Arithmétique : nombres premiers :

Arithmétique : nombres premiers :
Dans tout ce chapitre, les nombres considérés sont des entiers naturels. Nous nous plaçons donc dans le cadre de l'arithmétique.
I. Diviseurs d'un entier naturel :
a) Vocabulaire :
Définition : Soient a et b deux entiers naturels.
On dit que b est un diviseur de a (ou que a est un multiple de b), s'il existe un entier naturel k tel que a = kb.
Exemples :
15 admet pour diviseurs les nombres 1, 3, 5 et 15.
1, 2, 3, 4, 6 et12 sont des diviseurs de 12 puisque 12 = 1 × 12 = 2 × 6 = 3 × 4.
0 admet une infinité de diviseurs.
b) Critères de divisibilité :
- Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par un chiffre pair.
- Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
- Un nombre est divisible par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
- Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.
- Un nombre est divisible par 6 s'il est divisible à la fois par 2 et par 3.
- Un nombre est divisible par 7 si et seulement si le nombre de dizaines - le double du chiffre des unités est divisible par 7.
- Un nombre est divisible par 8 si le nombre formé par ses trois derniers chiffres est divisible par 8.
- Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
- Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0.
- Pour déterminer si un nombre N est divisible par 11 : on calcule la somme A des chiffres en position impaire ;
on calcule la somme B des chiffres en position paire ;
N est divisible par 11 si et seulement si la différence A – B (ou B – A) est divisible par 11.
- Un nombre est divisible par 12 s'il est divisible par 3 et par 4.
c) Méthode pratique de recherche des diviseurs :
80 = 1 × 80
2 × 40
3 non
4 × 20
5 × 16
6 non
7 non
8 × 10
On arrête, car 9 × 9 =
81 80
L'ensemble des diviseurs de 80 est :
{1 ;2 ;4 ;5 ;8 ;10 ;16 ;20 ;40 ;80 }
II. Nombres premiers :
Définition :
On dit qu'un entier naturel p est premier, lorsqu'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Exemples :
0 n'est pas un nombre premier, car il admet une infinité de diviseurs.
1 n'est pas un nombre premier, car il n'admet qu'un diviseur : lui-même.
2, 3, 5 et 7 sont des nombres premiers.
6 n'est pas un nombre premier, car il admet 4 diviseurs : 1, 2, 3 et 6.
Remarques :
- Tous les nombres pairs différents de 2 ne sont pas premiers.
- Il existe une infinité de nombres premiers.
III. Décomposition d'un entier naturel en produits de nombres premiers :
Définition : On dit qu'on décompose un entier en produit de nombres premiers, lorsqu'on écrit cet entier sous la forme d'un produit
de nombres premiers.
Théorème fondamental de l'arithmétique : (admis)
Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 se décompose en un produit de nombres premiers.
Cette décomposition est unique.

Exemples :
La décomposition de 15 en produit de nombres premiers est : 15 = 3 × 5.
La décomposition de 12 en produit de nombres premiers est : 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3.
83160
41580
20790
10395
2079
693
231
77
11
1
2
2
2
5
3
3
3
7
11
Méthode de décomposition :
À l'aide des critères de divisibilité, on cherche les diviseurs du nombre et on effectue des
divisions successives.
La décomposition de 83160 en produit de nombres premiers est :
83 160=23 ×33 ×5×7×11
Propriété : Soient a et b deux entiers relatifs (avec b non nul).
Si b s'écrit sous forme d'un produit 2p × 5q, avec p et q deux entiers naturels, alors le rationnel
a
b
est un décimal.
IV. Applications :
a) Simplification des quotients et de racines carrées :
On a vu au collège qu'une fraction se met sous forme irréductible en simplifiant le numérateur et le dénominateur par leur PGCD.
Ce qui précède montre tout l'intérêt de la décomposition en facteur premier.
E xemples :
105
83 160 =3×5×7
23×33 ×5×7×11 =1 23×32×11 =1
792
31 500 = 22×32×53×7=2×3×5× 5×7=30 35
.
b) Calcul du nombre de diviseurs :
Exercice : Combien le nombre 2 100 875 a t-il de diviseurs ?
La décomposition donne
2100875=75 ×53
Tous les diviseurs de 2 100 875 sont donc de la forme
7a×5b
en sachant qu'on a les conditions suivantes sur a et b :
{
0a5
0b3
a∈ℕb∈ℕ
Il y a 6 choix pour a et 4 choix pour b. Il y a donc en tout 6×4 = 24 diviseurs possibles.
c) Calcul du PGCD :
La décomposition en produits de nombres premiers nous permet d'avoir une nouvelle méthode pour calculer le PGCD.
Calculons le PGCD(70;294)
70
35
7
1
2
5
7
294
147
21
3
1
2
7
7
3
Donc
70=2×5×7
et
294=2×72 ×3
on a donc
PGCD70 ; 294=2×7
d) Calcul du PPCM :
Calculons le PPCM(70;294)
70=2×5×7
et
294=2×72 ×3
donc
PPCM70 ; 294=2×5×72 ×3=1 470
Remarque : rappel :
PGCDa ; b×PPCM a ; b=a×b
donc, on pourrait diviser
70×294
par le PGCD(70;294) pour obtenir
le PPCM(70;294).