Triangles

Collège Elie COUTAREL
Année 2008-2009.
G.MANDALLAZ.
Ecrit avec L
A
T
EX
Les triangles
1 Le triangle : constructibilité
1.1 Inégalité triangulaire
Propriété 1
Soient A, B et Mtrois points du plan.
FSi le point M∈[AB]alors :
AB =AM +MB
FSi le point M6∈ [AB]alors :
AB < AM +MB
Conséquence : Dans tout triangle, la longueur d’un des côtés est inférieure à la somme des longueurs des 2
autres côtés :
AB ≤AM +MB
1.2 Triangles constructibles
Propriété 2
Un triangle est constructible si la longueur de son plus grand côté est inférieure à la somme des longueurs de ses
2 autres côtés.
Exemple 1
Le triangle ABC tel que AB = 8,BC = 5 et AC = 6 est constructible.
En effet, son plus grand côté est [AB]tel que AB < AC +BC.
Pour construire le triangle ABC, on trace un de ses côtés puis en traçant 2 arcs de cercle de rayons égaux
aux longueurs des 2 autres côtés, on obtient le 3eme sommet de ce triangle.
1

Exemple 2
Le triangle MNP tel que MN = 4,MP = 9 et N P = 3 n’est pas constructible.
En effet, son plus grand côté est [MP ]tel que MP > MN +NP .
Si on essaie de le construire, on voit que les 2 arcs de cercle ne se coupent pas.
2 Les triangles particuliers
2.1 Le triangle isocèle
Définition 1
Un triangle isocèle (du grec ισoς = même et σκελoς = jambe) est un triangle qui a deux côtés de même longueur.
Aest le sommet principal
[BC]est la base principale
2

2.2 Le triangle équilatéral
Définition 2
Un triangle équilatéral est un triangle qui a ses trois côtés de même longueur.
2.3 Le triangle rectangle
Définition 3
Un triangle rectangle est un triangle qui a un de ses angles droit.
Best le somment de l’angle droit
[AC]est l’hypoténuse (υπoτ εινoυσα=ligne sous-tendante)
3 Propriété des angles du triangle
3.1 Le triangle quelconque
Propriété 3
La somme des angles d’un triangle fait 180◦.
Démonstration 1
La démonstration sera faite dans quelques chapitres.
3

3.2 Le triangle isocèle
Propriété 4
Les deux angles de la base principale d’un triangle isocèle sont de même mesure.
Exemple 3
Voir schéma ci-dessus.
3.3 Le triangle équilatéral
Propriété 5
Les angles d’un triangle équilatéral sont de même mesure et valent 60◦.
Exemple 4
Voir schéma ci-dessus.
3.4 Le triangle rectangle
Propriété 6
La somme des angles aigus d’un triangle rectangle fait 90◦.
Démonstration 2
Notons ABC un triangle rectangle en B.
D’après la propriété de la somme des angles d’un triangle : ˆ A+ˆ B+ˆ C= 180◦.
Or ˆ B= 90◦donc ˆ A+ 90◦+ˆ C= 180◦d’où ˆ A+ˆ C= 90◦.
4