Théorèmes de Pythagore et de Thalès

CLASSE : Troisième – Chapitre 8 : Théorèmes de Pythagore et de Thalès
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Chapitre 8 : Théorèmes de Pythagore
et de Thalès
3ème
1°) Hypoténuse d’un triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle dont un des angles a pour mesure 90°.
 Règle à retenir : Dans un triangle rectangle, on appelle hypoténuse le côté qui ne touche pas l’angle droit.
L’hypoténuse est aussi le côté du triangle ayant la plus grande longueur.
Exemple : dans la configuration ci-dessous, l’hypoténuse du triangle PNM rectangle en N est le côté [ PM ].
2°) Enoncé du théorème de Pythagore
 Enoncé du théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des
carrés des deux autres côtés.
Exemple : Soit ABC un triangle.
Si le triangle ABC est rectangle en A alors :
2 2 2
ABBCCA
3°) Calculs de longueurs avec le théorème de Pythagore
Il y a deux configurations à connaître.
a) Configuration 1 : on cherche la longueur de l’hypoténuse
 Méthode à suivre : considérons un triangle ABC rectangle en A. On désire calculer la longueur du côté [BC].
 On énonce le théorème de Pythagore :
2 2 2
ABBCCA
 On remplace les longueurs connues par leur valeur :
 On simplifie l’écriture :
236 1C0B64 0  
 On enlève le carré à l’aide de la racine carrée :
10 1BC 00
 Module 1 : Théorème de Pythagore 
2 2 2
6B8C
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et de Thalès
3ème
b) Configuration 2 : on cherche la longueur d’un autre côté
 Méthode à suivre : considérons un triangle FED rectangle en E. On désire calculer la longueur du côté [FE].
 On énonce le théorème de Pythagore :
2 2 2
EFDDFE
 On remplace les longueurs connues par leur valeur :
2 2 2
EF195
 On résout l’équation pour trouver EF
4°) Réciproque du théorème de Pythagore
 Enoncé de la réciproque du théorème de Pythagore :
Soit ABC un triangle dont [BC] est le côté le plus long.
Si
2 2 2
ABBCCA
, alors le triangle ABC est rectangle en A.
 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu’un triangle est rectangle.
Considérons un triangle ABC dont les longueurs des côtés sont connues. Ce triangle est-il rectangle ?
 On repère le côté le plus long :
BC 10
 On calcule le carré de sa longueur :
22
10 0BC 10
 On calcule et on additionne les carrés des longueurs des deux autres côtés :
2 2 2 2
6 8 36 64 10AB AC 0     
 On compare les résultats :
 s’ils sont égaux (comme ici), le triangle est rectangle.
 s’ils ne sont pas égaux, le triangle n’est pas rectangle.
2 2 2
EF195
2
2
2
EF 81
81 EF
144 E
225
225
144 12
F
EF
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et de Thalès
3ème
1°) Enoncé du théorème de Thalès
 Enoncé du théorème de Thalès :
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A.
Soient B et B’ deux points de (d) distincts de A.
Soient C et C’ deux points de (d’) distincts de A.
Si
AB AC BC
(BC) (B C ) alors AB AC B C
 Méthode pour bien énoncer le théorème :
Dans les rapports
AB AC BC
, et
AB AC B C
, on veillera à toujours respecter l’ordre « petit sur grand » comme indiqué sur
ce schéma :
2°) Calculs de longueurs – Partie 1
 Méthode à suivre pour calculer des longueurs avec le théorème de Thalès :
Exemple : sur la figure ci-contre, les droites (BC) et (ED) sont parallèles. On désire calculer la longueur du segment
[CE]. Comme il n’est pas possible de calculer directement CE, on va d’abord calculer AE. Pour cela :
 on énonce le théorème de Thalès :
AB AC
AD AE
(le 3ème rapport est inutile puisque nous n’avons aucune
information sur les distances BC et DE )
 On remplace les distances connues par leur valeur (après avoir constaté que AD = 8 + 12 = 20)
On obtient :
86
20 AE
 on utilise un produit en croix pour écrire cette relation en ligne.
AE 8 20 6  
 on résout cette équation d’inconnue AE.
20 6
AE 8 20 6 AE AE 15
8
La distance CE se déduit facilement de la distance AE :
CE AE 6 15 6 9    
 Module 2 : Théorème de Thalès 
AB AC BC
AB AC B C
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3ème
3°) Configuration croisée
Le théorème de Thalès peut aussi être énoncé dans la situation suivante, appelée « configuration croisée ».
L’énoncé est identique à celui de la configuration classique (celle du cours 1)
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A
Soient B et B’ deux points de (d) distincts de A
Soient C et C’ deux points de (d’) distincts de A
Si
AB AC BC
(BC) (B C ) alors AB AC B C
 Méthode pour bien énoncer le théorème :
Comme dans la configuration classique, on veillera à toujours respecter l’ordre « petit sur grand » comme indiqué sur
ce schéma :
4°) Calculs de longueurs – Partie 2
 Méthode à suivre pour calculer des longueurs avec le théorème de Thalès (configuration croisée).
Exemple : sur la figure ci-contre, les droites (AC) et DB) sont parallèles. On désire calculer la longueur du segment
[OA].
 on énonce le théorème de Thalès :
OA OC
OB OD
(le 3ème rapport est inutile puisque nous n’avons aucune
information sur les distances AC et DB ).
 On remplace les distances connues par leur valeur.
On obtient :
OA 6
15 20
 on utilise un produit en croix pour écrire cette relation en
ligne :
OA 20 6 15  
 on résout cette équation d’inconnue OA.
6 15
OA 20 6 15 OA OA 4,5
20
AB AC BC
AB AC B C

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3ème
5°) Réciproque du théorème de Thalès
La réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
 Enoncé de la réciproque :
On considère deux droites (d) et (d’) sécantes en A.
Soient B et B’ deux points de (d) distincts de A.
Soient C et C’ deux points de (d’) distincts de A.
Cela fonctionne dans les deux configurations :
Remarque : il suffit que deux rapports parmi les trois ( ) soient égaux. Peu importe lesquels.
 Exemple d’utilisation de la réciproque
Dans la configuration ci-contre, on désire démontrer que les droites (CD)
et (C’D’) sont parallèles.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, elles sont parallèles si :
BC BD
BC BD
(on a choisi ces deux rapports car on a des informations sur
les distances BC, BC’, BD et BD’)
On va maintenant calculer ces deux rapports à l’aide des distances
mentionnées sur la figure ) :
BC 2 1
BC 8 4
BD 3 1
BD 12 4
Les deux rapports sont égaux, donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès :
(CD) (C D )
AB AC
Si alors (BC) (B C )
AB AC 
AB AC BC
AB AC B C
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