La Transformation de Fourier Géométrique et ses Applications

La Transformation de Fourier Géométrique
et ses Applications
Gérard Laumon
Université Paris-Sud, URA D 0752, Bâtiment 425, F-91405 Orsay Cedex, France
1. La transformation de Fourier géométrique
[Br, Del, IH, Kal, Ka-La, Lai]
Dans tout cet exposé, on fixe deux nombres premiers distincts p et *f, une
clôture algébrique Q^< du corps Q^ des nombres /-adiques et un caractère additif
non trivial xp : F p — • Q^. On fixe aussi un corps algébriquement clos k
de caractéristique p. On désignera par q une puissance de p (q = pf, f G
N x ) , par Vq l'unique sous-corps de k k q éléments et par Frob^ G Gal(k/Wq)
l'inverse de l'élément de Frobenius (Frobg(a)9 = a, Va G k). On utilisera librement
le formalisme des 6 opérations de Grothendieck entre les catégories dérivées
D£(X,Q^) (X un /c-schéma de type fini) ainsi que le formalisme des ^-structures
(cf. [SGA4, SGA5, SGA7, B-B-D, De2 et Ek]).
Soient S un fc-schéma de type fini, n : E —• S un fibre vectoriel de rang
constant d,n' : E' —• S le fibre dual, pr : E' xs E —• F, pr' : F ' xs E —> E1
les projections canoniques et (,) : E' Xs E —> A j l'accouplement de dualité. Sur
Axs = S [u], on a le revêtement d'Artin-Schreier
S[v] —> S[u], v\—> u = vp - v
qui est étale, galoisien, de groupe de Galois F p . Si l'on pousse ce F p -torseur par
le caractère t/;-1 on obtient un Q r faisceau lisse de rang 1 (un "Q^ -torseur") sur
Ag9 noté JS?V. La transformation de Fourier géométrique, inventée par Deligne, est
l'opération
^ : D * ( £ , Q , ) — • £*(£', Q , ) ,
^,(-)=/îpr'!(pr*H®(J)*i?V))[rf].
Théorème 1.1 (Deligne). (i) 3F^ est une équivalence de catégories triangulées, de
quasi-inverse J^'(—)(rf), où &' est la transformation de Fourier géométrique pour
n' :E' —> S (on a identifié E" à E par e\—> (e! i—> -(e1, e))).
(ii) Si E = E\ Xs E2 pour deux fibres vectoriels E\ et Ei de rang constant sur
S, on a
.
9^ ( p r î ( - ) ® pr5(-)) ~ pr7; J ^ ( - ) è pr'2* ^ , j 2 ( - ) ,
Proceedings of the International Congress
of Mathematicians, Kyoto, Japan, 1990
438
Gerard Laumon
où &ïp,i(—) est la transformation de Fourier géométrique pour Et et prf : E\ xs
E2 —> Ei (resp. pr(. : E[ x$ F 2 —> E[) la projection canonique.
(iii) Si f : E\ —> F2 est un morphisme de fibres vectoriels de rang constant
sur S, on a
r^i(-)[di -dil * ^ ä / I H ,
où f est le transposé de f, où d\ est le rang de E\ et où J^- est la transformation
de Fourier géométrique pour E[.
Théorème 1.2 (Verdier). Pour tout K G ob Db(E,<Qf), la flèche d'oubli des supports
Rpr',(pr* K ® (,)*J^) —> Rpr'*(pr* K ê
est un isomorphisme dans
Q*XV)
Db(Er,^).
Compte-tenu de la dualité de Verdier, de la ^-exactitude à droite de /* pour /
affine (prouvée par Artin) et de la forme forte des conjectures de Weil (prouvée
par Deligne), le Théorème 1.2 admet les corollaires suivants:
Corollaire 1.3. On a un isomorphisme canonique
RMm(^(K),nnL)
bi-fonctoriel en (K,L) G ob(Db(E,^)0^
^-i(RMbm(K,n[L))(d)
~
x
Db(S,^)).
Corollaire 1.4. J^> est t-exact et induit une équivalence de catégories abéliennes
^
: Perv(F,Q,) - ^ Perv(F',Q,)
de quasi-inverse J^(—)(d).
Corollaire 1.5. Si S et E —> S sont définis sur Fq, pour tout K e ob Db(E,^)
défini sur ¥q et pur de poids w, ^W(K) G ob Db(E',<!±s) est défini sur ¥q et pur de
poids w -{-d.
2. Application aux sommes trigonométriques
[Br, Ka2, Ka3, Ka-La]
Dans ce paragraphe S = Spec(/c) et E = Spec(fe[xi,...,x^]) (avec sa F^-structure
naturelle). On identifie alors E' à Specfilx^,...,^])
de sorte que
(x',x) =Y^x'òxà5=1
Pour tout schéma X de type fini sur k, défini sur Fq, pour tout x G XÇFq) = {x G
X(k)\ Frobg(x) = x} et pour tout M G ob Db(X,^),
défini sur Wq, Frob^ agit sur
la fibre de M en x et on note tM(x) la trace de cet endomorphisme de Mx. La
formule des traces de Grothendieck pour Frob^ entraine immédiatement:
La Transformation de Fourier Géométrique et ses Applications
Proposition 2.1. Pour tout K e ob Db(E,^),
439
défini sur JFq, et tout x' G E'QPq) =
( F / , on a
tm)(x')
= (~V)d YJ
^Mvotrp^^^x))
*e(Fg)'
(en d'autres termes, t^{K) est, au signe près, la transformée de Fourier de la fonction
tK).
Soit R une sous-Z-algèbre de type fini de C, soit X un R-schéma affine,
lisse, purement de dimension relative m, et soit / = (fi,...,fd)
: X —> AdR
un R-morphisme fini. Pour tout homomorphisme d'anneaux v : R_^—• k avec
v(l) = 1, on note (—)v le changement de base par v. Alors, Kv = (fv)*Q/[m] est un
Q^-faisceau pervers sur Adk = E, Kv est défini sur Wq a k dès que Fq => R/ Ker(t>)
et Kv est pur de poids m. Par suite, ^W(KV) est aussi sur Q^-faisceau pervers sur
Adk = E', &\i>(Kv) est aussi défini sur JFq a k dès que Wq ZD R/Ker(u) et ^(Kv)
est aussi pur de poids m + d (cf. (1.4), (1.5)). De plus, d'après (2.1), on a
tm(*')
= (-l)^'"
X
V o tTF,flP,((x!jv(x))v)
xexvÇFq)
pour tout Fq avec k ZD Fq zz> R/Kev(v).
Comme l'a remarqué le premier Brylinski, il résulte du théorème de structure
des Q^-faisceaux pervers simples et purs qu'il existe un entier Xv > 0 et un
polynôme non nul (pv(xf) dans (R/Ker(v))[x[,...,xfd]
tels que
(2.2)
V
d L 271/
e
4
f **q/Fp((x'Jv(x))9) <Xvqm/2
xeXvÇPq)
dès que k => F^ => R/Ker(t;) et que x' G (Fq)d satisfait cpv(xf) ^ 0.
Théorème 2.3 (Katz et Laumon). Il existe x G N et cp(xf) G R[x[,...,xfd] non nul
tels que, pour tout k et tout v, Xv = X et <Pv = v((p) fassent marcher les estimations
(2.2) ci-dessus.
Exemple 2.4 (Adolphson et Sperber [Ad-Sp], Denef et Lœser [De-Lo]). Soient
I cz V avec \I\ = d,X = (GmtR)n el / = (fùiei ' X —> A £ = A{ avec /,(x) = x\
Alors / est fini (et par suite (2.3) s'applique) si et seulement si l'enveloppe convexe
de I dans R"1 est de dimension m et contient 0 dans son intérieur. Dans ce cas, x
et (p sont déterminés explicitement dans loc. cit.
440
Gérard Laumon
3. Localisation de caractéristiques d'Euler-Poincaré
et de déterminants [Kal, IH, Lai]
Soient X un /c-schéma de type fini, A = Spec(fc[x]), D = A U {00} la droite
projective correspondante, / : X —> D un fc-morphisme propre, Â = Spec(/c[x'])
la droite affine duale de A et D' = Â U {oo'} la droite projective correspondante.
On pose Y = f'^oo),
U = X-Y
= f~l(A). On note j :A^D,
f : Ä *-• D'les
inclusions, p r z : D' XjcX —> X, prD, :Df x^X —> D'les projections canoniques,
^ ( x ' x ) le Q^-faisceau lisse de rang 1 sur A! X/c A associé au revêtement d'ArtinSchreier vp — v_= x'x et au caractère \p et prolongé par 0 à Df Xk D tout entier
et S£w(x!j) le Q^-faisceau sur D' Xk X image réciproque de ^(x'x)
par D1 x^f.
b
Enfin, soit K G ob
D (X,^).
Posons
,
_
K' = j\^,U'Rf,K)[-i]
€ ob Dbc(D',<&).
On a encore
K, = R p r Z ) : ( p r ^ K ê i f v ( x 7 ) ) .
Si l'on note d l'origine de A!, Y\^ (resp. r\af) le point générique de l'hensélisé de Df
en o' (resp. oo') et r\0, (resp. Tfœf) un point géométrique localisé en r}0f (resp. rjœ>),
on a le triangle distingué
(3.1)
Rrc(U,K)
—> JS^ —> Rr(X,R^)
—
(1Ç = RF c (l/,K)) et l'isomorphisme
(3.2)
4œ/^RF(X,R<^J
( K ^ = 0), où R < ^ G o b ^ ^ Q . J G a l ^ / ^ ) ] ) (resp. R4>^ G ob D*
(XjQ/tGal^z/^oo/)])) sont les cycles évanescents pour pr^ relativement à
L
pr^X
Le
formé
(ieH)
® S£w(x!f) en O' (resp. oo').
support de R$rjot est clairement contenu dans Y. Soit F cz (7 l'ouvert
des points x e U tels que / et les Q^-faisceaux de cohomologie J^l(K)
soient lisses en x et soit Z = U — V le fermé complémentaire.
Théorème 3.3 (Laumon). Le support de RËyf^ est contenu dans Y U Z.
Ce théorème est l'analogue en cohomologie /-adique du principe de la phase
stationnaire: si U est une variété différentielle (êco9 si / : U —> IR est une fonction
V*3 et si œ est une densité ^°° à support compact sur U telle que
Supp(co) n{xe
U\df(x) = 0} = 0,
on a
L
' ^fœ
= 0(x'-n)
lu
pour tout entier n > 0 quand x' G IR tend vers 00.
On ne peut pas comparer directement K^ et K^,. Par contre, K^ et K^,
ont même caractéristique d'Euler-Poincaré. On déduit donc de (3.1) , (3.2) et (3.3)
que :
La Transformation de Fourier Géométrique et ses Applications
(3.4)
x(X, K) = X(Y, K) - x(Y, R^)
+ X(YUZ,
441
R^J.
Application 3.5. Si X est une variété projective sur k et si K\9 K2 G ob
Db(X,^)
sont localement isomorphes pour la topologie étale sur X, Deligne a démontré
que #(X,Ki) = x(X,K2) (cf. [112]). On peut en donner une autre démonstration
par récurrence sur la dimension de X basée sur (3.4).
On peut aussi comparer les déterminants de Kyio, et K^. En particulier, on
peut déduire de (3.1), (3.2) et (3.3) la conjecture de Deligne suivante :
Théorème 3.6 (Laumon). Soient X une courbe projective, lisse et connexe sur k, œ
une 1-forme méromorphe non identiquement nulle sur X et K G ob Db(X,^).
On
suppose X, œ et K définis sur Wq. Alors la ''constante globale" de Grothendieck
e(X, K) = d e t ( - Frob^, RF (X, K))~l
admet la formule du produit
s(X,K)=q«-^K)
f]
B(Xix),K\X{x),œ\X{x))
XE\X\
où g est le genre de X, r(K) est le rang générique de K et, pour tout point fermé
x de X, X(x) est Vhensélisé de X en x et e(X(x),K\X(x),m\X(x)) est la "constante
locale" de Deligne, Dwork et Langlands.
Récemment, Loeser a obtenu par la même méthode une formule du produit
pour le déterminant de la cohomologie étale du complémentaire d'un arrangement
d'hyperplans dans FJJ à valeurs dans un Q^-faisceau lisse de rang 1 de type
Kummer (cf. [Lo]).
4. Transformations de Fourier locales [Lai]
Il y en a de trois types 9$°***\ J^00'0') et ^ ( o o ' 0 ° , ) . On ne s'intéressera ici qu'au
premier type. Soient T = Spec(/c[[ro]]) (resp. T' = Spec(/c[[o7']])) avec sa r e structure naturelle (w (resp. w') est une indéterminée sur k), r\ (resp. if) le point
générique et s (resp. sf) le point fermé de T (resp. T'), r\ (resp. t?) un point
géométrique localisé en Y\ (resp. if) et 9 (resp. ^') la catégorie des Gal(7f/rç)
(resp. Gal(?f/*7'))-rnoclules s u r Q ^ Si F G ob 0, on note encore V le Q^-faisceau
lisse sur rç correspondant et V\ sur prolongement par zéro à T tout entier. Alors
par définition
^')(V)
= R%(pT*(Vi)
® Se^w/v/))^
G ob 9'
où pr : T' Xjc T —>_T et pr' : V X/c T —> T' sont les projections canoniques et
où ^ ( m / m ' ) est le Q^-faisceau lisse de rang 1 sur if Xk T associé au revêtement
d'Artin-Schreier vv — v = wjvf et au caractère y; et prolongé par zéro à T' X/c T
tout entier.
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Gérard Laumon
Théorème 4.1 (Laumon).
(i) J^ 0 ' 00 ^ est un fondeur exact de & vers &.
(ii) Pour tout V G ob 9, on a
r(^')(V))
=r(V) + s(V)
s(^\V))
=s(V)
où r(—) est le rang et s(—) le conducteur de Swan, de sorte que J ^ 0 ' 0 0 ^ ) c ^[0,i['
où #[o,i[ est la sous-catégorie.pleine de & formée des objets Vf dont tous les sousquotients irréductibles W vérifient s(W) < r(W).
(iii) Le foncteur J^0'00') : ^ —> ^[o,i[ est une équivalence de catégories
abéliennes.
(iv) J ^ ( F ) V ~^ v ( rV v )(i).
(v) Si V est défini sur ¥q, il en est de même de &^0,CO'\V) et la "constante
locale" so(T, V,dm) de Deligne, Dwork et Langlands est égale à
sQ(T, V,dm) = ( - 1 ) ^ det(F')(tu')
où V1 = ^œ,)(V)
(on a identifié G^Ì(Fq((w,))/Fq((w,Wb
théorie du corps de classe abélien).
à (Fq((m'))x)A par la
Cette transformation de Fourier locale donne une construction cohomologique
locale de la représentation d'Artin et de la "constante locale". Elle a aussi permis
à Henniart de démontrer la conjecture de Langlands locale numérique, i.e. de
dénombrer les objets simples de ^ de conducteur borné (cf. [He]).
5. Une nouvelle preuve d'une conjecture de Weil [Lai]
Si K est un Q^-faisceau pervers, irréductible, défini sur Wq et pur de poids 0, sur
une droite projective D définie sur Fq, Deligne a montré que Rr(D,K) est aussi
pur de poids 0. La transformation de Fourier géométrique permet d'en donner
une nouvelle démonstration, inspirée par la preuve de Witten des inégalités de
Morse. Supposons que D = A U {oo}, où oo G D(Fq) et A = Spec(/c[x]) est défini
sur Fq, et que les Q^-faisceaux de cohomologie J^l(K) (i G TL) sont fisses en oo.
Alors la restriction de ^p(K\A) à Â — {o'} (A! = Spec(fe[x'])) est de la forme
/'[l] pour un Q^-faisceau_ lisse irréductible f . La remarque essentielle est que
ff est un constituant du Q/-faisceau lisse réel
œ~\^((K
e
KV)\A)
e
^-ì((K
e
KV)\A))\A'
- (o'}
où K v = RJfàm(K,aìf[2](l)) est le dual de Verdier de K. Par suite, d'après un
théorème clé de Deligne, ß1 est lui même pur d'un certain poids (on a fixé un
isomorphisme i : <Q/ —> (C, de sorte que i o xp~{ = Tölp).
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443
6. La transformation de Radon géométrique [Br, 111]
Il s'agit d'une variante homogène de la transformation de Fourier. Soient n :
P = P(F) —> S et %' : P' = P(F') —> S les fibres projectifs associés aux fibres
vectoriels du paragraphe 1. On note Z <zz P' xs P la variété d'incidence entre
ces deux fibres projectifs en dualité et Q : Z —> P, Q' : Z —> Pf les projections
canoniques. La transformation de Radon géométrique, inventée par Brylinski, est
l'opération
®:Dbc(P,^)-^Dbc(P',^)
®(-)=RQ>^(-)[d-2}.
On note £f cz Perv(P,Q^) (resp. ^ cz Perv(P', Q/)) la sous-catégorie
strictement pleine formée des Q^-faisceaux pervers sur P (resp. P') isomorphes à n*L[d — 1] (resp. n'*Lf[d — 1]) pour un L G ob Per v (S, Q^) (resp.
V G ob Perv(S, Q^)) ; c'est une sous-catégorie de Serre.
Théorème 6.1 (Brylinski). (i) Pour tout K G ob Perv(P,Q^) et tout entier i ^ 0,
P^(m(K)) G ob sr'.
(ii) Le foncteur K i—> PJ^°(^(K)) induit une équivalence de catégories
abêliennes de la catégorie quotient P e r v ( P , ^ ) / ^ sur la catégorie quotient
Perv(P',Q^)/y" ; un quasi-inverse est induit par K' i—• Pj^°(^'(K'))(d - 2 ) , où
M' est la transformation de Radon géométrique pour P ' .
Brylinski applique ce théorème à l'étude, dans le cas singulier, de la monodromie des pinceaux de Lefschetz.
Dans [La2], nous utilisons cette transformation de Radon pour l'étude des
faisceaux automorphes cuspidaux de Drinfeld.
7. Une application à la théorie des représentations
des groupes réductifs sur les corps finis [Kaz-La]
Soient V un espace vectoriel de dimension 2 sur k et œ G A2 V — {0} une forme
volume. On suppose que V et œ sont définis sur Fq. On identifie le dual Vf de V
k V k l'aide de la forme symplectique œ. On a donc une involution
JV(-)(1) : Perv(F,Q,) — • Perv(F,Q,)
si l'on considère V comme un
Soit sé la catégorie abélienne
J*v,(Frob* A)(l) —> A est un
groupe de Grothendieck de sé.
fibre vectoriel sur Spec(/c) de manière^ évidente.
des paires (A, cp) où A G ob Perv(F,Q^) et cp :
isomorphisme dans Perv(F,Q^). Soit K(sé) le
On considère l'application
ob sé X ob sé —> Q^
((Ahcpì),(A2,cp2)).—•
£(-1)'
tiicp\Ex^Tv{v^)(AuDA2))
444
Gérard Laumon
où DA2 = R3fàm(A2,0^[2](Vj), où les Ext1' (i ^ 0 ) sont les Ext1' de Yoneda dans la
catégorie abélienne Perv(F,Q^) (ce sont des Q^-espaces vectoriels de dimension
finie, nuls pour i > 0, d'après [Be]) et où cp1 est induit par cp\ et cp2. Elle induit
un accouplement
_
(,):K(sé)xK(sé)-^(^
dont on notera N(sé) le noyau.
Le gtoupe algébrique sur k, Aut(F,œ) xGm,k, agit sur V par (g,t)-v = g(tv) =
tg(v) d'une part et par (g, t) • v = g(t~lv) = t~lg(v) d'autre part, d'où deux actions
de Axxt(V,œ) x <Gmjfc sur Perv(F,Q<f) échangées par &\p(—)(1). On en déduit une
action de Aut(V, œ)(JFq) x {t G k\tq+l = 1} sur K(sé) qui respecte l'accouplement
(, ) et donc son noyau.
Théorème 7.1 (Kazhdan). (i) K(sé)/N(sé) a une structure naturelle de <Qrespace
vectoriel de dimension finie sur lequel Au.t(V,co)(JFq) x {t € k\tq+l = 1} agit.
(ii) Si X '• {t £ k\tq+l = 1} —> Q^ est un caractère régulier (x2 =£ 1) la
composante isotypique ox de x dans K(sé)/N(sé) est la représentation irréductible
de la série discrète de Aut(F,ca)(Fg) ~ SL2(¥q) associée à x par la construction
de Weil.
Dans [Kaz-La], nous construisons un analogue de K(sé)/N(sé)
pour un
groupe semi-simple et simplement connexe arbitraire (à la place de Aut(F, co)) et
conjecturons une généralisation de (7.1).
Remarque 7.2. Pour d'autres applications à la théorie des représentations des
groupes réductifs sur les corps finis, voir [Br, De3, Lu].
Remerciement. Je remercie Mme Le Bronnec pour la magnifique composition de ce
manuscrit.
Bibliographie
[Ad-Sp] Adolphson, A., Sperber, S.: Exponential sums and Newton polyhedra, cohomology and estimates. Ann. Math. 130 (1989) 367^-06
[Be]
Beilinson, A. : On the derived category of perverse sheaves. (Lecture Notes in
Mathematics, vol. 1289.) Springer, Berlin Heidelberg New York 1987, pp. 27^1
[B-B-D] Beilinson, A., Bernstein, J., Deligne, P. : Faisceaux pervers. Astérisque 100 (1983)
[Br]
Brylinski, J.-L.: Transformations canoniques, Dualité projective, Théorie de
Lefschetz, Transformations de Fourier et sommes trigonométriques. Astérisque
140-141 (1986) 3-134
[Del]
Deligne, P.: Lettre à D. Kazhdan du 29 novembre 1976
[De2]
Deligne, P.: La conjecture de Weil IL Pubi. Math. IHES 52 (1980) 137-252
[De3]
Deligne, P. : Métaplectique. Communication personnelle
[De-Lo] Denef, J., Lœser, F. : Weights of exponential sums, intersection cohomology, and
Newton polyhedra. Preprint 1990
[Ek]
Ekedahl, T.: On the *?-adic formalism in the "Grothendieck Festschrift", vol. 2.
Birkhäuser, Basel (to appear)
[He]
Henniart, G : La conjecture de Langlands locale numérique pour GL(n). Ann.
Sci. Ec. Norm. Sup. 21 (1988) 497-544
La Transformation de Fourier Géométrique et ses Applications
[111]
445
Illusie, L.: Deligne's /-adic Fourier transform. Proceedings of Symposia in Pure
Math., vol. 46, part 2. A.M.S. 1987, pp. 151-163
[112]
Illusie, L.: Théorie de Brauer et caractéristique d'Euler-Poincaré d'après P.
Deligne. Astérisque 82-83 (1981) 161-172
[Kal]
Katz, N.M.: Travaux de Laumon, Séminaire Bourbaki. Astérisque 161-162
(1988) 105-132
[Ka2]
Katz, N.M.: Gauss sums, Kloosterman sums, and monodromy. Ann. Math.
Stud., vol. 116. Princeton Univ. Press, 1988
[Ka3]
Katz, N.M.: Perversity and exponential sums. Tohoku Math. J. (to appear)
[Ka-La] Katz, N.M., Laumon, G : Transformation de Fourier et majoration de sommes
exponentielles. Pubi. Math. IHES 62 (1985) 361-418
[Kaz-La] Kazhdan, D., Laumon, G.: Gluing of perverse sheaves and discrete series
representations. J. Geom. Phys. 5 (1988) 63-120
[Lai]
Laumon, G.: Transformation de Fourier, constantes d'équations fonctionnelles
et conjecture de Weil. Pubi. Math. IHES 65 (1987) 131-210
[La2]
Laumon, G.: Correspondance de Langlands géométrique pour les corps de
fonctions. Duke Math. J. 54 (1987) 309-359
[Lo]
Lœser, F. : Arrangements d'hyperplans et sommes de Gauss. Prépublicaton Ecole
Polytechnique, Palaiseau 1989
[Lu]
Lusztig, G.: Fourier transforms on a semi-simple Lie algebra over ¥q. (Lecture
Notes in Mathematics, vol. 1271.) Springer, Berlin Heidelberg New York 1987,
pp. 117-188
[SGA]
Grothendieck, A., et al.: Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie,
SGA4, SGA5, SGA7. (Lecture Notes in Mathematics, vols. 269, 305, 589, 288,
340.) Springer, Berlin Heidelberg New York 1972 à 1977