Cours Exercices.

Séance 1 : numération
1
Questionnaire Les réponses doivent être justifiées.
1. Parmi ces nombres, entourez ceux qui sont solutions de l’équation x(x + 3) = 10.
A)−5
B)−2
2. Résoudre dans l’ensemble des entiers naturels l’équation suivante
x
2
+ 3 = 165.
3. Combien de triangles effectivement dessinés peut-on observer sur la figure suivante ?
A) 5
B)7
C)8
D)9
4. Calculer sans calculatrice : 258 × 29.
5. Calculer de tête 25 × 101.
6. Quel est le chiffre des dizaines dans le nombre N = 12 × 12 ?
7. Quel est le nombre de dizaines dans le nombre N = 12 × 12 ?
8. Quel est l’ensemble des nombres à deux chiffres dont le « chiffre » des dizaines est le « triple » du chiffre des unités ?
9. En choisissant 4 mots nombres parmi quatre, sept, neuf, vingt(s), cent(s), million(s), composer le nombre le plus grand
possible.
10. Dans le nombre 3,141 indiquer le nombre de centièmes.
11. Dans le nombre 3,141 indiquer le chiffre des centièmes.
12. Dans le nombre 3,141 indiquer le nombre de dixièmes de centièmes.
13. En numération romaine, comment le prédécesseur du nombre MD (1500 en numération décimale) s’écrit-il ?
Cours
Quelques notions importantes :
– Distinguer chiffres et nombres.
– Décomposition canonique : exemple : 423 = 4 × 100 + 2 × 10 + 3
– Ecriture scientifique d’un nombre entier ; puissance de dix.
Activité Ecriture sous condition
Ecrire chaque nombre sous la forme a × 10n où a est un nombre vérifiant 1 ≤ a < 10 et n un entier relatif :
8945
;
35 × 1012
;
0,000 275
;
0,5 × 107
;
12,535 × 10−5
Exercices.
Exercice 1 Du dénombrement Déterminer le nombre d’entiers naturels inférieurs strictement à 1000 dont la somme
des chiffres est égale à 6.
Exercice 2 Un entier qui grandit Un nombre, N , entier positif est codé avec 4 chiffres en base 10. On crée deux autres
nombres, N1 et N2 , obtenus en accolant le chiffre 1 respectivement à gauche et à droite de N .
1. Indiquer quelle(s) opération(s) on applique à N pour obtenir le nombre N1 ? Pour obtenir le nombre N2 ?
2. Les nombres N1 et N2 peuvent-ils être égaux ?
3. On considère maintenant un nombre N quelconque (le nombre de chiffres n’est pas limité). Trouver tous les nombres
N tels que N1 et N2 sont égaux.
Exercice 3 Formule magique Choisir un nombre entre 1 et 9. Le multiplier par 9. Soustraire ce produit à 10 fois
votre âge. Additionner le nombre de dizaines et le chiffre des unités de la différence obtenue précédemment. Quelle valeur
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Séance 1 : numération
2
remarquable obtient-on ? Expliquer.
Exercice 4 On considère les nombres N , de 4 chiffres, strictement inférieurs à 2000 et dont le chiffre des dizaines est
identique à celui des centaines.
1. Combien existe-t-il de nombres N ?
2. Quel est le plus grand nombre N , multiple de 4 ?
3. Trouver tous les nombres N multiples de 3 et de 5.
4. On note N 0 , le nombre obtenu en intercalant un zéro entre le chiffre des dizaines et celui des centaines. Montrer que
N 0 − N est un multiple de 9.
Exercice 5 CRPE 2008, groupe 3
1. Un nombre de trois chiffres est tel que :
– la somme de ses trois chiffres est égale à 14 ;
– ce nombre est plus grand que son nombre « retourné ». Exemple : si le nombre est 651, son nombre retourné est 156 ;
– la différence entre ce nombre et son nombre « retourné » est 99 ;
– la différence entre le double du chiffre des dizaines et le triple du chiffre des centaines est égale à 2.
Trouver ce nombre en expliquant votre démarche.
2. En observant les nombres 297, 880 et 242, un élève a formulé la conjecture :
« Tout nombre à trois chiffres dans lequel le chiffre des dizaines est la somme du chiffre des centaines et
du chiffre des unités est divisible par 11 ».
(a) Cette conjecture s’applique-t-elle au nombre trouvé à la question 1 ?
(b) La conjecture de l’élève est-elle effectivement vraie ? Justifier la réponse.
(c) Trouver un nombre de 3 chiffres qui soit divisible par 11 et dans lequel le chiffre des dizaines n’est pas la somme
du chiffre des centaines et de celui des unités.
Exercice 6 CRPE 2008, groupe 4 On cherche tous les nombres entiers naturels de cinq chiffres vérifiant les deux
conditions suivantes :
– leur écriture décimale n’utilise que deux chiffres différents,
– la somme de leurs cinq chiffres est égale à 11.
1. Les chiffres 1 et 3 permettent d’écrire de tels nombres : en donner la liste complète.
2. Trouver toutes les paires de chiffres possibles pour écrire les nombres cherchés.
3. Combien y a-t-il de nombres entiers de cinq chiffres vérifiant les deux conditions ?
Exercice 7 CRPE 2008, groupe 6 On se propose de calculer A = 50 000 006 × 70 000 008.
1. En tapant ce produit sur une calculatrice scientifique, on peut voir apparaître sur l’écran :
3,500 000 82 × 1015
Justifier, sans calculer A, que cette valeur affichée n’est pas la valeur exacte de A.
2. Toujours sans calculer A, démontrer que 35 × 1014 < A < 48 × 1014 . En déduire le nombre de chiffres de A.
3. Le nombre A peut aussi s’écrire (5 × 107 + 6) × (7 × 107 + 8). En utilisant les produits 5 × 7, 5 × 8, 6 × 7 et 6 × 8,
déterminer la valeur exacte de A.
4. Soit B = 48 506 557 × 505 149. Calculer en utilisant une calculatrice : 48506 × 505 ; 557 × 505 ; 48506 × 149 ; 557 × 149.
En déduire, sans nouvelle utilisation de la calculatrice, en écrivant les calculs, la valeur exacte de B.
Exercice 8 CRPE 2008, groupe 5 a, b, c désignent trois chiffres distincts et différents de 0. A cet ensemble de trois
chiffres, on associe la famille des six nombres à trois chiffres qui s’écrivent en utilisant une fois le chiffre a, une fois le chiffre
b, une fois le chiffre c. Par exemple, aux trois chiffres 2, 5 et 7, on associe la famille constituée des six nombres suivants : 257,
275, 527, 572, 725, 752. On appelle S, la somme de six nombres de la famille et M leur moyenne.
1. Calculer S et M correspondant à la famille de l’exemple.
2. Montrer que pour trois chiffres quelconques a, b, c, on a : M = 37 × (a + b + c).
3. Trouver tous les ensembles de trois chiffres distincts et différents de 0 qui permettent de former une famille dont la
moyenne M des six nombres vaut 370.
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Séance 1 : numération
3
Corrigés
Corrigé de l’exercice 1
Les entiers strictement inférieurs à 1000 s’écrivent tous abc avec a, b et c des entiers à un chiffre.
La somme des chiffres doit être égale à 6 donc a + b + c = 6.
On doit donc chercher les décompositions de 6 en sommes de 1, 2 ou 3 termes (pour tenir compte des 0).
Avec 1 terme : il n’y a qu’une possibilité de décomposition ! Cela donne trois nombres : 6, 60 600.
Avec 2 termes : il y a trois décompositions possibles : 1 + 5, 2 + 4 ; 3 + 3. Les deux premières décompositions donnent
6 possibilités chacunes en fonction de la place du zéro ainsi que de la place des deux chiffres non nuls : 15, 51,
105, 501, 150, 510 et 24, 42, 204, 402, 240, 420. La dernière ne donne que 3 possibilités en fonction de la place du
zéro : 33, 303, 330.
Avec 3 termes : les décompositions en sommes sont 1 + 1 + 4, 1 + 2 + 3, 2 + 2 + 2.
– Pour la décomposition 1+1+4, les possibilités dépendent uniquement de la position du 4. Soit trois possibilités :
114, 141, 411.
– Pour la décomposition 1 + 2 + 3, on doit écrire un nombre en utilisant les trois chiffres différents. Pour le chiffre
des centaines, il y a trois choix, pour celui des dizaines plus que deux et plus aucun pour celui des unités. Ce
qui fait six possibilités au total.
– Pour la décomposition 2 + 2 + 2, il n’y a que 222.
Au total, cela fait donc 28 nombres qui satisfont aux conditions.
Corrigé de l’exercice 2
1. Le nombre, N , entier positif étant codé avec 4 chiffres en base 10 :
– Créer N1 en accolant le chiffre 1 à gauche de N correspond à l’opération :
N1 = 104 + N.
– Créer N2 en accolant le chiffre 1 à droite de N correspond à l’opération :
N2 = 10 × N + 1.
2. Les deux nombres N1 et N2 sont égaux lorsque 104 + N = 10 × N + 1. C’est-à-dire lorsque 10 × N − N = 104 − 1 soit
N = 9999
9 = 1111.
3. On procède par la même méthode.
Supposons que N possède p chiffres (p étant un entier quelconque). Dans ce cas, N1 et N2 s’écrivent :
– N1 = 10p + N
– N2 = 10 × N + 1
N1 et N2 sont égaux si, et seulement si, 10p + N = 10N + 1. Ce qui est équivalent à N =
10p −1
9 .
Le prédécesseur de 10p est un nombre qui ne s’écrit qu’avec des 9.
Son quotient par 9 ne s’écrit donc qu’avec des 1.
Les nombres N tels que N1 et N2 sont égaux sont donc ce qui ne s’écrivent qu’avec des 1 : 1, 11, 111, etc.
Corrigé de l’exercice 3 Nommons a un nombre arbitraire entre 1 et 9 et b votre âge, implicitement supposé supérieur
à 10 donc à a. Le nombre considéré est : 10b − 9a, dans lequel on va exprimer le nombre de dizaines et le chiffre des unités :
10b − 9a = 10b − (10 − 1)a = 10(b − a) + a
Comme a est inférieur strictement à 10, il apparaît que le nombre de dizaines est (b − a) (puisque b est implicitement plus
grand que a) et le chiffre des unités est a. Leur somme est b.
Corrigé de l’exercice 4
1. Notons N = mcdu où :
m = 1 car N s’écrit avec 4 chiffres et est strictement inférieur à 2000 ;
c = d car le chiffre des dizaines est égal à celui des centaines.
Ainsi : N = 1ddu. Pour chacun des chiffres d et u, 10 valeurs sont possibles. En se combinant, il y a 100 valeurs de N
possibles.
2. 2000 est un multiple de 4. 2000 − 4, qui vaut 1996 est le plus grand multiple de 4 précédent 2000. Or 1996 satisfait aux
contraintes sur N . Donc 1996 convient.
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Séance 1 : numération
3.
4
Le nombre N est multiple de 5 si le chiffre des unités de N est 0 ou 5 soit u = 0 ou u = 5.
Le nombre N est multiple de 3 si la somme des chiffres de N est multiple de 3 soit 1 + 2d + u est multiple de trois.
On étudie les deux cas :
Premier cas u = 0 : on déduit que 2d + 1 doit être multiple de 3. Quelques calculs donnent :
d
2d+1
0
1
1
3
2
5
3
7
4
9
5
11
6
13
7
15
8
17
9
19
Les seules solutions sont donc d = 1, d = 4 et d = 7 qui donnent les valeurs 1110, 1440 et 1770 pour N .
Deuxième cas u = 5 : on déduit que 2d + 6 doit être multiple de 3. Ce qui revient à 2d multiple de 3 (puisque 6 est
multiple de 3). Comme 3 est un nombre premier, il divise l’un des facteurs du produit 2D. Or 3 ne divise pas 2
donc il divise d. Pour ce cas, il y a donc 4 valeurs de d qui conviennent : 0, 3, 6 et 9 qui donnent les valeurs 1005,
1335, 1665, 1995 pour N .
Finalement le problème possède 7 solutions qui sont : 1110, 1440 et 1770, 1005, 1335, 1665, 1995.
4. Vu les notations adoptées précédemment, N 0 = 1d0du.
N0 − N
= 10000 + 1000 × d + 100 × d + u − (1000 + 100 × d + 10 × d + u)
= 9000 + 990 × d = 9 × (1000 + 110 × d)
N 0 − N est donc un multiple de 9.
Corrigé de l’exercice 5
1. Notons cdu , un nombre à trois chiffres en base 10. Les conditions de l’énoncé se traduisent par le système de conditions
suivant :




c+d+u
= 14
 c + d + u = 14

100c + 10d + u − (100u + 10d + c) = 99
cdu − udc = 99




2d − 3c
= 2
2d − 3c
= 2


 c+d+u =
c−u
=


2d − 3c =


 c + d + u = 14
99(c − u) = 99


2d − 3c = 2





14
 u+1+d+u =
c
= u+1


2d − 3(u + 1) =
2


 u+1
c


d
=
=
=


7
2 (u
+ 1)
c
d
=
=
=


 u =
c =


d =
4
u+1
3
5
2u + 2
14
1
2
14
u+1
3
5
2u + 2
3
4
7
Le nombre cherché est 473.
2. (a) Cette conjecture s’applique au nombre 473 car 473 = 440 + 33 = 11 × 43 et 7 = 4 + 3.
(b) Validons la conjecture : tout nombre à trois chiffres dans lequel le chiffre des dizaines est la somme du chiffre des
centaines et du chiffre des unités est divisible par 11.
Supposons un nombre écrit ainsi en base 10 :
c(c + u)u = 100 × c + 10 × (c + u) + u = 110c + 11u = 11(10c + u)
Alors ce nombre est bien multiple de 11.
(c) Cette question invalide la réciproque de la conjecture à l’aide d’un contre-exemple. 209 est divisible par 11 car
209 = 11 × 18 mais 2 + 9 6= 0.
Corrigé de l’exercice 6
1.
On note a le nombre de 1 utilisé dans l’écriture du nombre. Par conséquence, il y aura 5 − a chiffres 3 dans l’écriture
du nombre. La condition sur la somme des chiffres donne donc : (5 − a) × 3 + a × 1 = 11.
On résout cette équation :
(5 − a) × 3 + a × 1 = 11
⇔
15 − 3a + a = 11
⇔
4 = 2a
⇔
a=2
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Séance 1 : numération
5
Le nombre cherché doit donc contenir trois chiffres 3 et deux chiffres 1.
Listons ces nombres dans l’ordre strictement décroissant qui assure l’exhaustivité :
33311 > 33131 > 33113 > 31331 > 31313 >
> 31133 > 13331 > 13313 > 13133 > 11333
Le nombre d’éléments de cette liste est le nombre de façons de choisir deux places (pour les chiffres 1) parmi cinq places
numérotées de 1 à 5.
2. Les deux chiffres sont distincts (énoncé). On note a le plus petit des deux et b l’autre. On note également k le nombre
de a dans l’écriture du nombre. Ce qui donne la condition de somme suivante : a × k + b × (5 − k) = 11 et 0 ≤ a ≤ b.
a ne peut pas être nul. En effet, si a est nul la condition de somme s’écrit (5 − k) × b = 11 . Comme 11 est premier,
ses seuls diviseurs sont 11 et 1 qui sont incompatibles avec le problème.
a ne peut pas être strictement plus grand que 2. En effet, comme b est plus grand que a, la somme des chiffres du
nombre est plus grande strictement que 5 × a. Or, si a est au moins égal à 3, 5 × a est au moins égal à 15 qui est
strictement plus grand que 11. On peut donc étudier deux cas : a = 1 et a = 2.
Premier cas a = 1 : on peut faire une étude disjonctive en fonction du nombre de chiffres 1 (valeur de k). Pour
chaque cas, on regarde ce qu’implique la condition de somme (k + (5 − k)b = 11).
– k = 1 : la condition est 4b = 10. C’est impossible car 4 n’est pas un diviseur de 10.
– k = 2 : la condition est 3b = 9. Donc b = 3.
– k = 3 : la condition est 2b = 8. Donc b = 4.
– k = 4 : la condition est b = 7.
Deuxième cas a = 2 :
b ne peut pas être supérieur strictement à 3. En effet, si b vaut au moins 4, la somme des chiffres vaut au
moins 4 × 2 + 1 × 4 c’est-à-dire 12.
La valeur 3 pour b convient puisque 4 × 2 + 3 = 11.
En conclusion, les paires solutions sont : {7; 1}, {4; 1}, {3; 1}, {3; 2}.
3. Il suffit de dénombrer le nombre de nombres que l’on peut écrire avec chacune des paires précédentes. La question
précédente permet de connaître le nombre d’occurrences de chaque chiffre pour chaque paire de nombres.
Pour {7; 1} (un chiffre 7 et quatre chiffres 1), il s’agit de choisir la place du chiffre 7 dans l’écriture ce qui fournit donc
5 solutions.
Pour {3; 2} (un chiffre 3 et quatre chiffres 2), c’est identique en utilisant le chiffre 3. Donc 5 nouvelles solutions.
pour {3; 1} (deux chiffres 1 et trois chiffres 3), il s’agit de choisir la place des deux chiffres 1. On a vu à la question 1
que cela donnait 10 solutions.
Pour {4; 1} (deux chiffres 4 et trois chiffres 1), c’est identique en utilisant le chiffre 4. Donc 10 nouvelles solutions.
Il existe 30 nombres à 5 chiffres solutions au problème.
Corrigé de l’exercice 7
1. 2, le dernier chiffre affiché par la calculatrice correspond au dizaine de million. Si on suppose que la valeur affichée
par la calculatrice est la valeur exacte, cela suppose que tous les chiffres non affichés sont nuls. Ce qui n’est pas le cas
puisque le chiffre des unités du produit A est identique à celui du produit 6 × 8 ; c’est-à-dire 8.
2. L’écriture scientifique des facteurs 50 000 006 et 70 000 008 est respectivement
5,000 000 6 × 107 et 7,000 000 8 × 107 .
On peut donc encadrer chacun des facteurs entre deux entiers :
5 × 107 < 5,000 000 6 × 107 < 6 × 107
et
7 × 107 < 7,000 000 8 × 107 < 8 × 107
L’ordre est compatible avec les produit des nombres positifs donc :
35 × 1014 < A < 6 × 8 × 1014 .
Donc A s’écrit avec 16 chiffres.
3. Il suffit de développer l’expression :
A
= (5 × 107 + 6) × (7 × 107 + 8)
= 5 × 7 × 1014 + 5 × 8 × 107 + 6 × 7 × 107 + 6 × 8
= 35 × 1014 + 82 × 107 + 48
= 350 000 820 000 048
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Séance 1 : numération
6
4. Les produits intermédiaires calculables en utilisant une calculatrice sont :
48506 × 505 = 24 495 530
;
557 × 505 = 281 285
48506 × 149 = 7 227 394
;
557 × 149 = 82 993
On procède par la même méthoe que pour le nombre A :
B
B
B
B
= (48506 × 103 + 557) × (505 × 103 + 149)
= 48506 × 505 × 106 + (557 × 505 + 48506 × 149) × 103 + 557 × 149
= 24 495 530 × 106 + (281 285 + 7 227 394) × 103 + 82993
= 24 495 530 × 106 + 7 508 679 × 103 + 82993
La dernière somme est à effectuer en colonnes
+
+
=
1
1
1
1
1
2
4
4
9
5
7
5
5
3
0
0
8
0
6
2
4
5
0
3
0
3
8
7
0
7
8
6
0
9
2
1
0
0
9
9
0
0
9
9
0
0
3
3
Le résultat est donc : 24 503 038 761 993.
Corrigé de l’exercice 8
1. Pour la famille présentée, S = 257 + 275 + 527 + 572 + 725 + 752 = 3108 et M =
S
6
=
3108
6
= 518.
2. Il faut utiliser la notation canonique. Le nombre N = abc = 100a + 10b + c. Les cinq autres nombres sont acb, bac, bca,
cab, cba. On a alors :
S
= abc + acb + bac + bca + cab + cba
= (100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a)
+(100c + 10a + b) + (100c + 10b + a)
= 200(a + b + c) + 20(a + b + c) + 2(a + b + c)
= 222(a + b + c)
= 6 × 37(a + b + c)
De ce résultat, on déduit immédiatement : M = 37(a + b + c).
3.
Si la moyenne des six nombres est 370 alors, d’après la question précédente, on a a + b + c = 10.
Pour parcourir ces familles de nombres de manière efficace, il faut choisir un ordre entre les chiffres ; supposons que
1 ≤ a < b < c ≤ 9. En effet, ce choix est possible car on obtiendra ainsi un représentant de la famille. Les autres
seront obtenus par permutations.
L’ensemble des possibilités est alors donné par le tableau suivant où les valeurs sont parcourues dans l’ordre croissant
pour garantir l’exhaustivité :
a
b
c
1
1
1
2
2
3
4
3
7
6
5
5
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