Feuille de TD n 4

IUT Info 1A
Ann´ee 2007-08
P´eriode 1 Arithm´etique
F. Madelaine
J. Mailfert
D. Richard
Feuille de TD n◦4†
Les polycopi´es du cours, les feuilles de TD et quelques corrig´es sont disponibles `a
l’url suivante.
http ://laic.u-clermont1.fr/~fmadelaine/teaching/arithmetique.html
1 Arithm´etique modulaire
Exercice 1. a- ´ Ecrire les tables d’addition et de multiplication dans Z/7Z.
b- En d´eduire, dans Z/7Z, les inverses multiplicatifs des classes non nulles.
c- Montrer, sans calculer 6!, que 1.2.3.4.5.6 = −1 dans Z/7Z.
d- Soit pun nombre premier. Montrer que dans Z/pZle produit des classes non nulles est
p−1.
Exercice 2. a- Montrer que aest inversible dans Z/nZsi et seulement si a∧n= 1.
b- Montrer que n−1 est son propre inverse dans Z/nZ.
c- Dans Z/10Z, quelles sont les classes inversibles ? Calculer leurs inverses.
d- Mˆemes questions dans Z/12Z.
Exercice 3. Soient a= 1234 et b= 1235. On consid`ere ab = 1523990. On veut inverser
α= 1237 dans Z/abZ
a- V´erifier que αest inversible dans Z/abZ.
b- Calculer αet α, la classe de αdans Z/aZet dans Z/bZrespectivement.
c- Calculer α−1dans Z/aZet α−1dans Z/bZ.
d- En d´eduire l’inverse de αdans Z/abZ.
Exercice 4. a- D´eterminer un couple d’entiers uet vtels que 7u+ 11v= 1.
b- R´esoudre le syst`eme x≡1 [7]
x≡5 [11] . On donnera le r´esultat sous la forme x≡x0[n0]
avec x0et n0`a d´eterminer.
c- En d´eduire les solutions du syst`eme y≡5 [7]
y≡1 [11] . On pourra ´etudier x0+y0, o`u y0
est une solution particuli`ere.
†D’apr`es les exercices redig´es par M. Dumoutet, Mme More et M. Richard.
1

feuille de TD n◦4Arithm´etique
2 Cryptographie
Exercice 5. a- V´erifier que la suite SADF ={1,3,6,13,28,63,142,290,601,1231,2543,5100}
constitue un sac `a dos facile.
b- Quel est le message binaire repr´esent´e par le nombre 2931 `a l’aide du sac-`a-dos SADF .
c- Montrer que le nombre 3090 n’est associ´e `a aucun message binaire issu du sac `a dos
SADF .
Exercice 6. a- La suite SADD ={12,30,36,66,78,84,108,120,199,250,298,351,373}fournit-
elle un sac `a dos facile ?
b- Prouver que, dans la m´ethode du sac `a dos appliqu´ee `a SADD, le nombre 542 ne peut pas
repr´esenter un message binaire. On remarquera que 542 est pair et que 542 ≡2 mod 3.
Exercice 7. a- Est-ce que la suite {1,3,6,12,24}fournit un sac `a dos facile ?
b- Bob choisit le module N= 47 et le cadenas D0= 11. Pr´eciser la suite publi´ee par Bob.
c- Alice veut transmettre le message 11101. Par quel entier Ccompris entre 1 et 47 va-t-elle
le crypter ?
d- D´eterminer la ”clef” Dassoci´ee au cadenas D0.
e- D´ecrypter C.
Exercice 8. Bob a rendu public le sac `a dos difficile SD ={2084,2563,1269,286,2345}et
le module N= 2731. Alice a publi´e le nombre C= 236.
a- Si la cl´e priv´ee de Bob est D= 764, calculer D0tel que DD0≡1 mod 2731. Quel rˆole a
jou´e D0?
b- D´eterminer le sac `a dos facile SF g´en´erant SD.
c- Evaluer C0=DC mod 2731.
d- D´ecrypter C.
Exercice 9. On assimile les lettres de l’alphabet francais aux 26 nombres 0, . . . , 25 comme
l’indique le tableau ci-dessous.
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V etc.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 . . .
Par exemple, Hcorrespond au nombre 7. Avec la fonction f(x) = 17x+ 14 mod 26, on
peut associer `a chaque lettre une nouvelle : Hdeviendrait ainsi Dcar f(7) = 3 et 3 repr´esente
D.
a- Coder le mot DEBUT.
b- R´esoudre l’´equation 17a≡1 mod 26, a´etant un entier naturel.
c- On appelle fonction de d´echiffrage une fonction gtelle que y=f(x)⇐⇒ x=g(y).
Proposer une fonction gutilisant le nombre a.
d- D´echiffrer le mot VUB.
2