Durée : 4 h Physique Appliquée Pré

Durée : 4 h
Physique Appliquée Pré-étude et modélisation
BTS 2008
Calculatrice autorisée
Centrale hydroélectrique
Meca Flu – Alternateur- Ligne HT- PD3- Transfo
Coefficient : 3
Métropole
Sujet
P r é s e n t a t i o n d e la centrale h y d r o é l e c t r i q u e
Cette centrale située en moyenne montagne utilise une conduite forcée. La centrale fonctionne au fil de l'eau, ce qui signifie qu'il n'y
a pas de barrage. Le débit absorbé par la conduite de la centrale doit être ajusté en permanence au débit de la rivière. L'eau est
dérivée de la rivière pour être dirigée vers la centrale, puis retourne à une cote inférieure à la rivière par un canal de fuite. Entre le
point de prélèvement et celui de restitution de l'eau, un débit réservé doit être maintenu en permanence afin de ne jamais assécher
le lit de la rivière.
Grandeurs caractéristiques :
Accélération de la pesanteur : g = 10 m.s-2 Masse volumique de l'eau :  = 1 000 kg.m-3
Altitude prise d'eau : 361 m
Altitude siphon : 365 m
Altitude turbines : 250 m
Altitude de restitution : 248 m
Longueur conduite :
Prise d'eau  siphon : 50 m
Siphon  turbines : 1 200 m
Diamètre de la conduite : Dc = 1,4 m
Débit maximum rivière : Qmax= 5,5 m3.s-1
Débit réservé (débit minimum de la rivière après la prise d'eau) : Qrr= 0,5 m3.s-1
Volume annuel turbinable : Vat = 52 millions de m3
Partie A : Étude hydraulique
A1 : Étude de la conduite en régime statique
La pression atmosphérique Pa est prise comme référence et constante quelle que soit l'altitude. Les pressions calculées sont relatives à
cette pression.
Un segment de la conduite est présenté ci-dessous. Le sommet du tube est ouvert alors que la base est fermée.
A1-1 .Calculer la valeur P na de la pression située au
niveau na,
A1-2. Exprimer la relation de la pression Pp qui s'exerce
en un point p de la paroi du tube, en fonction de l'angle 
et de la longueur ℓ
Un schéma simplifié de la conduite de la centrale est donné ci dessous. Le tube est ouvert au niveau n2 et fermé au niveau n1.
A1-3. Calculer la différence de pression P13 entre le niveau 1 et le niveau 3.
A1-4. Calculer la différence de pression P23 entre le niveau 2 et le niveau 3.
A1-5. Calculer la valeur de la pression relative Pn1 de l'eau au niveau 1.
A1-6. Représenter sur votre copie, la figure 1 et préciser les zones où la conduite est en surpression et celles où elle est en
dépression.
A2 : Détermination de la puissance hydraulique disponible
Au niveau de la prise d'eau, la conduite est raccordée à un convergent dont l'embouchure à une forme rectangulaire d'une largeur de
6,50 m et d'une hauteur de 0,7 m
On rappelle que l'équation de Bernoulli peut s'écrire sous la forme :

v2
   g  z  p  cte (exprimée en J.m-3)
2
Pour le calcul des hauteurs z, le niveau de restitution n1 est considéré comme le niveau zéro.
z1 = 0 ; z2 = 113 m ; z3 = 117 m.
Les pertes de charge linéiques pcl sont considérées constantes et estimées à 2,2 mm d'eau par mètre de conduite.
Pour le débit maximal de la rivière :
A2-1. Calculer la vitesse de l'eau vec à l'entrée du convergent
A2-2. Calculer l'énergie volumique Ee disponible au niveau de la rivière à l'entrée du convergent
A2-3. Calculer les pertes d'énergie volumique Ep engendrées par la conduite.
On considère dans un premier temps que la centrale est
équipée d'une seule turbine raccordée à la conduite selon
le dessin ci-contre.
L'aspirateur a un diamètre Da de 3m au niveau de
restitution.
A2-4. Calculer la vitesse de l'eau ves à la sortie de l'aspirateur
A2-5. Calculer l'énergie volumique ES à la sortie de l'aspirateur
A2-6. En déduire la puissance hydraulique Ph de la turbine
A2-7. Calculer l'énergie hydraulique Wh disponible sur une année en kWh.
Dans la réalité, la conduite se scinde en deux pour alimenter deux turbines acceptant unitairement un débit maximum Qtmax de 3 m3.s-1.
Lorsque ces deux turbines fonctionnent simultanément, la puissance hydraulique est répartie de manière égale sur chacune d'entre
elles.
Le rendement d'une turbine t en fonction du débit Qt est présenté ci-dessous.
On fera l'hypothèse pour la suite du problème que les énergies volumiques d'entrée Ee, de sortie Es et de pertes Ep, sont constantes
quel que soit le débit.
A2-8. Sur le document réponse DR1, compléter le tableau en calculant les puissances hydraulique Ph et mécaniques
PmT1 (turbine 1), PmT2 (turbine 2) et PmT (totale).
A2-9. Représenter sur le document réponse DR1 la puissance mécanique totale en fonction du débit de la rivière.
A2-10. Quel est l'intérêt de placer deux turbines alors que financièrement le coût matériel est beaucoup plus élevé ?
Partie B : Étude de l’alternateur
Chaque turbine est accouplée à un alternateur triphasé raccordé au réseau EDF 20kV-50Hz par l'intermédiaire d'un transformateur
élévateur.
Les alternateurs ont comme caractéristiques :
Tension nominale entre phases : Un = 6,6 kV- f = 50Hz
Puissance apparente utile nominale : Sn = 3 MVA
Fréquence de rotation nominale : nn = 1000 tr.min-1'
Courant d'excitation maximal : lexmax = 20 A
Couplage des enroulements statoriques : étoile
La résistance des enroulements statoriques est négligée
Essai à vide : pour n = 1000 tr.min-1, on obtient la relation : Ev = 300.Iex
avec : Ev valeur efficace de la tension simple à vide
Iex intensité du courant d'excitation
Essai en court-circuit: pour n = 1000 tr. min-1,, on obtient la relation Icc =170.Iex.
B1 : Étude de l’alternateur couplé au réseau
B1-1 : Calculs préliminaires :
B1-1-1. Calculer le nombre p de paires de pôles.
B1-1-2. Calculer la valeur efficace In de l'intensité nominale.
B1-1-3. Le schéma équivalent d'une phase de la machine est donné ci-contre.
Calculer la valeur X de la réactance synchrone d'une phase de l'alternateur.
B1-2 : Le contrat du producteur précise que chaque alternateur doit pouvoir à tout moment, fournir au réseau une
puissance réactive Qal, telle que tan  = 0,49.
Pour une puissance électrique fournie de Pal= 2,25 MW :
B1-2-1. Calculer le facteur de puissance fp.
B1-2-2. Calculer la valeur efficace I du courant débité i(t).
B1-2-3. Représenter le diagramme de Fresnel (ou diagramme bipolaire) des tensions (on pourra prendre une échelle de 250 V par
cm).
B1-2-4. La machine est-elle sur-excitée ou sous-excitée ? Justifier.
B1-2-5. Calculer la fem E et en déduire le courant d'excitation lex
B1-2-6. Donner la valeur de l'angle de décalage interne .
B1-2-7. Calculer le rendement a de l'alternateur, sachant que l'ensemble des pertes vaut pt = 0,25MW.
B1-2-8. Préciser l'origine de ces pertes.
B2 : Étude de l’excitation
L'excitation de l'alternateur est réalisée selon le montage de la figure ci-dessous.
L'inducteur de l'alternateur principal a pour caractéristiques : R = 0,9  et L = 0,05 H. L'alternateur auxiliaire comporte 9 paires de
pôles.
B2-1 : Étude préliminaire :
B2-1-1. Préciser dans quelle partie, fixe ou tournante, se situe l'induit de l'alternateur principal et celui de l'alternateur
auxiliaire.
B2-1-2. Préciser les avantages de cette structure par rapport à un alternateur comportant un seul induit et un seul
inducteur.
B2-1-3. Lorsque l'arbre de la machine tourne à 1000 tr.min-1, calculer la fréquence fa des tensions induites dans
l'alternateur auxiliaire.
B2-2 : Étude du pont PD3 à diodes :
B2-2-1. Sur le document réponse DR2, donner les intervalles de conduction des diodes D1, D2, D3, D'1, D'2 et D'3, puis
représenter le chronogramme de la tension redressée upex(t) aux bornes de l'inducteur de l'alternateur principal.
B2-2-2. Pour un courant d'excitation Ipex de l'inducteur de l'alternateur principal (supposé constant) de 200 A, calculer la
valeur moyenne <u pex> de la tension u(t).
B2-2-3. Sachant que la tension moyenne <u> à la sortie d'un pont PD3 s'exprime en fonction de la tension efficace entre
phases par la relation u 
3U 2

en déduire la valeur efficace Ua des tensions en sortie de l'induit de l'alternateur
auxiliaire.
B2-2-4. Donner la fréquence fex et la période Tex, de l'ondulation de la tension upex (t).
B2-2-5. Calculer l'amplitude de l'ondulation uond de la tension upex. (t).
B2-2-6. En assimilant l'ondulation de la tension upex(t) à une sinusoïde d'équation
uond (t ) 
uond
sin  2 f ex t  , calculer l'amplitude iond de l'ondulation du courant d'excitation ipex(t).
2
B2-2-7. Quel est l'intérêt d'augmenter le nombre de pôles de l'alternateur auxiliaire ?
Partie C : Étude de l’alimentation électrique du site « départ conduite »
Les installations du site « départ conduite » sont alimentées depuis la centrale par une ligne triphasée 3 x 400 V - 50 Hz
indépendante d'une longueur L de 1 200 m.
Le site « départ conduite » nécessite une puissance apparente de Sdc = 57 kVA avec un facteur de puissance fp de 0,8.
Deux solutions sont envisagées pour le transport de l'énergie électrique
Solution 1 : transport par une ligne directe sous 400 V :
Solution 2 : transport par une ligne sous une tension plus élevée par l'intermédiaire de deux transformateurs :
L'étude qui suit a pour but de comparer la section s de la ligne pour ces deux solutions et de choisir la plus avantageuse.
C1 : Étude de la solution 1 : ligne directe sous 400 V 50 Hz Schéma d'une phase de la ligne :
v1 (t) : tension simple côté départ site « centrale »
v2(t) : tension simple côté site «départ conduite »
Pour respecter la chute de tension imposée par la norme C15-100, la ligne ne doit pas créer une chute de tension relative supérieure à
6%.
On notera V= V1 - V 2 la chute de tension absolue, et
V
la chute de tension relative.
V1
C1-1. Calculer la valeur efficace de la chute de tension maximale admissible V dans la ligne.
C1-2. Calculer la valeur efficace I de l'intensité du courant i(t) dans la ligne pour avoir une puissance apparente disponible
Sdc. de 57 kVA sur le site « départ conduite ».
C1-3. Donner l'expression littérale de la chute de tension approchée V dans la ligne en fonction de sa résistance R, de sa
réactance X, de l'intensité I du courant la parcourant et du déphasage  introduit par la charge.
La réactance linéique de la ligne vaut XL = 0,075 .km-1.
C1-4. Donner l'expression littérale de la résistance R de la ligne en fonction de sa réactance X, de l'intensité I du courant,
de la chute de tension V et du déphasage .
Calculer la valeur de la résistance R.
C1-5. En déduire la section s1 de la ligne
(On donne la résistivité du cuivre  =1,6.10-8 . m).
C2 : Étude de la solution 2 (transformateur T1 - ligne - transformateur T2)
C2-1 : Étude du transformateur T2
On donne : m2 = 0,603, rapport de transformation du transformateur
S 2 = 63 kVA, puissance apparente nominale
Essai à vide : U1 = U1n, ; U2v = 416 V ; P1v = 360 W ; cos1v = 0,15
Essai en court-circuit: U1cc = 38 V ; I2cc = I2n ; P1cc = 2 kW
C2-1-1. Calculer les valeurs efficaces U’1n de la tension nominale primaire, I’1n du courant nominal primaire, et I2n du courant
nominal secondaire.
On donne le schéma équivalent par phase étoilée du transformateur :
C2-1-2. Que représentent les éléments Rf, X f , r s2 et x s2 ?
C2-1-3. Calculer les valeurs numériques de Rf, Xf, rs2 et xs2.
Pour la suite du problème, on prendra : r s2 = 0,09  et xs2= 0,125 .
C2-1-4. Calculer la chute de tension simple VT2 du transformateur T2 pour une charge nominale inductive de facteur de
puissance 0,80.
C2-2 : Détermination de la section de la ligne
La réactance X de la ligne est négligée devant les réactances de fuite des transformateurs T1, T2.
Le schéma suivant donne le bilan des différentes chutes de tension de l'ensemble (transformateur T1 - ligne - transformateur T2)
r s 1 et x s 1 résistance et réactance des enroulements du transformateur T1 ramenées au secondaire : r s 1 = 0,29  et xs1= 0,4 .
R résistance de la ligne à déterminer.
rs2 et xs2 résistance et réactance des enroulements du transformateur T2 ramenées au secondaire : r s 2 = 0,09  et x s 2 = 0,125 .
On rappelle qu'une résistance (ou une réactance) est ramenée du primaire au secondaire d'un transformateur en la multipliant par m2.
C2-2-1. Représenter le schéma équivalent de l'ensemble figure 2 en ramenant les résistances et les réactances au
secondaire du transformateur T2.
C2-2-2. Etablir l'expression littérale de la chute de tension totale V2 pour une charge consommant un courant I2 avec un
facteur de puissance cos 2.
Pour un courant I2 d'intensité 87,5 A et un facteur de puissance de 0,80 :
 la chute de tension due à la ligne Viigne ramenée au secondaire de T2 ne doit pas dépasser 13,8 V
 la valeur efficace V2 de la tension en charge v 2 (t) ne doit pas être inférieure à 212 V.
C2-2-3. Calculer la chute de tension totale V2 pour un courant I2 de 87,5 A et un facteur de puissance de 0,8.
C2-2-4. Calculer le rapport de transformation m1 du transformateur T1
C2-2-5. Calculer la valeur efficace VsT1 la tension simple v s T 1 (t) au secondaire du transformateur T1 pour un
fonctionnement à vide.
C2-2-6. Calculer la section s2 de la ligne.
C3. Conclusion
Quel intérêt présente la solution 2 avec les deux transformateurs par rapport à la solution 1 de la ligne seule ?
Document réponse DR1
Débit rivière
Qr (m3 s-1)
Puissance hydraulique
Ph (kW)
Puissance mécanique
turbine 1
P m T 1 (kW)
Puissance mécanique
turbine 2
P m T 2 (kW)
Puissance mécanique
totale
P m T (MW)
2,5
3
3.5
4
4,5
Document réponse DR2