MATHEMATIQUES FINANCIERES Recueil d`applications BBA1

MATHEMATIQUES FINANCIERES
Recueil d’applications
BBA1 EDHEC
2014 - 2015
Philippe COGNEAU-Frédéric HERBIN
Mathématiques financières
2014-2015
PARTIE I : Actualisation, capitalisation-La valeur du temps1
Application 1
Un trésorier d’entreprise a placé une somme S au taux de 5 % à intérêt simple sur une durée
T ; ce placement a produit une valeur acquise de 18 750 €. Le même placement, effectué sur
une durée de 2 ans inférieure et au taux de 6,50 %, aurait produit une valeur acquise de 17
925 €.
Question
Déterminer la somme S investie et la durée T du placement.
Application 2
Le 17 novembre 2015, un trésorier d’entreprise porte à l’escompte un effet de valeur
nominale 15 000 € et de date d’échéance le 15 décembre 2015.
Les conditions négociées avec la banque sont les suivantes :
Taux d’escompte :
Frais fixe par effet escompté :
Il n’y a pas de jour de valeur pour simplifier.
9%
3€
Questions
1. Déterminer la valeur du financement obtenu par le trésorier d’entreprise.
2. Intuitivement, quelles sont les influences de la valeur nominale de l’effet, de la durée
avant l’échéance de ce dernier ainsi que des frais fixes facturés sur le coût de l’opération ?
Application 3
Un trésorier d’entreprise emprunte 25 000 € à intérêt simple pendant une durée de n jours
au taux de 6 %. Le calcul de la rémunération du prêteur sur une base commerciale, c’est-àdire sur une base de 360 jours dans l’année, et non civile, 365 ou 366 jours dans l’année, lui
fait perdre 6,85 €.
Questions
1
Les énoncés et éléments de corrigés contenus dans ce recueil d’applications ont été en grandes
majorité créés par le professeur Frédéric HERBIN. Les applications 3, 4 et 9 sont d’après JeanChristophe MEYFREDI.
1
Mathématiques financières
2014-2015
1. Quelle a été la durée du placement ?
2. Que peut-on conclure sur cette pratique de calcul des intérêts par les établissements de
crédit ?
Application 4
Un trésorier d’entreprise a reçu le 1er octobre 9 900 € en échange d’une remise à l’escompte
d’un effet d’une valeur de 10 000 € ; le taux d’escompte est de 8 %.
Question
Quelle était la date d’échéance de l’effet ?
Application 5
Une banque émet un Certificat de dépôt (CD) avec les caractéristiques suivantes :
Valeur nominale :
1 000 000 €
Taux de négociation (facial) :
3,00 %
Nature de l’intérêt :
postcompté
Durée (exacte) avant l’échéance du CD :
121 jours
Questions
1. Déterminer la valeur de remboursement (VR) du CD
2. Déterminer la rémunération (r) exprimée sur une base annuelle obtenue par un
investisseur ayant détenu le CD sur les 121 jours exactement.
Application 6
Un trésorier d’une entreprise cotée française a émis il y a peu pour les besoins de son
financement à court terme quelques Billets de trésorerie (BT). Emis par l’intermédiaire
d’une des banques du trésorier en recherche de financement, les billets sont tous de mêmes
caractéristiques :
Valeur nominale d’un billet :
150 000 €
Taux de négociation (facial) :
2,75 %
Nature de l’intérêt :
précompté
Durée (exacte) avant l’échéance : 92 jours
Questions
1. Un trésorier d’entreprise d’un très grand Groupe français non coté, dont l’une des
banques est également celle de l’émetteur des BT, a acquis l’un de ces Billets de trésorerie
lors de l’émission ; déterminez le montant décaissé par le souscripteur du BT à l’émission.
Le trésorier du Groupe non coté demande à la Banque responsable de l’émission des BT de
2
Mathématiques financières
2014-2015
racheter celui qu’il détient 48 jours après l’achat alors que les taux proposés sur le marché
pour ce type d’actif sont de 2,25 %.
Questions
2.1 Déterminer le prix de cession (de rachat) du BT.
2.2.1 Déterminer la rémunération (R) obtenue sur la durée du placement par le trésorier
du Groupe non coté.
2.2.2 Quelle est cette rentabilité (r) exprimée sur une base annuelle ?
Application 7
Une banque A rémunère les comptes de dépôts à 2,50 % intérêt simple alors qu’une banque
B les rémunère à 2,50 % avec un intérêt composé annuellement.
Questions
1. Si vous réalisez un dépôt de 1 000 euros dans chacune de ces banques, dans quelle
banque aurez-vous la valeur acquise la plus importante au bout de quatre ans ? A
combien se montera l’avantage ?
2. Quel est le taux d’intérêt composé annuellement qui permettrait d’obtenir pour la
banque A le même résultat que celui obtenu avec l’intérêt simple ?
Application 8
Vous vous êtes promis(e) de posséder une superbe voiture d’une valeur de 200 000 euros
dans dix ans.
Question
Si vous pensez qu’une SICAV2 que vous avez sélectionnée peut rapporter un taux annuel
de 10 %, combien devez-vous investir aujourd’hui ?
Application 9
Deux capitaux dont la somme fait 10 000 € ont été placés au taux de 5 % pendant 6 mois. La
différence d’intérêt a été de 40 €.
2
Les SICAV sont des sociétés anonymes dont le capital est variable. Elles émettent ou rachètent leurs
actions à la demande des investisseurs à un prix de vente et de rachat qu'elles sont tenues de
publier quotidiennement et qui correspond à la valeur de leurs actifs. Les SICAV monétaires de
capitalisation offrent à leurs actionnaires une rentabilité par appréciation quotidienne de la valeur
liquidative proche de celle du marché monétaire. Selon l'objectif affiché par la SICAV, la progression
de la valeur liquidative est plus ou moins régulière, une progression très régulière ne pouvant être
obtenue qu'au détriment de la rentabilité. Il existe également des SICAV obligataires et des SICAV
actions qui offrent au trésorier d'entreprise la possibilité d'acheter indirectement des obligations ou
des actions sans avoir à suivre quotidiennement la gestion de ses lignes.
3
Mathématiques financières
2014-2015
Question
Quels ont été les deux montants initialement placés ?
Application 10
Un joueur de football a signé un contrat le liant pour trois ans à l’un des plus prestigieux
clubs européens. Les termes du contrat ont été âprement discutés et la presse s’est fait
écho du montant, sur les trois ans, de 30,5 millions d’euros. Le contrat stipule en fait un
versement cash de 2,44 millions d’euros à la signature du contrat, 6,1 millions à la fin de la
première année et respectivement 9,76 millions et 12,2 millions à la fin de la deuxième et
troisième année.
Question
En supposant que le taux du marché soit de 10 %, le contrat signé par ce joueur vaut-il
effectivement 30,5 millions d’euros ?
Application 11
Vous projetez d’effectuer une série de dépôts sur un plan épargne retraite. Vous devriez
déposer 1 000 euros aujourd’hui, 2 000 euros dans deux ans et 2 000 euros dans cinq ans.
Questions
1. Si vous retirez 1 500 euros dans trois ans et 1 000 euros dans sept ans, en supposant les
pénalités nulles, de combien disposerez-vous après 15 ans si le taux d’intérêt est de 8 % ?
2. Quelle est la valeur présente de l’ensemble de ces flux de dépôt et de retrait ?
Application 12
Une compagnie d’assurance propose actuellement un nouveau contrat. La nouvelle police
est achetée par un parent (l'un des grands-parents) pour un enfant (petit enfant) lors de la
naissance de celui-ci.
Les détails de la police sont les suivants.
L’acheteur réalise les six paiements en faveur de la compagnie d’assurance :
- premier anniversaire :
900 euros
- deuxième anniversaire :
900 euros
- troisième anniversaire : 1 000 euros
- quatrième anniversaire : 1 000 euros
- cinquième anniversaire : 1 100 euros
- sixième anniversaire :
1 100 euros
Après le sixième anniversaire aucun autre paiement n’est effectué. Lorsque l’enfant atteint
l’âge de 65 ans, il reçoit 235 300 euros.
Question
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Mathématiques financières
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Si le taux d’intérêt adéquat pour les six premières années est de 10 % et de 6 % ensuite
jusqu’à la fin du contrat, faut-il investir dans cette police ?
Application 13
Pour rembourser un emprunt à la consommation d’un montant de 5 000 €, un particulier
doit s’acquitter de 11 versements constants et d’un 12ème de 260,17 €. Ces versements
comprennent le remboursement effectif du capital emprunté et l’intérêt périodique dû au
prêteur. Tous les versements ont lieu en fin de mois. Le taux d’intérêt mensuel de
l’opération est de 1 %.
Question
1. Déterminer la valeur constante des 11 premiers remboursements.
Application 14
On vous propose de placer 1 000 euros pendant 10 ans, le premier versement ayant lieu
dans exactement un an et les neuf prochains, à la fin des neuf prochaines périodes. Le
capital constitué et les intérêts sont récupérés à la fin de la dixième période. Le taux du
marché est de 5 %.
Questions
1.1 Quelle est la valeur acquise de cette suite de flux ?
1.2 Quelle est sa valeur actuelle ?
2. Même question si les flux sont versés au début de chaque période.
Application 15
Un particulier a signé avec un organisme de prévoyance un contrat de placement lui
permettant d’effectuer des opérations de dépôt et de retrait pour des montants libres. La
seule contrainte est que le premier retrait ne peut avoir lieu avant la fin des deux premières
années suivant le premier dépôt et que le montant cumulé des retraits ne peut excéder le
montant des dépôts. Le particulier a effectué, sur 4 ans, les opérations suivantes :
Date
Opération
début année N
placement de 25 000 €
début année N+2
retrait de 10 000 €
fin N+3 début année N+4
retrait de 500 €
Juste après la dernière opération de retrait, soit à la fin de l’année N+3, le capital investi se
monte à 24 003 €.
5
Mathématiques financières
2014-2015
Question
Quel est le taux de placement ?
Application 16
Un particulier âgé exactement de 40 ans se décide à étudier le problème de la constitution
de son épargne retraite. En première analyse, il estime que son salaire annuel actuellement
de 40 000 € devrait en moyenne croître de 5 % l’an jusqu’à son départ à la retraite. Peu
optimiste, il estime que celui-ci ne pourra s’effectuer avant son 65ème anniversaire. Sur ces
25 années, il compte en moyenne épargner 10 % de ses revenus. A l’issue de cette période
d’épargne il aimerait consommer annuellement une certaine somme évoluant en fonction
de l’inflation anticipée permettant de laisser une somme de 100 000 € à ses deux enfants
lors de son 85ème anniversaire, date estimée de son décès. Pour simplifier, le taux moyen de
l’inflation entre le 65ème et le 85ème anniversaire de l’individu est considéré comme constant
et égal à 3%. Enfin, le taux d’actualisation choisi pour réaliser la simulation est de 8 %.
Questions
1. Déterminer l’épargne constituée le jour du 65ème anniversaire.
2. Déterminer la première consommation C permettant de respecter la contrainte
d’héritage. Commentez le résultat.
N.B. : on considérera que le premier versement d’épargne et la première consommation
auront lieu respectivement le jour du 41ème anniversaire et du 66ème anniversaire. La
dernière consommation est à considérer à la date du décès.
Application 17
Une personne a légué un capital de 2 500 000 € à trois héritiers âgés respectivement lors du
décès du testateur de 14 ans et demi, 11 ans et 6 ans et trois mois. Conformément aux
clauses testamentaires, chaque héritier entrera en possession de sa part à l’âge de 18 ans.
Question
Sachant qu’ils devront recevoir la même somme à leur majorité, comment faut-il effectuer
le partage de la somme léguée.
Le taux d’actualisation est de 5 %.
Application 183
Un jeune particulier venant de gagner une forte somme à l’Euro Millions est un fanatique de
voile et de voyages. Après avoir investi dans un voilier à la pointe des nouvelles
technologies, il a réussi à convaincre des responsables médias de l’aider dans son projet
3
Toute ressemblance avec une personne existante serait purement fortuite.
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Mathématiques financières
2014-2015
d’écrit ci-dessous.
Les années impaires le particulier réalise un voyage, en profite pour réaliser des documents
audios et vidéos et préparer un ouvrage à publier ; les années paires, il fournit aux médias
les documents et le manuscrit en contrepartie d’une somme annuelle X versée en début
d’année. Après l’achat de son voilier, le particulier a placé le reste de ses gains, soit W, au
taux annuel r (calcul annuel des intérêts). Ce placement doit lui permettre d’obtenir un
versement annuel de 2Y (premier versement exactement deux ans après le placement de la
somme W) au début de chaque année de voyage, et de Y (premier versement exactement
trois ans après le placement de la somme W) au début de chaque année consacrée aux
médias.
Questions
1.1 En considérant que le jeune particulier est au premier jour de sa vingt cinquième
année (année paire), qu’il effectue son placement unique W au taux r à cette date, qu’il
compte terminer son dernier voyage et encaisser ainsi sa dernière rémunération X à la fin
de sa soixante dixième année (année paire), et en considérant enfin qu’il désire recouvrer
une somme Z de son épargne lors de son soixante et onzième anniversaire, donner la
relation permettant de déterminer la somme constante Y en fonction des autres
paramètres.
1.2 Application numérique : W =15 000 000 € ; Z = 10 000 000 € ; r = 5 %.
Application 19
Monsieur X est un adepte invétéré des jeux. Il a acquis récemment, pour une somme
modique, un jeu permettant au gagnant de toucher jusqu’à la date de son décès une somme
constante chaque mois. Après des années de pertes, Monsieur X est enfin entré en
possession d’un jeu gagnant lui donnant le droit de toucher 2 000 € à la fin de chaque mois
ad vitam aeternam. Sachant cependant que toute chose à une fin et conscient de sa
discipline de vie sur sa santé, Monsieur X pense qu’il pourra profiter de ses gains pendant 20
années pleines (les premiers 2 000 € lui seront versés dans exactement 1 mois).
Questions
1. En négligeant la valeur d’achat du jeu et en considérant un taux d’actualisation mensuel
de 0,25 %, quelle est la valeur du gain de Monsieur X ?
2. Quelle serait cette valeur si les 2 000 € mensuels pouvaient être transmis sans
restriction à un des parents survivants de Monsieur X ? Que peut-on conclure ?
Application 20
On verse un montant K sur un compte rémunéré où les intérêts sont calculés tous les mois
en fin de période ; le taux de rémunération mensuel est de 0,4 %. A la fin de la cinquième
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Mathématiques financières
2014-2015
année, le placement doit servir une rente mensuelle de 500 € pendant 10 ans, le premier
versement de la rente devant avoir lieu à la fin du dernier mois de la première période de
cinq ans et le dernier à la fin du dernier mois de la dixième année de la seconde période. Sur
les dix dernières années, le taux d’actualisation mensuel à considérer est de 0,5 %, les
intérêts étant calculés mensuellement.
Question
Déterminer le montant K devant être versé sur le compte rémunéré.
Application 21
Un de vos amis vient de célébrer son 35ème anniversaire et veut d’ors et déjà épargner pour
sa retraite qu’il pense pouvoir prendre lors de son 65 ème anniversaire. Il désire pouvoir
retirer de son épargne 12 000 euros à chaque anniversaire les quinze années suivant son
départ en retraite. Le premier retrait aura lieu le jour de son 66 ème anniversaire. Son
banquier conseil lui a proposé d’effectuer les versements qu’il désire tous égaux sur un
fonds d’épargne rémunérant les placements au taux de 10 % l’an.
Questions
1. En supposant que le premier versement soit effectué lors du 36 ème anniversaire et le
dernier lors du 65ème, combien votre ami doit-il épargner chaque année pour atteindre
l’objectif qu’il s’est fixé ?
2. Votre ami vient d’hériter d’une somme assez conséquente. Dans l’hypothèse ou il
effectuerait, à la place des 30 versements égaux, un seul et unique versement lors de son
36ème anniversaire, quel devrait être le montant de ce versement ?
3. Supposons maintenant que l’employeur de votre ami est susceptible, dans le cadre d’un
accord salarial d’entreprise, de contribuer à son épargne retraite à concurrence de 120
euros par an. De plus, lors de son 55ème anniversaire, il pense pouvoir investir 17 500 euros
provenant d’un placement qui, compte tenu des pénalités en cas de sortie prématurée,
est bloqué jusqu’à cette date. Dans cette hypothèse, à combien doivent se monter les
versements annuels ?
Application 22
Vous décidez, le 1er décembre 2015, de vous constituer un capital en versant chaque
trimestre sur un fonds des sommes égales à 1 000 €.
Date du premier versement : 1er décembre 2015
Date du dernier versement : 1er décembre 2020
8
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2014-2015
Le capital constitué à la date du 1er décembre 2020 est laissé sur le fonds et continue à
porter intérêt jusqu’au 1er décembre 2022.
Sur la première période allant du 1er décembre 2015 au 1er décembre 2020 les intérêts sont
calculés trimestriellement, sur la seconde – 1er décembre 2020 au 1er décembre 2022 -, les
intérêts sont calculés annuellement. Le taux d’intérêt trimestriel est de 2,5 % pour la
période du 1er décembre 2015 au 1er décembre 2020 ; le taux annuel sur la seconde période
est de 8 %.
Question
1. Calculer le montant du capital constitué à la date du 1er décembre 2020.
Le capital constitué au 1er décembre 2022 est arrondi au millier d’euros le plus proche ; il est
alors versé sur un autre fonds de la même banque à cette même date, à charge pour cet
établissement de vous verser une rente annuelle constante. Date du premier encaissement :
1er décembre 2023, date du dernier encaissement : 1er décembre 2030. Taux annuel nominal
: 9 %.
Question
2. Calculer le montant constant de cette rente
On décide de fixer à 2 400 € les termes annuels constants de cette rente, sauf pour le
dernier.
Question
3. Calculer le montant du dernier terme de la rente ; taux annuel nominal : 9 %.
Application 23
La littérature fournit nombre d’exemples de rentiers, c’est-à-dire d’individus pouvant vivre
uniquement des intérêts d’un capital sans consommer celui-ci. Attiré par le concept vous
décidez de vous lancer dans l’étude de la possibilité de ce projet. Compte tenu de
l’importance de vos revenus et de votre appétence pour la consommation immédiate, vous
penser n’épargner chaque année qu’un pourcentage X de ceux-ci et consommer le reste.
L’épargne est placée sur un compte rémunéré au taux annuel r.
Questions
1. Quelle est la durée de la phase d’épargne à respecter pour pouvoir vivre à l’issue de
celle-ci, sans diminuer la consommation, de l’épargne préalablement constituée ? (r = 4%).
2. Quelles sont, aujourd’hui, les limites du raisonnement ?
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Mathématiques financières
2014-2015
Application 24
Un gestionnaire de portefeuille a sélectionné les deux obligations ci-dessous :
Obligation
Nominal
Taux de coupon
Périodicité des coupons
Modalité de remboursement
Versement du prochain coupon :
Durée avant l’échéance :
Taux actuariel :
I
II
762,50
762,50
7,25 %
10,75 %
annuelle
in fine au pair
365 jours
84 jours
4 ans
5 ans et 84 jours
9%
Questions
1. Déterminer les prix des deux obligations.
2. Si les taux varient instantanément de + 1% (- 1%), que deviennent les prix ? Que peuton conclure ?
3. Déterminer le prix de l’obligation 3 ans et 180 jours avant l’échéance, 3 ans et 1 jour
avant l’échéance, 3 ans avant l’échéance. Que constate-t-on ?
10
Mathématiques financières
2014-2015
Partie II : Les emprunts indivis
Application 1
Vous voulez acheter une voiture neuve coûtant 30 000 euros. L’organisme de crédit du
constructeur est susceptible de vous prêter la somme nécessaire à l’acquisition ; le prêt
stipulerait un taux d’intérêt de 6 % l’an correspondant à un taux mensuel de 0,5 %, 60
mensualités constantes et un paiement comptant de 5 %. Vous planifiez également de
changer de voiture dans deux ans et demi.
Questions
1. Quels seront vos paiements mensuels ?
2. Quelle sera la valeur du prêt restant à rembourser dans deux ans et demi ? Comparer
cette valeur avec le capital emprunté et commenter.
Application 24
Monsieur Romain doit dans quelque temps changer de voiture. Amoureux des « belles
anglaises », il pense orienter son choix dans cette direction. Il ne peut cependant assurer
maintenant le financement à 100 % de l’achat et pense faire appel à une société de crédit
pour une partie du financement. Il vient d’ailleurs de prendre connaissance d’une publicité
d’une marque anglaise de renom qui propose, par l’intermédiaire de sa filiale financière (qui
est en réalité allemande), des prêts dont les caractéristiques sont les suivantes :
un crédit au taux de 4,5 % de 12 à 60 mois sans apport. Exemple : par tranche de 10 000 €
empruntés sur 60 mois, 60 mensualités1 de 186,43 €. Coût total du crédit : 1 185,80 €, coût
total de l’achat à crédit 11 185,80 €. Sous réserve d’acceptation du dossier par XXX,
département de YYY. Crédit minimum de 10 000 €.
1 Hors assurances facultatives.
Questions
1. Recalculer la mensualité constante
2. Déterminer la relation liant l’amortissement mt du capital à une date quelconque t avec
le premier amortissement m1 du capital d’un emprunt indivis remboursé par annuité
constante.
3. Donner deux méthodes permettant de déterminer le montant du capital restant à
rembourser après le versement de la trentième mensualité ?
4
Cette application est inspirée d’une situation réelle. Toute ressemblance avec des personnes
physiques ou morales réelles ne pourrait cependant qu’être fortuite.
11
Mathématiques financières
2014-2015
Annexe : Tableau de remboursement de l’emprunt
Période
Capital de
mensualité intérêt
début de
constante mensuel
période
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
10 000,00
9 851,07
9 701,58
9 551,53
9 400,92
9 249,74
9 098,00
8 945,69
8 792,81
8 639,35
8 485,32
8 330,71
8 175,52
8 019,75
7 863,39
7 706,45
7 548,92
7 390,80
7 232,09
7 072,78
6 912,87
6 752,36
6 591,25
6 429,54
6 267,22
6 104,29
5 940,75
5 776,60
5 611,83
5 446,44
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
37,50
36,94
36,38
35,82
35,25
34,69
34,12
33,55
32,97
32,40
31,82
31,24
30,66
30,07
29,49
28,90
28,31
27,72
27,12
26,52
25,92
25,32
24,72
24,11
23,50
22,89
22,28
21,66
21,04
20,42
amortisseCapital de
ment
fin de
mensuel
période
du capital
148,93
9 851,07
149,49
9 701,58
150,05
9 551,53
150,61
9 400,92
151,18
9 249,74
151,74
9 098,00
152,31
8 945,69
152,88
8 792,81
153,46
8 639,35
154,03
8 485,32
154,61
8 330,71
155,19
8 175,52
155,77
8 019,75
156,36
7 863,39
156,94
7 706,45
157,53
7 548,92
158,12
7 390,80
158,71
7 232,09
159,31
7 072,78
159,91
6 912,87
160,51
6 752,36
161,11
6 591,25
161,71
6 429,54
162,32
6 267,22
162,93
6 104,29
163,54
5 940,75
164,15
5 776,60
164,77
5 611,83
165,39
5 446,44
166,01
5 280,43
Période
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Capital de
mensualité intérêt
début de
constante mensuel
période
5 280,43
5 113,80
4 946,55
4 778,67
4 610,16
4 441,02
4 271,24
4 100,83
3 929,78
3 758,09
3 585,75
3 412,77
3 239,14
3 064,86
2 889,92
2 714,33
2 538,08
2 361,17
2 183,59
2 005,35
1 826,44
1 646,86
1 466,61
1 285,68
1 104,07
921,78
738,81
555,15
370,80
185,76
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
186,43
19,80
19,18
18,55
17,92
17,29
16,65
16,02
15,38
14,74
14,09
13,45
12,80
12,15
11,49
10,84
10,18
9,52
8,85
8,19
7,52
6,85
6,18
5,50
4,82
4,14
3,46
2,77
2,08
1,39
0,70
amortisseCapital de
ment
fin de
mensuel
période
du capital
166,63
5 113,80
167,25
4 946,55
167,88
4 778,67
168,51
4 610,16
169,14
4 441,02
169,78
4 271,24
170,41
4 100,83
171,05
3 929,78
171,69
3 758,09
172,34
3 585,75
172,98
3 412,77
173,63
3 239,14
174,28
3 064,86
174,94
2 889,92
175,59
2 714,33
176,25
2 538,08
176,91
2 361,17
177,58
2 183,59
178,24
2 005,35
178,91
1 826,44
179,58
1 646,86
180,25
1 466,61
180,93
1 285,68
181,61
1 104,07
182,29
921,78
182,97
738,81
183,66
555,15
184,35
370,80
185,04
185,76
185,73
0,03
Application 35
Un emprunt négocié il y a peu de temps par une entreprise est remboursable grâce au
versement d’annuités constantes. Malheureusement, le stagiaire qui vous précédait a
malencontreusement renversé sa tasse de café sur le document alors que votre supérieur
hiérarchique a absolument besoin de ce document pour le présenter en commission de
crédit. Les seules informations encore lisibles sont le montant des 5 ème et 10ème
amortissements ainsi que le dernier, mais l’ordre est inconnu ; les valeurs des trois
amortissements sont 21 695,80 €, 38 853,87 € et 29 033,87 €.
Question
Reconstituer le plan d’amortissement de l’emprunt.
Application 46
Un particulier a contracté il y a exactement 10 ans un emprunt immobilier. Lors de la
signature du contrat, les conditions étaient les suivantes :
5
D’après J.C. Meyfredi.
Cette application est inspirée d’une situation réelle. Toute ressemblance avec des personnes
physiques ou morales réelles ne pourrait cependant qu’être fortuite.
6
12
Mathématiques financières
2014-2015
Capital emprunté :
150 000 €
Durée :
20 ans
Taux :
12 %
Modalité de remboursement : mensualité constante
Spécificité autre :
en cas de remboursement anticipé, une pénalité représentant
3 % du capital restant dû lors du remboursement est exigée.
Les taux aujourd’hui pour ce type d’emprunt et pour le montant restant à rembourser sont
aujourd’hui de 6 %. Le particulier pense pouvoir rembourser par anticipation son emprunt
et ainsi économiser quelques euros.
Questions
1. Déterminer le montant de la pénalité si l’emprunt est remboursé par anticipation juste
après le versement de la 120ème mensualité.
2. A combien se monterait l’avantage du remboursement ?
Application 5
Une entreprise contracte un emprunt ayant les caractéristiques suivantes :
Capital emprunté :
Durée :
Taux :
1 000 000 €
15 ans
4 % sur les dix premières années
2 % sur les cinq dernières années
Modalité de remboursement : annuité constante « a » sur les dix premières années
annuité constante « a + 50 000 € » les cinq dernières années.
Questions
1. Déterminer l’annuité « a ».
2. Donner la dernière ligne du tableau d’amortissement.
Application 6
Une entreprise a contracté il y a 5 ans un emprunt avec les modalités suivantes :
Capital emprunté :
Durée :
Taux :
Modalité de remboursement :
5 millions €
10 ans
5%
annuité constante
L’entreprise est sur le point d’être rachetée par ses cadres dirigeants et un ensemble
d’investisseurs dont une société de capital risque. L’opération est l’occasion, même si cela
est imposé par les investisseurs, d’effectuer une opération de restructuration de la dette.
13
Mathématiques financières
2014-2015
Dans le cadre de cette restructuration une alternative peut être considérée. La dette cidessus est :
- soit remboursée in fine au bout de cinq ans, sans versement intermédiaire d’intérêt
- soit remboursée par des annuités constantes de 298 400 €.
Questions
1. Déterminer l’annuité constante du contrat initial.
2. En considérant le taux de rémunération de la dette du contrat initial, déterminer la
valeur de remboursement de la dette de la première option.
3. En considérant le taux de rémunération de la dette du contrat initial, déterminer la
durée de l’emprunt de la seconde option.
Application 77
Un particulier ayant eut l’opportunité et l’idée d’utiliser une modification législative en 2005
liée aux SCI a maintenant acquis un beau patrimoine à travers un Groupe de sociétés cotées.
Pour une branche particulière de son Groupe il demande à un Conseiller Indépendant en
Gestion Globale de Patrimoine de construire un produit de financement par dette
comportant une obligation : les intérêts annuels doivent être constants pour lisser
radicalement l’économie fiscale liée à la déductibilité de la charge d’intérêt. Le Conseiller
Indépendant en Gestion Globale de Patrimoine contacte un professeur de finance qui lui
propose le produit aux caractéristiques exotiques, mais simples et répondant à sa demande,
suivantes :
Capital emprunté :
D0
Durée :
T
Taux effectif :
ta
Taux nominal (de base) :
r1
Intérêt en € à la date t :
it
Modalité de remboursement : remboursement effectif du capital (M) constant et
versement périodique constant (a)
Questions
1. Déterminer la forme des taux d’intérêt rt successifs en fonction de r1.
2. Déterminer r1 en fonction de l’objectif de taux effectif (ta) et de la durée T de l’emprunt.
3. Application numérique :
Capital emprunté :
500 000 €
Durée :
5 ans
Taux effectif :
5%
Modalité de remboursement : remboursement effectif du capital (M) constant et
versement périodique annuel constant (a)
7
Cette application est inspirée d’une situation réelle. Toute ressemblance avec des personnes
physiques ou morales réelles ne pourrait cependant qu’être fortuite.
14
Mathématiques financières
2014-2015
Partie III : Les Taux
Application 18
Un Placement épargne logement permet, pour un placement unique de 20 000 € sur cinq
ans, de bénéficier d’un taux d’intérêt de 3 %. Les intérêts sont calculés par quinzaine (année
bancaire de 360 jours et taux proportionnel).
Questions
1. Déterminer le TEG du placement.
2. Déterminer le TEG si l’Etat verse une prime égale à la moitié des intérêts acquis à
l’horizon de placement mais limité à 3 000 €.
3. Même question qu’au point 2. si les intérêts et la prime sont soumis à imposition au
taux de 10%.
Application 2
Il n’y a pas si longtemps, aux Etats Unis d’Amérique, les banques commerciales et les caisses
d’épargne avaient leur taux de rémunération sur les comptes épargne encadrés. Sous ce qui
était connu comme la législation Q, les caisses d’épargne étaient autorisées à servir sur ce
type de compte un intérêt de 5,5 % alors que les banques commerciales ne pouvaient
rémunérer les leurs qu’à hauteur de 5,25 %. La loi ne donnait aucune indication sur la
manière de composer les intérêts.
Question
1. Quels étaient les taux maximum autorisés par cette loi ?
Application 3
Un particulier a effectué un placement sur 8 ans de M € à taux variable mais fixé dès la
signature du contrat. Le taux des deux premières années est de 3 %, celui des deux
suivantes de 4 % et celui des quatre dernières de 5 %.
Questions
1. Quel est le taux effectif du placement ?
2. Considérons un placement M sur T années. L’horizon de placement T est subdivisé en K
K
sous périodes de durées respectives nk avec  nk  T ; soit r nk , le taux annuel pour une
k 1
8
Cette application est inspirée du traitement en termes de rémunération et de fiscalité des Plans
épargne logement (PEL) en France qui donnent droit à une prime d’Etat, non fiscalisée à l’origine,
calculée sur le cumul des intérêts sur la période d’épargne et plafonnée; pour les plans épargne de
ce type non encore liquidés dix ans après leur ouverture la prime est maintenant fiscalisée.
15
Mathématiques financières
2014-2015
sous période k comportant nk années. Quel est le taux effectif du placement ?
3. Quel serait le taux obtenu à la question 1. si,
- pour les mêmes sous périodes les rémunérations étaient respectivement de 5%, 4 %
et 3 % ?
- le placement entraînait un droit de sortie de 0,5 % du capital constitué ?
Application 4
Considérons une entreprise devant contracter une dette dont les caractéristiques sont les
suivantes :
Nominal emprunté : 10 000 000 €
Taux nominal 10 %
Périodicité de calcul des intérêts : annuelle en fin de période
Durée : 10 ans
Modalités de remboursement : en totalité en fin de prêt (on dit « in fine »)
L’émission de cette dette génère en t = 0 un coût pour l’entreprise de 2 % du montant
nominal levé.
Question
1. Quel est le véritable coût de l’opération pour l’entreprise ?
Application 5
Une grande chaîne de distribution spécialisée dans la vente de matériel Hi Fi et Vidéo,
octroie les conditions de paiement suivantes sur l’un de ses matériels vendu 2 500 € :
- paiement comptant de 500 €
- 11 mensualités constantes payables en fin de mois
- taux servant au calcul des intérêts : 12 %
Questions
1. Déterminer la valeur des mensualités si le taux mensuel est un taux équivalent te m.
Quel est le TEG ?
2. Mêmes questions mais avec un taux mensuel proportionnel t pm. Que peut-on conclure ?
3. Que devient le TEG si des frais d’ouverture de dossier de 10 € sont exigés lors de la
vente dans le cas de l’utilisation d’un intérêt proportionnel ?
Application 6
La même chaîne que ci-dessus propose une autre modalité de financement pour un autre
de ses articles dont elle veut effectuer la promotion.
Le client a le choix entre une remise déduite immédiatement et correspondant à 5 % du prix
16
Mathématiques financières
2014-2015
de vente affiché M ou un crédit sans frais en 12 versements, le premier correspondant à 20
% du prix de vente affiché M et réglé au moment de l’achat et 11 mensualités constantes
M
versées en fin de mois et égales à 80% .
11
Question
1. Quel est en réalité le coût du crédit pour la chaîne de distribution spécialisée ?
Application 7
Une publicité parue en août 2006 dans un magazine comportait, entre autres, les éléments
suivants :
Montant
de votre crédit(1)
Pendant
2 mois(3)
500 €
1 000 €
1 500 €
2 000 €
3 000 €
4 000 €
0€
0€
0€
0€
0€
0€
Dès le 3ème mois,
vous choisissez
votre mensualité(2)
puis 15 € ou 20 €
puis 30 € ou 240 €
puis 45 € ou 60 €
puis 60 € ou 80 €
puis 90 € ou 120 €
puis 120 € ou 160 €
« Ouverture de crédit d’un an renouvelable au TEG annuel révisable de 19,95 % pour un crédit
inférieur à 1 524 € et 17,75 % au-delà. »
« (1)Crédit reconstituable d’un an renouvelable consenti par XXX S.A. sous réserve
d’acceptation du dossier. Le coût total du crédit dépend de son utilisation : il varie suivant le
montant, la durée du découvert effectif du compte et le montant des mensualités.
Perceptions forfaitaires de 0 €…(2)Les mensualités intègrent le remboursement du capital,
les intérêts ainsi que l’assurance du compte si vous y avez souscrit. Exemple : pour un crédit
de 1 500 € et un financement de 1 000 € demandé le 25/08/2006, vous remboursez 27
mensualités de 45 € et une dernière mensualité ajustée de 14,94 €…Coût total du crédit de
229,94 €. Première mensualité appelée le 05/12/2006. Plus la mensualité est faible, plus la
durée de remboursement est longue, plus le coût du crédit est élevé. (3) Sauf en cas de
sinistre déclaré et sous réserve que les comptes que vous détenez à XXX ne présentent pas
d’impayés ou de retard, vous bénéficiez d’un report de mensualité de 2 mois. A l’issue de la
période de report, vos remboursements s’effectueront au taux en vigueur à cette période et
qui vous aura été préalablement communiqué. Le report de mensualité allonge la durée de
remboursement du crédit… »
Question
1. Déterminer la relation permettant de retrouver « le coût total du crédit » de 229,94 €.
N.B. : pour répondre à cette question il faut considérer le fait que la dernière mensualité
de 14,94 € est une « mensualité ajustée ».
17
Mathématiques financières
2014-2015
Application 89
Un particulier désire contracter un emprunt pour financer l’achat d’une résidence
principale. La valeur totale de l’achat est de 220 000 € et l’apport personnel du particulier
est faible de l’ordre de 20 000 €.
Sa banque lui propose un prêt avec les caractéristiques suivantes :
- capital prêté :
200 000 €
- durée :
20 ans
- taux nominal :
4,15 %
- modalité de remboursement :mensualité constante
- possibilité de moduler les montants des mensualités
Questions
1.1 Déterminer la mensualité constante.
1.2 Déterminer le TEG.
Après avoir consulté d’autres financeurs potentiels, le particulier trouve que les conditions
faites par sa banque sont de loin les plus intéressantes. Il reprend donc contact avec le
chargé de clientèle qui suit son dossier pour finaliser l’accord de prêt. Son interlocuteur lui
apprend alors que l’octroi du prêt nécessite des frais de dossier de 0,3 % du montant initial
emprunté à verser à la signature et une assurance de 0,15 % (taux annuel) calculée sur le
capital initial emprunté ; ces frais d’assurance sont intégrés, en sus, aux mensualités
constantes. Il insiste également sur le fait que compte tenu des relations de confiance qu’il
entretien avec son client et avec l’accord du comité de crédit, aucun frais de garantie ne
sont exigés.
Questions
2.1 Déterminer le nouveau TEG.
2.2 Que doit-on conclure ?
Application 910
Rentré de vacances un particulier a l’œil attiré par une publicité d’une grande enseigne de
prêt aux particuliers parue dans un grand quotidien régional. La publicité stipule, entre
autres, les éléments suivants :
« Réalisez vos projets à partir de 185 €*/mois
Offre de prêt personnel Multiprojets (hors travaux de construction) valable du
20/08/xxxx au 23/09/xxxx au Taux annuel Effectif Global Fixe de 5,1 % de 8 000 € à
15 000 € sur 37 à 48 mois.
9
Cette application est inspirée d’une situation réelle. Toute ressemblance avec des personnes
physiques ou morales réelles ne pourrait cependant qu’être fortuite.
10
Cette application est inspirée d’une situation réelle. Toute ressemblance avec des personnes
physiques ou morales réelles ne pourrait cependant qu’être fortuite.
18
Mathématiques financières
2014-2015
TAEG
fixe (1)
Taux
débiteur fixe
Durée du
crédit
Montant
emprunté
5,1%
5,1%
5,1%
4,98%
4,98%
4,98%
48 mois
48 mois
48 mois
8 000 €
10 000 €
15 000 €
Mensualité
Nombre de
Intérêts
hors assurance
mensualités
facultative
184,16 €
48
839,68 €
230,20 €
48
1 049,60 €
345,30 €
48
1 574,40 €
Montant
total dû
8 839,68 €
11 049,60 €
16 574,40 €
Coût mensuel de
l'assurance
facultative (2)
5,52 €
6,91 €
10,36 €
(1) Taux Annuel Global Fixe
(2) Coût standard de l'assurance facultative Décès, Perte Totale et Irréversible d'Autonomie Maladie-Accident (Souscrite auprès de Xxxxxx
Assurance Vie et Xxxxxx Risques divers) par mois jusque 54 ans s'ajoutant au montant de la mensualité.
* Mensualité arrondie à l'euro supérieur
»
Le particulier décide d’examiner cette proposition.
Questions
1. Montrer qu’effectivement sans assurance le TEG de la proposition est bien de 5,1%.
2. Que devient le TEG si l’on considère l’assurance « facultative » ?
Application 10
Considérons une entreprise devant contracter une dette dont les caractéristiques sont les
suivantes :
Nominal emprunté (D0) :
Taux nominal (r) :
Périodicité de calcul des intérêts :
Durée :
Modalités de remboursement :
80 000 000 €
6%
annuelle en fin de période
10 ans
in fine
L’émission de cette dette génère en t = 0 un coût pour l’entreprise (FE en valeur monétaire)
de 2 % du montant nominal levé ; le taux d’imposition des bénéfices (tis) est de 35 % pour
simplifier.
Questions
1. En négligeant l’impôt, quel est le véritable coût (ta) de l’opération pour l’entreprise ?
2. Répondre à la question 1 en considérant l’impôt et en supposant que les frais
d’émission soient inscrits en totalité au compte de résultat lors de l’année d’émission.
Application 11
Monsieur Christian LORQ est le nouveau trésorier d’une PME du Pas de Calais. Après avoir
évalué la situation et l’organisation de la trésorerie de l’entreprise, il a entrepris de
rationaliser certains éléments de gestion11.
11
On considérera une année civile de 365 jours.
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Mathématiques financières
2014-2015
Définition d’une politique de placement / financement court terme.
Une étude effectuée dans les comptes de l’entreprise a montré qu’elle accorde des crédits
aux clients et que ces derniers peuvent représenter 30, 60 ou 90 jours. De même,
l’entreprise bénéficie de crédits fournisseurs pouvant aller de 1 mois à 3 mois. De plus,
compte tenu d’un usage dans le secteur d’activité, le règlement comptant d’un fournisseur
génère une remise sur facture d’un montant de 0,5 % du montant nominal de la facture,
quel que soit le montant et la durée du crédit pouvant être accordé.
Les conditions de placement et de financement négociées par Monsieur DUCHEMIN,
prédécesseur de Christian LORQ, sont les suivantes :
- taux d’escompte commercial :
9%
-taux du découvert bancaire :
13 %
- investissement dans une SICAV : 4,15 % (TEG), capitalisation journalière des
intérêts.
Question
1.1 Déterminer la politique de placement / financement devant être suivie par ce trésorier
d’entreprise.
N.B. : pour répondre à cette question vous déterminerez les taux effectifs (actuariels) des
différentes modalités de financement et de placement.
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