Sujets + Corrigés de bac TSTI2D

Les fonctions exponentielles
NB : Ce document est simplement une compilation du site http: // www. apmep. fr/
1
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Benoît LANDRIEU
Lycée Vaucanson 2016-2017
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TSTI2D
2
Table des matières
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
BAC STI2D Métropole Juin 2013 Exercice 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
BAC STI2D Métropole Juin 2013 Exercice 2 CORRECTION . . . . . .
BAC STI2D Métropole Sept 2013 Exercice 4 . . . . . . . . . . . . . . .
BAC STI2D Métropole Sept 2013 Exercice 4 CORRECTION . . . . . .
BAC STI2D Nouvelle Calédonie Mars 2014 Exercice 4 . . . . . . . . .
BAC STI2D Nouvelle Calédonie Mars 2014 Exercice 4 CORRECTION
Concours d’entrée ENI Geipi STI2D/STL 13 mai 2015 . . . . . . . . .
Corrigé Concours d’entrée ENI Geipi STI2D/STL 13 mai 2015 . . . .
BAC STI2D Polynésie Juin 2015 Exercice 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
BAC STI2D Polynésie Juin 2015 Exercice 3 CORRECTION . . . . . . .
3
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1 BAC STI2D Métropole Juin 2013 Exercice 2
On éteint le chauffage dans une pièce d’habitation à 22 h. La température y est alors de 20 řC.
Le but de ce problème est d’étudier l’évolution de la température de cette pièce, puis de calculer l’énergie dissipée à l’extérieur, au cours
de la nuit, de 22 h à 7 h le lendemain matin.
On suppose, pour la suite du problème, que la température extérieure est constante et égale à 11 řC.
On désigne par t le temps écoulé depuis 22 h, exprimé en heures, et par f (t ) la température de la pièce exprimée en řC. La température de la pièce est donc modélisée par une fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 9]
Partie A :
1. Prévoir le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 9]. On admet désormais que la fonction f est définie sur l’intervalle [0 ; 9] par
f (t ) = 9e−0,12t + 11.
2. Donner une justification mathématique du sens de variation trouvé à la question précédente.
3. Calculer f (9). En donner la valeur arrondie au dixième puis interpréter ce résultat.
4. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’heure à partir de laquelle la température est inférieure à 15 řC.
5. Retrouver le résultat précédent en résolvant une inéquation.
Partie B :
Le flux d’énergie dissipée vers l’extérieur, exprimé en kilowatts (kW), est donné par la fonction g telle que, pour tout nombre réel t
de l’intervalle [0 ; 9],
g (t ) = 0, 7e−0,12t .
L’énergie E ainsi dissipée entre 22 h et 7 h, exprimée en kilowattheures (kWh), s’obtient en calculant l’intégrale
∫
E=
9
g (t ) dt .
0
1. Calculer la valeur exacte de l’énergie dissipée.
2. En déduire une valeur arrondie de E à 0, 1 kWh près.
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2 BAC STI2D Métropole Juin 2013 Exercice 2 CORRECTION
Partie A :
1. La température extérieure est inférieure à celle de la pièce, la fonction f est donc décroissante.
2. Sur l’intervalle [0 ; 9], la fonction f est dérivable et :
f ′ (x) = 9 × (−0, 12)e−0,12t = −1, 08e−0,12t .
Pour tout réel t , e−0,12t > 0, donc sur [0 ; 9], f ′ (t ) < 0 : la fonction f est décroissante (strictement).
3. On a f (9) = 9e−0,12×9 + 11 = 9e−1,08 + 11 ≈ 14, 056 ≈ 14, 1 řC.
La température de la pièce est d’environ 14, 1 řC à 7 heures du matin.
4. Il faut trouver t tel que f (t ) < 15.
On trouve t > 6, 757, soit 4,757 h après 22 heures soit environ 4 h 47 min.
( )
4
4
5. f (t ) < 15 si et seulement si 9e−0,12t +11 < 15 ou 9e−0,12t < 4 ou e−0,12t < ou en prenant le logarithme −0, 12t < ln
et enfin
9
9
( )
4
ln
9
t>
≈ 6, 75775.
−0, 12
En retranchant les deux heures du jour précédent on obtient une heure égale à 4 h 46 min 30 s soit environ 4 h 47 min.
Partie B :
1. Une primitive sur l’intervalle [0 ; 9] de la fonction g est la fonction g définie sur cet intervalle par : G(t ) =
−
35 −0,12t
e
.
6
On a donc E =
à 0,1 près.
∫
9
0
g (t )dt = [G(t )]90 = G(9)−G(0) = −
0, 7 −0,12t
=
e
−0, 12
)
35 −0,12×9 35 −0,12×0 35 35 −1,08 35 (
e
+ e
=
− e
=
1 − e−1,08 ≈ 3, 852 ≈ 3, 9 kWh
6
6
6
6
6
2. En déduire une valeur arrondie de E à 0, 1 kWh près.
Benoît LANDRIEU
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3 BAC STI2D Métropole Sept 2013 Exercice 4
Un architecte veut établir les plans d’un hangar pour ballon dirigeable.
La forme de la façade avant de ce hangar et les points O, A, B, S, H et K sont donnés sur le schéma ci-dessous.
y
70
60
S
50
40
K
30
20
10
H
−60 B −50
−40
−30
−20
−10
O
10
20
30
40
50 A
x
Cette façade avant est symétrique par rapport au segment vertical [OS] et OH = 30 m.
Ø de la façade avant correspond à une partie de la représentation graphique d’une fonction définie sur l’intervalle [0 ; 60],
L’arc SA
dans un repère orthonormal direct d’origine O du plan, l’unité étant le mètre.
Le cahier des charges impose les quatre conditions suivantes :
• OS = 60 ;
• HK > 35 ;
• la fonction évoquée ci-dessus doit être strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 60] ;
• OA É 60.
Partie A - Étude d’une fonction numérique
1. Vérifier que la fonction f définie sur l’intervalle [0 ; 60] par
f (x) = 80 − 20e0,025x
vérifie les trois premières conditions du cahier des charges.
2. Déterminer, à l’aide de la calculatrice, la valeur décimale approchée à 10−1 près par excès du réel a qui vérifie f (a) = 0.
Vérifier que la quatrième condition du cahier des charges est remplie.
Partie B - Calcul d’intégrale et application
1.
(a) La fonction F est définie sur l’intervalle [0 ; 60] par
F (x) = 80x − 800e0,025x .
Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; 60].
(b) Calculer la valeur exacte de l’intégrale
∫
J=
55,5
f (x) dx
0
(c) Donner la valeur approchée, arrondie à 10−2 près de J .
2. On souhaite peindre la surface extérieure de la façade avant.
(a) Déterminer à 10−2 près l’aire de cette surface exprimée en m2 .
(b) La peinture utilisée pour peindre la surface extérieure de la façade avant est vendue en bidons de 68 litres. Sachant que
cette peinture a une propriété de recouvrement de 0, 2 mètre carré par litre, combien de bidons sont nécessaires pour
peindre la surface extérieure de la façade avant ?
Benoît LANDRIEU
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4 BAC STI2D Métropole Sept 2013 Exercice 4 CORRECTION
Partie A - Étude d’une fonction numérique
1. • OS = f (0) = 80 − 20e0 = 80 − 20 = 60.
• HK = f (30) = 80 − 20e0,025×30 = 80 − 20e0,75 ≈ 37, 7 > 35.
• f ′ (x) = −20 × 0, 025e0,025x = −0, 5e0,025x . Comme e0,025x > 0 quel que soit le réel x, f ′ (x) < 0 : la fonction f est strictement
décroissante sur [0 ; 60].
2. La calculatrice donne : f (55) ≈ 0, 9; f (56) ≈ −1, donc 55 < a < 56.
f (55, 4) ≈ 0, 1 et f (55, 5) ≈ −0, 1, donc 55, 4 < a < 55, 5.
OA = a ≈ 55, 5, donc la quatrième est remplie.
Partie B - Calcul d’intégrale et application
1.
(a) On calcule sur [0 ; 60] F ′ (x) = 80 − 800 × 0, 025e0,025x = 80 − 20e0,025x = f (x) : F est donc bien une primitive de f sur
l’intervalle [0 ; 60].
∫ 55,5
(
)
(b) J =
f (x)dx = [F (x)]55,5
= F (55, 5)−F (0) = 80×55, 5−800e0,025×55,5 − 80 × 0 − 800e0,025×0 = 4 440−800e1,387 5 +800 =
0
0
5 240 − 800e1,387 5 .
(c) J ≈ 2 036,14.
2. L’aire A de la surface à peindre est égale à :
(a) A = 2J ≈ 2 × 2 036,14, soit A ≈ 4 072,28 m2 .
(b) Un bidon permet de peindre 68 × 0, 2 = 13, 6 m2 .
4 072,28
≈ 299, 4.
Pour peindre 4 072,28 m2 il faudra donc :
13, 6
Il faudra donc 300 bidons de peinture.
Benoît LANDRIEU
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5 BAC STI2D Nouvelle Calédonie Mars 2014 Exercice 4
Dans tout l’exercice, on désigne par R l’ensemble des nombres réels.
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repère
orthonormé du plan.
On note f ′ la fonction dérivée de f .
La courbe C passe par le point A (0 ; 5) et par le point B d’ abscisse 2.
La tangente TA à la courbe au point A passe par le point C(1 ; 1) et la tangente TB au point B est horizontale.
6
A
+
5
4
3
C
+
B
2
TB
C
+
1
TA
O
−1
1
2
3
4
PARTIE A :
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses
proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0, 5 point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question
et la réponse choisie.
1. La valeur de f (0) est :
a. −4
b. 4
c. 1,2
d. autre réponse
b. 4
c. 1,2
d. autre réponse
b. 2,1
c. 3
d. autre réponse
2. La valeur de f ′ (0) est :
a. −4
3. La valeur de f ′ (2) est :
a. 0
∫
2
4. Un encadrement de
∫
a. 3 É
f (x) dx par des entiers naturels est :
0
2
0
f (x) dx É 4
∫
b. 5 É
2
0
∫
f (x) dx É 7
c. 2 É
2
0
∫
f (x) dx É 5
d. 0 É
2
0
f (x) dx É 2
PARTIE B
La fonction f représentée dans la PARTIE A est définie sur R par :
(
)
f (x) = −x 2 − 2x + 2 e−x + 3.
Benoît LANDRIEU
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TSTI2D
1. On admet que la limite de la fonction f en +∞ est 3. Déterminer la limite de f en −∞.
2. On
par f ′ la fonction dérivée de la fonction f et on admet que pour tout nombre réel x appartenant à R, f ′ (x) =
( 2 désigne
)
x − 4 e−x .
(a) Étudier le signe de f ′ (x) suivant les valeurs de x.
(b) En déduire le tableau de variation de la fonction f .
3. On considère la fonction F définie sur R par
(
)
F (x) = x 2 + 4x + 2 e−x + 3x.
Vérifier que la fonction F est une primitive de la fonction f sur R.
4. On considère le domaine D du plan limité par la courbe C l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
(a) Calculer la valeur exacte de l’aire A , exprimée en unités d’aire, du domaine D.
(b) Donner une valeur approchée de A au centième.
Benoît LANDRIEU
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6 BAC STI2D Nouvelle Calédonie Mars 2014 Exercice 4 CORRECTION
Dans tout l’exercice, on désigne par R l’ensemble des nombres réels.
On donne ci-dessous une petite partie de la courbe représentative C d’une fonction f définie et dérivable sur R, dans un repère orthonormé du plan.
On note f ′ la fonction dérivée de f .
La courbe C passe par le point A (0 ; 5) et par le point B d’abscisse 2.
La tangente TA à la courbe au point A passe par le point C(1 ; 1) et la tangente TB au point B est horizontale.
6
A
+
5
4
3
C
B
1
+
D
TB
C
+
2
TA
−1
O
1
2
3
4
PARTIE A :
Dans ce questionnaire à choix multiples, aucune justification n’est demandée. Pour chacune des questions, une seule des réponses proposées est correcte.
Une bonne réponse rapporte 0, 5 point.
Une mauvaise réponse ou l’absence de réponses n’enlève ni ne rapporte aucun point. On notera sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.
1. La valeur de f (0) est :
a. −4
b. 4
c. 1,2
d. autre réponse
b. 4
c. 1,2
d. autre réponse
b. 2,1
c. 3
d. autre réponse
A(0 , 5)
2. La valeur de f ′ (0) est :
a. −4 y −y
m = xA −xC = 5−1
0−1
A
C
3. La valeur de f ′ (2) est :
a. 0 la tangente TB au point B est horizontale.
∫
2
4. Un encadrement de
f (x) dx par des entiers naturels est :
0
∫
a. 3 É
2
0
f (x) dx É 4
∫
b. 5 É
2
0
f (x) dx É 7
∫
c. 2 É
2
0
∫
f (x) dx É 5
d. 0 É
2
0
f (x) dx É 2
le rectangle dont une diagonale est [O ; B] a déjà une aire supérieure à 4
Benoît LANDRIEU
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PARTIE B
(
)
La fonction f représentée dans la PARTIE A est définie sur R par : f (x) = −x 2 − 2x + 2 e−x + 3.
1. On admet que la limite de la fonction f en +∞ est 3. Déterminons la limite de f en −∞.
(
)
(
)
lim −x 2 − 2x + 2 e−x + 3 = lim −x 2 − 2x + 2 × lim e−x = −∞ × +∞ = −∞.
x→−∞
x→−∞
x→−∞
2. On
par f ′ la fonction dérivée de la fonction f et on admet que pour tout nombre réel x appartenant à R, f ′ (x) =
( 2 désigne
)
x − 4 e−x .
(a) Étudions le signe de f ′ (x) suivant les valeurs de x. Puisque pour tout x appartenant à R, e−x est strictement positif, le
signe de f ′ (x) est celui de x 2 − 4. x 2 − 4 = (x − 2)(x + 2).
x + 2 > 0 si et seulement si x > −2, x − 2 > 0 si et seulement si x > 2.
x
x +2
x −2
x2 − 4
−∞
−2
0
−
−
+
+∞
2
+
−
−
0
0
0
+
+
+
Nous avons donc pour x ∈] − ∞ ; −2[ ou pour x ∈]2 ; +∞[, f ′ (x) > 0 et pour x ∈] − 2 ; 2[, f ′ (x) < 0.
(b) Étudions le sens de variation de f .
Si pour tout x ∈ I , f ′ (x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I . Pour x ∈] − 2 ; 2[, f ′ (x) < 0 par conséquent f est strictement décroissante sur cet intervalle.
Si pour tout x ∈ I , f ′ (x) > 0 alors f est strictement croissante sur I . Pour tout x ∈] − ∞ ; −2[ ou pour tout x ∈]2 ; +∞[,
f ′ (x) > 0, par conséquent, f est strictement croissante sur chacun de ces intervalles.
Dressons le tableau de variation de la fonction f .
x
−∞
f ′ (x)
+
−2
0
−
2
0
2 e2 +3
Variation
+∞
+
3
de f
−∞
3 − 6 e−2
3. On considère la fonction F définie sur R par
(
)
F (x) = x 2 + 4x + 2 e−x + 3x.
La fonction F est une primitive de la fonction f sur R lorsque F ′ = f .
(
) (
)
F ′ (x) = (2x + 4) e−x +(x 2 + 4x + 2) − e−x = 2x + 4 − x 2 − 4x − 2 e−x = (−x 2 − 2x + 2) e−x = f (x)
F est une primitive de f sur R.
4. On considère le domaine D du plan limité par la courbe C l’axe des abscisses et les droites d’équations x = 0 et x = 2.
(a) Calculons la valeur exacte de l’aire A , exprimée en unités d’aire, du domaine D. Pour tout x appartenant à[0 ; 2], f (x) est
∫ 2
positive, par conséquent l’aire du domaine plan D en unités d’aire est
f (x)dx.
0
∫ 2
[(
)
]2
A=
f (x)dx = x 2 + 4x + 2 e−x + 3x 0 = 14 e−2 +6 − (2) = 14 e−2 +4.
A vaut 14 e−2 +4 unités d’aire.
0
(b) Une valeur approchée de A au centième est alors 5,89 unités d’aire.
Benoît LANDRIEU
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7 Concours d’entrée ENI Geipi STI2D/STL 13 mai 2015
On considère la fonction f définie par :
1
.
e2x + 1
( →
)
−ȷ .
On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, −ı , →
pour tout réel x,
f (x) =
Partie A
1.
(a) Donner lim f (x) et lim f (x).
x→−∞
x→+∞
(b) On en déduit que C f admet deux asymptotes, notées ∆1 et ∆2 .
Donner leurs équations respectives.
2.
(a) f ′ désigne la dérivée de f .
2e2x
Justifier que, pour tout réel x, f ′ (x) = − (
)2 .
e2x + 1
(b) Dresser le tableau des variations de f .
3.
(a) Donner les valeurs de f (0) et de f ′ (0).
(b) Déterminer une équation de la tangente T0 à C f au point d’abscisse 0.
4. Tracer les droites ∆1 , ∆2 , T0 puis la courbe C f .
Partie B
On considère les intégrales I et J définies par
∫
I=
∫
1
1
dx
2x
−1 e + 1
et
J=
e2x
dx.
2x
−1 e + 1
1
1. On considère les fonctions h et H définies par :
pour tout réel x, h(x) =
e2x
e2x + 1
et H (x) =
)
1 ( 2x
ln e + 1 .
2
e2 + 1
= e2 .
e−2 + 1
(b) Justifier que H est une primitive de h.
(a) Justifier l’égalité :
(c) Déduire des questions précédentes que J = 1. Détailler le calcul.
2. Calculer la somme I + J . Détailler le calcul.
3. En déduire la valeur de I .
4. Hachurer, sur la figure de la question A 4., le domaine dont l’aire, en unités d’aire, vaut I .
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8 Corrigé Concours d’entrée ENI Geipi STI2D/STL 13 mai 2015
On considère la fonction f définie par :
pour tout réel x,
f (x) =
1
.
+1
e2x
( − →
)
On note C f la courbe représentative de f dans un repère orthonormé O, →
ı , −ȷ .
Partie A
1.
(a)
lim f (x) = 1 car lim e2x = 0
x→−∞
x→−∞
et lim f (x) = 0 car lim e2x +1 = +∞ et lim
x→+∞
X →+∞
x→+∞
1
= 0.
X
(b) On en déduit que C f admet deux asymptotes, notées ∆1 et ∆2 .
∆1 est asymptote à C f au voisinage de −∞ et a pour équation y = 1
∆2 est asymptote à C f au voisinage de +∞ et a pour équation y = 0.
2.
(a) f ′ désigne la dérivée de f .
f =
1
v′
par conséquent f ′ = − 2 . En posant v(x) = e2x +1 nous obtenons v ′ (x) = 2 e2x
v
v
2 e2x
pour tout réel x, f ′ (x) = − (
)2 .
e2x +1
(b) Pour tout x ∈ R,
positifs.
f ′ (x) < 0 comme opposé d’un nombre strictement positif étant quotient de deux réels strictement
Si pour tout x ∈ I f ′ (x) < 0 alors la fonction f est strictement décroissante sur I .
Pour tout x ∈ R,
f ′ (x) < 0 par conséquent f est strictement décroissante sur R
Dressons le tableau des variations de f .
x
−∞
f ′ (t )
Variation
−
+∞
1
de f
0
3.
(a) f (0) =
1
e0 +1
=
1
2
f ′ (0) = − (
2 × e0
1
)2 = − .
2
e0 +1
(b) Déterminons une équation de la tangente T0 à C f au point d’abscisse 0.
L’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse a est
y = f ′ (a)(x − a) + f (a).
1
1
Une équation de la tangente T0 à C f au point d’abscisse 0 est y = − (x) + .
2
2
4. Les droites ∆1 , ∆2 , T0 puis la courbe C f sont tracées ci-dessous.
Benoît LANDRIEU
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1,1
∆1
T0
1,0
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
∆2
−10
−9
−8
−7
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
7
8
−0,1
Partie B
On considère les intégrales I et J définies par
∫
I=
∫
1
1
dx
2x
−1 e + 1
et
J=
1
−1
e2x
dx.
+1
e2x
1. On considère les fonctions h et H définies par :
pour tout réel x, h(x) =
2
(a)
2
2
e +1
e +1 e +1
= 1
=
=
1+e2
e−2 +1
+1
2
e2
e
(
)
e2 × e2 +1
e2 +1
e2x
+1
e2x
et H (x) =
)
1 ( 2x
ln e + 1 .
2
= e2 . La relation est justifiée.
(b) H est une primitive de h lorsque H ′ =h. Calculons H ′ (x) ;
1 2 × e2x
e2x
H ′ (x) = × 2x
= 2x
= h(x).
2 e +1 e +1
H est une primitive de h sur R.
(c) Montrons que J = 1.
[
( 2
)
]
∫ 1
1
e2x
1 ( 2x ) 1
1 ( 2 ) 1 ( −2 ) 1
e +1
= ln e2 = ln e = 1
J=
dx =
ln e +1
= ln e +1 − ln e +1 = ln −2
2x +1
e
2
2
2
2
e
+1
2
−1
−1
2. Calculons la somme I + J .
)
[ ]1
∫ 1
∫ 1
∫ 1
∫ 1(
1
e2x
1 + e2x
I +J =
dx
=
dx
=
x
=2
dx
+
dx
=
2x
2x
2x
−1 e +1
−1
−1 e +1
−1 e +1
−1
3. Déterminons la valeur de I .
Nous savons que I + J = 2 et que J = 1. Par conséquent I = 1.
4. Sur [−1 ; 1], f est une fonction positive, l’aire du domaine plan délimité par la courbe, l’axe des abscisses et les droites d’équa∫ 1
1
tions x = −1 et x = 1 est en unités d’aire
dx c’est-à-dire I . Par conséquent le domaine dont l’aire, en unités d’aire,
2x
−1 e +1
vaut I est la partie hachurée sur la figure de la question A 4.
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9 BAC STI2D Polynésie Juin 2015 Exercice 3
Un pont à une seule arche d’une longueur de 16 m enjambe une route à double circulation.
La figure ci-dessous donne une vue de l’une des deux façades de ce pont (1 unité représente 1 mètre).
La partie supérieure du pont est à une hauteur de 5 m au-dessus de la route.
La partie de l’axe des abscisses comprise entre -8 et 8 représente la chaussée sur laquelle sont délimitées les zones de circulation
des piétons, des cyclistes et des véhicules motorisés.
y
5
4
3
(C )
2
1
B
A
−8
−7
−6
−5
−4
Zone piétons Piste cyclable
−3
−2
O
−1
−1
Véhicules motorisés
1
2
3
Véhicules motorisés
4
5
6
7
8
x
Piste cyclable Zone piétons
A– Étude de la fonction représentée par la courbe(C )
Soit la fonction f définie, pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8], par
(
)
f (x) = k − 0, 5 e0,2x + e−0,2x
où k désigne un entier naturel fixé.
On note (C ) sa courbe représentative, donnée ci-dessus dans le repère orthonormé (O, A, B).
1. Déterminer graphiquement f (0). En déduire que pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8] :
(
)
f (x) = 5 − 0, 5 e0,2x + e−0,2x .
2. En tenant compte du fait que l’on doit laisser une hauteur de sécurité de 50 cm, quelle doit être la hauteur maximale exprimée
en mètre d’un véhicule motorisé pour qu’il puisse passer sous le pont ? On arrondira le résultat à 10−1 .
(
)
3. Montrer que la fonction f ′ dérivée de la fonction f est définie, pour tout réel x de l’intervalle [−8 ; 8], par f ′ (x) = 0, 1 e−0,2x 1 − e0,4x .
4. Étudier le signe de f ′ (x) sur [−8 ; 8]. En déduire le tableau de variation de f sur [−8 ; 8].
B– Calculs d’aires
La façade du pont est la partie grisée représentée sur la figure précédente.
∫
)
e0,2x + e−0,2x dx.
−8
(
)
2. Vérifier que l’aire de la façade exprimée en m2 vaut 5 e1,6 − e−1,6 .
1. Calculer la valeur exacte de l’intégrale I =
8
(
3. On veut peindre les deux façades du pont. En déduire l’aire S exprimée en m2 de la surface totale à peindre ; en donner une
valeur en m2 approchée à 10−2 près.
4. La peinture utilisée pour peindre les façades du pont est vendue par bidon de 5 litres.
Sachant que cette peinture a une propriété de recouvrement de 3 m2 par litre, combien de bidons sont nécessaires pour
recouvrir les deux faces de cette construction ?
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10 BAC STI2D Polynésie Juin 2015 Exercice 3 CORRECTION
A– Étude de la fonction représentée par la courbe(C )
1. f (0) = 4.
(
)
Or f (0) = 4 ⇐⇒ k − 0, 5 e0 + e0 = 4 ⇐⇒ k − 0.5 × 2 = 4 ⇐⇒ k = 5
( 0,2x
)
Donc on a bien : f (x) = 5 − 0, 5 e
+ e−0,2x
(
)
2. f (4) = f (−4) = 5 − 0, 5 e0,8 + e−0,8 ≈ 3, 7 à 10−1 près.
Cette valeur correspond à la hauteur sous le pont en bordure de chaussée pour véhicules motorisés.
En tenant compte de la hauteur de sécurité de 50 cm, on en déduit que la hauteur maximale exprimée en mètre d’un véhicule
motorisé pour qu’il puisse passer sous le pont est de 3, 2 mètres, à 10−1 près.
3. Pour tout réel x de [−8 ; 8], on a :
(
)
f ′ (x) = −0, 5 0, 2e0,2x − 0, 2e−0,2x = −0, 1e0,2x + 0, 1e−0,2x
Or
(
)
0, 1e−0,2x 1 − e0,4x = 0, 1e−0,2x − 0, 1e−0,2x e0,4x
= 0, 1e−0,2x − 0, 1e−0,2x+0,4x
= 0, 1e−0,2x − 0, 1e0,2x
= f ′ (x)
4. Pour tout réel x , le facteur 0, 1e−0,2x est strictement positif.
(
)
Donc f ′ (x) est du signe de 1 − e0,4x sur [−8 ; 8].
Or 1 − e0,4x > 0 ⇐⇒ e0,4x < 1 ⇐⇒ 0, 4x < ln 1 ⇐⇒ 0, 4x < 0 ⇐⇒ x < 0
Tableau de variation de f sur [−8 ; 8] :
x
−8
f ′ (x)
0
+
0
8
−
4
@
f (x)
f (−8)
@
@
R
f (8)
B– Calculs d’aires
∫ 8
( 0,2x
)
1. I =
e
+ e−0,2x dx
−8
]
[
1 −0,2x 8
1 0,2x
e
+
e
=
−0, 2 ) ( −8
( 0, 2
)
1 1,6
1 −1,6
1 −1.6
1 1,6
=
e −
e
−
e
−
e
0, 2
0, 2
0, 2
0, 2
)
1 ( 1,6
=
e − e−1,6
0, 1
2. L’aire de la façade exprimée en m2 vaut :
∫
A=
8
−8
(
)
5 − f (x) dx =
∫
−8
∫
=
8
8
−8
)))
(
(
(
dx
5 − 5 − 0, 5 e0,2x + e−0,2x
(
(
))
0, 5 e0,2x + e−0,2x dx
= 0, 5I = 0, 5 ×
)
(
)
1 ( 1,6
e − e−1,6 = 5 e1,6 − e−1,6
0, 1
(
)
(
)
3. S = 2 × 5 e1,6 − e−1,6 = 10 e1,6 − e−1,6 ≈ 47, 51 m2
4. Nombre de bidons nécessaires : N =
construction.
Benoît LANDRIEU
à 10−2 près.
S
≈ 3, 2 Donc 4 bidons seront nécessaires pour recouvrir les deux faces de cette
3×5
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