La Transformation de Fourier Géométrique et ses Applications

La Transformation de Fourier Géométrique
et ses Applications
Gérard Laumon
Université Paris-Sud, URA D 0752, Bâtiment 425, F-91405 Orsay Cedex, France
1. La transformation de Fourier géométrique
[Br, Del, IH, Kal, Ka-La, Lai]
Dans tout cet exposé, on fixe deux nombres premiers distincts p et *f, une
clôture algébrique Q^< du corps Q^ des nombres /-adiques et un caractère additif
non trivial xp : Fp —• Q^. On fixe aussi un corps algébriquement clos k
de caractéristique p. On désignera par q une puissance de p (q = pf, f G
Nx), par Vq l'unique sous-corps de k k q éléments et par Frob^ G Gal(k/Wq)
l'inverse de l'élément de Frobenius (Frobg(a)9 = a, Va G k). On utilisera librement
le formalisme des 6 opérations de Grothendieck entre les catégories dérivées
D£(X,Q^) (X un /c-schéma de type fini) ainsi que le formalisme des ^-structures
(cf. [SGA4, SGA5, SGA7, B-B-D, De2 et Ek]).
Soient S un fc-schéma de type fini, n : E —• S un fibre vectoriel de rang
constant d,n' : E' —• S le fibre dual, pr : E' xs E —• F, pr' : F' xs E —> E1
les projections canoniques et (,) : E' Xs E —> Aj l'accouplement de dualité. Sur
Axs = S [u], on a le revêtement d'Artin-Schreier
S[v] —> S[u], v\—> u = vp - v
qui est étale, galoisien, de groupe de Galois Fp. Si l'on pousse ce Fp-torseur par
le caractère t/;-1 on obtient un Qrfaisceau lisse de rang 1 (un "Q^ -torseur") sur
Ag9 noté JS?V. La transformation de Fourier géométrique, inventée par Deligne, est
l'opération
^:D*(£,Q,)—• £*(£', Q,),
^,(-)=/îpr'!(pr*H®(J)*i?V))[rf].
Théorème 1.1 (Deligne). (i) 3F^ est une équivalence de catégories triangulées, de
quasi-inverse J^'(—)(rf), où &' est la transformation de Fourier géométrique pour
n' :E' —> S (on a identifié E" à E par e\—> (e! i—> -(e1, e))).
(ii) Si E = E\ Xs E2 pour deux fibres vectoriels E\ et Ei de rang constant sur
S, on a
. 9^ (prî(-) ® pr5(-)) ~ pr7; J^(-) è pr'2* ^,j2(-),
Proceedings of the International Congress
of Mathematicians, Kyoto, Japan, 1990

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où &ïp,i(—) est la transformation de Fourier géométrique pour Et et prf : E\ xs
E2 —> Ei (resp. pr(. : E[ x$ F2 —> E[) la projection canonique.
(iii) Si f : E\ —> F2 est un morphisme de fibres vectoriels de rang constant
sur S, on a
r^i(-)[di -dil * ^ä/IH,
où f est le transposé de f, où d\ est le rang de E\ et où J^- est la transformation
de Fourier géométrique pour E[.
Théorème 1.2 (Verdier). Pour tout K G ob Db(E,<Qf), la flèche d'oubli des supports
Rpr',(pr* K ® (,)*J^) —> Rpr'*(pr* K ê Q*XV)
est un isomorphisme dans Db(Er,^).
Compte-tenu de la dualité de Verdier, de la ^-exactitude à droite de /* pour /
affine (prouvée par Artin) et de la forme forte des conjectures de Weil (prouvée
par Deligne), le Théorème 1.2 admet les corollaires suivants:
Corollaire 1.3. On a un isomorphisme canonique
RMm(^(K),nnL) ~ ^-i(RMbm(K,n[L))(d)
bi-fonctoriel en (K,L) G ob(Db(E,^)0^ x Db(S,^)).
Corollaire 1.4. J^> est t-exact et induit une équivalence de catégories abéliennes
^ : Perv(F,Q,) -^ Perv(F',Q,)
de quasi-inverse J^(—)(d).
Corollaire 1.5. Si S et E —> S sont définis sur Fq, pour tout K e ob Db(E,^)
défini sur ¥q et pur de poids w, ^W(K) G ob Db(E',<!±s) est défini sur ¥q et pur de
poids w -{-d.
2. Application aux sommes trigonométriques
[Br, Ka2, Ka3, Ka-La]
Dans ce paragraphe S = Spec(/c) et E = Spec(fe[xi,...,x^]) (avec sa F^-structure
naturelle). On identifie alors E' à Specfilx^,...,^]) de sorte que
(x',x) =Y^x'òxà-
5=1
Pour tout schéma X de type fini sur k, défini sur Fq, pour tout x G XÇFq) = {x G
X(k)\ Frobg(x) = x} et pour tout M G ob Db(X,^), défini sur Wq, Frob^ agit sur
la fibre de M en x et on note tM(x) la trace de cet endomorphisme de Mx. La
formule des traces de Grothendieck pour Frob^ entraine immédiatement:

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Proposition 2.1. Pour tout K e ob Db(E,^), défini sur JFq, et tout x' G E'QPq) =
(F/, on a
tm)(x') = (~V)d YJ ^Mvotrp^^^x))
*e(Fg)'
(en d'autres termes, t^{K) est, au signe près, la transformée de Fourier de la fonction
tK).
Soit R une sous-Z-algèbre de type fini de C, soit X un R-schéma affine,
lisse, purement de dimension relative m, et soit / = (fi,...,fd) : X —> AdR
un R-morphisme fini. Pour tout homomorphisme d'anneaux v : R_^—• k avec
v(l) = 1, on note (—)v le changement de base par v. Alors, Kv = (fv)*Q/[m] est un
Q^-faisceau pervers sur Adk = E, Kv est défini sur Wq a k dès que Fq => R/ Ker(t>)
et Kv est pur de poids m. Par suite, ^W(KV) est aussi sur Q^-faisceau pervers sur
Adk = E', &\i>(Kv) est aussi défini sur JFq a k dès que Wq ZD R/Ker(u) et ^(Kv)
est aussi pur de poids m + d (cf. (1.4), (1.5)). De plus, d'après (2.1), on a
tm(*') = (-l)^'" X V o tTF,flP,((x!jv(x))v)
xexvÇFq)
pour tout Fq avec k ZD Fq zz> R/Kev(v).
Comme l'a remarqué le premier Brylinski, il résulte du théorème de structure
des Q^-faisceaux pervers simples et purs qu'il existe un entier Xv > 0 et un
polynôme non nul (pv(xf) dans (R/Ker(v))[x[,...,xfd] tels que
(2.2)
271/ 4
V
edfL**q/Fp((x'Jv(x))9)
xeXvÇPq)
<Xvqm/2
dès que k => F^ => R/Ker(t;) et que x' G (Fq)d satisfait cpv(xf) ^ 0.
Théorème 2.3 (Katz et Laumon). Il existe x G N et cp(xf) G R[x[,...,xfd] non nul
tels que, pour tout k et tout v, Xv = X
et <Pv
= v((p) fassent marcher les estimations
(2.2) ci-dessus.
Exemple 2.4 (Adolphson et Sperber [Ad-Sp], Denef et Lœser [De-Lo]). Soient
I cz V avec \I\ = d,X = (GmtR)n el / = (fùiei ' X —> A£ = A{ avec /,(x) = x\
Alors / est fini (et par suite (2.3) s'applique) si et seulement si l'enveloppe convexe
de I dans R"1 est de dimension m et contient 0 dans son intérieur. Dans ce cas, x
et (p sont déterminés explicitement dans loc. cit.

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3. Localisation de caractéristiques d'Euler-Poincaré
et de déterminants [Kal, IH, Lai]
Soient X un /c-schéma de type fini, A = Spec(fc[x]), D = A U {00} la droite
projective correspondante, / : X —> D un fc-morphisme propre, Â = Spec(/c[x'])
la droite affine duale de A et D' = Â U {oo'} la droite projective correspondante.
On pose Y = f'^oo), U = X-Y = f~l(A). On note j :A^D, f : Ä *-• D'les
inclusions, prz : D' XjcX —> X, prD, :Df x^X —> D'les projections canoniques,
^(x'x) le Q^-faisceau lisse de rang 1 sur A! X/c A associé au revêtement d'Artin-
Schreier vp — v_= x'x et au caractère \p et prolongé par 0 à Df Xk D tout entier
et S£w(x!j) le Q^-faisceau sur D' Xk X image réciproque de ^(x'x) par D1 x^f.
Enfin, soit K G ob Db(X,^).
Posons , _
K' = j\^,U'Rf,K)[-i] € ob Dbc(D',<&).
On a encore
K, = RprZ):(pr^Kêifv(x7)).
Si l'on note d l'origine de A!, Y\^ (resp. r\af) le point générique de l'hensélisé de Df
en o' (resp. oo') et r\0, (resp. Tfœf) un point géométrique localisé en r}0f (resp. rjœ>),
on a le triangle distingué
(3.1) Rrc(U,K) —> JS^ —> Rr(X,R^) —
(1Ç = RFc(l/,K)) et l'isomorphisme
(3.2) 4œ/^RF(X,R<^J
(K^= 0), où R<^ G ob^^Q.JGal^/^)]) (resp. R4>^ G ob D*
(XjQ/tGal^z/^oo/)])) sont les cycles évanescents pour pr^ relativement à
L
pr^X ® S£w(x!f) en O' (resp. oo').
Le support de R$rjot est clairement contenu dans Y. Soit F cz (7 l'ouvert
formé des points x e U tels que / et les Q^-faisceaux de cohomologie J^l(K)
(ieH) soient lisses en x et soit Z = U — V le fermé complémentaire.
Théorème 3.3 (Laumon). Le support de RËyf^ est contenu dans Y U Z.
Ce théorème est l'analogue en cohomologie /-adique du principe de la phase
stationnaire: si U est une variété différentielle
(êco9
si / : U —> IR est une fonction
V*3 et si œ est une densité ^°° à support compact sur U telle que
Supp(co) n{xe U\df(x) = 0} = 0,
on a
' ^fœ = 0(x'-n)
L
lu
pour tout entier n > 0 quand x' G IR tend vers 00.
On ne peut pas comparer directement K^ et K^,. Par contre, K^ et K^,
ont même caractéristique d'Euler-Poincaré. On déduit donc de (3.1) , (3.2) et (3.3)
que :

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(3.4) x(X, K) =
X(Y,
K) - x(Y, R^) +
X(YUZ,
R^J.
Application 3.5. Si X est une variété projective sur k et si K\9 K2 G ob Db(X,^)
sont localement isomorphes pour la topologie étale sur X, Deligne a démontré
que #(X,Ki) = x(X,K2) (cf. [112]). On peut en donner une autre démonstration
par récurrence sur la dimension de X basée sur (3.4).
On peut aussi comparer les déterminants de Kyio, et K^. En particulier, on
peut déduire de (3.1), (3.2) et (3.3) la conjecture de Deligne suivante :
Théorème 3.6 (Laumon). Soient X une courbe projective, lisse et connexe sur k, œ
une 1-forme méromorphe non identiquement nulle sur X et K G ob Db(X,^). On
suppose X, œ et K définis sur Wq. Alors la ''constante globale" de Grothendieck
e(X, K) = det(- Frob^, RF (X, K))~l
admet la formule du produit
s(X,K)=q«-^K) f] B(Xix),K\X{x),œ\X{x))
XE\X\
où g est le genre de X, r(K) est le rang générique de K et, pour tout point fermé
x de X, X(x) est Vhensélisé de X en x et e(X(x),K\X(x),m\X(x)) est la "constante
locale" de Deligne, Dwork et Langlands.
Récemment, Loeser a obtenu par la même méthode une formule du produit
pour le déterminant de la cohomologie étale du complémentaire d'un arrangement
d'hyperplans dans FJJ à valeurs dans un Q^-faisceau lisse de rang 1 de type
Kummer (cf. [Lo]).
4. Transformations de Fourier locales [Lai]
Il y en a de trois types 9$°***\ J^00'0') et ^(oo'0°,). On ne s'intéressera ici qu'au
premier type. Soient T = Spec(/c[[ro]]) (resp. T' = Spec(/c[[o7']])) avec sa re-
structure naturelle (w (resp. w') est une indéterminée sur k), r\ (resp. if) le point
générique et s (resp. sf) le point fermé de T (resp. T'), r\ (resp. t?) un point
géométrique localisé en Y\ (resp. if) et 9 (resp. ^') la catégorie des Gal(7f/rç)
(resp. Gal(?f/*7'))-rnoclules sur Q^ Si F G ob 0, on note encore V le Q^-faisceau
lisse sur rç correspondant et V\ sur prolongement par zéro à T tout entier. Alors
par définition
^')(V) = R%(pT*(Vi) ® Se^w/v/))^ G ob 9'
où pr : T' Xjc T —>_T et pr' : V X/c T —> T' sont les projections canoniques et
où ^(m/m') est le Q^-faisceau lisse de rang 1 sur if Xk T associé au revêtement
d'Artin-Schreier vv — v = wjvf et au caractère y; et prolongé par zéro à T' X/c T
tout entier.