pourquoi les alveoles des abeilles sont-elles

POURQUOI LES
ALVEOLES DES
ABEILLES SONT-ELLES
HEXAGONALES ?
BARBRAU Océane, CAZEEL Charlotte,
LOISELLE Noéline, ROMMELAERE Maréva,
élèves de 5ème du Collège Maxence Van Der
Meersch, 16 avenue du Général de Gaulle,
59180 CAPPELLE-LA-GRANDE
BAADJ Anaïs, BOSQUET Ophélie, PICHON
Honorine, VANDENBERGHE Amandine,
élèves de 4ème du Collège Lucie Aubrac, 17 rue
de Cahors, 59140 DUNKERQUE
Idée I
Des pavages pour la solidité.
Les alvéoles seront solides si elles peuvent
s’emboîter et ne laissent pas de trous. Nous nous
sommes donc intéressées aux pavages.
Un pavage est un assemblage de formes
géométriques qui ne se superposent pas et qui
ne laissent pas d’espace libre.
Nous avons cherché des exemples de pavages,
en voici quelques-uns :
Enseignants :
CASTELLI Delphine, LUDWIGS Laétitia,
HEBBEN Baptiste
Chercheur :
RYCKELYNCK Philippe
Bonjour.
Nous sommes les élèves du Collège Lucie
Aubrac de Dunkerque et du Collège Maxence
Van Der Meersch de Cappelle-la-Grande.
Notre sujet consiste à vous expliquer pourquoi
les alvéoles des abeilles sont hexagonales.
Les abeilles fabriquent les alvéoles en cire. Les
alvéoles servent à stocker le miel ou les larves.
Voici une photo d’alvéoles :
Pour commencer notre recherche, nous avons eu
trois idées : la structure des alvéoles doit être
solide, stable et économique.
Ce sont bien des pavages, car il n’y a pas de
trous entre les formes géométriques qui
s’emboîtent parfaitement.
Nous avons vu aussi que l’on ne peut pas paver
avec n’importe-quelle figure :
Les triangles équilatéraux (60°)
Les trois angles d’un triangle équilatéral sont
égaux, et leur mesure vaut 180° ÷ 3 = 60°.
Et comme 6 × 60° = 360°, on peut assembler six
triangles équilatéraux autour d’un sommet et
ainsi réaliser un pavage :
Les carrés (90°)
Les angles d’un carré mesurent 90°.
Et comme 4 × 90° = 360°, on peut assembler
quatre carrés autour d’un sommet et ainsi
réaliser un pavage :
Dans ces deux exemples, nous voyons bien que
le choix des figures fait que quand on essaie de
recouvrir le plan, cela laisse des espaces vides.
Idée II
Des polygones réguliers pour la stabilité.
Nous nous sommes ensuite dit que toutes les
alvéoles doivent avoir la même forme et
qu’elles seront stables si leur forme est
régulière. Nous avons donc étudié les polygones
réguliers.
Les pentagones réguliers (108°)
Calcul de l’angle au
centre :
360° ÷ 5 = 72°
Calcul de l’angle du
pentagone :
180° – 72° = 108°
Les angles d’un pentagone régulier mesurent
108°.
Si on en assemble trois autour d’un sommet,
cela laisse des trous car 3 × 108° = 324° < 360°.
Un polygone régulier est une figure
géométrique qui a tous ses côtés de même
longueur et tous ses angles de même mesure.
Parmi tous les polygones réguliers, nous avons
cherché ceux qui réalisent un pavage.
Ce problème revient à chercher combien il est
possible de rassembler de polygones réguliers
identiques autour de l’un de ses sommets.
Pour notre étude, nous avons eu besoin de
savoir deux choses :
- la somme des mesures des trois angles
d’un triangle est égale à 180° ;
- un « tour » est égal à 360°.
Si on en assemble quatre autour d’un sommet,
cela se chevauche car 4 × 108° = 432° > 360°.
On ne peut donc pas réaliser un pavage avec des
pentagones réguliers.
Les hexagones réguliers (120°)
Un hexagone régulier étant constitué de six
triangles équilatéraux, ses angles mesurent 120°.
Et comme 3 × 120° = 360°, on peut assembler
trois hexagones réguliers autour d’un sommet et
ainsi réaliser un pavage :
Idée III
Quel polygone pour un pavage économique ?
Pour terminer, nous avons pensé que les abeilles
doivent utiliser le moins de cire possible pour
réaliser leurs alvéoles, tout en ayant le plus de
place possible à l’intérieur.
Cela se traduit par la question suivante :
Parmi le triangle équilatéral, le carré et
l’hexagone régulier, lequel a-t-il la plus grande
aire pour le plus petit périmètre ?
Polygones réguliers à sept côtés et plus
A partir de polygones à sept côtés et plus, le
pavage est impossible car les angles ne sont pas
des diviseurs de 360°.
Nous avons regroupé nos résultats dans le
tableau suivant :
Nombre de
La mesure
Polygone Mesure de
polygones
divise-trégulier ses angles*
autour d'un
elle 360° ?
sommet
Triangle
équilatéral
60°
Oui
6
Carré
90°
Oui
4
Pentagone
108°
Non
Hexagone
120°
Oui
3
Cela ne
Heptagone tombe pas
juste !
Non
Octogone
Non
135°
* La formule générale pour obtenir la mesure
des angles d’un polygone régulier à p côtés est :
180° – (360° ÷ p)
Bilan
Les seuls polygones réguliers qui réalisent un
pavage sont les triangles équilatéraux, les carrés
et les hexagones réguliers.
Pour répondre à cette question, nous avons
décidé d’inscrire chacun de ces trois polygones
dans un cercle de rayon 6 cm, de calculer leur
périmètre et leur aire, et enfin de comparer le
rapport de l’aire sur le périmètre, qui doit donc
être optimal.
Pour effectuer nos calculs, nous avons utilisé le
théorème de Pythagore.
Pour le triangle :
AB² = AH² + HB² = (AB/2)² + 9²
3
AB² = 81
4
4
AB² = 81 ×
= 108 donc AB = 108
3
périmètre = 3 × 108 ≈ 31,18 cm
aire = 108 × 9 ÷ 2 ≈ 46,77 cm²
aire
4,5 × 108
=
= 1,5
périmètre
3 × 108
Pour le carré :
ED² = EC² + CD²
ED² = 6² +6² = 72 donc ED = 72
périmètre = 4 × 72 ≈ 33,94 cm
aire = 72 × 72 = 72 cm²
aire
72
=
≈ 2,121
périmètre 4 × 72
Pour l’hexagone :
IJ² = IM² + MJ²
IM² = 6² – 3² = 27 donc IM = 27
périmètre = 6 × 6 = 36 cm
aire = 6 × (6 × 27 ÷ 2) ≈ 93,53 cm²
aire
18 × 27
=
≈ 2,598
périmètre
36
Voici nos résultats résumés dans le tableau
suivant :
aire
(en cm²)
périmètre
(en cm)
aire
périmètre
triangle
équilatéral
carré
hexagone
régulier
46,77
72
93,53
31,18
33,94
36
1,5
2,121
2,598
Bilan
Parmi le triangle équilatéral, le carré et
l’hexagone régulier, c’est l’hexagone régulier
qui permet d’avoir le meilleur rapport « aire sur
périmètre ».
CONCLUSION
Pour que la structure des alvéoles soit solide,
stable et économique, les abeilles ont tout
intérêt à construire des prismes de base des
hexagones réguliers. Nous pouvons constater
que c’est ce qu’elles font naturellement !