Problèmes pour le jour 3

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Problèmes pour le jour 3
1) Ce problème vous permettra de vérifier quelques conjectures sur les nombres premiers.
a) En utilisant une méthode de votre choix (mais pas de calculatrice ni d’ordinateur),
construisez la table des nombres premiers inférieurs à 105. Calculez π (x) (le nombre
de nombres premiers inférieurs à x ) pour 105 et comparez ce résultat avec la
prédiction donnée par le théorème des nombres premiers qui dit que π ( x) ≈ x / log x .
a’) Vérifiez que pour tout n entre 1 et 10, il y a un nombre premier entre n 2 et (n + 1) 2 .
Quelles sont les valeurs de n pour lesquelles n 2 + 1 est un nombre premier ? On a
conjecturé que le premier énoncé est toujours vrai, alors que le deuxième est vrai pour
une infinité de valeurs de n (mais aucune des deux conjectures n’a été démontrée).
a) Trouvez la plus longue chaine de nombres premiers dont chaque terme est le double
du précédent augmenté de 1. Ce genre de chaîne s’appelle « chaîne de Cunningham ».
b’) Trouvez toutes les paires de nombres premiers jumeaux (qui diffèrent par 2) dans
votre table. Combien de paires y a-t-il ? Calculez la somme des réciproques de ces
nombres jusqu’à trois chiffres après la virgule. Comparez cette valeur avec 1.902,
valeur approximative de cette somme (connue sous le nom de constante de Brun).
a) (d’après le problème 152 de « 1001 problèmes en théorie classique des nombres »)
Montrez que si p et q sont deux nombres premiers jumeaux, alors la factorisation de
leur somme contient au moins 3 facteurs premiers (pas nécessairement distincts).
c’) Vérifiez que tout nombre pair supérieur à 2 et inférieur à 210 peut être écrit comme
somme de deux nombres premiers. La conjecture que cela est vrai pour tout nombre
pair s’appelle la conjecture de Goldbach (on ne sait pas encore si elle est vraie).
a) (d’après le problème 222 de « 1001 problèmes en théorie classique des nombres »)
Montrez que la conjecture de Goldbach est équivalente à la conjecture suivante :
«Tout entier supérieur à 5 peut s’écrire comme la somme de trois nombres premiers».
d’) Un nombre premier p est dit « premier de Sophie Germain » si 2 p + 1 est premier
aussi. Trouvez tous les nombres premiers de Sophie Germain dans votre table.
Démontrez que si p est un nombre premier de Sophie Germain de la forme 4n + 3 ,
alors 2 p − 1 , le nombre de Mersenne correspondant, est nécessairement composé.
Indice : La théorie des résidus quadratiques (prochaine conférence) pourrait être utile.
2) Quelques propriétés des nombres premiers (cas particuliers du théorème de Dirichlet)
a) En utilisant une méthode semblable à celle d’Euclide, démontrez qu’il existe une
infinité de nombres premiers de la forme 4m + 3 . Indice : considérez
N k = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ p k − 1
b) Démontrez qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 6m + 5 .
c) En utilisant le fait que tout nombre premier p de la forme 4m + 3 divisant une somme
de carrés parfaits divise chacun des nombres élevés au carré, démontrez qu’il existe
une infinité de nombres premiers de la forme 4m + 1 .Indice: M k = (3 ⋅ 5 ⋅ ... ⋅ p k ) 2 + 2 2
d) Démontrez qu’il existe une infinité de nombres premiers de la forme 10m + 1 en
considérant le nombre N = (11 ⋅ 31 ⋅ ... ⋅ (10k + 1)) 5 − 1 (avec 10k + 1 nombre premier).
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