Unité 2 – Les Nombres Décimaux Composition d`un nombre
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Unité 2 – Les Nombres Décimaux Composition d’un nombre décimal Un nombre décimal est composé de deux parties : la partie entière, à gauche de la virgule et la partie décimale, à droite. Chaque chiffre de ces parties correspond à un rang différent. • Pour la partie entière, de gauche à droite, on trouve : le chiffre du rang des unités, celui du rang des dizaines, des centaines, des milliers, des dizaines de mille et des centaines de mille… • Pour la partie décimale, de gauche à droite, on trouve : le chiffre du rang des dixièmes, celui du rang des centièmes, des millièmes… Placer des nombres décimaux sur la droite numérique Tout nombre décimal est la somme de sa partie entière et d’un nombre qui a pour partie entière zéro et la même partie décimale. Valeur de position Forme courante & Forme décomposée Forme décomposée constituée de puissances de 10 Exemple : 138, 742 (1 x 10²) + (3 x 10¹) + (8 x 10⁰) + (7 x 1 ) + (4 x 1 ) + (2 x 1 ) 10¹ 10² 10³ Grandeur et ordre des nombres décimaux Comparer deux nombres décimaux c’est dire lequel est le plus petit, le plus grand ou s’ils sont égaux. Pour comparer deux nombres décimaux on utilise les symboles <, > ou =. Le signe < signifie « est inférieur à » ou « est plus petit que ». Le signe > signifie « est supérieur à » ou « est plus grand que ». Le signe = signifie « est égal à ». On commence par comparer leurs parties entières. ⇒ Si les parties entières sont différentes, le plus petit est celui qui a la plus petite partie entière. Exemple : Comparons 29,583 et 41,02. ⇒ Si les parties entières sont égales, on a deux méthodes. ♦ Première méthode : la méthode « lexicographique ». « Lexicographique » signifie qui est relatif à l’ordre du dictionnaire. On compare les décimales de même rang en commençant par les dixièmes, puis les centièmes,… jusqu’à ce que l’on en trouve deux qui soient différentes. Exemple : Comparons les deux nombres décimaux suivant : Les deux nombres ont la même partie entière 37. ? Ces deux nombres ont la même partie entière 37. Donc on compare les chiffres des dixièmes : ils ont le même 1, Puis les chiffres des centièmes : ils ont le même 6, Puis les chiffres des millièmes : ils ont le même 8, Puis les chiffres des dix-millièmes : pour 37,168 49 il vaut 4 pour 37,168 6 il vaut 6 Comme 4 < 6 on a 37,168 49 < 37,168 6... ♦ Deuxième méthode : On s’arrange pour avoir le même nombre de décimales, c’est-à-dire le même nombre de chiffres après la virgule en ajoutant éventuellement des zéros, puis on compare les parties décimales. Exemple: Comparons les deux nombres décimaux suivant : Les deux nombres ont la même partie entière 45. On compare les parties décimales. Attention: Le nombre qui a le plus de chiffres n’est pas toujours le plus grand ! Exemple : 8,6 > 8,589 41 Ranger des nombres décimaux dans l’ordre croissant, c’est les ranger du plus petit au plus grand. Exemple: Ranger des nombres décimaux dans l’ordre décroissant, c’est les ranger du plus grand au plus petit. Exemple : Arrondissement d'un nombre décimal Pour arrondir des nombres décimaux, on suit les mêmes étapes que pour l’arrondissement des nombres entiers. Par contre, ce n’est pas nécessaire d’ajouter des zéros à droite de la virgule. Étape 1 : On repère le chiffre qui se situe à la position à arrondir. Étape 2 : On repère le chiffre à droite de la position à arrondir. • Si ce chiffre est 0, 1, 2, 3 ou 4, le chiffre à la position à arrondir reste le même ; • Si ce chiffre est 5, 6, 7, 8 ou 9, on ajoute 1 au chiffre de la position à arrondir. Étape 3 : On remplace tous les chiffres à droite de la position à arrondir par zéro (0). Exemple: Arrondir 34,876 au dixième. La réponse finale est 34,9. Additionner & Soustraire des nombres décimaux Quand on effectue une addition ou une soustraction de nombres décimaux, il faut : Aligner les virgules les unes au-dessous des autres. Aligner les chiffres comme pour les nombres entiers: 1. le chiffre des unités sous le chiffre des unités, 2. le chiffre des dizaines sous le chiffre des dizaines, 3. le chiffre des dixièmes sous le chiffre des dixièmes, etc. Commencer les calculs par les chiffres les plus à droite. Ne pas oublier les retenues : les retenues fonctionnent comme avec les nombres entiers. Écrire la virgule dans le résultat sous les autres virgules. Quand on effectue une addition ou une soustraction avec des nombres entiers et décimaux, il faut transformer le nombre entier en nombre décimal. Tous les nombres entiers peuvent s’écrire sous la forme d’un nombre décimal. Exemple : 51 = 51,0 Dans le cas d’une soustraction, il faut écrire autant de zéros après la virgule que l’autre nombre décimal en contient. Ajoute un 0 Exemple: 43,8 − 7,06 = 36,74 N'oublie pas que 43,8 est égal à 43,80. Attention à ne pas oublier la virgule dans le résultat. Exemple: 125,52 – 49 = 76,52 49, n’a pas de partie décimale, donc, on soustrait, les unités aux unités les dizaines aux dizaines, et les centaines aux centaines. ATTENTION: avant de commencer la soustraction, on écrit la partie décimale et on reporte la virgule. Multiplier et Diviser par 10; 100; 1000;… Multiplier et diviser par 10 ; 100 ; 1000. La virgule se déplace. Pour multiplier un nombre décimal par 10; 100; 1 000: on déplace la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la droite de ce nombre. On ajoute un ou plusieurs zéros si c’est nécessaire. Pour diviser un nombre décimal par 10; 100; 1 000: on déplace la virgule de 1, 2, 3 rangs vers la gauche de ce nombre. On ajoute un ou plusieurs zéros si c’est nécessaire. Pour multiplier un nombre par 0,1 je déplace la virgule de 1 rang vers la gauche 123,456 × 0,1 = 12,3456 Pour multiplier un nombre par 0,01 je déplace la virgule de 2 rangs vers la gauche 123,456 × 0,01 = 1,23456 Pour multiplier un nombre par 0,001 je déplace la virgule de 3 rangs vers la gauche Pour multiplier un nombre par 0,0001 je déplace la virgule de 4 rangs vers la gauche Pour diviser un nombre par 0,1 je déplace la virgule de 1 rang vers la droite 123,456 ÷ 0,1 = 1234,56 Pour diviser un nombre par 0,01 je déplace la virgule de 2 rangs vers la droite 123,456 ÷ 0,01 = 12345,6 Pour diviser un nombre par 0,001 je déplace la virgule de 3 rangs vers la droite Pour diviser un nombre par 0,0001 je déplace la virgule de 4 rangs vers la droite Multiplier des nombres décimaux Multiplier un nombre décimal par un nombre entier ayant un seul chiffre. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. Multiplier un nombre décimal par un nombre entier ayant deux chiffres ou plusieurs chiffres. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. MULTIPLIER UN NOMBRE DECIMAL PAR UN AUTRE NOMBRE DECIMAL. Étape 1: J'effectue la multiplication comme s'il n'y avait pas de virgule. Étape 2: Je place la virgule de façon à ce qu'il y ait autant de décimales au résultat que dans les facteurs. Diviser un nombre décimal par un entier naturel La réponse est donc 0.333… À partir de maintenant, nous n’utilisons plus de restant dans les divisions. Diviser un nombre décimal par un nombre décimal On va rendre le diviseur entier. Étape 1: Je multiplie le diviseur par 10; 100; 1000;… pour le rendre entier. Étape 2: Je multiplie le dividende par 10; 100; 1000;… en déplaçant la virgule d'un, deux ou trois rang(s) vers sa droite. Étape 3: J'effectue la division. Exemple: 41.5 ÷ 8.3 1. Je multiplie 8.3 x 10 = 83 2. Je multiplie 41.5 x 10 = 415 3. J’effectue la division 415 ÷83 5 83 415 0 ________________________ 41 _________________________ 00 _________________________ 415 415 __________________________ 0 La notation scientifique La notation scientifique est universelle. Utilisée surtout en sciences, cette notation facilite la lecture, l’écriture et la comparaison de très grands et de très petits nombres. Écrire un nombre en notation scientifique, par exemple 3 050 000, c’est le décomposer en deux facteurs. Exemples 123 400 000 s’écrit 1,234 × 108 en notation scientifique. 451 s’écrit 4,51 × 102. 92 384 s’écrit 9,2384 × 104. Attention 2,54 s’écrit 2,54 × 100. Ne pas écrire 2,54 seul, cette écriture est l’écriture décimale.
