HOMOTOPIE RATIONNELLE PACE NILPOTENT ET MODELE

445
Nod'ordre : 1198
THÈSE
présentée A
L'UNIVERSITÉ DES SCIENCES ET TECHNIQUES DE LILLG,
pour obtenir
LE GRADE D E DOCTEUR DE ~ È M E
CYCLE
Spécialité : MATHEMATIQUES PURES
DJAHANBANI Mohammad
HOMOTOPIE RATIONNELLE
PACE NILPOTENT
ET MODELE MINIMAL
Président
Rapporteur
Membres du Jury : D. LEHMANN
J.C. THOMAS
B. CALLENAERE
t
Examinateurs
Soutenue le 23 octobre 1984
Soit X
un espace nilpotent avec les groupes d'homologie
sont
rang fini. Ces conditions entraînent que les groupes d'homotopie
de rang fini, ce qui signifie que pour
.rrn(X) C3 Q
n 3 2
de
les espaces vectoriels
n = 1, le groupe a ( X )
1
sont de dimension finie et pour
donne
une suite finie d'extension centrale :
où
al(X)
=
G1 3 G 2 3...
.
3.. Gr 3Gr+l = {O}
Ga 3
8Q = A
suite centrale descendante. Les
rang fini
: dim(Aa
Notons
8
8Q
sont abéliens et de
.
0) < +
grad(nl (X))
a
8 Ip =
A,- 8 Q.
La restriction du crochet de Whitehead à nl(x)
une filtration sur .rr (x)
n
désigne la
(a (X)
1
X
nn(x)
définit
opère d'une façon nilpotente sur nn(x)).
Notons à cette filtration grad(ax(X))
8
q
=
B grad(ai(X))
iB1
B
P
le gradué associé.
Le crochet de Whitehead habituel induit alors un crochet
de façon naturelle (cf. Proposition 11.3).
de X
et on note par : ax(X)
B
9 = nX(Xg).
On désigne par
X
Q
le rationalisé
Soit f ) r = AV
homogène
{valwS
le modèle minimal de X.
de V = @ V
i2l
i
.
Il existe une base
L'algèbre symétrique V 8 V
en tant qu'espace vectoriel gradué, 2 la sous-algèbre de
m]
est isomorphe
engendrée par
les mots de longueur deux.
La partie quadratique de la différentielle d, par dualité définit
une application bilinéaire
Ceci définit une structure d'algèbre de Lie graduée sur Hom(V,Q)
(graduation sur les degrés des générateurs).
Classiquement, on définit un isomorphisme
en tant qu'espaces vectoriels gradués (voir
[L,]).
Le but de ce travail est de démontrer
est un isomorphisme
d'algèbres de Lie graduées.
Les deux structures grad
grad r*(X)
8
Q et
1
Hom(V ,Q)-module
T
1
(X)
8
Q-module sur
M
sur Hom(V ,(R)
sont isomorphes.
Ce résultat généralise au cas non 1-connexe, le résultat de
Plus précisément, nous établissons le théorème suivant :
ThéonErne 1 . Le diagramme suivant commute dans la catégorie des espaces vectoriels
1
gradués
:
Tly B ly
1
B Q)
T,(X>
où
@
1
Iwh
<
m, (XIsü)>e(~,
(x)sq)
est l'isomorphisme canonique défini par
Dans le chapitre 1, nous donnons quelques rappels sur l'espace
X
nilpotent et son modèle minimal.
Au chapitre II, nous construisons la structure de al(X) B ü)-module
sur
grad (IT~(X) 8 ü).
Nous démontrons un résultat équivalent du théorème 1 dans le cas
universel, en construisant le n-ième étage tronqué de la tour de Postnikov
de
1
S V
sn
au chapitre III.
Le chapitre IV sera consacré à la démonstration du théorème 1 :
l'application
S
1 v sn
lVf2
3
X
induit un unique morphisme dlA.D.G.C.
O
au niveau des modèles minimaux, rendant le diagramme suivant commutatif
lorsque F 1 et F2
sont des morphismes induits par
fl et
f2.
Bien sûr, le résultat de ce travail se généralise pour les produits
de Whitehead itérés,
(Voir
Dans le cas X
fini voir [l3]
et [
l4].
[lg et b2]
= K(G,l)
où G
dans le cas
1-connexe)
.
est un groupe nilpotent de type
P L A N
1
-
RAPPELSSURLESESPACES
X
NILPOTENTSETLEURSMODELES
MINIMAUX.
II
- ETUDE DE L A STRUCTURE DE
grad (nl (~)@@-moduee
SUR
I N D U I T PAR LE PRODUIT DE WHITEHEAD.
III
- ETUDE DANS LE CAS U N I V E R S E L DE L ' E S P A C E
REFERENCES
S
V
s".
CHAPITRE 2
RAPPELS SUR LA LOCALISATION DES ESPACES NI LPOTEMS.
----------
2.1.-
GROUPES NILPOTENTS.
Soient IT
et
G
deux groupes. On dit que
s'il existe un homomorphisme de groupes IT
abélien, un
+-
est un T-groupe,
Si G,
est un groupe
IT-groupe est classiquement appelé un IT-module.
Dans la suite G
opère sur lui-même par automorphisme intérieur.
Une suite centrale descendante d'un
de
Aut G.
G
IT-groupe G
est une suite
sous-groupes normaux
-
telle que :
a) Tous les sous-groupes sont invariants par l'action de IT.
b) L'action de
Si un
Gs+ 1
=
1
, pour un
Le plus petit
de
s
IT
sur
IT-groupe G
Gi/~i+i
possède une suite centrale telle que
s, on dit que
tel que
Gr
=
est triviale.
O,
IT
opère d'une façon nilpotente sur
pour
r 2 s est l'ordre de nilpotence
G.
Si
IT = G,
on dit que
G
G.
est nilpotent.
Dé~&iaXan.-
et si
T1(X)
e s t nilpotent s i
X
Un espace topologique
opere d'une f a ç o n n i l p o t e n t e s u r
T
nn(x),
(X)
1
pour
e s t nilpotent
n > 1.
LÙCAL7SATlON DES GROUPES ET DES ESPACES NlLPOTENTS.
1.2.-
Dé ~ivU;tian.C
Une c a t é g o r i e
(avec une sous-catégorie p l e i n e
c a t é g o r i e avec l o c a l i s a t i o n , s i pour t o u s l e s o b j e t s
L
un o b j e t
X
(y L
e t l e morphisme
L
E
L
E
e t un morphisme
f :X
+
X
L,
+
Xe
X
E
L)
C il
e s t une
existe
universel par rapport
il e x i s t e un unique
a
g : XL
L
+
L
t e l que l e diagramme s u i v a n t commute
L'objet
X
L
+
X,
e s t a p p e l é l a l o c a l i s a t i o n de
xL
X,
l e morphisme
e s t normé l e morphisme d e l o c a l i s a t i o n e t l e s o b j e t s d e
L,
l e s o b j e t s locaux,
Dédiaon. G
Dans l a c a t é g o r i e des groupes, un groupe
tout
g E: G
e t tout
n i~ N,
il e x i s t e un unique
x
E
e s t l o c a l s i pour
G
t e l que
n
x
= g.
1.3.-
LEMME
Ci'].-
Soit une extension centrale
L
.
O
-+
A
I
avec A
et H
locaux, alors G
soit G
=
G~ 3 G~
-+
Les G
i/Gi+
Notons
-4
H
-4
O
est aussi local.
... 2 G~ 3 G
la suite descendante de G, où Gi+ 1
-1 -1
xyx y
avec x € Go, Y ê Gia
La suite {Gi}
G
~ 2+ ~
Gs 3 Gs+l
=
est engendré par les éléments
induit une suite finie d'extensions centrales
sont appellés les facteurs de la suite centrale.
grad G B Q =
B Q.
Rappelons que la catégorie
i+1
des groupes nilpotents est une catégorie avec localisation.
*
Soit G
CI
la localisation d'un groupe nilpotent G
le morphisme de localisation (le complété de Malcev),
et
J :G+
Ç
.-
- LEMME Cs]
J
induit un isomorphisme d'algebre de Lie graduée sur 4
La structure d'algèbre de Lie sur
grad G B @
est donnée par
le lemme suivant :
1-77.-LEMME pl.Sur grad G B Q,
il existe une structure d'algèbre de Lie
graduée définie par :
-
-
.
THEUREME -
BaubïjieLd-Kan
.
Tout espace X nilpotent admet une localisation
l?#
7.7.-
: n*(X)
+
l? : X
-t
x',
nii(xt) est un morphisme de localisation.
Notons A.D.G.C.
la catégorie des K-algèbres différentielles.
N-graduées, associatives et commutatives (au sens de gradué).
On dit qu'une A.D.G.C.
(Koszul-Sullivan) si :
,d)
est minimale ou
K.S.-minimale
1)
vectoriel
7 est
vn
V =
: il e x i s t e un
l i b r e en t a n t que A.G.C.
t e l que
K-espace
y =AV.
n3 1
2)
I l e x i s t e une base homogène
ensemble b i e n ordonné
par l e s
x B avec
3)
z .s .-
T f f E U R E M E ( C2-l
;K
PA
Si
a
a p p a r t i e n t à l ' a l g è b r e engendrée
dx
a
dim x
+
a
e s t une a p p l i c a t i o n c r o i s s a n t e .
connexe. Alors il e x i s t e une A.D.G.C.
une A.D.G.C.
e t un homomorphisme
e s t un isomorphisme.
p i : (~b.6;)
+
(A,dA)
il e x i s t e un isomorphisme
m
e s t une a u t r e s o l u t i o n du problème,
-
: (Mi, GA)
unique à homotopie p r è s t e l que
1.9.
indexée p a r un
, r9'1
- - ) .-
(A,dA)
minimale (M , 6 )
A A
V
f3 < a.
L'application
Soit
t e l que
S t e l l e que
de
{xaLEs
PA
O @ %
(MA,
PA.
- REMARQUE. Larestrictionde
d
à
1
V ,
d : VI
+
V
1
p a r d u a l i t é , donne une a p p l i c a t i o n b i l i n é a i r e a l t e r n é e
1
B V ,
(VI)"
B
C*l
-
(vl)*
1 rc
(V ) , et la condition d
2
= O
exprime que le crochet vérifie l'identité de Jacobi.
D'une façon analogue, la partie quadratique de la différentielle
définit une application bilinéaire.
Il suffit de la définir sur les générateurs.
Soient
HO~(V'
yQ)
Soit
de
{Xi}, {Y.},
{Zt}
J
et Hom(V
1 a:yBx
=
(3.6
i+j-1
,Q)
et
un système de générateurs de Hom(V
{xi}, {Y.}y {zk}
J
i
et
j
.
1
X1
les générateurs duaux.
; on définit
= 1a
'
v
z
On va vérifier que
s
S
1-i v
d'un produit de Whitehead ordina?re.
soient
,Q),
a A yg + F où F ne contient pas les produits des
couples de dimension
donc
i
E
(vm)*,
X2 c (vn)"
aiors
[ , 1 possède les propriétés
[Zl>X2] = - (-1)
(m-1)
(n-1)
CG2 ,xll
est évident.
y;2)
de
(3)
(vm+n-l X
Soient x E (vq)*, yi
!l)
3
) Y Y,
(p+q-l r
1 , on a dyi(3) -- P i1,2x 1 A x 2 + f i ' où
terme multiple
de x1 AI?,
donc
<<pl
yy!3)>>
("qfn-1 1* Y
fi ne contient pas
=
192
pi
.
dYj('1
=
r7s3 x2
J
(2)
dyS
multiples de
A x +y
O
--
A x1 + hs où hS ne contient pas des termes
de x
1
A x
2
3'1
qs
x3
et où
Xl
X3
Soit z
R
j
3
yj
ne contient pas des multiples de
<<[X- 3' X 1]
=
un générateur de degré
a
A x
3'
qi's.
m + n + q
est la somme de termes dont dR
X2 "3
-
2
ne contient pas les multiples
Ona
i 1'2
={Cap
i
+
(-l)mn+mq
Par conséquent
1
d'où l'identité de Jacobi.
bar
j 2'3
+
(-l)qn+mq
J
i 1,2
aapi
1 caq
s 3'1 hlA
x2
A x3
+
. ..
s
+
(-l)mn+mq
j 2,3+
1 barj
j
(-l)qn+mq
s3,i
b0qs
'0.
s
1.70.-
TUEORTE DE SULLIVAN.
Soit X
un espace topologique connexe nilpotent, C*(X,Q)
l'ensemble simplicial des chaînes rationnelles sur X.
Aq 1'espace vectoriel de q-formes polynomiales
P
rationnels sur l'espace
A
P
I (to,. . .,tp)
=
E
qP+'
à coefficients
1 zti-l 1 .
A*
est une A.D.G.C.
aqm
est l'espace vectoriel simplicial des q-formes rationnelles
P
avec la différentielle extérieur.
sur l'ensemble simplicial Am.
Une P.L. forme rationnelle de degré
tion simpliciale w : C*(X,q)
q-forme w
O
sur
Notons
extérieur
(dula
=
(w
A:
qui à tout
sur X
est une applica-
r-simplexe O
associe une
Ar.
PL
A
dDeO,
+-
q
=
*
cet espace de ces P .L. formes.
(X)
APL (X)
wu
A w;l
Avec le pr~duit
et la différentielle extérieure
devient une
Q-A.D.G.C.
L' intégration fournit une application d'espaces vectoriels
différentiels gradués
m
%
ApL(X)
+
C (X,q)
induisant un isomorphisme
d'algèbres graduées
Réciproquement, étant donné une k-A.D.G.C
corps de caractéristique zéro),
un ensemble simplicial <A>
phisme d1A.D.G.C. naturelle
A
,
(k désigne un
on associe à cette algèbre
et on démontre l'existence d'un homomor-
A
qui induit un isomorphisme en cohomologie lorsque l'algèbre
A
En particulier, si l'algèbre
le modèle minimal de A
est nilpotente.
est minimale, on démontre que
(A,CA)
est
m
(<A>).
PL
1.77.- Rappelons enfin le lermne de Hirsch qui donne la construction du modèle
minimal et 1 'isomorphisme d'espaces vectoriels gradués entre H ~ ~ ( v ~ , Q )et
grad
TT
n
(X) 8 Q
qu'on va définir :
Soit r (x)
N
N
N
G1 D G 2
=
> ... 3 G Ni 3 G iNt l ... 3 G rN 3 G rN+ * =
la suite descendante centrale de rn(X),
-
engendré par les éléments hWy
N
tout y c G.
1
sur
.
h
W
: rrn(X)
+
pour tout w
Q
rrl(x)
et
est l'opération canonique de n l (x)
rrn(X).
GYAN
Les facteurs
sont abéliens, même pour
i+ 1
note
où Gi+l est le sous-module
y = b,y],
rrn(X)
O
grad IT (X) B Q
n
L'espace
= @
GYLN
1
8
-
N
=
1
on
-
4.
i+ 1
X nilpotent et de type fini est obtenu par une suite
des fibrations principales
induit par une application classifiante
Xa
ka
K(A,,na+l)
n +1
détermine un élément de H a (Xa,Aa) = ~x~,K(A
,na+l )]
a
sont les facteurs de rr (X).
n
ka
a
;
où les
Aa
Notons
-LEMME
-
1.12.-
V
a
a' a
.
r4].-
La fibration K(Aa,n)
I
n
H a ( ~ ( ~n ) ,O)
qui est isomorphe à
Hom (A ,Q)
Z a
=
+
a+I
+
est une fibration totalement
Xa
transgressive. Il existe un isomorphisme naturel
l
d'espace vectoriel, tel que l'application composé
: H~(K(A ,n),~)
a
Hn+l
7
(K(Aor,n+l) ,QI
a
-
Hn+ I
(0
QI,
soit la transgression.
I I
l I
On a le modèle minimal de X
a+1
un quasi-isomorphisme
=
y a 8 A(V a
L.
A~~(x~+~)
est le foncteur de de Rham simplicial et
minimal de X
a
est le modèle
.
Soit {x.) une base de l'espace vectoriel
1
%
forme ai
E:
et
p'
ya+i
où APL
avec une différentielle d
A (X
)
PL a+l
1
-+
-
on peut choisir a.
1
Bi
et il existe une forme
<:p
2i
il existe une
dont la restriction à, la fibre est une forme
fermée représentant x.
dai=ApL(qa)(Bi).
vas
APL (Xa)
E
A
(X )
PL a
telle que
étant un quasi-isomorphisme,
en cohomologie tel que
Bi
=
<(ai).
Alors, on définit
on définit la dualité entre
<
,>
=
IT (X)
n
8 Q
et
Aa
en posant :
H"(K(A~,~),P) X Hn(K(Aa,m),Q)
est la dualité de Kronecker.
et
Va
Cette dualité
et on a l'isomorphisme
ç
-+
Ip
'étend par linéarité à
vn
CHAPITRE I I
STRUCTURE DE
grad(irl (XI) B
~rnuduleAWL
grad(rrx
(XI 1
8
Q.
-----------
11.1.-
PROPOSITION.-
Le produit de Whitehead
induit une application
D
é
m
u
~ :~
n
On démontre cette proposition par récurrence sur
pour
[a,£]
et
E
i = 1,
[a,w]
soient
E
.
:
G
a
et
w
5 G:
et
f E Gn
j
'
i :
on a
Par l'identité de Jacobi habituelle de
nous avons :
Les deux éléments du côté droit appartiennent à
n
Gj+:!
donc
nx(X)
et l'application est bien définie pour
Supposons que c'est vrai pour
et démontrons pour
i
-
i
=
1.
1
i.
1
Soient ~ E G ,,
.CG:
et
f CGn,
j
ona
[u,f]
CÇ;+~,
par hypothèse de récurrence dans l'identité de Jacobi
]
.
*
a
[
*f] =
[[u*fJ
[lf*.]
,.3
9 . 3
Les éléments du côte droit appartiennent à
n
Gi+j+l d'où
le résultat. O
-
1
I
11.3. - PROPOSITION. Il existe une structure d'algèbre de Lie graduée sur
(
a
=
a
-
1 ,
la1
avec le crochet de Samelson
=
degré de
a
CHAPITRE 111
s1
ETüûE VANS LE CAS UN1VERSEL DE L'ESPACE
sn.
---- --------
SI V
sn
n'est pas un espace niipotent, car
a(S
1
V
sn)
n'est
pas de dimension finie.
Construisons le n-ième étage tronqué de la tour de Postnikav de
cet espace.
111.1 .- Notons T
=
S1 x
O
sn
et construisons l'espace
du fibré universel de base
ci E
O
[SI
X
et l'application classifiante
correspondant à la classe fondamentale de
sn,~((,n+l)]
Soient w
K(q,n+l)
Tl, image réciproque
E TI
1
(SI
x
sn)
et
fo E r (S
n
1
X
sn).
La fibration
principale
est une fibration totalement transgressive et on a le diagranme commutatif
suivant :
n
désigne le produit de Whitehead universel. w
relèvent en w'
T
O
1
l
et
,fa
et
f'.
O
[w,fJ
et
f
O
se
est la classe d'homotopie nulle dans
représente un élément de rn(T1).
LEMME I I I . ! . La classe de f l
Supposons que
à
travers To
:
=
b'yfd
est non nulle dans
£3
dans
'L
O
T l , donc elle se factorise
il existe une application s : T
O
+
T
1
tel que
s o (w v f ) = w f "f;.
O
Ona p
oso(wvf)=wvf
1
O
une section. Donc la fibration T + T
1
O
.
a
O '
c'est-à-dire que
s est
est triviale. Par çonsSquent,
est homotope à zéro, ce qui est absurde.
1
LEMME 111.2.-
I
La classe de
[w' ,f
0érnom;Dtakian
:
est nulle dans
La suite exacte d'homotopie de la fibration
est une suite exacte de r 1 (T 1 )-modules
f
puisque
n (K(q,n))
n
1
E
n (T )
n 1
(cf. [7] )
est un élément qui provient de TI,(K(Q,o)),
r1 (T 1 )
pl # (fl) = O.
=
n (T )
1 O
donc opère trivialement sur
est n (T )-module donc
1 1
p,f
?.
O.
0
opère trivialement sur
Im J#,
P
est
{x,y,
et
f nu1 dans T
P
P- 1
T
en utilisant les deux
P-1
et nn(Tp) = {fo,fl,. ,f 1
P
-t
..
lemmes III. 1 et 111.2 et on a n (T ) = {w}
1 P
f = [w,fp-J
P
car la suite exacte
.-
On continue la construction de T
avec
.
.
Le modèle minimal de To
dx = O, dy = 0) et le modèle minimal de T
est
1
{x,y,tl,dx = O, dy = O, dt
;I;
m m
~ ( t ~= )X Xy
0Ù
=
XY},
d'après le lemme 1.14,
on a
a
est la transgression dans la fibration standard qui correspond
au connectant de la suite exacte d'homotopie de cette fibration.
V é m o ~ ; D t ~: n
On a le diagramme commutatif suivant :
La classe de
p
1
O
b',fd
= [w,fJ
est nul dans
par conséquent homotope à une application constante.
S
1 x
sn,
pt,
Donc on peut envoyer
S
1
v
sn
sur le point base de
1
S xsn
et considérer
l'application suivante :
1 : (en+l,sn)
En+ 1
+
5
O TI
est la composée a
.
K(û!,n+l)
application qui envoie
* (K(@,n+l),*)
sn
le bord de E"*'
où
5
TI
est une
sur le point base de
s1 x sn
et envoie l'intérieur d'une façon identique.
L'application
H définit la classe fondamentale de
1
TI
n+ 1
(K(û),p+l)).
Dans la suite exacte d'homotopie de la fibration standard
L'application connectant envoie H l sur la classe de
-
élément de rn(K(q,n)),
donc la classe de
£1'
f l est la classe fondamentale
-
5
5
Par conséquent, on a rm(xsxyX) = h ( Lf
pression en homologie et
l]
) où
rx est la f rans-
est la classe fondamentale de
xixy*
=
X
%
<-rt 1' xXx ym>
11
nt.1 (SI
x
sn,g)
d'où l e lemme. O
LEMME 7 7 7 . 4 . Ona
ti
'L
<<t
£>>=O,
i' 1
i >1
et
2i
<<y,f > > = O .
1
e s t l e nouveau g é n é r a t e u r de
q u i p r o v i e n t de l a f i b r e d e
Ti
et
fl
=
7(Ti-l)
y
Ati
n e s e r e l è v e pas à c e t t e f i b r e
( c f . Lemme 111.2).
De même,
@
ne p r o v i e n t p a s de l a f i b r e d e
Tl. 0
DEMONSTRATlON DU TH EOREME
Soit
7le modèle minimal de
Il existe une base homogène
ordonné
S
tel que
dv
C1
{va},s
X.
de V
AV.
?
indexée par un ensemble bien
4 =
appartient à l'algèbre engendrée par
avec
B < a.
le système de générateurs donné où n
Notons
désigne
le degré des générateurs.
Le théorème énoncé dans l'introduction est équivalent au théorème
suivant par dualité.
Hom IT%(X) 8 Q,Q)
est un espace vectoriel gradué
avec la graduation, des degrés des groupes d'homotopie et
V
=
tB
n> 1
vn
est un espace vectoriel gradué avec les degrés des générateurs.
THEOREME 1 . Le diagramme suivant commute dans la catégorie des espaces
gradués.
Dans l'énoncé du théorème 1 , l'application
dg
est la partie
quadratique de la différentielle d.
On note
V B V, l'algèbre symétrique, qui est isomorphe, en
tant qu'espace vectoriel gradué à la sous-algèbre de
par les mots de longueur deux
l'idéal de W)= AV
ou égale à
:
F ~ ()
engendré par les mots en V
où
7
engendrée
('F
3)
désigne
de longueur supérieure
p.
est l'isomorphisme canonique définit par
Démann&a.iion
Soient
et
v
fl
E
:
grad r (X) B (Q
1
un générateur de degré
Y
n.
et
f2 s grad
rn (X)
B
Q
On démontre que
On a le diagramme commutatif suivant :
Il suffit de construire
où
F l et
fl
et
f2.
F2
O
tel que le diagramme
sont les morphismes au niveau des modèles associés à
DE
CUNSTRUCTZUN
Soit I(
n.
del
=
et
)an
avec den
O :V
1
O(v)=ae
a 1
On construit O
B
E
S,
=
avec
I(
7sl v sn
1
a
a
=
tel qug
1
0,
1
1
<<v ,fl>>.
0(vq)
=
O.
par récurrence. Supposons que l'on a construit
n
@a+ 1 (va+ 1 ),
a+l(~a+l))
n
-+
=
1
l'ensemble d'indice de base de V.
Pour définir
d(
1
l < q < n
B'
,
e
t1,,t ,
P
n'
Pour v4
(
est engendré par
1 < a < n et
On définit
Par
)
P = o , pour
Z = {e
est engendré par
l'espace vectoriel des générateurs de degré
I(Tsl
I(
1")
:
7sl ,sn
On remarque que
O
8
n
a(d~~+~).
on remarque qu'il faut avoir
autre
part, O
a+1
peut s'exprimer comme suit :
A.
n
@a+ 1 (va+ 1 ) =
i
O
t. + a
i= 1
est parfaitement déterminé si on connait les a i
O .
a+ 1 et aa+l*
or
d
~ (v:+~)~
f
i
+= ~ aa+i
i=1
ti-i
et on a
Pour que le diagramme 1 comute, on définit
aO
a+1
Ainsi
a+
= <<vn
a+l yf2>>'
est bien défini.
2
'
)
O
en somme fini pour
étant un morphisme d'algèbre.
On a l'écriture de O(v )
v de degré n :
Calculons le côte gauche de l'égalité (1)
On remarque que
No tons V(A?:~)
où A""
1 ,n
l'expression du côte droit de l'égalité (2)
est la matrice
on a donc
Donc pour avoir l'égalité (l), il faut démontrer que
Y
d
On remarque que
Ici
f l E r1(X)
et
f2
E
,f2]
f[
rn(X),
=
(f v f2)
p1,i3
[il, i a
O
le produit de Whitehead universel,
Donc l'égalité (4) est équivalente à
3")
(5)
On se propose d'tablir l'égalité
= a e + a t +
a.t.
O n
l 1
i>l 1 1
Ov
<<@IIY y [ilyiJ>>
=
ao<<en,[ilyiJ>>
+ a <<tly[il,iJ>>
1
+
1
aa<<ta, [il,iJ>>.
i>l
a après les lemmes 111.3 et 111.4, on a
<<Ov
t
[il ,iJ>>
=
On va calculer le coefficient a
dOv
Y
= a e e
l n
+
(-l)na
Y'
1
i>l
a e t
i 1 i-1
1'
1
dans les expressions
Les seuls termes qui risquent de contenir le ggnérateur
est
1
1,n @(valI
Ka,B
a, B<y
n
8(v B) .
J *
Le diagramme I &tant c o m u t a t d , on a
et, par conséquent
En comparant avec l'égalité ( 3 ) , on a la commutativit6 de
diagramme du théorème 1 :
e e
1 n
R E F E R E N C E S
1
]l[
DELIGNE P., GRIFFITHS P. , MORGAN J. , SULLIVAN D. ,
Real homotopy theory of Kahler manifolds,
Inventions. Math. 29, 245-274 (1975).
s
[2]
HALPERIN S. ,
Lectures on Minimal Models,
Publication Interne de ~'u.E.R.de Mathématiques
Pures et Appliquées, N O 1 1 1 .
[3]
LAZARD M. ,
Sur les groupes nilpotents et les anneaux de Lie,
Ann. Ec. Norm. Sup. 71 (1954), 101-190.
[
4
]
LEHMANN D ,
Théorie homotopique des formes différentielles
(d'après D. Sullivan), ~stérisqueN O 45 ( 1 9 7 7 ) .
]
5
[
MEYER J .P.,
Whitehead products and Postnikov systems,
6
NEISENWRFER J. ,
Lie algebras, coalgebra and rational hornotopy
theory for nilpotent spaces,
Pacific Journal of Mathematics, Vol. 71 (1978).
7
POSTNIKOV M.M.
[
8
]
QUILLEN D.,
On the associated graded ring of a graup ring ;
Journal of algebra 10 (1964), 111-118.
[93
SULLIVAN D. ,
Infinitesimal computations,
I.H.E.S. 47(1977).
[IO]
.
,
Localization of topological spaces,
Russian Math. Surveys 32 : 6 (1977), 121-184,
ANDREWS P., ARKOWITZ M.,
Sullivan's minimal models and higher order
Whitehead products. Can. J. Maths XXX
961-982.
-
NO
5 (1978),
,
C l a s s i f i c a t i o n homotopique d e s e s p a c e s r a f i o q n e i p
à cohomologie donnée,
ouv vain-la-Neuve, Thèse (1979).
1 O]
FELIX Y .
1
THOMAS J . C . ,
~ o m o t o p i er a t i o n n e l l e d e s f i b r é s de S e r r e ,
Thèse n o 473, Univ. S c i e n c e s e t Techniques d e L i l l e 1,
(1 980).
[iiJ
TANRE D . ,
Modeles de Chen, Q u i l l e n , S u l l i v a n e t a p p l j c a t i o n s
aux f i b r a t i o n s de S e r r e ,
Thèse n o 535, Univ. S c i e n c e s e t Techniques d e L i l l e 1,
(1982).
1
CEKKLB., etPORTERR.,
Malcev'scompletionofagroupanddifferential
f orms ,
J . D i f f e r e n t i a l geometry : 15 (1980), 531~542,
[14]
CENKL B . ,
e t PORTER R . ,
D i f f e r e n t i a l forrns and t o r s i o n i n t h e funda-
mental group : Advances i n Mathematics 48 (1983),
189-204.