernhard Elsner, enseignant de mathématiques.
Présentation | 4.2 C’est quoi ton code ?
Nom : _________________________________________________________
4.2 C’est quoi ton code ?
Sais-tu comment un propriétaire de
commerce détermine la quantité d’objets
qu’il a en magasin ? Autrefois, il devait
fermer son magasin afin de compter,
un à un, les articles qui restaient sur les
tablettes. Avec l’apparition des magasins à grande surface, il fallait trouver
un moyen plus simple pour qu’un commerçant puisse connaître avec précision son inventaire. Viens le découvrir !
Le code CUP
Les découvertes mathématiques sont nombreuses et, parfois, elles se
trouvent sous notre nez sans que nous en soyons conscients. Lors de
Show Math, vous avez vu que l’on pouvait coder des messages pour
les rendre illisibles aux intrus. On peut aussi coder pour simplifier la
gestion des inventaires, la gestion des commandes et la gestion de
l’information.
Étape 1 : En équipe de deux, vous devez lire les textes suivants et faire les
exercices en lien avec votre sujet : le code CUP. Vous devez comprendre
les mathématiques qui s’y cachent afin de pouvoir les expliquer aux autres
membres de votre équipe.
Étape 2 : Lorsque vous aurez bien compris votre sujet, vous devez vous
préparer à le présenter à des élèves qui n’ont pas lu les textes. Chaque
dyade doit remettre un plan écrit de sa présentation.
Étape 3 : Faites votre présentation aux membres de votre équipe. Assurezvous qu’ils soient eux-mêmes capables d’expliquer les différents sujets et
de faire les exercices. Vous devenez les enseignants de vos coéquipiers.
Lorsque vos coéquipiers vous auront présenté leurs sujets, faites les exercices qui s’y rattachent pour vérifier votre compréhension.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code CUP | 1
Complétez les représentations visuelles des chiffres pour l’élément A et
pour l’élément C
Extrait 1
Élément A
Le code-barres est une série de
chiffres écrits sous la forme de
lignes parallèles et d’épaisseur
égale. Il permet aux lecteurs optiques d’identifier différents articles. Il existe plusieurs façons de
constituer ces codes. Une méthode
est le code CUP ( Code Produit Universel ). Elle a été développée par
G.J Laurer et est utilisée aux ÉtatsUnis et au Canada. Ce code est
composé d’une série de 12 chiffres.
Dans le tableau suivant, on retrouve
l’écriture des chiffres de 0 à 9 en
code-barres. Le 0 représente une ligne verticale blanche, alors que le 1
représente une ligne verticale noire.
Officiellement, le premier article
identifié par un lecteur de codebarres est un paquet de gomme
à mâcher de marque Wrigley.
Cela se passait à Troy en Ohio, le
24 juin 1974, dans un super marché Marsh.
Représentation
Élément C
0
0001101
1110010
1
0011001
1100110
2
0010011
1101100
3
0111101
1000010
4
0100011
1011100
5
0110001
1001110
6
0101111
1010000
7
0111011
1000100
8
0110111
1001000
9
0001011
1110100
Pour un code CUP, du premier au
sixième chiffre, il faut utiliser l’élément A ( première colonne ) pour
créer le code-barres. Pour coder
le septième au douzième chiffre,
on utilise l’élément C ( deuxième
colonne ). De plus, on insère « 101 »
au début et à la fin du code-barres.
En plein centre, on insère « 01010 »,
qu’on appelle la barre de garde.
Prenons du beurre d’arachides. Son
code CUP se lit comme suit :
Représentation
Les éléments B ne sont utilisés que pour certains types de
codes basés sur EAN, quand le
nombre de chiffres est suffisant.
Ils permettent dans certaines
conditions de coder un ( voire
plusieurs ) chiffre supplémentaire sans élargir le code-barres,
tout en respectant les mêmes
contraintes de lecture. 0 68100 08329 3.
( 101 )
inséré au début
Barre de garde
( 01010 )
( 101 )
inséré à la fin
Élément A
Élément C
0
6
8
1
0
0
0
8
3
2
9
3
0001101
0101111
0110111
0011001
0001101
0001101
1110010
1001000
1000010
1101100
1110100
1000010
2 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code CUP
Chiffre vérificateur
On vérifie si ce code est valide de la façon suivante :
1. on additionne les chiffres en position impaire ensemble ;
2. on multiplie le résultat par trois ;
3. au résultat, on additionne les chiffres en position paire ;
4. on prend le chiffre en position des unités et on le soustrait à 10.
Le résultat est le chiffre-clé ! Voyez l’exemple dans l’extrait suivant.
Texte inspiré de : « Code-barres EAN » ( 2009, 26 juillet ), dans Encyclopédie Wikipedia, sur le
site Wikipedia. http ://fr.wikipedia.org/wiki/Code-barres_EAN.
Wikipédia est une encyclopédie
multilingue, universelle, librement
diffusable, disponible sur le web
et écrite par les internautes grâce
à la technologie wiki. Comme toute
source d’information, elle doit être
utilisée avec un esprit critique.
Extrait 2
Que veut dire UPC ? En anglais, ça
signifie « Universal Product Code »,
c’est-à-dire, Code Universel de Produit ( CUP ). Il existe plusieurs versions de codes UPC dont les plus
communs sont le code UPC à douze
caractères de type A et celui à
huit caractères de type E. Voici un
exemple de code UPC :
En additionnant les chiffres en position impaire, sauf le chiffre-clé, et en
multipliant le résultat par 3, on obtient 57. En additionnant les chiffres
en position paire, on obtient 17.
La somme de ces résultats est :
0+4+0+1+5+9
0 64200 11589 6
Le UPC de type A est composé de
douze chiffres. Le premier chiffre
de gauche indique le type d’UPC.
Les cinq chiffres du premier groupe
représentent le code du fabricant
tandis que les cinq qui suivent représentent le code produit assigné
par le fabricant. Le chiffre final est
le chiffre-clé. On peut déterminer le
chiffre-clé en faisant les opérations
suivantes :
0 64200 11589 6
6+2+0+1+8
On obtient le chiffre-clé en soustrayant ce résultat du multiple de 10
supérieur à la somme obtenue. On
trouve donc 6 comme chiffre-clé.
Multiple de 10 supérieur à la somme
moins la somme donne le chiffre-clé
Source : Dagenais, Jocelyn ( été-automne 2006 ). « Codes numériques, Codes-barres ». Accromath [revue], Volume 1, sur le site Accromath. http ://accromath.uqam.ca/
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code CUP | 3
Nom : _________________________________________________________
4.2 C’est quoi ton code ?
Avec l’immense quantité de livres publiés chaque année, il peut devenir difficile de retrouver exactement celui que
l’on recherche. Comment les éditeurs
et les libraires font-ils pour différencier
les livres qui ont le même titre ou qui ont
été édités plusieurs fois ? C’est grâce à
un code unique qui se sert des mathématiques ! Viens le découvrir !
Le code ISBN
Les découvertes mathématiques sont nombreuses et, parfois, elles se
trouvent sous notre nez sans que nous en soyons conscients. Lors de
Show Math, vous avez vu que l’on pouvait coder des messages pour
les rendre illisibles aux intrus. On peut aussi coder pour simplifier la
gestion des inventaires, la gestion des commandes et la gestion de
l’information.
Étape 1 : En équipe de deux, vous devez lire les textes suivants et faire les
exercices en lien avec votre sujet : le code ISBN. Vous devez comprendre
les mathématiques qui s’y cachent afin de pouvoir les expliquer aux autres
membres de votre équipe.
Étape 2 : Lorsque vous aurez bien compris votre sujet, vous devez vous
préparer à le présenter à des élèves qui n’ont pas lu les textes. Chaque
dyade doit remettre un plan écrit de sa présentation.
Étape 3 : Faites votre présentation aux membres de votre équipe. Assurezvous qu’ils soient eux-mêmes capables d’expliquer les différents sujets et
de faire les exercices. Vous devenez les enseignants de vos coéquipiers.
Lorsque vos coéquipiers vous auront présenté leurs sujets, faites les exercices qui s’y rattachent pour vérifier votre compréhension.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code ISBN | 1
Extrait 1
Les lettres ISBN constituent l’acronyme de International Standard
Book Number ( Numéro International Standardisé du Livre ). Tel
qu’expliqué sur le site de la Bibliothèque nationale du Québec :
« Le numéro ISBN se présente, par
exemple, sous la forme suivante :
ISBN 2-89037-262-6
Il est toujours composé de dix
chiffres répartis en quatre segments de longueur variable et séparés par un tiret :
• Le premier segment indique le
groupe national, linguistique,
géographique ou autre. Le code
" 2 ", par exemple, identifie les
éditeurs francophones. Ce segment désigne le groupe linguistique auquel appartient l’éditeur et non pas la langue dans
laquelle le livre est publié ;
• Le second segment identifie l’éditeur du document : sa
longueur varie en fonction du
nombre d’ouvrages publiés par
l’éditeur ;
• Le troisième segment numérote
le document parmi les publications de l’éditeur : sa longueur
est déterminée en fonction de
la longueur des deux premiers
segments ;
• Le quatrième segment est un
chiffre de contrôle permettant
de vérifier automatiquement
par ordinateur la validité de
l’ISBN. Ce chiffre est le résultat
d’une opération mathématique.
Il peut arriver que ce dernier
soit un " X " au lieu d’un chiffre.
C’est l’équivalent romain du
chiffre " 10 " et il faut écrire X. »
Pour vérifier un code ISBN, on multiplie chaque chiffre, sauf le dernier,
par son rang et on fait la somme
de ces produits. Le chiffre-clé
est le reste après division de cette
somme par 11. Pour illustrer cette
procédure, considérons le livre
Panoram@th, Manuel A – Volume 2,
de Richard Cadieux, Isabelle Gendron et Antoine Ledoux aux Éditions CEC. Le numéro de cet ouvrage est : 2-7617-2138-1.
En multipliant les neuf premiers
chiffres par leurs rangs respectifs et
en effectuant la somme, on obtient :
Chiffres
Rang
Produits
2
1
2
7
2
14
6
3
18
1
4
4
7
5
35
2
6
12
1
7
7
3
8
24
8
9
72
1
188
En divisant cette somme par 11, on
obtient :
188 = 11 x 17 reste 1
Le numéro ISBN est valide puisque
le reste est égal au chiffre-clé.
Comme cet exemple l’indique, on
trouve des mathématiques simples
dans plusieurs des applications
techniques qui nous entourent.
Source : Dagenais, Jocelyn ( été-automne 2006 ). « Codes numériques, Codes-barres ».
Accromath [revue], Volume 1, sur le site Accromath. http ://accromath.uqam.ca/
2 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code ISBN
Extrait 2
L’ISBN ( International Standard Book
Number ) ou numéro international
normalisé du livre est un numéro
international qui permet d’identifier, de manière unique, chaque livre
publié. Il est destiné à simplifier la
gestion informatique du livre : bibliothèques, libraires, distributeurs,
etc.
Il ne faut pas le confondre avec
l’ISSN ( International Standard Serial Number ) qui, lui, est réservé
aux journaux, revues et autres publications périodiques […].
La norme ISO 2108 […] spécifie la
construction du numéro ISBN, les
règles de son attribution ainsi que
l’administration du système ISBN.
La première édition de cette norme
est parue en 1972.
Présentation
Le numéro ISBN-10 se composait
de quatre segments : trois segments
de longueur variable et un segment
de longueur fixe. La longueur totale
de l’ISBN comprenait dix chiffres
( le 1er janvier 2007, la longueur a
été étendue à 13 chiffres en ajoutant un groupe initial de 3 chiffres ).
Les quatre segments d’un ancien
code ISBN à 10 chiffres sont : A - B
- C - D .
A identifie un groupe de codes pour
un même pays, une zone géographique ou une zone de langue : 0 ou
1 pour les productions de pays anglophones, 2 pour les pays francophones, 3 pour les pays germanophones, mais 982 pour le pacifique
sud, etc. Sa longueur est variable :
un caractère pour les zones ayant
une production abondante ( 0, 1, 2,
etc. ), plusieurs pour les zones ayant
une production moins abondante,
jusqu’à 5 caractères au maximum.
Par exemple, pour les publications
faites au Cambodge, le code est
99950. Les organisations internationales ont un code réservé : 92. Ce
premier segment ne présume pas
de la langue de rédaction de l’ouvrage, ainsi des ouvrages publiés
en France avec un code 2- peuvent
être rédigés en anglais.
B identifie l’éditeur de la publication.
Sa longueur est variable au sein de
chaque groupe linguistique : depuis
un caractère pour les éditeurs ayant
une production abondante jusqu’à
7 caractères pour les éditeurs ayant
une production moindre.
ISBN-13 et code à barres EAN-13
Pour faciliter la gestion informatique,
chaque livre porte un code à barres
à la norme EAN-13 et un code ISBN13 dont il est dérivé.
Ce code comporte 13 chiffres et est
aujourd’hui obligatoire ( depuis janvier 2007 ) et sera utilisé pour tous
les nouveaux codes ISBN à la place
du code à 10 chiffres. En effet, l’ancienne numérotation est arrivée
à saturation et ne permettait plus
d’attribuer simplement des groupes
de codes spécifiques aux différents
éditeurs ( qui devaient alors rechercher des accords avec d’autres éditeurs ayant des ressources de numéros libres dans les groupes de
numérotation qui leur avaient été
attribués dans le passé ).
C correspond au numéro d’ordre
de l’ouvrage chez l’éditeur qui, habituellement, l’attribue séquentiellement ( sauf en cas de partage de
code résultant d’un accord entre
éditeurs ). Sa longueur est, elle
aussi, variable : depuis un caractère
pour les éditeurs ayant une production peu abondante, jusqu’à 6 pour
les éditeurs ayant une production
abondante. On complète cette
zone par des zéros de telle façon
que la longueur totale soit égale à
10.
D est un code clé de vérification
sur un caractère calculé à partir des
chiffres précédents. Outre les chiffres de 0 à 9, la clé de contrôle peut
prendre la valeur X, qui représente
le nombre 10.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code ISBN | 3
La conversion d’un ancien code ISBN-10 en code ISBN-13
• On ajoute trois chiffres au début du code. Les trois premiers chiffres
valent « 978 » ou plus.
• Les neuf chiffres suivants sont les neufs premiers chiffres de
l’ISBN-10 ( code de la zone géographique, code de l'éditeur, numérotation interne à l'éditeur ).
• Le dernier chiffre est une clé de contrôle calculée en fonction des
12 premiers chiffres.
Vérification de la clé de contrôle
Pour vérifier la clé de contrôle, il faut utiliser une méthode mathématique
que l’on utilise aussi pour vérifier un code CUP. Prenons un exemple, soit
le code ISBN-13 suivant : 978-2-7650-2457-6.
1. Faire la somme des chiffres en position impaire.
9 + 8 + 7 + 5 + 2 + 5 = 36
2. Faire la somme des chiffres en position paire et multiplier le résultat par 3.
( 7 + 2 + 6 + 0 + 4 + 7 ) x 3 = 78
3. F
aire la somme des résultats obtenus aux deux premières étapes.
Diviser le résultat par 10.
( 36 + 78 ) ÷ 10 = 11 reste 4
4. P
rendre le reste de la division et soustraire ce reste à 10. Le résultat
est le chiffre clé.
10 - 4 = 6
Source : « ISBN » ( 2009, 26 juillet ), dans Encyclopédie Wikipedia, sur le site Wikipedia.
http ://fr.wikipedia.org/wiki/ISBN
4 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Le code ISBN Wikipédia est une encyclopédie
multilingue, universelle, librement
diffusable, disponible sur le web
et écrite par les internautes grâce
à la technologie wiki. Comme toute
source d’information, elle doit être
utilisée avec un esprit critique.
Nom : _________________________________________________________
4.2 C’est quoi ton code ?
Lorsqu’il y a peu de gens autour de
nous, il est facile de reconnaître chaque
personne par son visage et sa voix. Or,
avec des milliards d’habitants sur la
planète, il est impossible de connaître
l’identité de chacun ! Afin de s’assurer
que les gens ne se font pas passer pour
quelqu’un d’autre, on s’identifie par des
chiffres qui répondent en fait à un code
sécurisé. Viens le découvrir !
Les cartes de crédit et d’assurance sociale
Les découvertes mathématiques sont nombreuses et, parfois, elles se
trouvent sous notre nez sans que nous en soyons conscients. Lors de
Show Math, vous avez vu que l’on pouvait coder des messages pour
les rendre illisibles aux intrus. On peut aussi coder pour simplifier la
gestion des inventaires, la gestion des commandes et la gestion de
l’information.
Étape 1 : En équipe de deux, vous devez lire les textes suivants et faire les
exercices en lien avec votre sujet : les cartes de crédit et d’assurance sociale. Vous devez comprendre les mathématiques qui s’y cachent afin de
pouvoir les expliquer aux autres membres de votre équipe.
Étape 2 : Lorsque vous aurez bien compris votre sujet, vous devez vous
préparer à le présenter à des élèves qui n’ont pas lu les textes. Chaque
dyade doit remettre un plan écrit de sa présentation.
Étape 3 : Faites votre présentation aux membres de votre équipe. Assurezvous qu’ils soient eux-mêmes capables d’expliquer les différents sujets et
de faire les exercices. Vous devenez les enseignants de vos coéquipiers.
Lorsque vos coéquipiers vous auront présenté leurs sujets, faites les exercices qui s’y rattachent pour vérifier votre compréhension.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Les cartes | 1
Extrait 1
Les codes-barres sont lus par les
numériseurs et les chiffres par les
humains. Les cartes de crédits aussi
contiennent des chiffres, seize en
fait. Lorsque vous faites des achats
sur Internet et que vous entrez
votre numéro de carte, si vous faites
une erreur en entrant les chiffres on
vous dira que le numéro de la carte
n’est pas valide. Ces chiffres ont une
fonction bien spécifique : ils servent
à vérifier la validité du code du produit ou si l’on veut ils servent de
code de détection d’erreur. Que ce
soit pour une carte d’assurance sociale, pour un code UPC ( Universal
Product Code ) ou pour un numéro
ISBN ( International Standard Book
Number ), nous retrouvons une application simple des mathématiques
tout à fait fascinante.
Les cartes d’assurance sociale ( et
certaines cartes de crédit )
Au Canada, chaque personne est
identifiée par le gouvernement. La
méthode utilisée pour nos cartes
d’assurance sociale et certaines
cartes de crédit a été développée
par IBM. Pour la validation, la plupart des modèles de détection d’erreur utilisent ce qu’on appelle un
chiffre-clé, souvent situé à l’extrémité droite de la série de chiffres.
Les autres chiffres sont appelés
« chiffres d’information » et peuvent être choisis au hasard, mais le
chiffre-clé, lui, est calculé. De plus,
les espaces n’ont aucune valeur, ils
servent seulement à nous aider à
lire les nombres. Cependant, la position des chiffres est d’une importance primordiale.
Voyons avec l’exemple suivant :
Employment and
Emploi et
Immigration Canada Immigration Canada
SOCIAL
INSURANCE
NUMBER
NUMÉRO
D’ASSURANCE
SOCIALE
324 217 694
PIERRE TREMBLAY
SIGNATURE
Pierre Tremblay
En écrivant en gras les chiffres occupant des positions « impaires » à
partir de la droite et en léger celles
occupant des positions « paires ».
324 217 694
En additionnant les nombres en
gras, on obtient :
Le numéro d’assurance sociale est
valide si le résultat est divisible par
10. Dans cet exemple, 40 est divisible par 10, le numéro est valide.
Comment calculer le chiffre-clé ?
Le procédé de validation nous indique comment le chiffre-clé est
calculé. Avec un peu d’algèbre et
en remplaçant le chiffre-clé par x
dans les calculs, nous pouvons résoudre une simple équation en x.
Par exemple, supposons que la
suite des chiffres d’information de
votre carte d’assurance sociale soit
22501008. Alors, votre numéro d’assurance sociale serait :
225 010 08x
3 + 4 + 1 + 6 + 4 = 18
et x est calculé comme suit.
En multipliant par 2 chacun des
chiffres occupant une position
paire, on obtient :
2+5+1+0+x=8+x
3 + 4 + 1 + 6 + 4 = 18
4
324 217 694
4 + 0 + 0 + 1 + 6 = 11
19 + x
4
4
14
18
225 010 08x
0
0
16
+
En additionnant les chiffres qui
composent ces produits, on
obtient :
Pour que 19 + x soit divisible par 10,
le chiffre x doit être 1 et le numéro
d’assurance sociale doit être :
3 + 4 + 1 + 6 + 4 = 18
225 010 081
324 217 694
4
4
14
18
4 + 4 + 1 + 4 + 1 + 8 = 22
En additionnant les deux résultats :
3 + 4 + 1 + 6 + 4 = 18
324 217 694
4
4
14
+
18
4 + 4 + 1 + 4 + 1 + 8 = 22
40
2 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Les cartes
Efficacité de la détection d’erreur
Les deux erreurs les plus communes lors de l’entrée de chiffres sont :
• L’entrée incorrecte d’un des chiffres ;
• L’inversion de deux chiffres qui se suivent.
Il n’existe aucune méthode qui puisse détecter toutes les erreurs, mais une
méthode de détection efficace doit être capable de repérer les erreurs les
plus courantes. La méthode d’IBM peut détecter si un seul chiffre à été
changé, même lorsqu’il s’agit du chiffre-clé.
Afin d’illustrer cette méthode, vérifions la carte de crédit ci-contre.
En remplaçant le chiffre 7 par x, nous obtenons le numéro de carte :
4002
4002 1265 7021 0693
4002 1265 x021 0693
MONTH/YEAR
EXPIRES
La position du nombre x signifie qu’il doit être multiplié par 2 lors du
procédé de validation. Selon la valeur de x, le nombre 2x pourrait être
composé d’un ou de deux chiffres. Considérons les deux cas séparément.
12/16
Pierre Tremblay
a ) S
i 0 ≤ x < 5 ( alors 2x est composé d’un seul chiffre ). En appliquant le
procédé IBM, la somme finale est 45 + 2x. Peu importe la valeur de x, il
n’est pas divisible par 10 et alors une erreur est détectée.
b ) S
i 5 ≤ x ≤ 9 ( alors 2x est composé de deux chiffres ). Les deux chiffres
composant x sont 1 et 2x - 10.
En appliquant le procédé, la somme finale est 36 + 2x. Puisque x ≠ 7 et que
5 ≤ x ≤ 9, le résultat ne peut pas être divisible par 10. Une erreur est
détectée.
Le procédé d’IBM est très efficace pour détecter une erreur si un seul
chiffre est entré incorrectement. Même s’il n’est pas totalement efficace
pour détecter si deux chiffres ont été inversés, il peut en détecter quand
même. Cette méthode détecte si deux chiffres ont été inversés lorsque
les deux chiffres ne sont pas 0 et 9. Pourriez-vous déterminer pourquoi ?
Source : Dagenais, Jocelyn ( été-automne 2006 ). « Codes numériques, Codes-barres ».
Accromath [revue], Volume 1, sur le site Accromath. http ://accromath.uqam.ca/
Note : La section de cet article traitant des cartes d’assurance sociale est une traduction d’une
partie de l’article « We’ve got your number » de Ted Lewis paru dans la revue Pi in the Sky de
juin 2001.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Les cartes | 3
Extrait 2
Depuis les tout premiers débuts de
cette rubrique, à la fin de 2006,
votre chroniqueur favori a reçu, en
tout et pour tout, un grand total de
une question sur les mathématiques.
Une seule, en deux ans et demi. Et
c’est bien dommage, parce qu’il y a
beaucoup, beaucoup plus de maths
dans notre quotidien qu’on ne le
croit. Alors, faisons donc une petite
pause de questions du lecteur cette
semaine, si vous le voulez bien, le
temps de vous montrer que vous
avez, sans le savoir, des maths plein
les poches...
gnétisée, le serveur vérifie que le
numéro saisi est valide en quelques
étapes :
Avec toutes les cartes ( débit, crédit,
assurance sociale, etc. ) que l’homo
numericus garde sur lui, et tous les
numéros qu’elles comportent, on
peut finir par angoisser. Qu’arriveraitil si, par exemple, quelqu’un tapait
son numéro de carte de crédit sur
un clavier en voulant acheter un produit en ligne, mais se trompait d’un
ou de deux chiffres ? Pourrait-il donner par erreur le numéro de carte de
quelqu’un d’autre ? Le vôtre ?
- Enfin, il additionne les deux sommes
obtenues précédemment.
Fort heureusement, la réponse est
non. Ou du moins, les chances sont
très minces grâce à une petite astuce mathématique qui permet de
détecter les erreurs. Les chiffres d’un
numéro de carte de crédit, en effet,
ne sont pas choisis au hasard, mais
doivent se plier à une condition, qui
est de donner un résultat précis à la
suite d’une série d’opérations mathématiques - fort simples, qu’on
se rassure.
Cette petite merveille s’appelle
« algorithme de Luhn », du nom du
savant allemand Hans Peter Luhn
( 1896-1964 ), qui l’a inventé dans
les années 50 alors qu’il travaillait
pour IBM. Ce n’est pas une protection à toute épreuve, puisque des
erreurs multiples peuvent passer à
travers ses mailles, mais la plupart
des méprises n’impliquent qu’un seul
chiffre. Pour celles-là, l’algorithme
de Luhn fait parfaitement l’affaire.
Considérons donc ce numéro de
carte de crédit fictif : 4580 7614
8015 9323. Quand on le tape sur
un clavier, que ce soit pour acheter quelque chose en ligne ou parce
que la bande de la carte est déma-
Fait intéressant, ce code est également utilisé par le gouvernement
fédéral pour nos numéros d’assurance sociale. Faites le test avec le
vôtre, pour voir...
- D’abord, il additionne les chiffres
de rang impair ( soit le premier
chiffre du numéro de la carte, plus
le troisième, plus le cinquième, etc. )
en commençant à partir de la droite.
- Ensuite, il multiplie par deux les
chiffres de rang pair, puis additionne tous les chiffres des produits obtenus. Si un produit a deux
chiffres, ceux-ci sont « séparés » :
16, par exemple, fera 1 + 6.
Si la compagnie de crédit utilise cet
algorithme de vérification - il existe
des variantes -, les chiffres du numéro de carte de crédit seront agencés de telle façon que le résultat
final sera un multiple de 10. Autrement, le serveur saura qu’il y a eu
une erreur dans la saisie du numéro
et refusera la transaction.
Source : CLICHE, Jean-François ( 2009, 12 juillet ). « Mathématiques en format poche ». Le Soleil
( Québec ), sur le site Cyberpresse. http ://www.cyberpresse.ca/
4 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Les cartes
4.2 C’est quoi ton code ?
Exercices
Pour les exercices de votre partie, soignez votre écriture et assurez-vous
d’écrire une démarche complète et claire afin que les membres de votre
équipe puissent l’utiliser comme solutionnaire pour se corriger.
Exercices : Le code CUP
1.
Est-ce que le code CUP du pot de beurre d’arachides est valide ?
0 68100 08329 3
2.
Est-ce que le code CUP suivant est valide ?
0 67820 10654 8
3.
Créez le code-barres de ce produit : une boîte de pâtes dont le
code est 0 64200 11535 3.
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices | 1 4.
Montrez que ce code est valide.
6 22687 00021 2
5.
Quel est le chiffre-clé de ce code ?
0 67311 03011
2 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices
Exercices : Le code ISBN
1.
Est-ce que le code ISBN de ce livre est valide ?
ISBN 2.7616.0534.9
Chiffres
2.
Rangs
Produits
Montrez que le code ISBN de votre manuel de mathématiques
est valide.
Chiffres
Rangs
Produits
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices | 3
3.
Quel doit être le chiffre-clé de ce code ISBN pour que celui-ci
soit valide ? ISBN 2.266.02250 ?
Chiffres
Rangs
4 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices
Produits
Exercices : Les cartes de crédit et
d’assurance sociale
Est-ce que le numéro d’assurance sociale de M. Show Math est valide ?
1.
Employment and
Emploi et
Immigration Canada Immigration Canada
SOCIAL
INSURANCE
NUMBER
NUMÉRO
D’ASSURANCE
SOCIALE
547 543 587
M. SHOW MATH
SIGNATURE
M.Show
Est-ce que le numéro de carte de crédit de M. Show Math est valide ?
2.
4002
4413 0227 7061 9804
MONTH/YEAR
EXPIRES
12/16
M.Show Math
4413 0227 7061 9804
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices | 5
3.
Quel est le dernier chiffre composant ce numéro d’assurance
sociale ( le chiffre-clé ) ?
Employment and
Emploi et
Immigration Canada Immigration Canada
SOCIAL
INSURANCE
NUMBER
NUMÉRO
D’ASSURANCE
SOCIALE
8
012 345 672
8
M. SHOW MATH
SIGNATURE
4.
M.Show
Quel est le dernier chiffre composant ce numéro de carte de
crédit ( le chiffre-clé ) ?
4002
4458 3861 7502 432
MOIS/ANNÉE
EXPIRATION
12/16
M.Show Math
4458 3861 7502
6 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices
Avez-vous bien compris ?
Maintenant que vous avez écouté les présentations de vos coéquipiers,
assurez-vous que vous avez bien compris tous les sujets avec les exercices
suivants.
1.
Le code ISBN d’un roman se lit comme suit : 2.02.042785.0.
Est-ce que le code ISBN de ce roman est valide ?
Chiffres
Rangs
Produits
Est-ce que le code CUP de ce jus de légumes est valide ?
2.
0 67311 03011 9
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices | 7
3.
4.
Se pourrait-il qu’un chiffre soit changé sans que l’erreur ne soit
détectée ? Prenons le numéro de carte de crédit 4413 0227 7061
9804. Prenons le 7 et remplaçons-le par x. Vérifiez quelle valeur peut prendre le x, entre 0 et 9, sauf 7, pour qu’une erreur
soit détectée.
Créez le code-barres de ce produit : un nettoyant antibactérien
dont le code est 8 54077 00078 0.
8 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices
Est-ce que ce code est valide ? 8 54077 00078 0.
5.
6.
Voici un numéro de carte d’assurance sociale. Le dernier chiffre
est illisible. Quel est-il ? 301 452 08x
Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices | 9
Curieux ?
Familiarisez-vous avec la notation binaire en lisant l’annexe
Écrivez les 10 premiers nombres naturels en notation binaire.
7.
Notation décimale
Notation binaire
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Écrivez le nombre 235 en notation binaire.
8.
10 | Cahier de l’élève | 4.2 C’est quoi ton code ? | Exercices
4.2 C’est quoi ton code ?
Annexe – La notation binaire
Extrait
Ceux qui ont vu le film « La Matrice » se rappellent des suites constituées de chiffres 0 et 1 qui défilent sur l’écran presque interminablement,
comme par exemple 10011100100001101010111111. Beaucoup appellent cela
un « nombre binaire », mais cette appellation est mal choisie, mieux vaut
l’appeler « écriture binaire d’un nombre naturel ». Pour mieux comprendre
cette écriture bizarre, faisons un petit détour.
Ce texte est extrait d’un blogue.
Il ne s’agit donc pas d’un article
scientifique, mais plutôt d’une
vulgarisation de la notation binaire par Bernhard Elsner, enseignant de mathématiques.
Les nombres naturels
Les nombres naturels sont les premiers que nous avons appris à l’école :
zéro, un, deux, trois, quatre... Il y en a une infinité, car à chaque nombre
on peut ajouter 1 :
zéro = 0, un = 1, deux = 1 + 1, trois = 1 + 1 + 1, quatre = 1 + 1 + 1 + 1, etc.
Cette écriture en forme de somme est essentiellement la même que
l’écriture primitive par bâtons qu’on trouve sur les murs des prisons : par
exemple |||| pour quatre ou |||| ||| pour huit. Elle prendrait trop de place
pour des grands nombres. Pour éviter cela, on utilise une ruse, que j’illustre d’abord par quelque chose que tout le monde connaît et utilise :
Le système décimal
Il fonctionne comme suit.
Nous convenons que les dix premiers nombres ( zéro, un, deux, trois, ...,
huit, neuf ) sont représentés par les dix symboles 0, 1, 2, 3, ..., 8, 9.
Nous convenons que le onzième nombre, à savoir le 9 + 1 ou encore le dix,
est représenté par la juxtaposition de 1 et de 0 : donc 10.
On donne une règle pour les autres juxtapositions en utilisant les puissances de 10. Voici deux exemples :
236 = 2 x 102 + 3 x 10 + 6 et
190237 = 1 x 105 + 9 x 104 + 0 x 103 + 2 x 102 + 3 x 10 + 7
Il n’est pas difficile de montrer que tout nombre naturel peut s’écrire dans
ce système en n’utilisant que dix chiffres. Le fait qu’on ait pris dix chiffres
est un pur hasard, certainement lié au fait que nous comptons dix doigts.
Cela fonctionnerait de la même manière si nous nous étions contentés par
exemple de sept chiffres ; dans ce cas-là, la juxtaposition 10 signifierait le
nombre sept et 236 signifierait 2 x 102 + 3 x 10 + 6 ( c’est-à-dire 2 x 49 + 3
x 7 + 6 dans notre système décimal habituel ).
Dans toutes les langues que je connais, il y a les noms particuliers « onze »
et « douze » ; on dit « vingt-deux », mais on ne dit pas « dix-deux », on dit
« douze ». Cela montre qu’il fût un temps où nous ne comptions pas en
dizaines, mais en douzaines.
Annexe : La notation binaire | 4.2 C’est quoi ton code ? | 1
Le système binaire
Exemples de passage d’un système à l’autre
Maintenant, au lieu de prendre dix
chiffres, nous nous contentons du
minimum syndical, des deux chiffres
0 et 1. C’est vraiment le minimum,
car avec un seul chiffre, nous ne
pourrions pas aller très loin, nous
serions restreints à la notation primitive par bâtons ||||.
Résumons par deux exemples les règles qui permettent de passer du système binaire au système décimal :
La juxtaposition 10 signifie alors le
nombre deux et 101 signifie 1 x 102
+ 0 x 10 + 1, c’est-à-dire 1 x 4 + 0 x
2 + 1, donc cinq dans notre système
décimal habituel.
Écrivons quelques nombres naturels
dans les deux systèmes, binaire suivi de décimal : 0 est 0, 1 est 1, 10 est
2, 11 est 3, 100 est 4, 101 est 5, 110 est
6, 111 est 7, 1000 est 8, etc.
1 000 000 est 26 = 64, 10 000 000
est 27 = 128, 10 000 000 000 est
210 = 1024 ( un méga ).
Ces derniers nombres sont très familiers en informatique. C’est simplement parce que les ordinateurs
utilisent le système binaire pour
compter. En effet, la manière la plus
simple pour communiquer avec une
machine, c’est de lui donner seulement deux signaux ( et pas trois
ou plus ), comme oui/non, comme
on/off, comme gauche/droite ou
comme haut/bas, etc.
Soit n = 10110, un naturel écrit dans le système binaire. Alors, dans le système décimal c’est le nombre :
n = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20 =
1 x 16 + 0 x 8 + 1 x 4 + 1 x 2 + 0 x 1 = 22
Soit m = 1101, un naturel écrit dans le système décimal ( ! ). Pour le transformer en écriture binaire, nous devons d’abord trouver la plus grande
puissance de 2 qui « rentre » dans m. Nous savons que 210 = 1024 et que
211 = 2048. Donc 210 est la plus grande puissance de 2 qui « rentre » dans 1101
et ainsi l’écriture binaire de m nécessitera onze chiffres, le premier étant
1. Nous avons m = 210 + 77. La plus grande puissance de 2 qui « rentre »
dans 77 est 26 = 64. On est passé directement de la dixième puissance
à la sixième ; les trois puissances « intermédiaires » ( neuvième, huitième,
septième ) sont représentées par des zéros. Donc, l’écriture binaire de
notre nombre commence par les cinq chiffres m = 10001. On poursuit de
la même manière : 77 = 26 + 13 ; la plus grande puissance de 2 qui « rentre »
dans 13 est 23 = 8. Puis 13 = 23 + 5 ; la plus grande puissance de 2 qui
« rentre » dans 5 est 22 = 4. Le dernier reste est 1 = 20. Ainsi, nous obtenons
m = 10001001101 ( notation binaire ).
Pour nous assurer de notre dernier résultat, faisons le test et retransformons l’écriture binaire en écriture décimale. Le nombre m = 10001001101
en binaire devient en décimal :
m = 1*210 + 0*29 + 0*28 + 0*27 + 1*26 + 0*25 + 0*24 + 1*23 + 1*22 + 0*21 + 1*20
donc m = 1024 + 64 + 8 + 4 + 1 = 1101 ( en notation décimale ).
Compris ? Et n’oubliez pas ! Il y a 10 sortes de gens au monde : ceux qui
comprennent la notation binaire et ceux qui ne la comprennent pas ;- ).
MathOMan ( vendredi 12 septembre 2008 ). « La notation binaire », dans Le Blog des Maths [blogue]. http ://www.mathoman.com/index.php/43-la-notation-binaire
2 | Annexe : La notation binaire | 4.2 C’est quoi ton code ?