Cours de spécialité mathématiques en Terminale ES
Systèmes linéaires
Deux exemples de systèmes linéaires à deux équations et deux variables :
(x+3y=4
3x+y=6
et (2a+3b=1
3a−b=−4
Les résoudre.
Définition
Un système linéaire à deux inconnus et deux équations est de la forme suivante :
(ax +by =c
a0x+b0y=c0
où a,b,c,a0,b0et c0sont des nombres réels fixés (des paramètres).
Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 2 / 51
Un exemple de système à trois équations et trois inconnus :
x−y+3z=0
x+y+3z=0
y+z=0
Définition
Un système linéaire à trois équations et trois inconnus est de la forme suivante :
a11 x+a12 y+a13 z=b1
a21 x+a22 y+a23 z=b2
a31 x+a32 y+a33 z=b3
où les aij et les bisont des nombres fixés.
Remarque
En toute généralité, on peut définir les systèmes linéaires àméquations et ninconnus.
La résolution des tels systèmes est assez fastidieuse comme on vient de le voir. Pour nous faciliter
la tâche, nous allons utiliser un nouvel outil : les matrices.
Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 3 / 51
Matrices
Définition
Une matrice de dimension n×pest un tableau de nombres réels à nlignes et pcolonnes :
a11 a12 a13 ... a1j... a1p
a21 a22 a23 ... ... a2p
a31 a32 a33 ... ... a3p
.
.
..
.
.
ai1aij
.
.
.
.
.
..
.
.
an1an2an3... ... anp
On notera que le coefficient aij se trouve sur la i-ème ligne et la j-ème colonne a.
a. Pour se souvenir qu’on prend d’abord en compte les lignes et ensuite les colonnes, on peut utiliser
comme moyen mnémotechnique le terme "Lycos", qui dans la mythologie grecque est un fils de Poseidon.
Lycée Jean Vilar Spé math terminale ES 2014/2015 4 / 51
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
1
/
57
100%
