Nombres et opérations - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Nombres et opérations
Claudie Chabriac, Jean-Marc Couveignes, Francis Rigal

Table des matières
1 Résumé de cours 3
1.1 Lesensemblesdenombres ............................... 3
1.1.1 Ensemblesetéléments ............................. 3
1.1.2 Approfondissement : Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Nombresréels ................................. 6
1.1.4 Entiersnaturels................................. 7
1.1.5 Entiersrelatifs ................................. 8
1.1.6 Nombresdécimaux .............................. 9
1.1.7 Nombresrationnels............................... 10
1.1.8 Nombresirrationnels.............................. 11
1.1.9 Un nombre et plusieurs formes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Règlesopératoires.................................... 12
1.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Prioritésopératoires .............................. 13
1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.1 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3.3 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.4 PGCD,PPCM ................................. 17
1.4 Calculsavecdesfractions................................ 17
1.4.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4.2 Multiplication.................................. 18
1.4.3 Division..................................... 18
1.4.4 Radicaux .................................... 19
1.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur . . . . . . . . . 19
1.5 Calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.1 Définition.................................... 20
1.5.2 Notation scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5.3 Règles opératoires avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.5.4 Approfondissement : Identités remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.6 Proportionnalité..................................... 22
1.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.7 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.1 Unitésdelongueur ............................... 25
1.7.2 Unités d’aire, unités de volume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.7.3 Échelles..................................... 27
1.7.4 Unités de masse, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1

1.7.5 Unités de durée, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.8 Tauxdevariation .................................... 31
2 Exercices 34
2.1 Lesensemblesdenombres ............................... 34
2.2 Règlesopératoires.................................... 36
2.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.4 Calculsaveclesfractions................................ 37
2.5 Calculs avec les puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.6 Calculer avec les irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.7 Proportionnalité..................................... 43
2.8 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
2.9 Tauxdevariation .................................... 47
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Chapitre 1
Résumé de cours
Le pouvoir des nombres fut d’autant plus respecté parmi nous qu’on n’y comprenait rien [Vol-
taire]
1.1 Les ensembles de nombres
Cette section commence par un rappel rapide de quelques notions générales sur les ensembles ;
elle est ensuite consacrée à une présentation des ensembles de nombres les plus importants.
1.1.1 Ensembles et éléments
Prenons l’exemple de l’équipe du TFC. Au sens mathématique, c’est un ensemble de joueurs.
L’équipe n’est pas elle-même un joueur. Les joueurs sont les éléments de l’équipe.
Prenons un autre exemple : dans le corps humain, la colonne est l’ensemble des vertèbres. Mais la
colonne vertébrale n’est pas une vertèbre. Les vertèbres sont ses éléments.
L’ensemble a souvent un nom (“le TFC”, “la colonne vertébrale”,...) ; mais on peut tout aussi bien,
pour le désigner, se contenter d’énumérer ses éléments.
Exemple : Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse sont les quatre vaches du père Bernard. On désigne
la même chose par :
•“Le troupeau de Bernard”
•“L’ensemble des vaches de Bernard”
•“L’ensemble {Blanchette ; Noiraude ; Câline ; Joyeuse}”.
Remarque : On notera qu’en français, il n’y a pas de différence de sens entre les phrases entendues
après un contrôle :
•“Tous les élèves ont la moyenne.”
•“Chaque élève a la moyenne.”
•“L’ensemble des élèves a la moyenne.”
En mathématiques, la dernière phrase n’a pas de sens. L’ensemble des élèves n’est pas un élève,
c’est un groupe de personnes, un objet abstrait. Il n’a donc pas pu faire le contrôle !
Ne pas confondre :
• ∈ signifie “appartient à” : il relie un élément à un ensemble ;
• ⊂ signifie “est inclus dans” : il relie deux ensembles.
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Si Aet Bsont deux ensembles, on note A×Bl’ensemble des couples (a, b)formés d’un élément
ade Aet d’un élément bde B. On dit que A×Best le produit cartésien des ensembles Aet B.
Par exemple si A={1,2}et B={?, •} alors A×B={(1, ?),(1,•),(2, ?),(2,•)}.
1.1.2 Approfondissement : Applications
Soient Aet Bdeux ensembles. Une application fde Adans Bassocie à tout élément de Aun
et un seul élément de B. Par exemple, si Aest l’ensemble des vaches de Bernard et Bl’ensemble
{blanche,noire,blonde,pie}, on peut définir l’application fde Adans Bqui à chaque vache associe
sa couleur. On dit que l’application fva de l’ensemble des vaches dans l’ensemble des couleurs.
Sachant que Blanchette est blanche, que Noiraude et Câline sont noires, et que Joyeuse est blonde,
on écrit f(Blanchette) = blanche, f(Noiraude) = noire, f(Câline) = noire, f(Joyeuse) = blonde.
On écrit souvent f:A → B pour signifier que fest une application de l’ensemble Adans
l’ensemble B.
L’écriture
f:A//B
Blanchette //blanche
Noiraude //noire
Câline //noire
Joyeuse //blonde
résume ces informations.
On dit que blanche est l’image de Blanchette. On dit que noire est l’image de Câline.
On dit que Noiraude et Câline sont les antécédents de noire.
Notons que tout élément de Aa une et une seule image par f.
En revanche, un élément de Bpeut avoir un antécédent, ou plusieurs antécédents, ou même aucun
antécédent par f. Ici, noire a deux antécédents, blanche en a un seul (c’est Blanchette), et pie n’a
aucun antécédent car Bernard n’a pas de vache pie.
Il faut bien distinguer la flêche simple →et la flêche talonnée 7→.
L’écriture f:A → B signifie que l’application fva de Adans B.
L’écriture f:Joyeuse 7→ blonde signifie que l’image de Joyeuse par fest blonde. Ceci peut
s’écrire aussi bien f(Joyeuse) = blonde.
Pour tout ensemble A, il existe une application très simple de Adans A: c’est l’application qui
à tout élément ade Aassocie l’élément alui-même. On l’appelle l’identité de A. On la note parfois
IdA.
On dit qu’une application f:A → B est injective si deux éléments distincts de Aont toujours
deux images distinctes. Autrement dit, un élément de Ba au plus un antécédent. Dans ce cas, on dit
aussi que fest une injection.
On dit qu’une application f:A→Best surjective si tout élément de Ba au moins un antécédent.
Dans ce cas, on dit aussi que fest une surjection.
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