Feuille de TD n 4

IUT Info 1A
Année 2007-08
Période 1
F. Madelaine
J. Mailfert
D. Richard
Arithmétique
Feuille de TD n◦4
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Les polycopiés du cours, les feuilles de TD et quelques corrigés sont disponibles à
l’url suivante.
http ://laic.u-clermont1.fr/~fmadelaine/teaching/arithmetique.html
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Arithmétique modulaire
Exercice 1. a- Écrire les tables d’addition et de multiplication dans Z/7Z.
b- En déduire, dans Z/7Z, les inverses multiplicatifs des classes non nulles.
c- Montrer, sans calculer 6!, que 1.2.3.4.5.6 = −1 dans Z/7Z.
d- Soit p un nombre premier. Montrer que dans Z/pZ le produit des classes non nulles est
p − 1.
Exercice 2. a- Montrer que a est inversible dans Z/nZ si et seulement si a ∧ n = 1.
b- Montrer que n − 1 est son propre inverse dans Z/nZ.
c- Dans Z/10Z, quelles sont les classes inversibles ? Calculer leurs inverses.
d- Mêmes questions dans Z/12Z.
Exercice 3. Soient a = 1234 et b = 1235. On considère ab = 1523990. On veut inverser
α = 1237 dans Z/abZ
a- Vérifier que α est inversible dans Z/abZ.
b- Calculer α et α, la classe de α dans Z/aZ et dans Z/bZ respectivement.
c- Calculer α−1 dans Z/aZ et α
−1
dans Z/bZ.
d- En déduire l’inverse de α dans Z/abZ.
Exercice 4. a- Déterminer un couple d’entiers u et v tels que 7u + 11v = 1.
x ≡ 1 [7]
. On donnera le résultat sous la forme x ≡ x0 [n0 ]
b- Résoudre le système
x ≡ 5 [11]
avec x0 et n0 à déterminer.
y ≡ 5 [7]
c- En déduire les solutions du système
. On pourra étudier x0 + y0 , où y0
y ≡ 1 [11]
est une solution particulière.
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D’après les exercices redigés par M. Dumoutet, Mme More et M. Richard.
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feuille de TD n◦ 4
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Arithmétique
Cryptographie
Exercice 5. a- Vérifier que la suite SADF = {1, 3, 6, 13, 28, 63, 142, 290, 601, 1231, 2543, 5100}
constitue un sac à dos facile.
b- Quel est le message binaire représenté par le nombre 2931 à l’aide du sac-à-dos SADF .
c- Montrer que le nombre 3090 n’est associé à aucun message binaire issu du sac à dos
SADF .
Exercice 6. a- La suite SADD = {12, 30, 36, 66, 78, 84, 108, 120, 199, 250, 298, 351, 373} fournitelle un sac à dos facile ?
b- Prouver que, dans la méthode du sac à dos appliquée à SADD, le nombre 542 ne peut pas
représenter un message binaire. On remarquera que 542 est pair et que 542 ≡ 2 mod 3.
Exercice 7. a- Est-ce que la suite {1, 3, 6, 12, 24} fournit un sac à dos facile ?
b- Bob choisit le module N = 47 et le cadenas D0 = 11. Préciser la suite publiée par Bob.
c- Alice veut transmettre le message 11101. Par quel entier C compris entre 1 et 47 va-t-elle
le crypter ?
d- Déterminer la ”clef” D associée au cadenas D0 .
e- Décrypter C.
Exercice 8. Bob a rendu public le sac à dos difficile SD = {2084, 2563, 1269, 286, 2345} et
le module N = 2731. Alice a publié le nombre C = 236.
a- Si la clé privée de Bob est D = 764, calculer D0 tel que DD0 ≡ 1 mod 2731. Quel rôle a
joué D0 ?
b- Déterminer le sac à dos facile SF générant SD.
c- Evaluer C 0 = DC mod 2731.
d- Décrypter C.
Exercice 9. On assimile les lettres de l’alphabet francais aux 26 nombres 0, . . . , 25 comme
l’indique le tableau ci-dessous.
A
0
B
1
C
2
D
3
E
4
F
5
G
6
H
7
I
8
J
9
K
10
L
11
M
12
N
13
O
14
P
15
Q
16
R
17
S
18
T
19
U
20
V
21
Par exemple, H correspond au nombre 7. Avec la fonction f (x) = 17x + 14 mod 26, on
peut associer à chaque lettre une nouvelle : H deviendrait ainsi D car f (7) = 3 et 3 représente
D.
a- Coder le mot DEBUT.
b- Résoudre l’équation 17a ≡ 1 mod 26, a étant un entier naturel.
c- On appelle fonction de déchiffrage une fonction g telle que y = f (x) ⇐⇒ x = g(y).
Proposer une fonction g utilisant le nombre a.
d- Déchiffrer le mot VUB.
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etc.
...