Localisation d`une catégorie

Localisation d’un anneau
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Localisation simplicial à la Dwyer-Kann d’une catégorie
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BENZEGHLI Brahim
May 21, 2011
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1
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2
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3
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Anneau local
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
Un anneau local A est un anneau :
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
Un anneau local A est un anneau :
1
Commutatif
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
Un anneau local A est un anneau :
1
Commutatif
2
possédant un unique idéal maximal m.
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
Un anneau local A est un anneau :
1
Commutatif
2
possédant un unique idéal maximal m.
Remarque
∗ A/m est le corps résiduel de A
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Anneau local
C’est quoi un anneau local ?
Un anneau local A est un anneau :
1
Commutatif
2
possédant un unique idéal maximal m.
Remarque
∗ A/m est le corps résiduel de A
∗ le morphisme f : A → B avec A, B ∈ AnnLoc est tel que
f (mA ) = mB
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Exemples
Example
1
Tout corps k commutatif est un anneau local, mk = h0i .
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Exemples
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1
Tout corps k commutatif est un anneau local, mk = h0i .
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Exemples
Example
1
Tout corps k commutatif est un anneau local, mk = h0i .
a
b
2
Z(p) = { ; a, b ∈ Z et
∈ Q − Z} est un anneau
b
p
local avec mZ(p) = pZ(p) .
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Exemples
Example
1
Tout corps k commutatif est un anneau local, mk = h0i .
a
b
2
Z(p) = { ; a, b ∈ Z et
∈ Q − Z} est un anneau
b
p
local avec mZ(p) = pZ(p) .
3
Plus généralement:
{A est local } ⇔ {mA = {b ∈ A tq b−1 6∈ A} .
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Construction d’anneau local
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Construction d’anneau local
Comment construire un anneau local ?
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Construction d’anneau local
Comment construire un anneau local ?
Le procédé de localisation fait apparaitre de façon naturelle
des anneaux locaux.
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Construction d’anneau local
Comment construire un anneau local ?
Le procédé de localisation fait apparaitre de façon naturelle
des anneaux locaux.
Remarque
Si A admet un nombre fini d’idéaux maximaux, alors elle est
semi-local.
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Construction d’anneau local
Comment construire un anneau local ?
Le procédé de localisation fait apparaitre de façon naturelle
des anneaux locaux.
Remarque
Si A admet un nombre fini d’idéaux maximaux, alors elle est
semi-local.
C’est quoi une localisation d’un anneau ?
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Construction d’anneau local
Comment construire un anneau local ?
Le procédé de localisation fait apparaitre de façon naturelle
des anneaux locaux.
Remarque
Si A admet un nombre fini d’idéaux maximaux, alors elle est
semi-local.
C’est quoi une localisation d’un anneau ?
Une localisation consiste à rendre inversibles les éléments
d’une partie de l’anneau.
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Exemples
Example
Si on inverse tout les éléments d’un anneau intègre, on
obtient un corps des fractions.
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Exemples
Example
Si on inverse tout les éléments d’un anneau intègre, on
obtient un corps des fractions.
1 1 1 1
Localisation de Z en p = 5Z est Z[ , , , , ...]
2 3 7 11
Si on inverse tout les éléments de l’anneau intègre Z on
obtient le corps des fractions de Z qui est Q
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
1∈S
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
1∈S
∀x, y ∈ S, x.y ∈ S.
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
1∈S
∀x, y ∈ S, x.y ∈ S.
Definition
La localisation de A en S est la donnée d’un anneau S −1 A et
d’un morphisme ls : A → S −1 A tel que :
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
1∈S
∀x, y ∈ S, x.y ∈ S.
Definition
La localisation de A en S est la donnée d’un anneau S −1 A et
d’un morphisme ls : A → S −1 A tel que :
ls (S) ⊂ (S −1 A)∗
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Localisation
Definition
Un sous-ensemble S ⊂ A est dit une partie multiplicative de A
si :
0 6∈ S
1∈S
∀x, y ∈ S, x.y ∈ S.
Definition
La localisation de A en S est la donnée d’un anneau S −1 A et
d’un morphisme ls : A → S −1 A tel que :
ls (S) ⊂ (S −1 A)∗
∀f : A → B , si f (S) ⊂ B ∗ alors ∃!g : S −1 A → B tq f = g ◦ ls
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Localisation simplicial à la Dwyer-Kann d’une catégorie
Remarque
Remarque
Pour la construction d’un anneau local, on suit les mêmes
procédures de construction d’un corps des fractions, sauf que
A n’est pas forcément intègre ! Donc la relation d’équivalence
va être la suivante:
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Localisation simplicial à la Dwyer-Kann d’une catégorie
Remarque
Remarque
Pour la construction d’un anneau local, on suit les mêmes
procédures de construction d’un corps des fractions, sauf que
A n’est pas forcément intègre ! Donc la relation d’équivalence
va être la suivante:
∀a, a0 ∈ A, ∀s, s 0 ∈ S :
(a, s) ∼ (a0 , s 0 ) ⇔ ∃t ∈ S; t(s 0 a − sa0 ) = 0
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A- Module
Definition
Un A- module est un groupe abélien (M, ψ) tq
ψ : (a, m) 7→ am ∈ M, ∀(a, m) ∈ A × M vérifiant
∀a, a0 ∈ A, m, m0 ∈ M:
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A- Module
Definition
Un A- module est un groupe abélien (M, ψ) tq
ψ : (a, m) 7→ am ∈ M, ∀(a, m) ∈ A × M vérifiant
∀a, a0 ∈ A, m, m0 ∈ M:
a(m + m0 ) = am + am0 et (a + a0 )m = am + a0 m
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A- Module
Definition
Un A- module est un groupe abélien (M, ψ) tq
ψ : (a, m) 7→ am ∈ M, ∀(a, m) ∈ A × M vérifiant
∀a, a0 ∈ A, m, m0 ∈ M:
a(m + m0 ) = am + am0 et (a + a0 )m = am + a0 m
a(a0 m) = (aa0 )m
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A- Module
Definition
Un A- module est un groupe abélien (M, ψ) tq
ψ : (a, m) 7→ am ∈ M, ∀(a, m) ∈ A × M vérifiant
∀a, a0 ∈ A, m, m0 ∈ M:
a(m + m0 ) = am + am0 et (a + a0 )m = am + a0 m
a(a0 m) = (aa0 )m
1m=m
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Localisation d’un A-module
Comment localiser un A-module?
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Localisation d’un A-module
Comment localiser un A-module?
D’une manière analogue, on a:
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Localisation d’un A-module
Comment localiser un A-module?
D’une manière analogue, on a:
Definition
Si S est la partie multiplicative de A alors, si M est un
A-module, sa localisation S −1 M est un S −1 A- module muni
d’un morphisme A-linéaire f : M → S −1 M tel que pour tout
morphime A-linéaire M → N, ∃!S −1 M → N .
On a :
S −1 M ' M ⊗A S −1 A
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C’est quoi une catégorie ?
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C’est quoi une catégorie ?
Definition
Une catégorie C est la donnée d’une classe ob(C)
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C’est quoi une catégorie ?
Definition
Une catégorie C est la donnée d’une classe ob(C) dont les
éléments sont des objets
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C’est quoi une catégorie ?
Definition
Une catégorie C est la donnée d’une classe ob(C) dont les
éléments sont des objets et pour tout A, B ∈ ob(C), d’un
ensemble HomC (A, B)
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C’est quoi une catégorie ?
Definition
Une catégorie C est la donnée d’une classe ob(C) dont les
éléments sont des objets et pour tout A, B ∈ ob(C), d’un
ensemble HomC (A, B) dont les éléments sont des morphismes
ou flèches (HomC (A, B) = {f : A → B; A, B ∈ C}) menu
d’une loi unitaire et associative.
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C’est quoi un foncteur ?
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C’est quoi un foncteur ?
Definition
Soit C et D deux catéories, un foncteur covariant F de C dans
D est une règle qui a chaque objet A dans C associe un objet
F(A) dans D et a chaque morphisme f : A → B associe un
morphisme F(f ) : F(A) → F(B) tels que
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C’est quoi un foncteur ?
Definition
Soit C et D deux catéories, un foncteur covariant F de C dans
D est une règle qui a chaque objet A dans C associe un objet
F(A) dans D et a chaque morphisme f : A → B associe un
morphisme F(f ) : F(A) → F(B) tels que ∀A ∈ C, on a
F(1A ) = 1F (A) et ∀A, B, C ∈ C, si
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C’est quoi un foncteur ?
Definition
Soit C et D deux catéories, un foncteur covariant F de C dans
D est une règle qui a chaque objet A dans C associe un objet
F(A) dans D et a chaque morphisme f : A → B associe un
morphisme F(f ) : F(A) → F(B) tels que ∀A ∈ C, on a
F(1A ) = 1F (A) et ∀A, B, C ∈ C, si f ∈ Hom(A, B) et
g ∈ Hom(B, C ) alors F(g ◦ f ) = F(g ) ◦ F(f ).
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Petite catégorie
Definition
Soit U un univers, en particulier un ensemble des ensembles.
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Petite catégorie
Definition
Soit U un univers, en particulier un ensemble des ensembles.
Un ensemble S est U-petit s’il existe un élément U ∈ U et un
isomorphisme S → U.
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Petite catégorie
Definition
Soit U un univers, en particulier un ensemble des ensembles.
Un ensemble S est U-petit s’il existe un élément U ∈ U et un
isomorphisme S → U.
Une catégorie C est U-petite (ou petite tout court) si
l’ensemble des objets de C est isomorphe á un élément de U
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C’est quoi la localisation d’une catégorie?
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C’est quoi la localisation d’une catégorie?
Definition
Soit C une catégorie, et W une sous-catégorie de C. La
localisation de C par W ou la W-localisation de C est une
catégorie notée par C[W −1 ] obtenue par inversement des
flèches de la catégorie W, autrement dit, C[W −1 ] est la
catégore qui contient les mêmes objets que C mais ses flèches
sont tous inversibles.
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Localisation simplicial à la Dwyer-Kann d’une catégorie
Remarque
Remarque
Il y’a un foncteur universel p : C → C[W −1 ] qui envoit les
flèches de C, leurs images dans W sont inversibles.
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Remarque
Remarque
Il y’a un foncteur universel p : C → C[W −1 ] qui envoit les
flèches de C, leurs images dans W sont inversibles.
La sous-catégorie W de C est dit fermée si elle contient
exactement tout les fléches de C qui ont une image
inverse par le foncteur p.
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Localisation simplicial à la Dwyer-Kann d’une catégorie
Remarque
Remarque
Il y’a un foncteur universel p : C → C[W −1 ] qui envoit les
flèches de C, leurs images dans W sont inversibles.
La sous-catégorie W de C est dit fermée si elle contient
exactement tout les fléches de C qui ont une image
inverse par le foncteur p.
La cloture d’une sous-catégorie W est la plus petite
catégorie contenant W est vérfiant la définition
précidente.
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Nerf d’une catégorie
Definition
Soit C un objet de Cat, le nerf de C qu’on le note par N(C)
est un ensemble simplicial qui donné en degré n par
f
f
fn−1
0
1
→
X1 −
→
... −−→ Xn }
N(C )n = {X0 −
En faisons parcourir n dans N
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Nerf d’une catégorie
Definition
Soit C un objet de Cat, le nerf de C qu’on le note par N(C)
est un ensemble simplicial qui donné en degré n par
f
f
fn−1
0
1
→
X1 −
→
... −−→ Xn }
N(C )n = {X0 −
En faisons parcourir n dans N
Le foncteur N : Cat → Ens ∆ est l’outil qui permet de passer
d’une catégorie usuel vers une catégorie simplicial!
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Localisation simplicial
Definition
Soit C ∈ Cat et W une sous catégorie de C. Une localisation
simplicial standard de C avec respect de W est une catégorie
simpliciale L(C, W) ∈ sCat définit par
L(C, W) = F∗ C[F∗ F −1 ]
où F∗ C est la résolution standard de C
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Localisation simplicial
Definition
Soit C ∈ Cat et W une sous catégorie de C. Une localisation
simplicial standard de C avec respect de W est une catégorie
simpliciale L(C, W) ∈ sCat définit par
L(C, W) = F∗ C[F∗ F −1 ]
où F∗ C est la résolution standard de C
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Remarque
La localisation simplicial standard d’une catégorie admet
comme catégorie de ses composantes la localisation classique
de la même catégorie
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Remarque
La localisation simplicial standard d’une catégorie admet
comme catégorie de ses composantes la localisation classique
de la même catégorie autrement dit
π0 LC = C[W −1 ]
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Merci !!
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