Modèle mathématique.

UPVM Sciences G. Lauton ; D-M Bissengue;N. Gonzalez
DAEU-B MATHS
I) ARITHMETIQUE
EX I.1 : Dans une salle de bain, on veut recouvrir le mur au-
dessus de la baignoire avec un nombre entier de carreaux de
faïence de forme carrée dont le côté est un nombre entier de
centimètres. Ce mur a la forme d’un rectangle de longueur
110 cm et de largeur 88 cm.
1. Quelles sont toutes les longueurs possibles du côté
d’un carreau sachant que ces longueurs doivent être
égales à un nombre entier de cm ?
2. On veut que le carreau de faïence soit le plus grand
possible. Déterminer la longueur du côté d’un carreau.
Combien faudra-t-il alors de carreaux ?
EX I.2 : diviseurs d’un entier – nombres et facteurs premiers
1
a) Donner la liste des diviseurs de : 54, 80, et 250.
b) Décomposer en facteurs premiers les nombres suivants :
108 , 114 , 80 , 2520 ; 8000 , 84 , 250 et 864 ; Donner
le nombre de diviseurs de chacun de ces nombres.
Donner la liste des diviseurs de 2520
c) Déterminer si les nombres suivants sont premiers :
53 ; 167 ; 171 ; 241 ; 458 ; 803
 d) Établir sans poser l’opération que :
 735 est divisible par 5  843 est divisible par 3
 774 est divisible par 9  583 est divisible par 11
 e) Écrire chacun des nombres suivant sous la forme
ba
avec
a
et
b
entiers et
b
le plus petit possible :
576
5850
16200
EX I.3 : PGCD. - PPCM. et applications
a) Soient les nombres : A= 140, B=460, C=322.
1) Les nombres A et B sont-ils premiers entre eux
2
?
2) Décomposer A, B et C en facteurs premiers.
3) Trouver PGCD (A,B), PGCD (A,C), PGCD (B,C), PGCD (A,B,C)
4) Utiliser la question 3 pour écrire la fraction A / B sous
la forme d’une fraction irréductible
3
.
5) Calculer D =
Error!
+
Error!
+
Error!
.
6) Mêmes questions avec A = 1260, B = 1050, C = 630.
b) Le PGCD. et le PPCM. pour la réduction des fractions
 Rendre irréductible les fraction suivantes :
252
360
4375
11232
1369
111
2592
2232
.
 Calculer : A=
252
5
+
378
1
-
63
4
; B=
115
1
+
161
2
-
35
3
c) Si, en un point donné du ciel un astre A apparaît tous les 28
jours et un astre B tous les 77 jours, avec quelle périodicité
les verra-t-on simultanément en ce point ?
d) Un commerçant reçoit 90 lampes de poches et 135 piles pour ces
lampes. Il va les conditionner en lots identiques composés de lampes
et de piles, utilisant toutes les lampes et toutes les piles.
1) Quel est le nombre maximal de lots qu’il peut
conditionner ainsi ?
2) Chaque lampe utilise une pile. Combien y aura-t-il de
lampe de rechange dans chaque lot ?
EX I.4 : Curiosités sur les diviseurs et multiples
a) Prouver que la somme de :
 2 nombres impairs consécutifs est un multiple de 4 ;
 3 entiers consécutifs est un multiple de 3
 5 entiers consécutifs est un multiple de 5
 4 entiers consécutifs n’est pas un multiple de 4
 b) Montrer que l’équation à 2 inconnues :
2431 x + 455 y = 23 n’a pas de solution entière.
Indication : calculer le PGCD5 de 2431 et de 455.
3Fraction irréductible : Une fraction
Error!
est irréductible si
a et b sont « premiers entre eux »
4 Diviseur : On dit qu’un entier m est un diviseur d'un entier n si
cet entier m est divisible par n. Par exemple, 7 est un diviseur
de 42 parce que 42 est divisible par 7 : en effet,
Error!
= 6.
5 PGCD : C’est le plus grand diviseur commun de deux nombres
entiers. Par exemple, le PGCD de 28 et de 16 est 4.
6 PPCM : C’est le plus petit multiple commun de deux nombres
entiers. Par exemple le PPCM de 28 et 8 est 56.