Pb 1. Nombres de Catalan.

MPSI B
2012-2013 DS 4 (le 30/11/12)
17 avril 2017
Pb 1. Nombres de Catalan.
Pour tout le problème, a et b désignent des entiers naturels tels que a < b. Dans un plan
→
− →
−
muni d'un repère orthonormé (O, ( i , j )) dont les fonctions coordonnées sont notées x et
y , on xe certaines dénitions et notations.
Un point M est sur la diagonale si et seulement si x(M ) = y(M ).
Un point M est au dessous de la diagonale si et seulement si y(M ) ≤ x(M ).
Un point M est strictement au dessous de la diagonale si et seulement si y(M ) < x(M ).
On appelle chemin une famille de points à coordonnées entières
−−−−−−→
→
− →
−
(M0 , M1 , · · · Mp ) tq ∀k ∈ J0, p − 1K, Mk Mk+1 ∈ { i , j }
On dit que les Mk sont les points du chemin, que ce chemin est de longueur p et qu'il
va de M0 à Mp (extrémités du chemin).
On désigne par Pa,b l'ensemble des chemins allant du point de coordonnées (a, a) au
point de coordonnées (b, b).
On désigne par Ca,b l'ensemble des chemins appartenant à Pa,b et dont tous les points
sont au dessous de la diagonale.
0
On désigne par Ca,b
l'ensemble des chemins appartenant à Pa,b et dont tous les points
(sauf les extrémités) sont strictement au dessous de la diagonale.
Si Γ = (M0 , M1 , · · · Mp ) ∈ Ca,b , on note m(Γ) le plus petit des x(Mk ) > 0 tels que Mk
soit sur la diagonale.
Pour n ∈ N∗ , on note cn le nombre d'éléments de C0,n . On convient que c0 = 1.
La gure 1 montre le dessin obtenu en reliant les points d'un chemin Γ ∈ C0,5 par des
segments. Que vaut m(Γ) sur cet exemple ?
Fig.
1: Chemin appartenant à C0,5
En déduire que
∀n ∈ N, cn+1 =
3. Les nombres cn sont appelés les nombres de Catalan, ils interviennent dans diverses
questions de dénombrement. On se propose de démontrer par récurrence que
cn =
a. Quelle est la longueur d'un chemin appartenant à P0,n ?
a. Préciser c1 et c2 .
an =
b. Exprimer le nombre d'éléments de Ca,b à l'aide d'un ck pour un entier k à préciser.
0
c. Soit m ∈ N∗ , exprimer le nombre d'éléments de C0,m
à l'aide d'un ck pour un
entier k à préciser.
∀n ∈ N∗ , cn =
n
X
n+1
2n
n
n+1
,
Sn =
n
X
ak an−k ,
Tn =
k=0
n
X
kak an−k
k=0
en convenant que a0 = 1.
a. Montrer 2Tn = nSn . En déduire Tn+1 + Sn+1 =
n+3
2 Sn+1 .
b. Montrer (k + 2)ak+1 = 2(2k + 1)ak . En déduire Tn+1 + Sn+1 = an+1 + 4Tn + 2Sn .
cm−1 cn−m
c. Montrer que Sn = an+1 entraine Sn+1 = an+2 et conclure.
m=1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
2n
n
Dans cette question, n est un naturel quelconque, notons
b. Calculer le nombre d'éléments de P0,n en le mettant en bijection avec un ensemble
usuel.
d. Montrer que
ck cn−k
k=0
1. Soit n ∈ N∗ .
2.
n
X
1
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Pb 2. Suites de Beatty.
c. Montrer que
V (x) = {bnxc, n ∈ N∗ } ,
1
1
j
x ∈ M ( ) ∪ M ( ) tq x ≤
r
s
r
= bjsc
d. Conclure en numérotant par ordre croissant les éléments de M ( 1r ) ∪ M ( 1s ).
M (x) = {nx, n ∈ N∗ }
Partie II.
On considère une suite de nombres entiers strictement positifs (an )n∈N∗ . À partir de cette
suite, on dénit deux autres suites (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ en posant
na
o

k

 xn = max k , k ∈ J1, nK
∀n ∈ N∗ ,
ak + 1

 yn = min
, k ∈ J1, nK
k
Partie I.
On se donne deux nombres réels strictement positifs et irrationnels 2 s et r tels que
1 1
+ =1
s r
On se propose de démontrer que V (s) et V (r) forment une partition de N∗ .
1. Montrer que (xn )n∈N∗ est croissante et (yn )n∈N∗ décroissante.
2. On suppose dans cette question seulement que (an )n∈N∗ est une suite de Beatty c'est
à dire qu'il existe un α > 0 irrationnel tel que an = bnαc pour tous les n ∈ N∗ .
Montrer que xn < yn pour tous les n ∈ N∗ .
3. On suppose ici que xn < yn pour tous les n ∈ N∗ .
a. Montrer que (xn )n∈N∗ et (yn )n∈N∗ convergent vers la même limite strictement
positive notée α.
b. On suppose α irrationnel, montrer que an = bnαc pour tous les n ∈ N∗ .
c. On considère le cas de la suite ak = 2k − 1 pour tous les k ∈ N∗ . Que peut-on en
conclure ?
1. Première démonstration.
a. Montrer que si j , k , m sont des naturels non nuls tels que j = bkrc = bmsc, alors
j < k + m < j + 1. En déduire que V (s) ∩ V (r) = ∅.
b. Soit j ∈ N∗ , montrer que j ∈
/ V (r) entraine qu'il existe k ∈ N tel que
kr < j et j + 1 ≤ (k + 1)r
c. On suppose qu'il existe des entiers naturels j , k , m tels que
kr < j et j + 1 ≤ (k + 1)r et ms < j et j + 1 ≤ (m + 1)s
Montrer que
Pb 3. Plans projectifs nis.
k+m<j <k+m+1
d. Conclure.
On appelle plan projectif ni un ensemble ni Π (de cardinal p) muni d'une partie ∆ de
P(Π) vériant un certain nombre de propriétés. Les éléments de Π sont appelés des points,
les éléments de ∆ sont appelés des droites. Les droites sont des ensembles de points.
Les conditions imposées sont les suivantes.
Si a et b sont deux points distincts de Π, il existe une unique droite les contenant.
Cette droite sera notée D(a, b).
L'intersection de deux droites distinctes est toujours un singleton.
Il existe quatre points distincts a1 , a2 , a3 , a4 tels qu'aucune droite ne contienne trois
de ces points.
2. Deuxième démonstration (indépendante de la précédente)
a. Montrer que M ( 1r ) et M ( 1s ) sont disjoints.
b. Soit j ∈ N∗ , préciser les nombres d'éléments des ensembles suivants
1
j
1
j
x ∈ M ( ) tq x ≤
,
x ∈ M ( ) tq x ≤
r
r
s
r
d'un nombre réel dans l'ouvrage Concrete Maths de Knuth
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]
La suite de Beatty 1 d'un nombre réel strictement positif x est la suite (bnxc)n∈N∗ des
parties entières des multiples de ce nombre. On note V (x) l'ensemble des valeurs de la suite
de Beatty et M (x) l'ensemble des multiples
1 cette suite est aussi appelée spectre
2 c'est à dire n'appartenant pas à Q
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5. Montrer que le nombre de droites passant par un point est égal au nombre de points
sur une droite.
6. Montrer qu'il existe un entier n tel que
Le nombre de points sur une droite est égal au nombre de droites passant par un
point et que ce nombre est n + 1.
Le nombre de points est égal au nombre de droites et que ce nombre est n2 + n + 1.
Fig.
2: Une représentation d'un plan projectif ni
1. Combien de parties à deux éléments peut-on former dans un ensemble à 4 éléments ?
En déduire qu'il existe au moins 6 droites distinctes.
2. Montrer que Π n'est pas l'union de deux droites.
3. Soit δ et δ 0 deux droites distinctes et O un point n'appartenant à aucune des deux. On
dénit une application
(
δ → δ0
f:
a 7→ l'unique point de D(O, a) ∩ δ 0
Montrer que cette application est bijective. On en déduit que toutes les droites ont le
même nombre d'éléments noté d.
4. Soit O un point du plan et nO le nombre de droites passant par O. En classant les
points de Π \ {O} suivant la droite passant par O à laquelle ils appartiennent, former
une relation entre divers nombres d'éléments. Que peut-on en déduire pour les nO
lorsque O varie dans le plan ?
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