Exercice n°1 : Le lanceur d`Ariane (8 points)

TS1-TS2-TS3 24/03/2016
Enseignement SPECIFIQUE Calculatrice autorisée
DST n°5 – Durée : 3h30
Il vous est demandé d’apporter un soin particulier à la présentation de votre copie et à la qualité rédactionnelle.
Il sera tenu compte de ces éléments dans l’évaluation de votre travail.
Exercice n°1 : Le lanceur d’Ariane (8 points)

Exercice n°2 - partie A : Les tirs au but (5 points)
Antonin PANENKA, footballeur international tchécoslovaque est connu pour avoir laissé son nom à une technique
particulière pour tirer les penaltys ou « tirs au but ». Au lieu de frapper en force, il frappe doucement le ballon
qui prend alors une trajectoire en « cloche ». Son geste est devenu célèbre au soir de la finale de la Coupe
d’Europe des Nations de 1976, où la Tchécoslovaquie battait la République Fédérale d’Allemagne tenante du titre.
Antonin PANENKA marquant le dernier pénalty par cette technique de balle « en cloche » venait d’inventer la
« Panenka ».
Lors d’un match de football, un joueur doit tirer un pénalty et décide de tenter
une « Panenka ». Le joueur dépose le ballon au point de pénalty O, pris comme
origine du repère.
Le joueur tape le ballon en direction du centre du but et lui communique une
vitesse initiale
0
v
de valeur 11,5 m.s-1 et dont la direction fait un angle  = 55°
avec l’horizontale.
Données :
 intensité de la pesanteur : g = 9,81 N.kg-1 ;
 masse du ballon : m = 620 g ;
 termes utilisés dans la pratique du football :
Les buts
Les buts sont constitués de deux montants verticaux (poteaux) reliés en leur sommet par une barre transversale.
Le bord inférieur de la barre transversale se situe à une hauteur de 2,44 m par rapport au sol.
Le pénalty
Le pénalty est une action consistant à frapper directement au but depuis un point nommé « point de pénalty » ou
« point de réparation ». Un pénalty est réussi si le ballon franchit la ligne de buts en passant entre les montants
et sous la barre transversale.
La surface de réparation
À l’intérieur de chaque surface de réparation, le point de pénalty est marqué à 11,0 m du milieu de la ligne de but
et à égale distance des montants verticaux du but.
1. Schématisation du problème
1.1. Tracer un repère orthonormé ( Ox, Oz ) et représenter, dans ce repère, la situation du pénalty, sans souci
d’échelle.
Les grandeurs suivantes devront apparaitre : le vecteur vitesse initiale
0
v
, l’angle  ; la hauteur h des buts et la
distance d du point de pénalty à la ligne de but.
1.2. On note A le point où se situe le ballon lorsqu’il franchit la ligne de but. Quelles conditions doivent vérifier les
coordonnées ( xA ; zA ) de ce point pour que le pénalty soit réussi ?

2. Étude dynamique du mouvement du ballon
Dans cette partie, on étudie le mouvement du centre d’inertie G du ballon en négligeant les forces de frottement
de l’air sur le ballon ainsi que la poussée d’Archimède.
2.1. Établir l’expression du vecteur accélération
G
a
du centre d’inertie du ballon.
2.2. Établir les équations horaires x ( t ) et z ( t ) du mouvement du centre d’inertie G et montrer que l’équation de la
trajectoire du ballon, dans le plan (xOz), peut s’écrire :
2
0
.²
( ) tan .
2. .(cos )²
gx
z x x
v
2.3. En exploitant les données et les documents, déterminer si le pénalty décrit en début d’exercice est réussi.
Expliciter votre raisonnement.
3. Étude énergétique du mouvement du ballon
On admet que le ballon passe au niveau de la ligne de but à une hauteur zA
=
hA .
On choisira un axe vertical ascendant et une énergie potentielle de pesanteur nulle à l’origine.
3.1. À l’aide du document 1, déterminer les valeurs de la hauteur hA et de la vitesse vA lorsque le ballon franchit la
ligne de but.
3.2. Que peut-on dire de l’énergie mécanique du ballon lors de son mouvement ? Utiliser cette caractéristique du
mouvement pour retrouver la valeur vA
de la vitesse du ballon lorsqu’il franchit la ligne de but et comparer le
résultat trouvé avec celui de la question 3.1. Conclure.
Bonus : En explicitant votre raisonnement, associer à chaque courbe du document 1 la forme d’énergie
correspondante.

Exercice n°2 - partie B : Mesure du temps (2 points)
La mesure du temps est une question essentielle depuis... la nuit des temps. Elle a initialement été basée sur
l’observation d’un phénomène régulier et répétitif qui permettait de caractériser des durées égales.
1. La mesure du temps par Galilée
Galilée, au XVIIème siècle, a eu l’idée d’utiliser un pendule pour mesurer le temps :
Document 1
« J’ai pris deux boules, l’une de plomb et l’autre de liège, celle-là au moins cent fois plus lourde que celle-ci, puis
j’ai attaché chacune d’elles à deux fils très fins, longs tous les deux de quatre coudées ; les écartant alors de la
position perpendiculaire, je les lâchais en même temps ; une bonne centaine d’allées et venues, accomplies par
les boules elles-mêmes, m’ont clairement montré qu’entre la période du corps pesant et celle du corps léger, la
coïncidence est telle que sur mille vibrations comme sur cent, le premier n’acquiert sur le second aucune
avance, fût-ce la plus minime, mais que tous les deux ont un rythme de mouvement rigoureusement identique.
On observe également l’action du milieu qui, en gênant le mouvement, ralentit bien davantage les vibrations du
liège que celles du plomb, sans toutefois modifier leur fréquence.
D’après Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles,
publié en 1636
Données :
Une coudée = 0,573 m
Accélération de la pesanteur : g = 9,81 m.s2
La masse du pendule de plomb de Galilée est : m = 50 g
On réalise un pendule en suspendant une bille de plomb de masse m = 50 g et de centre d’inertie G, à un fil de
longueur l accroché en O comme l’indique la figure du document 2.
Document 2
On choisit la position à l’équilibre G0 de G comme origine des altitudes z. Pour un amortissement faible, la
pseudo-période T du pendule est voisine de sa période propre T0. L’expression de la période propre du pendule
est l’une des propositions suivantes :
0
T2
;
0
T2g
;
0g
T2
;
0m
T2
l désigne la longueur du fil et m la masse du pendule.
Un système informatique permet d’obtenir les mesures représentées sur les deux graphes du document 3 de
l’annexe.
z
l
O
x
xm
G
m
G0