Corps finis

Corps Corps finis Arithm´etique dans les corps finis
Corps finis
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Eric Wegrzynowski
Licence et Master mention informatique, USTL
06 mars 2008
Corps finis Licence et Master mention informatique, USTL
Corps Corps finis Arithm´etique dans les corps finis
Rappels sur les groupes
Qu’est-ce qu’un groupe ?
D´efinition
Un groupe est la donn´ee
Id’un ensemble E,
Iet d’une op´eration interne ?dans Equi v´erifie les propri´et´es
Iassociativit´e :x?(y?z)=(x?y)?z;
Iexistence d’un ´el´ement neutre : il existe un ´el´ement e∈E
tel que pour tout x∈E,x?e=e?x=x;
Iexistence d’un inverse : pour chaque ´el´ement x∈Eil existe
un ´el´ement x0∈Etel que x?x0=x0?x=e. Cet ´el´ement x0
est appel´e inverse de x.
On dit que le groupe est commutatif (ou parfois ab´elien) si en plus
l’op´eration ?est commutative.
On note G= (E, ?).
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Rappels sur les groupes
Exemples de groupes
1. Les ensembles Z,Q,Ret Cdes nombres entiers relatifs,
rationnels, r´eels et complexes, munis de l’addition + sont des
groupes commutatifs infinis.
2. Ces mˆemes ensembles munis de la multiplication ne sont pas
des groupes.
3. Les ensembles Q∗,R∗et C∗des nombres rationnels, r´eels et
complexes non nuls, munis de la multiplication sont des
groupes commutatifs infinis.
4. Pour chaque entier n≥2, l’ensemble Z/nZdes entiers modulo
nmuni de l’addition (modulo n) est un groupe commutatif fini.
5. L’ensemble K[x] des polynˆomes `a coefficients dans Kmuni de
l’addition est un groupe commutatif infini.
6. L’ensemble Sndes permutations des entiers de 1 `a n, muni de
la loi de composition, est un groupe fini non commutatif.
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Rappels sur les groupes
Une propri´et´e des groupes finis
Lorsqu’un groupe est fini, on appelle ordre son nombre d’´el´ements.
Th´eor`eme
Soit G= (E, ?) un groupe fini d’ordre m. Alors,
1. Pour chaque x∈G, il existe n∈Ntel que
xn=
nfois
z }| {
x?x? . . . ? x=e.(1)
2. Le plus petit des entiers nv´erifiant 1 divise m. Ce plus petit
entier est appel´e ordre de xdans G.
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Rappels sur les groupes
Groupe cyclique
Propri´et´e
Si dans un groupe fini d’ordre m, il existe un ´el´ement gd’ordre m,
alors la s´equence g0=e,g1, . . . , gm−1parcourt tous les ´el´ements
de G.
D´efinition
Un groupe fini d’ordre mposs´edant un ´el´ement d’ordre mest dit
cyclique.
Un ´el´ement gd’ordre mest appel´e g´en´erateur du groupe G.
Exemple
1. G= (Z/6Z,+) est un groupe cyclique, 1 et 5 sont deux
g´en´erateurs de G.
2. G= (Sn,◦) n’est pas un groupe cyclique.
Propri´et´e
Tout groupe cyclique est commutatif.
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Rappels sur les corps
Qu’est-ce qu’un corps ?
D´efinition
Un corps est la donn´ee
Id’un ensemble E,
Id’une op´eration interne, not´ee +, telle que (E,+) forme un
groupe commutatif dont l’´el´ement neutre est not´e 0,
Id’une op´eration interne dans E∗=E\ {0}, not´ee ×, telle que
(E∗,×) forme un groupe (non n´ecessairement commutatif),
Il’op´eration ×´etant distributive par rapport `a +
x×(y+z) = x×y+x×z
(y+z)×x=y×x+z×x
Si toutes ces propri´et´es sont satisfaites, hormis l’existence d’un
inverse pour tout ´el´ement non nul, la structure alg´ebrique obtenue
est un anneau.
On note K= (E,+,×).
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Rappels sur les corps
Exemples de corps
1. Qcorps des nombres rationnels,
2. Rcorps des nombres r´eels,
3. Ccorps des nombres complexes.
Zensemble des entiers relatifs n’est pas un corps car 2 n’a pas
d’inverse dans Z(mais c’est un anneau).
De mˆeme, l’ensemble des polynˆomes K[x] est un anneau et pas un
corps.
Tous les corps donn´es en exemple ici sont infinis.
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Corps finis premiers
Un corps `a deux ´el´ements
F2=Z/2Z= ({0,1},+,×)
+ 0 1
0 0 1
1 1 0
×0 1
0 0 0
1 0 1
L’op´eration + correspond au ou-exclusif et l’op´eration ×au et
logique.
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Corps finis premiers
Un corps `a trois ´el´ements
F3=Z/3Z= ({0,1,2},+,×)
+ 0 1 2
0 0 1 2
1 1 2 0
2 2 0 1
×0 1 2
0 0 0 0
1 0 1 2
2 0 2 1
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Corps finis premiers
Attention
Z/4Z= ({0,1,2,3},+,×) n’est pas un corps !
×0 1 2 3
0 0 0 0 0
1 0 1 2 3
20 2 0 2
3 0 3 2 1
2 ne poss`ede pas d’inverse dans Z/4Z.
Cela vient du fait que 2 n’est pas premier avec 4.
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Corps finis premiers
Corps premiers
Th´eor`eme
Soit n∈N.
IZ/nZest un corps si et seulement si nest un nombre premier.
D´efinition
Les corps premiers sont les corps Z/pZ, not´es aussi Fp, avec p
premier.
Remarque : il existe des corps finis de cardinalit´e non premi`ere
(voir plus loin). On d´esignera aussi par Fqun corps poss´edant q
´el´ements.
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Corps finis premiers
Une propri´et´e des corps finis
Dans F5
Puissances de 2 dans F5
i01234
2i12431
Dans F7
Puissances de 3 dans F7
i0123456
3i1326451
Th´eor`eme
Le groupe multiplicatif d’un corps fini est cyclique.
Autrement dit, il existe un ´el´ement non nul αdans Fqtel que
l’ensemble des puissances αipour 0 ≤i<qsoit ´egal `a l’ensemble
des ´el´ements non nuls de Fq.
Un tel ´el´ement est appel´e ´el´ement primitif dans Fq.
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Corps finis non premiers
Retour sur le corps C
ISoient z=a+ib et z0=a0+ib0deux nombres complexes
(a,b,a0,b0∈R). On a
z+z0= (a+a0) + i(b+b0)
zz0= (aa0−bb0) + i(ab0+ba0).
ISoient P=a+bx et Q=a0+b0xdeux polynˆomes de degr´e
≤1 `a coefficients r´eels. On a
P+Q= (a+a0)+(b+b0)x
PQ =aa0+ (ab0+ba0)x+bb0x2.
IL’addition des complexes est identique `a celles des polynˆomes
de degr´e ≤1.
ILa multiplication diff`ere, sauf pour le coefficient de iet celui
de x.
IMais si on identifie x2et −1, autrement dit si le produit est
effectu´e modulo le polynˆome x2+ 1, alors
PQ = (aa0−bb0)+(ab0+ba0)x+bb0(x2+ 1)
≡(aa0−bb0)+(ab0+ba0)x(mod x2+ 1)
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Corps finis non premiers
Retour sur C
Autrement dit, du point de vue alg´ebrique (les relations ne faisant
intervenir que l’addition et la multiplication), aucune diff´erence
entre
1. le corps Cdes nombres complexes,
2. et l’ensemble R[x]/(x2+ 1) des polynˆomes avec op´erations
effectu´ees modulo x2+ 1.
C'R[x]/(x2+ 1).
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Corps finis non premiers
Est-ce g´en´eralisable ?
Th´eor`eme
Soit Kun corps, et P∈K[x] un polynˆome. Alors
IL’ensemble K[x]/(P) des polynˆomes avec addition et
mulitplications effectu´ees modulo Pest un anneau.
ISi de plus le polynˆome Pest irr´eductible dans K[x], alors c’est
un corps.
D´efinition
Un polynˆome P∈K[x] est dit irr´eductible s’il ne peut ˆetre
factoris´e en deux polynˆomes de degr´e au moins ´egal `a 1.
Autrement dit, s’il n’existe pas deux polynˆomes Qet Q0dans K[x]
de degr´e au moins ´egal `a 1 tel que P=Q×Q0.
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Corps finis non premiers
Existence de polynˆomes irr´eductibles
Th´eor`eme
Soit pun nombre premier. Pour tout entier non nul n∈N, il existe
un polynˆome irr´eductible P∈Fp[x] de degr´e n.
Corollaire
Pour tout entier de la forme q=pn, avec ppremier et nentier
strictement positif, il existe un corps `a q´el´ements.
Remarque : il existe mˆeme beaucoup de polynˆomes irr´eductibles de
degr´e ndans Fp[x], puisque leur nombre mn(p) est encadr´e par
pn−pbn/2c+1
n≤mn(p)≤pn n.
Remarque : Il n’y a pas de corps `a q´el´ements si qposs`ede au
moins deux facteurs premiers (i.e. si qn’est pas une puissance d’un
nombre premier). Par exemple, il n’y a pas de corps `a 6 ´el´ements.
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Exemples de constructions de corps finis
Principes g´en´eraux
Construction d’un corps `a q=pn´el´ements (ppremier, nentier
positif)
Icomme extension du corps Fp
I`a partir d’un polynˆome Pde degr´e net irr´eductible dans Fp[x]
Corps obtenu en consid´erant les polynˆomes `a coeffcients dans Fp
modulo P
Fq=Fp[x]/(P)
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Exemples de constructions de corps finis
Un corps `a 4 ´el´ements
p= 2, n= 2, P(x) = x2+x+ 1,
α= repr´esentant de xdans F2/(P).
×0 1 α1 + α
0 0 0 0 0
1 0 1 α1 + α
α0α1 + α1
1 + α0 1 + α1α
Tab.:Multiplication dans F2[x]/(x2+x+ 1)
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Exemples de constructions de corps finis
Puissances de αdans F2[x]/(x2+x+ 1)
i0 1 2 3
αi1α1 + α1
⇒αest un ´el´ement primitif, et x2+x+ 1 un polynˆome primitif
dans F2[x].
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Exemples de constructions de corps finis
Un corps `a 8 ´el´ements
p= 2, n= 3, P1(x) = x3+x2+ 1,
α= repr´esentant de xdans F2/(P1).
×1α1 + α α21 + α2α+α21 + α+α2
1 1 α1 + α α21 + α2α+α21 + α+α2
α α α2α+α21 + α21 + α+α21 1 + α
1 + α1 + α α +α21 + α21α1 + α+α2α2
α2α21 + α21 1 + α+α21 + α α α +α2
1 + α21 + α21 + α+α2α1 + α α +α2α21
α+α2α+α21 1 + α+α2α α21 + α1 + α2
1 + α+α21 + α+α21 + α α2α+α21 1 + α2α
Tab.:Multiplication dans F2[x]/(x3+x2+ 1)
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