quelques définitions et propriétés géométriques

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QUELQUES DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES
affinité L'affinité de rapport k, réel non nul, de base B et de direction D
associe au point M le point M
1
tel que
→
M'M
1
= k
→
M'M où M' est le
projeté de M sur B parallèlement à D.
angle caractéristique d'un triangle A
1
B
1
C
1
inscrit dans un triangle ABC.
Soit P le pivot de A
1
B
1
C
1
( point de MIQUEL).
L'angle caractéristique est l'angle de la similitude qui transforme
A
1
B
1
C
1
en le triangle podaire de P.
anti-centre point de Mathot d'un quadrilatère inscriptible .
symétrique du centre du cercle circonscrit par rapport à
l'isobarycentre des sommets.
est le centre d'EULER du quadrilatère
centre de la symétrie qui fait passer du quadrilatère au quadrilatère
orthique.
antipode d'un point S du cercle circonscrit à un triangle . L'antipode de S est
le point diamétralement opposé à S.
axe anti-orthique droite qui passe par les pieds des bissectrices extérieures.
équation barycentrique : ( bc ) x + ( ca ) y + ( ab ) z = 0
axe central d'un trièdre
( ou centroïdal) droite commune aux plans contenant une arête du trièdre et la bissectrice intérieure de la face opposée.
axe de BROCARD
axe de HESSE droite passant par les deux centres isodynamiques. passe par le centre du cercle circonscrit et le point de LEMOINE.
axe de HESSE
axe de BROCARD passe par les points isodynamiques et le centre du cercle circonscrit d'un triangle et le point de LEMOINE.
axe de LEMOINE polaire du point de LEMOINE par rapport au cercle circonscrit
médiatrice du segment d'extrémités les centres isodynamiques
passe par les centres des cercles d'APOLLONIUS
perpendiculaire à l'axe de BROCARD
axe de SODDY droite passant par le centre du cercle inscrit, le point de
GERGONNE et les centres des cercles de SODDY, d'équation
barycentrique :
(c-b)(-a+b+c)² X + (a-c)(a-b+c)²Y + (b-a)(a+b-c)²Z = 0
axe orthique ABC est un triangle non rectangle, non isocèle.
A
1
B
1
C
1
est le triangle orthique de ABC
A
2
est le point commun à (BC) et (B
1
C
1
)
B
2
est le point commun à (CA) et (C
1
A
1
)
C
2
est le point commun à (AB) et (A
1
B
1
)
A
2
, B
2
, C
2
sont alignés sur l'axe orthique.
L'axe orthique est perpendiculaire à la droite d'EULER.
L'axe orthique est l'axe radical du cercle circonscrit et du cercle
d'EULER.
équation barycentrique : ( S
A
) x + ( S
B
) y + ( S
C
) z = 0
axe radical Ensemble des points qui ont la même puissance par rapport à deux
cercles non concentriques.
L'axe radical est perpendiculaires à la droite des centres.
bimédiane d'un tétraèdre: droite passant par les milieux de deux arêtes
opposées ( arêtes n'ayant pas une extrémités en commun )
d'un quadrilatère : droite passant par les milieux de deux côtés
opposés.

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birapport de quatre points le birapport de quatre points alignés A, B, C, D, distincts deux à
deux, est le nombre noté [A,B,C, D]: CA
CB : DA DB
centre d'EULER d'un quadr. ABCD est un quadrilatère.
Les cercles d'EULER de ABC, ABD, ACD, BCD ont un point
commun appelé centre d'EULER du quadrilatère.
centre de l'hyperbole équilatère qui passe par A, B, C, D.
centre de perspective voir perspecteur
centre d'une conique Le centre d'une conique à centre est sur les droites qui joignent les
milieux de deux cordes parallèles
centre radical de trois cercles. Point commun éventuel des trois axes radicaux
Il a même puissance par rapport aux trois cercles.
centres isodynamiques voir points isodynamiques
cercle d'ADAM A
1
, B
1
, C
1
sont les points de contact du cercle inscrit avec les côtés
d'un triangle ABC de point de GERGONNE G. Les parallèles en G
aux droites (A
1
B
1
), (B
1
C
1
), (C
1
A
1
) coupent les côtés de ABC en six
points qui sont sur le cercle d'ADAM qui a pour centre le centre du
cercle inscrit.
cercle d'APOLLONIUS k un réel, k ≠1. Le cercle d'APOLLONIUS
de rapport k du bipoint
( A , B ) est l'ensemble des points M du plan tels que : MA
MB = k.
Son centre est sur la droite (AB).
d'un triangle non isocèle: cercle ayant pour diamètre le segment
ayant pour extrémités les pieds des bissectrice intérieure et
extérieure d'un angle du triangle ( voir centres isodynamiques )
cercle de BROCARD (1
er
) cercle dont un diamètre a pour extrémités le centre du cercle
circonscrit et le point de LEMOINE ou point symédian.
cercle de CONWAY ABC est un triangle. On prolonge les trois côtés d'une longueur
égale à BC à partir de A, d'une longueur égale à AC à partir de B et
d'une longueur égale à AB à partir de C. Les six points obtenus sont
sur le cercle de CONWAY qui a le même centre que le cercle inscrit
dans ABC.
cercle de FUHRMANN cercle dont un diamètre a pour extrémités l'orthocentre et le point de
NAGEL.
circonscrit au triangle de FUHRMANN
cercle de KENMOTU A l'intérieur d'un triangle ABC on dispose de trois carrés de même
dimension ayant un sommet K en commun et tels que chaque carré a
deux sommets sur les côtés du triangle. K est le centre de
KENMOTU et le cercle passant par les points de contact le cercle de
KENMOTU.
cercle de LEMOINE
(premier cercle ) K est le point de LEMOINE d'un triangle ABC. Les parallèles en K aux côtés de ABC coupent les droites (AB), (BC), (CA) en six
points qui sont sur le premier cercle de LEMOINE.
Cette propriété caractérise le point de LEMOINE.
Le centre du cercle est le milieu de [OK] où O est le centre du cercle
circonscrit. ( X182)

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cercle de LEMOINE
( second cercle ) Les parallèles passant par le point de LEMOINE K aux côtés du tringle orthique coupent les côtés du triangle en six points qui sont
sur un même cercle de centre K, appelé second cercle de
LEMOINE.
cercle de MIQUEL cercle passant par les centres des quatre cercles circonscrits à
chacun des triangles d'un quadrilatère complet et par le point de
MIQUEL, point commun à ces quatre cercles.
cercle de MONGE Le cercle de MONGE d'une conique est l'ensemble des points
desquels les tangentes à la conique sont perpendiculaires.
cercle de TAYLOR Les projetés orthogonaux des pieds des hauteurs sur les côtés sont
sur un cercle dit cercle de TAYLOR.
cercle de TERQUEM d'un point P par rapport à un triangle ABC.
Les céviennes passant par P recoupent les côtés en A', B', C'.
Le cercle de TERQUEM est le cercle circonscrit à A', B', C'.
Il recoupe les côtés en A
1
, B
1
, C
1
et (AA
1
), (BB
1
), (CC
1
) sont
concourantes.
cercle d'EULER cercle qui passe par les milieux des côtés d'un triangle, les pieds des
trois hauteurs, les milieux des segments d'extrémités un sommet et
l'orthocentre H. ( cercle des neuf points ).
Il est tangent aux cercle inscrit et exinscrits du triangle.
Son rayon est la moitié de celui du cercle circonscrit, son centre est
le milieu du segment qui joint l'orthocentre et le centre du cercle
circonscrit.
cercle de VAN LAMOEN Les trois médianes d'un triangle forment une partition du triangle en
6 petits triangles dont les centres des cercles circonscrits sont sur le
cercle de VAN LAMOEN.
cercle de VECTEN ABC est un triangle. On construit à l'extérieur ( ou à l'intérieur ) des
carrés dont un côté est soit [BC], soit [CA], soit [AB]. Un cercle de
VECTEN est le cercle passant par les trois centres de ces carrés.
cercle orthocentroïdal cercle ayant pour diamètre le segment d'extrémités l'orthocentre et le
centre de gravité d'équation barycentrique :
S
A
x² + S
B
y² + S
C
z² – a² yz – b² zx – c² xy = 0
Le centre du cercle inscrit est dans ou sur le cercle orthocentroïdal.
cercle bissecteur
Un cercle bissecteur de deux de 2 cercles (C
1
) et (C
2
) est le cercle d'une inversion qui echange ces
deux cercles .
Si (C
1
) et (C
2
) sont sécants en A et B, il existe deux cercles
bissecteurs (W
1
), (W
2
); ils passent par A et B et les tangentes en A et
B sont les bissectrices des angles formés par les tangentes à (C
1
) et
(C
2
) en A et B. [DE p 325]
cercles de CLIFFORD C
1
, C
2
, C
3
, C
4
quatre cercles passant par un même point P
P
i,j
avec 1 ≤ i < j ≤4 le deuxième point commun à C
i
et C
j
.
C
i,j,k
le cercle passant par P
i,j
, P
j,k
, P
k,i
.
C
1,2,3
, C
1,2,4
, C
1,3,4
, C
2,3,4
passe par un même point P
1,2,3,4
.

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cercles de DROZ-FARNY O et H sont le centre du cercle circonscrit et l'orthocentre de ABC.
H
A
, H
B
, H
C
sont les pieds des hauteurs.
Le cercle de centre H
A
passant par O coupe (BC) en deux points , on
obtient de même 4 autres points. Les 6 points obtenus sont sur un
même cercle de centre H, c'est le premier cercle de DROZ-FARNY.
M
A
, M
B
, M
C
sont les milieux des côtés de ABC. Le cercle de centre
M
A
passant par H coupe (BC) en deux points, on obtient de même 4
autres points. Les 6 points obtenus sont sur un même cercle de
centre O, c'est le deuxième cercle de DROZ-FARNY.
Ces deux cercles ont le même rayon :
R 1 – 4 cos A
1
cos A
2
cos A
3
ou R est le rayon du cercle
circonscrit
cercles de JOHNSON Trois cercles ont le même rayon et passent par un même point M.
Les trois autres points d'intersection A, B, C de ces cercles deux à
deux sont sur un cercle de même rayon que les trois cercles.
Le quadrangle ABCM est orthocentrique.
cercles de LUCAS Les trois cercles de LUCAS d'un triangle sont trois cercles deux à
deux tangents extérieurement et chacun tangent intérieurement au
cercle circonscrit du triangle en un sommet.
cercles de MALFATTI ABC est un triangle. Les cercles de MALFATTI sont les trois
cercles tangents extérieurement deux à deux et chacun est tangent à
deux côtés du triangle.
cercles de NEUBERG ABC est un triangle, W l'un des deux points de BROCARD
(WAB = WBC = WCA = α ) L'ensemble des points C pour A, B, α
fixés est un cercle de NEUBERG.
cercles de SCHOUTE d'un point P par rapport à un triangle ABC non situé sur le cercle
circonscrit de ABC et non situé sur les droites support des côtés.
X, Y, Z sont les symétriques de P par rapport à (BC), (CA), (AB).
Les cercles de SCHOUTE sont les cercles circonscrits à BXC,
CYA, AZB. Ils ont un point commun qui se trouve sur le cercle
circonscrit à XYZ.
cercle des huit points d'un quadrilatère dont les diagonales sont perpendiculaires.
cercle passant par les milieux des côtés et les projetés orthogonaux
du point commun aux diagonales sur les côtés.
cercle des neuf points ou cercle d'EULER
cercles de SODDY Soient trois cercles tangents extérieurement deux à deux. Les deux
cercles de SODDY sont les cercles tangents à ces trois cercles, l'un
intérieurement , l'autre extérieurement.
cercles de STAMMLER d'un triangle ABC.
Cercles qui interceptent les droites (BC), (CA), (AB) selon des
cordes de longueurs respectives : a, b, c.
Les cercles de STAMMLER sont au nombre de 3 et leurs centres
sont les sommets d'un triangle équilatéral.

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cercles de TÜCKER Par une homothétie de centre le point L de LEMOINE de rapport
différent de 1, le triangle ABC a pour image A'B'C'. Les (A'B'),
(B'C'), (C'A') coupent les (AB), (BC), (CA) en six points qui sont
cocycliques sur un cercle dit de TÜCKER.
cercles d'YFF d'un triangles ABC sont trois cercles passant par un même point et
tangents à deux côtés ( éventuellement prolongés) du triangle
cercles de YIU ABC est un triangle dont aucun angle ne vaut 60°. A', B', C' sont les
symétriques de A, B, C respectivement par rapport à (BC), (CA),
(AB). Les cercles circonscrits à ABC', AB'C, A'BC passent par
l'orthocentre de ABC.
Les cercles circonscrits à AB'C', BA'C' et CA'B' passent par un
même point. Les six cercles sont les cercles de YIU.
cévienne droite passant par un sommet et coupant le support du côté opposé.
céviennes isotomiques Deux céviennes (AA') et (AA") sont isotomiques si leurs pieds A' et
A" sont symétriques par rapport au milieu de [BC]
Si trois céviennes sont concourantes en M, leurs céviennes
isotomiques sont aussi concourantes en M', appelé conjugué
isotomique de M.
conjugué isogonal ABC est un triangle, P un point différent des sommets.
Le conjugué isogonal de P est le point Q tel que :
(AC,AQ) = (AP,AB) [π] (BA,BP) = (BQ,BC)[π]
(CB,CP) = (CQ,CA) [π]
Si P a pour coordonnées trilinéaires x, y, z telles que xyz ≠ 0 alors
les coordonnées de Q sont : 1
x ; 1 y ; 1 z
Si P a pour coordonnées barycentriques u, v, w Q a pour
coordonnées barycentriques vw a², wu b² , uv c².
Le point de LEMOINE est le conjugué isogonal du centre de
gravité.
Le conjugué isogonal de l'orthocentre est le centre du cercle
circonscrit.
conjugué isotomique voir points isotomiques
conjugué P-Céva de Q Perspecteur du triangle cévian de P et du triangle anticévian de Q
coordonnées angulaires A, B, C sont trois points non alignés. Les coordonnées angulaires
d'un point M sont, en valeur absolue, les mesures des angles AMB,
BMC, CMA. Si M et C sont dans le même demi-plan de frontière
(AB), la première coordonnée est positive, sinon elle est négative
( de même pour les autres coordonnées) . Leur somme est 2π
coordonnées barycentriques A, B, C sont trois points non alignés. Les coordonnées
barycentriques d'un point M sont des nombres proportionnels aux
aires des triangles BMC, CMA, AMB. Si M et A sont dans le même
demi-plan de frontière (BC) l'aire de BMC est positive, sinon elle
est négative.
coordonnées normales A, B, C sont trois points non alignés. Les coordonnées normales
d'un point M par rapport à (ABC ) sont trois nombres proportionnels
aux distances x, y, z de M à (BC), (CA), (AB). Si M et A sont dans
le même demi-plan de frontière (BC) x est positive sinon x est
négative ( de même pour les autres coordonnées).Elles déterminent
un point et un seul.Si S est l’aire de ABC alors ax+by+cz=2S