M301 : Algèbre commutative

Université des Sciences et Technologies de Lille
U.F.R. de Mathématiques Pures et Appliquées
M301 : Algèbre commutative
Notes de cours par Clément Boulonne
L3 Mathématiques 2008 - 2009

Table des matières
1 Anneaux, anneaux intégres, corps 4
1.1 Anneaux ........................................ 4
1.2 Sous-anneaux ..................................... 5
1.3 Anneaux intégres ................................... 5
1.4 Corps ......................................... 5
2 Idéaux 7
2.1 Introduction ...................................... 7
2.2 Idéal .......................................... 9
2.3 Intersection, réunion d’idéaux ............................ 10
2.4 Idéal engendré par une partie ............................ 10
2.5 Somme de deux idéaux ................................ 12
2.6 Produit d’idéaux ................................... 12
2.7 Idéal premier ..................................... 13
2.8 Idéal maximal ..................................... 14
3 Anneaux principaux et euclidiens - Morphismes d’anneaux 15
3.1 Anneau principal ................................... 15
3.2 Anneau euclidien ................................... 15
3.3 Morphismes d’anneaux ................................ 16
3.4 Transfert d’un idéal par un morphisme ....................... 17
3.5 Factorisation d’un morphisme ............................ 19
3.6 Caractéristique d’un anneau ............................. 21
4 Polynômes 23
4.1 Anneau de polynômes à une indeterminée ..................... 23
4.1.1 Définitions ................................... 23
4.1.2 Addition et multiplication dans A[X].................... 23
4.1.3 Degré d’un polynôme ............................. 24
4.1.4 A[X]: Intégrité et éléments inversibles ................... 24
4.1.5 Division euclidienne .............................. 25
4.1.6 Morphismes d’anneaux des polynômes ................... 26
4.1.7 Fonctions polynômes ............................. 27
4.1.8 Racines d’un polynôme ............................ 28
4.2 Polynômes à nindéterminées ............................ 30
4.2.1 Définitions ................................... 30
4.2.2 Degrés partiels et total ............................ 30
4.2.3 Fonctions polynômes ............................. 32
2

3
5 Anneaux produit, Anneau et corps des fractions 33
5.1 Anneaux produit ................................... 33
5.2 Anneau des fractions, corps des fractions ...................... 36
5.2.1 Construction de Q.............................. 36
5.2.2 Généralisation à un anneau quelconque ................... 36
5.2.3 Corps des fractions .............................. 38
6 Arithmétique dans un anneau 40
6.1 Eléments associés, éléments irréductibles, éléments premiers ........... 40
6.2 Notions de PGCD et PPCM ............................. 42
6.3 Anneaux factoriels .................................. 43
6.4 Factorialité de A[X]si Aest factoriel ........................ 47
6.5 Critères d’irréductibilité dans A[X]......................... 52
6.6 Arithmétique dans un anneau ............................ 54

Chapitre 1
Anneaux, anneaux intégres, corps
1.1 Anneaux
Définition 1.1.1. Soit Aun ensemble non vide muni de deux opérations notés "+" et ".".
(A, +, .)est un anneau si :
(i) (A, +) est un groupe commutatif :
–∀x, y ∈A, x +y∈A
–∀x, y, z ∈A, (x+y) + z=x+ (y+z)
–∀x, y ∈A,x+y=y+x
–∃x∈A,∀x∈A,x+e=x,esera noté 0A.
–∀x∈A,∃x0∈A,x+x0= 0A.x0sera noté −x.
(ii) – ∀x, y ∈A,x.y ∈A
–∀x, y, z ∈A,(x.y).z =x.(y.z)
–∀x, y, z ∈A,x.(y+z) = x.y +x.z et (y+z).x =y.x +z.x
–∃e∈A,∀x∈A,x.e =e.x =x.esera noté 1A(élément unité).
Définition 1.1.2. (A, +, .)est un anneau commutatif si ∀x, y ∈A,x.y =y.x.
Exemple 1.1.1. (Z,+, .),(Q,+, .),(R,+, .),(C,+, .)sont des anneaux commutatifs.
Exemple 1.1.2. Soit n∈N\{0}.(Z/nZ,+, .)est un anneau commutatif :
0Z/nZ= 0 = nZ,1Z/nZ= 1 = 1 + nZ
Propriété 1.1.1. Soit Aun anneau non nécessairement commutatif. Alors :
(i) ∀a∈A,a.0=0.a = 0
(ii) ∀a, b ∈A,(−a).b =a.(−b) = −(a.b)
(iii) 0A= 1A⇔A={0A}
Démonstration. (i) Soit a∈A:
a.0 = a(0+0) = a.0+a.0⇒ −(a.0) + a.0
| {z }
0
=−(a.0)+(a.0+a.0) = (−(a.0) + a.0)
| {z }
0
+a.0=0
⇒0 = a.0
(ii) Soit a, b ∈A:
(−a).b +a.b = (−a+a).b = 0.b = 0
a.(−b) + a.b =a.(−b+b)=0.a = 0
4

Chapitre 1. Anneaux, anneaux intégres, corps 5
(iii) (⇒)Soit a∈Aalors :
a=a.1 = a.0=0
(⇐)évident.
Proposition 1.1.2 (Formule du binôme).Soit Aun anneau commutatif. Soit a, b ∈A,n∈
N\{0}. Alors :
(a+b)n=
n
X
k=0
Ck
nakbn−k
Démonstration. Voir M101 et M103.
1.2 Sous-anneaux
Définition 1.2.1. Soit (A, +, .)est un anneau et Bun sous-ensemble de A,Best un sous-
anneau de Asi (B, +, .)est un anneau. Ceci revient à :
(i) (B, +) est un sous-groupe de (A, +), c’est-à-dire 0A∈Bet ∀x, y ∈B,x−y∈B, où
x−y=x+ (−y).
(ii) Bstable pour la multiplication : ∀x, y ∈B,x.y =B.
(iii) 1A∈B.
Exemple 1.2.1. Zest un sous-anneau de R.
Exemple 1.2.2. Z[i] = {a+ib, a, b ∈Z}est un sous-anneau de (C,+, .).
1.3 Anneaux intégres
Définition 1.3.1. Soit Aun anneau non nul. Aest un anneau intégre si :
∀x, y ∈A, x.y = 0 ⇒x= 0 ou y= 0
Exemple 1.3.1. Z,Q,R,Csont des anneaux intégres.
Exemple 1.3.2. Z/6Zest un anneau non intégre car :
2.3=0mais 26= 0 et 36= 0
On peut montrer que n > 1,Z/nZest intégre si et seulement si nun nombre premier.
Définition 1.3.2 (Diviseurs de zéro).Soit Aun anneau non nul et a∈A\{0},aest un diviseur
de zéro s’il existe b∈A\{0}tel que a.b = 0.
1.4 Corps
Définition 1.4.1. Soit (A, +, .)un anneau non nul commutatif et a∈A,aest inversible pour
la multiplication "." s’il existe a0tel que a0.a = 1.
Si a0existe, il est unique et sera noté a−1. On note A×l’ensemble des éléments de A
inversibles pour la multiplication.
1∈A×⇒A×6=∅