Aide-Mémoire n° 36 Aide- Mémoire n° 36 SAVOIR ETABLIR UN SYSTEME D’EQUATIONS SAVOIR ETABLIR UN SYSTEME D’EQUATIONS ENONCE ENONCE Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si l’on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2. Un rectangle a un périmètre de 24 cm. Si l’on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2. Calculer les dimensions du rectangle. Calculer les dimensions du rectangle. SOLUTION SOLUTION 1. Choix des inconnues 1. Choix des inconnues Soit x la longueur du rectangle et y la largeur (exprimées en cm). Soit x la longueur du rectangle et y la largeur (exprimées en cm). 2. Mise en équations du problème 2. Mise en équations du problème 2 ( x + y ) = 24 « Un rectangle a un périmètre de 24 cm » 2 ( x + y ) = 24 « Un rectangle a un périmètre de 24 cm » « Si on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2 » ( x + 2 )( y + 3 ) = x y + 37 « Si on augmente sa longueur de 2 cm et sa largeur de 3 cm, son aire augmente de 37 cm 2 » ( x + 2 )( y + 3 ) = x y + 37 On développe, puis on simplifie les équations : On développe, puis on simplifie les équations : 2 (x + y ) = 24 x + y = 12 x y + 2 y + 3 x + 6 = x y + 37 3 x + 2 y = 31 3. Résolution du système D’où le système à 2 inconnues : y = 31 { x + y = 12;3 x + 2 (–2) { – 2 x – 2 y = – 24; 3 x 2 (x + y ) = 24 x + y = 12 x y + 2 y + 3 x + 6 = x y + 37 3 x + 2 y = 31 3. Résolution du système {x+ y = 12; 3 x + 2 y = 31 soit + 2 y = 31 D’où le système à 2 inconnues : y = 31 { x + y = 12;3 x + 2 (–2) { – 2 x – 2 y = – 24; 3 x {x+ y = 12; 3 x + 2 y = 31 soit + 2 y = 31 On additionne membre à membre…………….– 2 x + 3 x = – 24 + 31 On additionne membre à membre…………….– 2 x + 3 x = – 24 + 31 On détermine x …………………………………………..… x = 7 On détermine x …………………………………………..… x = 7 On calcule ensuite facilement y …………………………. y = 5. On calcule ensuite facilement y …………………………. y = 5. Le système admet une solution : le couple ( 7 ; 5 ). Le système admet une solution : le couple ( 7 ; 5 ). 4. Conclusion 4. Conclusion Le rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 5 cm. Le rectangle a pour longueur 7 cm et pour largeur 5 cm. Une vérification du périmètre par un calcul rapide donne effectivement 24 cm. Une vérification du périmètre par un calcul rapide donne effectivement 24 cm.