sujet - Académie de Clermont

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OLYMPIADES ACADÉMIQUES DE MATHÉMATIQUES
CLASSE DE PREMIERE
Durée : 4 heures
SESSION 2013
Le candidat doit traiter 4 exercices qui sont indépendants : les deux premiers sont nationaux et les deux
suivants sont académiques.
Le quatrième exercice est distinct suivant la série du candidat : lire attentivement la consigne.
Les calculatrices sont autorisées.
Exercice National 1 : Les nombres Harshad
Un entier naturel non nul est un nombre Harshad s’il est divisible par la somme de ses chiffres.
Par exemple,
24n
est un nombre Harshad car la somme de ses chiffres est
642 
, et 24 est
bien divisible par 6.
1. a. Montrer que 364 est un nombre Harshad.
b. Quel est le plus petit entier qui ne soit pas un nombre Harshad ?
2. a. Donner un nombre Harshad de 4 chiffres.
b. Soit n un entier non nul. Donner un nombre Harshad de n chiffres.
3. a. Montrer que 110, 111, 112 forment une liste de trois nombres Harshad consécutifs.
b. En insérant judicieusement le chiffre 0 dans l’écriture décimale des nombres précédents,
construire une autre liste de trois nombres Harshad consécutifs.
c. Justifier l’existence d’une infinité de listes de trois nombres Harshad consécutifs.
4. a. Soit
33323130A
. Calculer la somme des chiffres de A.
b. En déduire que 98 208 030, 98 208 031, 98 208 032 et 98 208 033 forment une liste de
quatre nombres Harshad consécutifs.
c. Justifier l’existence d’une infinité de listes de quatre nombres Harshad consécutifs.
5. a. En s’inspirant de la question 4, trouver une liste de cinq nombres Harshad consécutifs.
b. Justifier l’existence d’une infinité de listes de cinq nombres Harshad consécutifs.
6. a. Soit i un chiffre compris entre 0 et 8.
Soit p un entier dont le chiffre des dizaines est i et le chiffre des unités est 9. Montrer que
soit la somme des chiffres du nombre p soit celle de
2p
est un nombre pair.
En déduire que p et
2p
ne peuvent pas être tous les deux des nombres Harshad.
b. Existe-t-il une liste de 22 nombres Harshad consécutifs ?

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Exercice National 2 : Le billard rectangulaire
On considère un billard de forme rectangulaire, de longueur 300 cm et de largeur 160 cm dont les
boules sont assimilées à des points.
Entre deux rebonds toutes les trajectoires sont rectilignes.
Lorsque la boule atteint l’un des bords (rails) du billard, elle y rebondit suivant les règles de la
physique des chocs élastiques : l’angle d’incidence
i
ˆ
étant égal à l’angle de réflexion
r
ˆ
, comme sur
la figure ci-dessous (
ri ˆ
ˆ
).
1. On frappe une boule placée au milieu du rail [MN].
a. Quel point du rail [PO] peut-on viser pour que la boule atteigne le point N en une bande
(c’est-à-dire avec un seul rebond) ?
b. Quel point du rail [PO] peut-on viser pour que la boule atteigne en une bande le milieu
du rail [NO] ?
c. Quel point du rail [NO] peut-on viser pour que la boule revienne à son point de départ en
trois bandes (c’est-à-dire après exactement trois rebonds) ?
2. On frappe une boule placée en un point quelconque du rail [MN].
a. Est-il possible d’atteindre en une bande n’importe quelle boule placée sur la surface de
jeu ?
b. Est-il toujours possible de la frapper de sorte qu’elle revienne en trois bandes à son point
initial ?

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Exercice Académique 3 : Un peu de vexillologie…
La vexillologie est un terme qui désigne l'étude des drapeaux.
Au siège de l'ONU à New York, sont érigés les 193 drapeaux de ses pays membres. Étudions les
drapeaux de deux pays membres : le Togo et le Népal.
I. Le Togo a été admis à l'ONU en 1960 et possède le drapeau suivant :
1. Le drapeau du Togo est de forme rectangulaire, et sa construction suit le protocole suivant.
Construire un carré ABCD de côté de longueur 4. Placer le point M, milieu de [AB] puis le point E
sur [AB) tel que MC = ME. Placer enfin le point F de telle sorte que AEFD soit un rectangle.
2. Quelle est la longueur de ce rectangle ?
3. Répondre à la même question si la longueur du côté du carré est égale à x.
4. Calculer la proportion de ce drapeau, c'est à dire le quotient
largeur
longueur
? En donner une
valeur approchée au millième. (Le Togo est le seul pays dont le drapeau a cette proportion
qui est le nombre d'or, noté Φ)
5. Devant le siège de l'ONU, x est égal à 180 cm. Quelle est la longueur du drapeau (arrondir
au centimètre près) ?
A
E
D
F

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II. Le Népal est devenu membre de l'ONU en 1955. Le drapeau actuel du Népal (figurant page 3) a
été adopté en 1962. Il possède deux particularités : la première est celle d'être plus haut que large et
la seconde d'être le seul drapeau national qui n'est pas rectangulaire.
1. Sur le site du consulat du Népal, on trouve une méthode de construction du drapeau, dont
voici une version, en différentes langues étrangères.
Traduire celle de votre choix en français
How to make the national flag
1) Draw an [AB] segment of the required lenght.
2) Draw an (AC) line perpendicular to (AB) going through A. Mark C so that AC = AB + 1/3 AB.
3) On [AC] mark D so that AD = AB. Draw [BD].
4) Mark E on [BD] so that BE = AB.
5) Draw the line parallel to (AB) trough E. It crosses [AC] through F.
6) Mark G on (EF) on one of the two sides of (AC) and on the same side as B so that FG = AB.
7) Draw [CG].
Methode zur Konstruktion der nationalen Fahne
1) Zeichnen Sie ein Segment [AB] mit der gewünschten Länge.
2) Zeichnen Sie die Gerade (AC), die senkrecht zu der Gerade (AB) ist. Der Schnittpunkt ist A.
Setzen Sie C so dass AC = AB + 1/3 AB.
3) Setzen Sie D auf [AC], so dass AD = AB. Zeichnen Sie [BD].
4) Setzen Sie E auf [BD] so dass BE = AB.
5) Zeichnen Sie die Parallele zu (AB); Der Schnittpunkt ist E. Sie schneidet (AC) bei F.
6) Setzen Sie auf (EF), auf die selbe Seite wie B in Bezug auf (AC) so dass FG = AB.
7) Zeichnen Sie [CG].
Método de construcción de la bandera nacional
1) Trazar un segmento [AB] de longitud cualquiera.
2) Trazar una recta (AC) perpendicular a (AB) que pase por A.
Colocar C de tal modo que AC = AB + 1/3 AB.
3) En [AC], colocar D de tal modo que AD =AB. Trazar [BD].
4) Colocar E en [BD] de tal modo que BE = AB.
5) Trazar la recta paralela a (AB) que pasa por E. Corta a (AC) en F.
6) Colocar G en (EF) del mismo lado que B con respecto a (AC) de tal modo que FG = AB.
7) Trazar [CG].
2. Construire un drapeau népalais tel que AB = 6 cm
3. On pose AB = x. Calculer la proportion
largeur
hauteur
de ce drapeau.
4. Calculer l'aire d'un drapeau népalais en fonction de x = AB.
5. Dans le règlement de l'ONU, il est écrit que tout drapeau flottant au siège de l'ONU est
rectangulaire. Heureusement pour le Népal, une exception est faite à condition que l'aire du
drapeau ne dépasse pas celle de celui du Togo. Déterminer alors la longueur AB maximale
que peut avoir le côté du drapeau népalais (arrondir au centimètre près).

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Exercice Académique 4 : Les cibles
Cet exercice est réservé aux candidats de la série S
Partie A
ABCD est un carré de côté 2.
On construit quatre cercles
A
C
,
B
C
,
C
C
et
D
C
centrés en A, B,
C et D respectivement et tangents deux à deux, ainsi que le carré
NMLK, comme sur la figure ci-contre.
a) Quelle est l’aire du carré NMLK ?
b) Déterminer l’aire de la partie colorée en vert.
c) On considère que NMLK est une cible. On lance une
fléchette. On suppose que la fléchette atteint toujours la cible. On
gagne si elle tombe dans la partie colorée en vert.
Quelle est la probabilité de gagner ?
PARTIE B
1. ABC est un triangle équilatéral de côté 2.
a) Quelle est l’aire du triangle ABC ?
b) On construit trois cercles
A
C
,
B
C
,
C
C
centrés en A, B
et C respectivement et tangents deux à deux, comme
sur la figure ci-contre.
Déterminer l’aire de la partie colorée en vert.
2. On construit le rectangle NMLK de la façon suivante :
(NM) est parallèle à (AB) et tangente à
A
C
et à
B
C
;
(NK) est tangente à
A
C
;
(KL) est tangente à
C
C
;
(ML) est tangente à
B
C
;
les trois cercles sont à l’intérieur du rectangle.
Déterminer les dimensions du rectangle NMLK.
3. On construit le triangle équilatéral NOM de la façon
suivante :
(NO) est parallèle à (AB) et tangente à
A
C
et à
B
C
;
(NM) est parallèle à (AC) et tangente à
A
C
et à
C
C
;
(MO) est parallèle à (CB) et tangente à
C
C
et à
B
C
;
Déterminer la mesure de son côté.