DS3 – FONCTIONS – STATISTIQUES – 2NDE I – 21/11/2016 La

DS3 – FONCTIONS – STATISTIQUES – 2NDE I – 21/11/2016 La calculatrice est autorisée. Le soin porté à la rédaction des justifications et des calculs sera pris en compte dans l’évaluation. EXERCICE 1 : On définit la fonction f sur ! par f x = −x 2 − x − 2 1− 2x − 7x −15 . !
On note C f la courbe représentative de f dans un repère quelconque. !
1. Développer et réduire f x . !
2
2. Montrer que pour tout réel x, f x = x − 6 − 49 . !
3. En déduire la forme factorisée de f x !
4. Calculer les images de –2 ; 6 et ! 2 . Pour les questions suivantes, on admet que : -­‐ la forme factorisée de f est donnée par f x = x +1 x −13 ; !
-­‐ la forme développée de f est donnée par f x = x 2 −12x −13 ; !
2
-­‐ la forme dite canonique de f est donnée par f x = x − 6 − 49 . !
5. a. Déterminer les antécédents de –13 et de –49 par f. b. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe de f avec l’axe des abscisses. 6. a. Afficher la courbe de la fonction f sur votre calculatrice et adapter la fenêtre d’affichage afin de pouvoir lire graphiquement avec la fonction TRACE les antécédents de 51 par f. Montrer votre écran au professeur ! b. Résoudre f x = 51 . !
7. *Résoudre l’équation f x = −6x − 22 . !
EXERCICE 2 : Lors d’un tournoi de tir à l’arc, 80 concurrents tirent chacun 5 flèches dans une cible. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant : ()
()
(
)(
)
() ( )
()
( ) ( )( )
()
() ( )
()
()
Nombre de tirs Nombre de
Fréq.
dans la cible
concurrents
0
2
1
2
6
20
3
4
5
24
12
16
ECC
ECD fCC fCD
B
A
1. a. Compléter le tableau avec les fréquences, les effectifs cumulés croissants et décroissants, les fréquences cumulées croissantes et décroissantes. On gardera 3 chiffres après la virgule. b. Faire une phrase pour expliquer ce que représente l’ECC pour 3 tirs dans la cible (case A) et une phrase pour expliquer ce que représente la fCD en 1 (case B). 2. a. Déterminer la médiane M e de cette série, ainsi que les quartiles Q1 et Q3 en expliquant les calculs. b. Faire trois phrases expliquant ce que chacune des trois mesures M e , Q1 , Q3 représente. c. Donner l’intervalle interquartile et préciser ce qu’il représente. EXERCICE 3 : Le graphique ci-­‐dessous représente les fréquences cumulées croissantes des résultats du dernier contrôle commun de mathématiques des 2nde A, B et C. 100 95 90 85 80 75 70 65 60 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 2nde A 2nde B 2nde C 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 1. On étudie d’abord la 2nde A (courbe centrale en trait continu). On répondra par lecture graphique, sans justifications. a. Quel pourcentage d’élèves ont eu une note inférieure ou égale à 10 ? b. Quel pourcentage d’élèves ont eu une note strictement supérieure à 12 ? c. Donner le quartile Q1 de la série et dire ce qu’il représente. !
2. Lire et donner le quartile Q3 de la 2nde B. Que signifie-­‐t-­‐il ? !
3. Donner un intervalle le plus précis possible dans lequel se situe la médiane de la 2nde C. Justifier. 4. Compléter le tableau des fréquences de la 2nde C ci-­‐dessous sans justifications : Note 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 Fréquence 5. D’après le graphique, laquelle des 3 classes de 2nde peut-­‐on qualifier de "meilleure" ? Justifier brièvement. EXERCICE 4 : Les deux tableaux suivants donnent les effectifs et les salaires moyens des hommes et des femmes dans deux entreprises A et B. ENTREPRISE A ENTREPRISE B Hommes Femmes Hommes Femmes Effectif 5 22 25 2 Salaire moyen (€) 2700 1955 2180 1850 Ci-­‐dessous sont données les diagrammes en boîte correspondant à ces deux entreprises. En justifiant les réponses, éventuellement par un calcul, préciser si les affirmations suivantes sont VRAIES ou FAUSSES : a. Dans l’entreprise A par rapport à l’entreprise B, les femmes sont mieux payées et les hommes sont mieux payés. b. La moitié des salariés de l’entreprise B touche entre 1500€ et 2000€. c. Plus de la moitié des salariés de l’entreprise A touche 2000€ ou moins. d. Plus d’un quart des salariés des deux entreprises touchent moins de 1400€. e. Moins d’un quart des salariés des deux entreprises touchent plus de 3000€. f. En moyenne, les salariés de l’entreprise B sont mieux payés que ceux de l’entreprise A. g. *Dans l’entreprise B, la 6e personne la mieux payée touche 3000€. h. *Dans l’entreprise A, 7 personnes touchent strictement moins de 1500 €. EXERCICE BONUS : *Lors d’un contrôle, 35 copies corrigées donnent une moyenne de 9,9. Quelle doit être la note minimale de la 36e copie (arrondie au demi-­‐point près) pour que la moyenne des 36 copies devienne supérieure ou égale à 10 ? DS3 – FONCTIONS – STATISTIQUES – CORRECTION EXERCICE 1 : 1. Pour tout x réel : ()
(
− ( −2x
e
!80× 0,75 = 60: !Q3 est la 60 valeur : !Q3 = 4 2b. 50% des concurrents ont marqué au moins (ou au plus) 3 points. !25% des concurrents ont marqués au plus 3 points. !75% des concurrents on marqués au plus 4 points. )
f x = −x 2 − x − 2x 2 − 2+ 4x − 7x −15
= −x
2
2
)
+5x − 2 − 7x −15
= −x + 2x −5x + 2− 7x −15
2
!
2
= x 2 −12x −13
(
)
2
2. x − 6 − 49 = x 2 −12x + 36 − 49 != x 2 −12x −13 () ( )
(
)(
)
( )( )
4. f ( −2) = 15 ; f (6) = −49 ; f ( 2 ) = −11−12
!
!
!
f ( x ) = −49 5a. f ( x ) = −13 !
!
2
3. f x = x − 6 − 49 = x − 6 − 7 x − 6 + 7 !
= x −13 x +1 !
x 2 −12x −13 = −13
x x −12 = 0
( x − 6) − 49 = −49
( x − 6) = 0
x = 0!ou!x = 12
x −6 = 0
2
x 2 −12x = 0
(
2 )
2
2c. ⎡⎣2;4 ⎤⎦ : 50% des concurrents ont marqués entre 2 et 4 !
points. EXERCICE 3 : 1a. 55% des élèves ont eu une note inférieure ou égale à 10. 1b. 30% des élèves… 1c. Q1 = 7 : 25% des élèves ont eu une note inférieure ou !
égale à 7. 2. Q3 = 16 : 75% des élèves de la 2nde B ont eu une note !
inférieure ou égale à 16. 3. On cherche l’abscisse de la courbe ayant pour ordonnée 50%, soit entre 6 et 7. 4. Note 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20 Fréq. 0 0,1 0,15 0,2 0,15 0,15 0,1 0,1 0,05 0 0 5. D’après le graphique de la 2nde B, on put voir que les S = 0;12
effectifs des notes faibles sont inférieurs aux autres classes !
(courbe en dessous des autres) alors que les effectifs des 5b. f x = 0 notes élevées sont plus importants (courbe croissant plus !
vite que les autres, 65% supérieurs à 12). La meilleure x −13 x +1 = 0
classes est sans conteste la 2nde B. x = 13!ou!x = −1 EXERCICE 4 : S = 13;−1
!
6a. Il fallait adapter la fenêtre afin que l’on puisse voir les 2 a. VRAI : les salaires des deux groupes sont plus élevés antécédents de 51 par f. d’après le tableaux. 6b. f x = 51 b. FAUX : L’intervalle entre Q1 et Me montre que seulement !
!
!
2
25% des salariés touchent entre 1500 et 2000 euros. x − 6 − 49 = 51
x −16 x + 4 = 0
c. VRAI : !Me < 2000 donc plus de la moitié des salariés 2
touchent moins de 2000 euros. x
=
16(ou(x
=
−4
x − 6 −100 = 0
d. VRAI : les quartiles Q1 des deux entreprises sont S = 16;−4
!
x − 6 −10 x − 6 +10 = 0
inférieures ou égaux à 1400 euros. e. VRAI : les deux quartiles Q3 sont supérieurs ou égaux à 7. !x 2 −12x −13 = −6x − 22 !
2
2
3000 euros. ⇔ x + 6x + 9 = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x + 3 = 0 ⇔ x = −3 f. VRAI : la moyenne des salaire de A est 2093 euros alors que la moyenne des salaires de B est de 2156 euros (à EXERCICE 2 : calculer). 1. g. On ne peut pas savoir : Q3 est la 21e valeur soit la 7e Nombre de tirs Effectif Fréq. ECC ECD fCC fCD !
personne la mieux payée et non la 6e. Toute réponse faisant 0 2 0,025 2 80 0,025 1 1 6 0,075 8 78 0,1 0,975 référence au quartile Q3 est acceptée. !
2 20 0,25 28 72 0,35 0,9 h. VRAI : Q1 = 7 donc 7 personnes touchent 1400 euros ou 3 24 0,3 52 52 0,65 0,65 !
moins, soit un salaire strictement inférieur à 1500 euros. 4 12 0,15 64 28 0,8 0,35 5 16 0,2 80 16 1 0,2 EXERCICE BONUS : 1b. 52 concurrents ont eu une score inférieur ou égal à 3. On ne connaît pas les 35 premières notes mais comme la 97,5% des concurrents ont marqué au moins un point. e
2a. 80/2=40. La médiane est donc la moyenne de la 40 et la moyenne est égale à 9,9, on sait que la somme des notes est égale à !9,9× 35 . 41e valeur. D’après les ECC, Me = 3 . !
Soit x la note de la 36e copie. On résout : 80/4
=
20:
Q1 est donc la 20e valeur : Q1 = 2 !
!
!
{
(
{
}
!x = 6
()
)( )
}
()
( )
( )
(
)(
(
{
)
(
)(
)
)
}
9,9× 35 + x
≥ 10 ⇔ 346,5 + x ≥ 360 ⇔ x ≥ 13,5 !
36