La Figure 4 montre le diagramme de bandes du cristal

Cristaux colloïdaux : bandes
photoniques interdites
BERTINO Rémi
MARI Arnaud
L3 Physique 09/10
Encadrement : Jacques Persello
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1. Introduction
Depuis près d’une dizaine d’années, l’intérêt des chercheurs vis-à-vis de l’étude et de la
synthèse des cristaux photoniques est croissant.
Les cristaux photoniques sont des structures périodiques de matériaux diélectriques et du
fait de cette périodicité, ces cristaux peuvent empêcher la propagation de la lumière dans
certaine gamme de longueurs d’ondes. Les ondes électromagnétiques sont alors diffractées
par le réseau, on peut donc parler de bandes interdites photoniques.
Les cristaux photoniques sont donc de formidables outils capables de stocker, filtrer ou
encore guider la lumière, susceptibles d’intéresser de nombreux domaines comme la
communication ou encore l’imagerie.
Notre travail s’est focalisé sur un certain type de cristaux photoniques, les cristaux
photoniques colloïdaux, c'est-à-dire des cristaux photoniques élaborés par l’assemblage de
particules colloïdales.
Les cristaux photoniques sont présents à l’état naturel sous plusieurs formes. L’exemple le
plus connu est l’opale, ce minéral semi précieux est composé de particules de silice de taille
comprise entre 200 et 400nm régulièrement disposées. Quand elle est exposée à la lumière
blanche, cette pierre a la particularité de présenter des reflets de plusieurs couleurs . Ce
phénomène optique est du à la diffraction. En effet, comme l’espace entre les particules est
de l’ordre de la longueur d’onde du visible, il va apparaître des interférences ce qui va
modifier l’onde lumineuse en sortie et ainsi crée cet aspect irisé.
(a)
(b)
(a) Photo d’une opale (b) image MEB d’une opale de billes de silice de 287 nm de diamètre
D’autre exemples sont présents dans la nature, les papillons ou les souris de mer utilisent la
diffraction par un réseau de cristaux photoniques pour communiquer entre eux.
Ces structures sont des exemples naturels de matériaux appelés cristaux photoniques.
Dans cette synthèse, nous allons plus particulièrement nous intéresser à la notion de bande
interdite photonique (band gap en anglais).
2
2.Bandes interdites photoniques
2.1.Loi de Bragg
Un cristal photonique est une nano structure de matériau diélectrique où l’indice de
réfraction est périodiquement modulé. Il s’agit d’un cristal car le matériau est constitué par
un arrangement périodique de cubes élémentaires diélectriques d’indice de réfraction n1 et
n2.
Les cristaux photoniques existent sous une multitude de formes. Il existe néanmoins trois
principales catégories : unidimensionnel, bidimensionnel et tridimensionnel.
1D
2D
3D
Schéma des arrangements pour des cristaux photoniques unidimensionnels (1D), bidimensionnels (2D) et tridimensionnels
(3D). Les parties rouges représentent un indice de réfraction n1 et les parties jaunes n2.
Les cristaux photoniques affectent la propagation des ondes électromagnétiques de la
même manière qu'un potentiel périodique dans un cristal semi-conducteur modifie le
déplacement des électrons.
Ce modèle stipule qu'un électron dans un solide ne peut prendre des valeurs d'énergie
comprises dans certains intervalles que l'on nomme « bandes ». Il en existe deux types, les
bandes permises, et d'autres bandes dites interdites.
Dans un semi-conducteur, comme dans un isolant, les deux bandes autorisées sont séparées
par une bande interdite, appelée couramment « gap ». L'unique différence entre un semiconducteur et un isolant est la largeur de cette bande interdite, largeur qui donne à chacun
ses propriétés respectives.
Ce concept de bandes permises et interdites peut être étendu au comportement des
photons dans un cristal photonique. A cause de la variation périodique de l’indice de
réfraction, l’énergie des photons est quantifiée en bandes permises et en bandes interdites.
La loi de Bragg établit un lien entre la distance séparant les atomes d'un cristal et les angles
sous lesquels sont principalement diffractés des ondes électromagnétiques envoyés sur le
cristal.
On a la relation ci-dessous :
2d sinm 


d = distance interréticulaire
θ l’angle de Bragg(c’est le demi-angle de déviation)
3


m = ordre de diffraction (nombre entier)
λ = longueur d'onde
2.2.Explication géométrique de la Loi de Bragg
On considère donc un faisceau de photon envoyé sur un cristal avec un angle Ө. On s’attend
a ce que les ondes soit en partie transmises, et en partie diffractées.
Considérons tout d’abord deux rayons incidents parallèles diffusés par deux particules sur le
même plan (figure 1) :
d
(Figure 1)
On peux en tirer géométriquement la différence de marche entre les deux rayons :
d.cosd.cos
d(coscos)
Les interférences sont constructives uniquement si la différence de marche introduit un
déphasage multiple de 2π, c'est-à-dire si = mλ.
Cette condition implique que n 0 et 
On peux donc en conclure que les interférences constructives ont lieu dans une direction qui
correspond à la réflexion du signal incident sur le plan réticulaire.
On considère maintenant la réflexion de deux rayons incidents sur deux plans réticulaires
parallèles distants de d. (figure 2)
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(Figure 2)
Notre construction implique que les angles BAD et DAC sont égaux et de valeur .
On peux donc aisément en tirer la différence de marche BD + DC = 2d sin 
Comme dans le cas précédent, nous avons des interférences constructives si m 
On retrouve donc bien la loi de Bragg : 2d sinm .
2.3.Conséquences de la Loi
Les bandes permises et interdites d’un cristal photonique se regroupent dans un diagramme
de bandes photoniques. C’est une représentation des fréquences possibles pour l’onde
électromagnétique au sein du cristal photonique en fonction de son vecteur d’onde, c'est-àdire sa direction de propagation au sein du cristal.
Pour expliquer ce phénomène de bandes interdites, nous prenons une représentation d’un
cristal à 3D frappé par des photons selon trois directions de propagation différentes.
1
2
3
Figure 3 : schéma d’un cristal photonique à 3D
et schéma de faisceaux de photon selon trois direction différentes
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Figure 4 : Diagramme de bandes du cristal à gauche, et courbe de la réflexion à droite en fonction de la
fréquence des ondes
La Figure 4 montre le diagramme de bandes du cristal photonique pour une direction de
propagation de la lumière, la direction 1 par exemple.
Nous pouvons voir deux bandes permises, en rouge et en noir, où la lumière pourra se
propager dans le cristal, si son énergie est contenue dans ces bandes.
Nous observons de plus que ces deux bandes sont séparées par une bande interdite, en gris,
où aucune fréquence n’est permise. Si l’énergie de l’onde incidente est comprise dans cette
bande interdite elle est alors diffractée par le cristal photonique.
C’est ce phénomène satisfaisant la loi de Bragg qui est à l’origine des irisations des opales.
Expérimentalement, une bande interdite est mise en évidence en mesurant la réponse du
matériau soumis à un faisceau lumineux. Cette dernière est caractérisée par l’apparition
d’un maximum de réflexion (partie droite de la figure 4).
Figure 5 : Digramme de bandes du cristal photonique d’indice de réfraction 2 selon les trois direction de
propation
Si l’indice du cristal est faible (de l’ordre de 2) la position spectrale d’une bande interdite
varie en fonction de la direction de propagation de l’onde incidente. Pour s’en convaincre, la
Figure 5 montre le diagramme de bande du même cristal mais pour les trois directions de
propagation de l’onde (ici 1, 2 et 3). On voit clairement que la bande interdite
précédemment observée pour la direction 1 se déplace vers des fréquences plus grandes
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dans le cas de la direction 2, alors qu’une seconde bande interdite apparaît pour une gamme
de fréquences différentes dans le cas de la direction 3.
Aussi, pour un cristal photonique présentant un indice de réfraction élevé (de l’ordre de 6),
totalement la propagation de la lumière pour une certaine gamme de longueur d’onde. Le
cristal photonique se comporte alors comme un miroir parfait.
Il nous a semblé aussi intéressant de pouvoir relier directement le diamètre des particules et
la longueur d’onde du pic de diffraction.
En utilisant la loi de Bragg qu’on modifie avec la relation de Snell Descartes pour la
diffraction, on obtient :
2d √(𝑛² − 𝑠𝑖𝑛𝛼²)m 
Avec n l’indice effectif du cristal et 𝛼 l’angle entre l’onde incidente et la normale au plan du
cristal.
Si l’on se place en incidence normal, et pour le premier pic de Bragg, on obtient la relation
simplifiée :
2.n.d 

De la distance d, on peux en tirer le diamètre D des particules du fait de la géométrie
cristalline du réseaux.
On a : d =√2/3.D
On obtient finalement : = √2/3.2.n.D, et on trace le graphe ci-dessous.
Evolution de la longueur d’onde de la bande interdite en
fonction du diamètre D, pour n=1,5
2000
Series1
λBragg (nm)
y = 2.4495x - 5E-13
Linear (Series1)
1500
1000
500
0
0
200
400
600
800
1000
Diamètre des particules (nm)
Figure a
2.4.Expérimentations lors du stage
Lors de notre stage nous avons fabriqué des cristaux photoniques colloïdaux. La création de
ces cristaux s’est étendue sur plusieurs semaines du fait des étapes de fabrication souvent
longues et délicates.
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Voici un résumé de la synthèse de cristaux de particules colloïdales de diamètre égale a
300nm environ :
1) Si(OEt)4 +2 H20 + NH3  SiO2 + 4Et OH
Voici la réaction chimique nécessaire pour obtenir des billes de SiO2. On procède ici par
distillation, et en utilisant la technique sol-gel. Les particules doivent être de même taille,
sans impuretés et non organisées.
2) On utilise ensuite un support plat sans défaut (du verre ou du silicium transparent sans
réflexion), et avec la technique de spin coating ou deep coating, on créé des couches minces
de particule colloïdales.
3) Il faut par la suite sécher les particules, et en séchant elles se rapprochent. On sèche sous
vide, mais sans chauffer de préférence (20 degrés ou à froid). Il apparait alors des forces de
Van Der Walls pouvant aller jusqu'à 100 bars.
4) La dernière étape est le frittage, afin que les particule reste collées les unes par rapport aux
autres.
A la fin de la fabrication, il est recommandé d’inspecter un échantillon au microscope électronique
pour vérifier la régularité des particules.
Une fois que nous avons obtenu des cristaux photoniques utilisables, nous avons voulu vérifier la
présence de bande interdite photonique au microscope électronique, en fonction du nombre de
couches de particules.
Pour cela, nous avons fait évaporer quatre solutions de silices plus au moins concentrées sur des
lamelles de verre, afin d’obtenir des couches fines. L’évaporation a duré une semaine(voir Figure 6).
On nomme « solution 1 » la solution la plus concentrée, jusqu'à la « solution 4 » la moins concentrée.
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Figure 6 : Deux des quatre béchers contenant une solution de particules de silice plus au moins concentré,
pendant l’évaporation sur des lamelles de verre
Nous avons ensuite placé les quatre lamelles de verre dans le microscope électronique, et
lancé une acquisition pour une gamme de longueur d’onde variant de 0 a 2500nm.
Nous obtenons en superposant les courbes la Figure 7.
Nous remarquons tout de suite un maximum d’absorption, et donc une bande interdite,
pour une gamme de longueur d’onde allant de 750 à 1000nm, nous sommes donc dans le
domaine de l’infra rouge.
La droite tracée au préalable (Figure a), est cohérente avec ce résultat, en effet, pour un
diamètre de D=300nm, on trouve un pic de Bragg à environ 800nm.
Le nombre de couches de particules influe aussi sur l’absorption de la lumière. En effet, nous
remarquons que les cristaux les plus fins absorbent moins le faisceau. A l’inverse, les cristaux
formés du plus grand nombre de couches de particules absorbe un maximum la lumière.
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Figure 7 : Courbes représentant l’absorption d’un faisceau dans une gamme de longueur d’onde allant de 0 à
2500nm, en bleu la solution 1, bleu clair la solution 2, rose la solution 3 et jaune la solution 4
3.Conclusion
Ce stage nous a permis d’observer le travail effectué par des chercheurs en laboratoire, et
nous faire découvrir un domaine de la physique en pleine expansion. Nous avons pu
synthétiser des cristaux photoniques, voir et comprendre leurs propriétés physico-chimiques
par l’expérimentation et la théorie.
Nous remercions Mr Persello du LPMC pour nous avoir fait partager son expérience dans ce
domaine.
Bibliographie :
http://wiki.epfl.ch/houdre/cph2009
Photonic Crystals - Physics, Fabrication and Applications, Springer, 2004
Cristaux photoniques et « gaps » de photons-Aspects fondamentaux, Jean-Michel LOURTIOZ
Energy band of photons and low-energy photon diffraction, K. Ohtaka, Physical Review
http://fr.wikipedia.org/wiki/Cristal_photonique
Photonic crystals: molding the flow of light, par John D. Joannopoulos
http://iopscience.iop.org/0143-0807/30/4/S04/pdf
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