Généralités sur les fonctions réelles de variable réelle

Université en ligne. Mathématiques Édition 2003
Nombres réels, suites et fonctions
Annette Decomps Paris VI
FONCTIONS RÉELLES D’UNE VARIABLE RÉELLE
De même que le concept de suite sert à décrire un phénomène discret, celui de fonction sert à
décrire un phénomène continu.
Dans ce cours, on étudie des fonctions à valeurs réelles définies sur un intervalle de R ou plus
généralement sur une réunion d’intervalles.
Dans l’étude d’une fonction interviennent
- des aspects locaux : continuité et dérivabilité en un point, approximation au voisinage
d’un point...
- des aspects globaux : monotonie, périodicité, continuité uniforme sur un intervalle...
En fait, il y a interaction constante entre les phénomènes discrets (suites) et les phénomènes
continus (fonctions). Par exemple la monotonie de suites, définies par une formule un=
f
(n), ou
par une relation de récurrence un+1
=
ϕ
(un) et la donnée de peut s’obtenir à partir de la
variation de la fonction f ou de la fonction
ϕ . Inversement, l’approximation des valeurs d’une
fonction, de la solution d’une équation différentielle, d’une intégrale, s’obtient par la construction
de suites dont on est conduit à étudier la convergence et la rapidité de la convergence. Ainsi, dans
les problèmes numériques, on passe du continu au dénombrable, puis du dénombrable au fini.
Pour calculer, par exemple, une valeur approchée d’une intégrale, on utilise la formule déduite du
théorème de la moyenne
u0
f(t)dt =lim
n→+∞
1
n
k=0
n
∑
0
1
∫fk
n
 .
En prenant une valeur de n assez grande, on obtient une valeur approchée de l’intégrale.
1

GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS RÉELLES D’UNE VARIABLE RÉELLE
1. De l’ensemble de définition au graphe
Une fonction réelle d’une variable réelle est, en général, définie à partir d’une expression
contenant des fonctions “usuelles” dont les propriétés sont connues. Un premier travail consiste
alors à trouver les valeurs de la variable pour lesquelles l’expression a un sens. L’ensemble de
ces valeurs est l’ensemble (appelé encore domaine) de définition de la fonction. Cet ensemble,
que nous noterons D, peut être éventuellement
- vide comme dans le cas de la fonction
x−x2+x−1,
- réduit à un seul point comme dans le cas de la fonction x−x.
Nous ne considérerons pas de tels cas, et les fonctions que nous étudierons seront définies sur
une réunion d’intervalles non vides et non réduits à un point.
Ainsi, la fonction xln x(x+1)
(x−1)( x−2) est définie sur l’ensemble
−
∞,
−
1∪0,1][∪2,][
+
∞]
[
.
La fonction xsin x est définie sur l’ensemble
∪
k∈Z2k
π
,2k
+
1
(
)
π
[
].
Un des objectifs (mais ce n’est pas le seul) dans l’étude d’une fonction f est d’obtenir, dans un
repère orthonormé
(O,
i , j
)
du plan, le graphe Cf qui est l’ensemble x,f(x)
(
),x∈D
{
}.
Attention : pour certaines fonctions, même de définition simple, comme la fonction
caractéristique des rationnels, dite encore fonction de Dirichlet, (fonction qui vaut 1 sur Q et 0
sur R\Q), on ne peut pas tracer le graphe.
2

Dans un but de simplification, nous considérerons dans les généralités des applications d’un
intervalle I (non vide et non réduit à un point) de R dans R, et nous noterons F(I, R) l’ensemble
des applications de I dans R.
2. Structures sur l’ensemble F (I, R)
Comme dans le cas de l’ensemble RN des suites réelles, on définit sur F (I, R) des opérations et
une relation d’ordre à partir des opérations et de la relation d’ordre sur R.
2.1. Structure algébrique
L’ensemble F(I, R) muni des opérations :
- addition, définie, pour f ∈F (I, R) et g ∈F (I, R), par :
f
+
g:x
f
(x)
+
g(x),
- multiplication par un réel, définie pour λ ∈R et f ∈F (I, R), par
λ
f
:x
λ
f
(x),
est un espace vectoriel sur R dont l’élément neutre est la fonction nulle :
0: x0.
Avec la multiplication des fonctions définie, pour f ∈F (I, R) et g ∈F (I, R) par :
f
g:x
f
(x)g(x),
F (I, R) devient un anneau commutatif dont l’élément unité est la fonction unité :
1: x1.
Cet anneau n’est pas intègre car le produit de deux fonctions non nulles peut être la fonction
nulle, comme le montre l’exemple des fonctions f et g définies sur [0,1] respectivement par :
∀x∈0, 1
2
 ,f(x)=1, et ∀x∈1
2,1
 ,f(x)=0,
∀x∈0, 1
2
 ,g(x)=0, et ∀x∈1
2,1
 ,g(x)=1.
Toutefois, si f ne s’annule pas sur I, on peut définir l’inverse de la fonction f par :
1
f: x1
f(x).
2.2. Structure d’ordre
Définition. Soient f et g deux fonctions définies sur I. On dit que g majore f, ou que f minore g,
3

si l’on a, pour tout x∈
I
,
f
(x)≤g(x).
On note
f
≤g.
On vérifie immédiatement qu’il s’agit d’une relation d’ordre sur F (I, R) et que cette relation
d’ordre n’est pas totale. Deux fonctions quelconques ne sont pas en général comparables.
Exemples
Sur l’intervalle ]0,+∞[, la fonction x 
x-1 majore la fonction logarithme.
Sur l’intervalle [0,+∞[,
- la fonction sinus est majorée par la fonction x 
x,
- la fonction est majorée par la fonction et minorée par la
fonction .
xe−xsin x
−e−x
xe−x
x
Figures 1* et 2*
3. Propriétés globales élémentaires
On considère une application f d’un intervalle I dans R. On note fI
(
)
=
f(x), x∈I
{
}, l’image de
I par l’application f.
3.1. Fonctions bornées
Définitions. On dit que f est majorée (resp. minorée, bornée), si f(I) est une partie majorée (resp.
minorée, bornée) de R, c’est à dire :
- f majorée sur I : ∃M
∈
R,∀x∈
I
,
f
(x)
≤
M,
- f minorée sur I : ∃m∈R,∀x∈
I
,
f
(x)≥m,
- f bornée sur I, (f est majorée et minorée sur I) :
∃
M
∈
R,
∀
x
∈
I, f(x)
≤
M.
Quand f est majorée (resp. minorée) sur I on note
sup
I
f
=
sup
x∈I
f
(x)
=
sup
f
(
I
)
inf
If=inf x∈If(x)=inf f(I).
Sur R, les fonctions sinus et cosinus sont bornées par 1, l’exponentielle est minorée par 0 qui est
sa
4

borne inférieure mais non majorée. Sur R+
∗
, la fonction logarithme n’est ni majorée ni minorée.
3.2. Fonctions monotones
Définitions. On dit que f est
- croissante (resp. décroissante) sur I si :
∀x1∈
I
,∀x2∈
I
,x1≤x2⇒
f
(x1)
≤
f
(x2) (resp. x1
≤
x2⇒
f
(x1)≥
f
(x2)) ,
- strictement croissante (resp. décroissante) sur I si :
∀x1∈
I
,∀x2∈
I
,x1<x2⇒
f
(x1)
<
f
(x2) (resp. x1
<
x2⇒
f
(x1)>
f
(x2)) ,
- monotone (resp. strictement monotone) sur I si f est croissante sur I ou décroissante sur I (resp.
strictement croissante sur I ou strictement décroissante sur I).
Les fonctions exponentielle et logarithme sont strictement croissantes sur leur ensemble de
définition. Les fonctions puissances (n∈N*) sont strictement croissantes sur R, si n est
impair, elles sont strictement décroissantes sur ]-∞,0] et strictement croissantes sur [0,+∞[ si n
est pair.
xxn
4. Parité, périodicité et autres symétries. Applications au graphe de la fonction
On considère une fonction réelle f dont on note D l’ensemble de définition. Avant de commencer
l’étude de la fonction f, on recherche si elle présente des propriétés remarquables qui simplifient
l’étude comme la parité ou la périodicité. Ces propriétés ont une traduction géométrique sur le
graphe Cf de f.
4.1. Fonctions paires et impaires
Définitions. On dit que f est paire (resp. impaire) si :
∀ et x∈D,−x∈Df
−
x
(
)
=
fx
(
),
(resp. ∀x∈D,
−
x∈D et f
−
x
(
)
=
−
fx
(
)).
Il est bien évident que la question d’une parité éventuelle ne se pose que si D est symétrique par
rapport à 0. On remarque que, si f est impaire et si 0 appartient à D, alors f (0) = 0.
Remarque
Si I est un intervalle de R centré en 0, dans l’ensemble F(I,R) des applications de I dans R, le
sous-ensemble des applications paires (resp. impaires) est un sous-espace vectoriel de F (I,R).
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