Nombres et opérations - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Nombres et opérations
Claudie Chabriac, Jean-Marc Couveignes, Francis Rigal
Table des matières
1
Résumé de cours
1.1 Les ensembles de nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ensembles et éléments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Approfondissement : Applications . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.5 Entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6 Nombres décimaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.7 Nombres rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8 Nombres irrationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.9 Un nombre et plusieurs formes . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Règles opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Opérations élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Priorités opératoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Division euclidienne dans IN, PGCD . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Définition de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Techniques opératoires de la division euclidienne . . . . . .
1.3.3 Diviseurs et multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 PGCD, PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Calculs avec des fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Addition et soustraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Radicaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.5 Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur
1.5 Calculs avec des puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Notation scientifique d’un nombre décimal . . . . . . . . .
1.5.3 Règles opératoires avec des puissances . . . . . . . . . . .
1.5.4 Approfondissement : Identités remarquables . . . . . . . . .
1.6 Proportionnalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Suites et grandeurs proportionnelles . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Quatrième proportionnelle, produits en croix . . . . . . . .
1.7 Unités et changements d’unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.1 Unités de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.2 Unités d’aire, unités de volume . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.3 Échelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7.4 Unités de masse, densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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23
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25
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28
1.8
2
1.7.5 Unités de durée, vitesse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taux de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices
2.1 Les ensembles de nombres . . . . .
2.2 Règles opératoires . . . . . . . . . .
2.3 Division euclidienne dans IN, PGCD
2.4 Calculs avec les fractions . . . . . .
2.5 Calculs avec les puissances . . . . .
2.6 Calculer avec les irrationnels . . . .
2.7 Proportionnalité . . . . . . . . . . .
2.8 Unités et changements d’unités . . .
2.9 Taux de variation . . . . . . . . . .
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47
Chapitre 1
Résumé de cours
Le pouvoir des nombres fut d’autant plus respecté parmi nous qu’on n’y comprenait rien [Voltaire]
1.1
Les ensembles de nombres
Cette section commence par un rappel rapide de quelques notions générales sur les ensembles ;
elle est ensuite consacrée à une présentation des ensembles de nombres les plus importants.
1.1.1
Ensembles et éléments
Prenons l’exemple de l’équipe du TFC. Au sens mathématique, c’est un ensemble de joueurs.
L’équipe n’est pas elle-même un joueur. Les joueurs sont les éléments de l’équipe.
Prenons un autre exemple : dans le corps humain, la colonne est l’ensemble des vertèbres. Mais la
colonne vertébrale n’est pas une vertèbre. Les vertèbres sont ses éléments.
L’ensemble a souvent un nom (“le TFC”, “la colonne vertébrale”,...) ; mais on peut tout aussi bien,
pour le désigner, se contenter d’énumérer ses éléments.
Exemple : Blanchette, Noiraude, Câline, Joyeuse sont les quatre vaches du père Bernard. On désigne
la même chose par :
• “Le troupeau de Bernard”
• “L’ensemble des vaches de Bernard”
• “L’ensemble {Blanchette ; Noiraude ; Câline ; Joyeuse}”.
Remarque : On notera qu’en français, il n’y a pas de différence de sens entre les phrases entendues
après un contrôle :
• “Tous les élèves ont la moyenne.”
• “Chaque élève a la moyenne.”
• “L’ensemble des élèves a la moyenne.”
En mathématiques, la dernière phrase n’a pas de sens. L’ensemble des élèves n’est pas un élève,
c’est un groupe de personnes, un objet abstrait. Il n’a donc pas pu faire le contrôle !
Ne pas confondre :
• ∈ signifie “appartient à” : il relie un élément à un ensemble ;
• ⊂ signifie “est inclus dans” : il relie deux ensembles.
3
Si A et B sont deux ensembles, on note A × B l’ensemble des couples (a, b) formés d’un élément
a de A et d’un élément b de B. On dit que A × B est le produit cartésien des ensembles A et B.
Par exemple si A = {1, 2} et B = {?, •} alors A × B = {(1, ?), (1, •), (2, ?), (2, •)}.
1.1.2
Approfondissement : Applications
Soient A et B deux ensembles. Une application f de A dans B associe à tout élément de A un
et un seul élément de B. Par exemple, si A est l’ensemble des vaches de Bernard et B l’ensemble
{blanche, noire, blonde, pie}, on peut définir l’application f de A dans B qui à chaque vache associe
sa couleur. On dit que l’application f va de l’ensemble des vaches dans l’ensemble des couleurs.
Sachant que Blanchette est blanche, que Noiraude et Câline sont noires, et que Joyeuse est blonde,
on écrit f (Blanchette) = blanche, f (Noiraude) = noire, f (Câline) = noire, f (Joyeuse) = blonde.
On écrit souvent f : A → B pour signifier que f est une application de l’ensemble A dans
l’ensemble B.
L’écriture
f:
/
A
Blanchette /
blanche
Noiraude /
Câline Joyeuse B
/
/
noire
noire
blonde
résume ces informations.
On dit que blanche est l’image de Blanchette. On dit que noire est l’image de Câline.
On dit que Noiraude et Câline sont les antécédents de noire.
Notons que tout élément de A a une et une seule image par f .
En revanche, un élément de B peut avoir un antécédent, ou plusieurs antécédents, ou même aucun
antécédent par f . Ici, noire a deux antécédents, blanche en a un seul (c’est Blanchette), et pie n’a
aucun antécédent car Bernard n’a pas de vache pie.
Il faut bien distinguer la flêche simple → et la flêche talonnée 7→.
L’écriture f : A → B signifie que l’application f va de A dans B.
L’écriture f : Joyeuse 7→ blonde signifie que l’image de Joyeuse par f est blonde. Ceci peut
s’écrire aussi bien f (Joyeuse) = blonde.
Pour tout ensemble A, il existe une application très simple de A dans A : c’est l’application qui
à tout élément a de A associe l’élément a lui-même. On l’appelle l’identité de A. On la note parfois
IdA .
On dit qu’une application f : A → B est injective si deux éléments distincts de A ont toujours
deux images distinctes. Autrement dit, un élément de B a au plus un antécédent. Dans ce cas, on dit
aussi que f est une injection.
On dit qu’une application f : A → B est surjective si tout élément de B a au moins un antécédent.
Dans ce cas, on dit aussi que f est une surjection.
4
On dit qu’une application f : A → B est bijective si elle est à la fois injective et surjective.
Autrement dit, tout élément de B a un et un seul antécédent. Dans ce cas, on dit aussi que f est une
bijection.
Si f : A → B est une bijection, alors pour tout élément b de B on note f −1 (b) l’unique antécédent
de b par f . Cela permet de définir une application f −1 : B → A qui est aussi bijective. On l’appelle
l’application réciproque de la bijection f .
Soient A, B et C trois ensembles. Soit f : A → B une application de A dans B. Soit g : B → C
une application de B dans C. On définit alors une nouvelle application notée g◦f , et appelée composée
de f et g, de la façon suivante :
g◦f :
/
A
a
C
/ g(f (a)).
Autrement dit, g ◦f est une application de A dans C et si a est un élément de A, on obtient l’image
de a par g ◦ f en appliquant f à a puis en appliquant g à f (a).
Si f : A → B est une bijection et si f −1 : B → A est son application réciproque, alors la
composée f −1 ◦ f : A → A est l’application identité de A.
De même la composée f ◦ f −1 : B → B est l’application identité de B.
Un exemple : on suppose que A = {1, 2, 3}, B = {a, b, c, d}, et C = {X, Y, Z}. On définit les
applications f et g par
f:
/
A
B
1
/
2
/
3
b
/
a
d
et
g:
/
B
C
a
/
b
/Y
c
/Y
d
/X
5
Z
On observe que f est injective mais non surjective (car c n’a pas d’antécédent par f ).
Au contraire g est surjective mais non injective (car g(b) = g(c) = Y ).
On vérifie que la composée g ◦ f est
g◦f :
/
A
1
/
2
C
Y
/Z
3
/
X
Notons que g ◦ f est une bijection entre A et B. On pose h = g ◦ f . Décrivons l’application
réciproque h−1 .
h−1 :
C
/A
X
/
3
Y /
1
Z
/
2
Si A et B sont deux ensembles, une fonction f de A dans B associe à certains éléments de A un
unique élément de B. Elle n’associe rien du tout aux autres éléments de A. Appelons D l’ensembles
des éléments de A auxquels f associe un élément de B. On dit que D est l’ensemble de définition de
f . On dit aussi que f est définie dans D
Par exemple, appelons i : x 7→ x−1 la fonction d’inversion . C’est une fonction de la variable
réelle x. Son ensemble de définition est IR∗ , l’ensemble des réels non-nuls.
1.1.3
Nombres réels
Sur une droite D donnée, on choisit une unité de longueur et un point particulier, que l’on appelle
O point origine.
Pour tout point M sur cette droite, on peut déterminer la distance OM . Pour indiquer la position
du point M sur cette droite, on peut déterminer la distance OM et le sens de parcours de O à M .
On choisit sur la droite une orientation. Si on va de O à M en suivant l’orientation de la droite,
on dira que l’abscisse du point M est +OM (elle est donc positive) ; si on va de O à M en suivant le
sens contraire de l’orientation de la droite, on dira que l’abscisse de M est −OM (l’abscisse de M
est alors négative.).
Les abscisses des points de la droite sont appelées les nombres réels (du latin res, la chose : ils
servent à repérer des “choses” concrètes sur la droite.).
6
o
(-1) (0)
I
M
(+1) (+2) (+3)
En mathématiques, l’ensemble des nombres réels (c’est-à-dire l’ensemble dont les éléments sont
tous les nombres réels) est noté IR ; celui des nombres positifs (ou nuls) s’appelle IR+ et celui des
nombres négatifs (ou nuls) s’appelle IR− .
On utilise la notation ∗ (étoile) pour indiquer que 0 n’est pas un élément de l’ensemble : IR∗ est
l’ensemble des nombres réels différents de zéro (on dit non nuls) ; IR∗+ est l’ensemble des nombres
réels positifs non nuls (c’est-à-dire strictement positifs) ; IR∗− est l’ensemble des nombres réels négatifs
non nuls (c’est-à-dire strictement négatifs).
1.1.4
Entiers naturels
Les entiers naturels sont les abscisses des points M que l’on peut construire à partir de O en
reportant la longueur OI, zéro, une ou plusieurs fois vers la droite. Il s’agit des nombres 0, 1, 2,... On
appelle donc entiers naturels, les nombres que l’on utilise pour compter : 0, 1, 2, 3, ... L’ensemble de
ces nombres est noté IN (IN comme Naturels).
La notation IN∗ désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls. On dit indifféremment :
• n est un entier naturel
• n est un élément de IN
• n ∈ IN (lire “n appartient à IN”).
Un entier naturel est décomposé en chiffres : les chiffres sont les signes qui permettent d’écrire
tous les nombres ; on en compte dix : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ainsi, la numérotation occidentale
moderne est une numérotation dite en base 10 ; cela signifie, entre autres, que l’on change de mots
lorsqu’on change de dizaine :
1
10
20
..
.
→ un
→ dix
→ vingt
100
1 000
10 000
..
.
→ cent
→ mille
→ dix mille
1 000 000
..
.
→ un million
.
1 000 000 000
→ un milliard
1 000 000 000 000 → mille milliards
Remarque : L’écriture en base 10 n’est pas une obligation ; beaucoup d’autres peuples avaient ou
ont encore une numérotation différente.
Pour simplifier les notations, on verra plus loin que le nombre 1 000 000 000 000 sera noté 1012
(puisqu’il comporte 12 zéros).
On appelle chiffre des unités le dernier chiffre d’un nombre naturel.
Exemple : Le chiffre des unités du nombre 23 567 est 7 .
7
De la même manière, on définit le chiffre des dizaines, des centaines, des milliers...
Attention ! Il ne faut pas confondre chiffre des dizaines et nombre de dizaines : Le chiffre des dizaines
de 23 567 est 6 alors que le nombre de dizaines de ce nombre est 2 356.
Opérations élémentaires sur les entiers
Les opérations élémentaires que l’on peut effectuer avec des entiers naturels sont : l’addition et la
multiplication (et leurs opérations complémentaires, la soustraction et la division).
Remarque : Il faut absolument savoir pratiquer parfaitement ces quatre types d’opérations ; ceci
implique qu’il faut, notamment, bien connaître les tables de multiplication.
À ces opérations est associé un vocabulaire spécifique : on dit la somme de deux entiers pour désigner leur addition, le produit pour la multiplication, la différence pour la soustraction et le quotient
pour la division ; enfin, le triple de ... désigne la multiplication par 3, le quart de... la division par 4,...
Propriété : La somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel.
En revanche, l’opposé d’un entier naturel non nul n’est pas un élément de IN : par exemple,
−5 ∈
/ IN.
1.1.5
Entiers relatifs
Les entiers relatifs (ou entiers tout court) sont les abscisses des points M que l’on peut construire
à partir de O en reportant la longueur OI autant de fois que l’on veut, d’un côté ou de l’autre du point
O. Il s’agit donc des nombres 0, 1, −1, 2, −2,...
L’ensemble des nombres entiers relatifs est noté ZZ (de l’allemand Zahl, le nombre). Comme pour
IR, on utilise ZZ+ pour l’ensemble des entiers positifs, ZZ∗ pour l’ensemble des entiers non nuls,...
Il résulte de la définition que les entiers naturels sont les entiers relatifs positifs. IN et ZZ+ sont
deux noms pour le même ensemble.
On appelle valeur absolue d’un nombre x (notée |x|) le nombre positif égal à x ou à −x.
Comparaison des entiers relatifs
Pour comparer des entiers relatifs, on applique les règles suivantes :
→ Entre deux nombres relatifs, un positif et l’autre négatif, le plus grand est le nombre positif ;
→ Entre deux nombres relatifs tous deux positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande
valeur absolue ;
→ Entre deux nombres relatifs tous deux négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite valeur
absolue.
Exemple : Le classement, dans l’ordre croissant des nombres −5 ; 4 ; 3 ; 1 ; −2 ; −9 est :
−9 < −5 < −2 < 1 < 3 < 4.
Propriété : La somme, la différence et le produit de deux entiers relatifs est un entier relatif.
Attention ! Le quotient de deux entiers relatifs n’est pas toujours un entier :
6
7
= 3 ∈ ZZ mais ∈
/ ZZ.
2
2
8
1.1.6
Nombres décimaux
Les nombres décimaux sont les nombres qui ont une écriture décimale (écriture “à virgule”), avec
un nombre fini de décimales (“de chiffres après la virgule”).
Exemple : Les trois nombres suivants sont décimaux :
7.28
Exemple :
1
3
−1
(= −0, 5)
2
3.
n’est pas un nombre décimal.
On note ID l’ensemble des nombres décimaux.
Les nombres entiers sont des décimaux (aucun chiffre après la virgule).
On appelle partie entière d’un nombre décimal positif, le nombre composé des chiffres situés à
gauche de la virgule de l’écriture décimale du nombre et partie décimale le nombre décimal auquel
on a enlevé sa partie entière.
Exemple : La partie entière du nombre 3,248 est 3, sa partie décimale 0,248.
Le chiffre des dixièmes d’un nombre décimal est le premier chiffre situé après la virgule dans
l’écriture décimale du nombre ; le chiffre des centièmes est le deuxième chiffre après la virgule ; celui
des millièmes le troisième...
Exemple : Le chiffre des centièmes de 3,248 est 4 mais le nombre de centièmes de ce nombre est 324.
Remarque : Ajouter des 0 à la droite de la partie décimale d’un nombre décimal ne change pas sa
valeur.
Arrondis à l’aide d’un nombre décimal
L’arrondi au dixième par excès d’un nombre positif est le plus petit nombre décimal supérieur
dont l’écriture décimale s’arrête au chiffre des dixièmes.
L’arrondi au dixième par défaut d’un nombre positif est le plus grand nombre décimal inférieur
dont l’écriture décimale s’arrête au chiffre des dixièmes.
L’arrondi d’un nombre positif est le plus proche des deux arrondis entre l’arrondi par excès et
l’arrondi par défaut. Autrement dit, lorsque l’écriture décimale a pour chiffre des centièmes 0, 1, 2,
3 ou 4, l’arrondi au dixième est l’arrondi par défaut et lorsque l’écriture décimale a pour chiffre des
centièmes 5, 6, 7, 8 ou 9, l’arrondi au dixième est l’arrondi par excès.
Les notions d’arrondis se généralisent, de manière évidente, aux centièmes, aux millièmes, ...
Comparaison des décimaux
Pour comparer deux décimaux positifs, on procède de la manière suivante :
9
→ On compare d’abord les parties entières des deux décimaux ; le plus grand est celui qui a la
plus grande partie entière.
→ Si les deux parties entières sont égales, on compare les chiffres des dizièmes des deux décimaux ; le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des dizièmes.
→ Si les deux chiffres des dizièmes sont aussi égaux, on compare les chiffres des centièmes des
deux décimaux ; le plus grand est celui qui a le plus grand chiffre des centièmes...
→ On procède ainsi jusqu’à trouver la première décimale différente dans les deux nombres.
Entre deux décimaux, il y a une infinité de décimaux. Aussi, la notion de “décimal qui suit immédiatement” (ou “décimal qui précède immédiatement”) un nombre donné n’a aucun sens.
Exemple : Le “décimal qui suit immédiatement le nombre 3,248 ne peut être :
• 3,2481 car 3,24801 est plus proche
• 3,24801 car 3,248001 est plus proche...
En continuant ainsi, on se rend compte que l’on peut toujours trouver un décimal (qui a un nombre
de chiffres après la virgule fini) plus proche de 3,248 : la procédure ne s’arrête jamais le nombre cherché n’existe pas.
1.1.7
Nombres rationnels
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’exprimer comme quotient (ou rapport, en lation
,... L’ensemble des entiers rationnels est noté Q (Q comme quoratio) de deux entiers comme 21 , −7
12
tient). Bien entendu, on utilise les notations Q∗ , Q+ , Q− , Q∗+ , Q∗− .
L’écriture ab où a est un entier et b un entier non nul, est appelée écriture fractionnaire du nombre
(ou plus simplement fraction) et elle n’est pas unique (par exemple 31 = 26 ). On appelle a le numérateur
de la fraction et b le dénominateur de la fraction.
Remarque : Le nombre rationnel ab peut être interprété concrètement de la façon suivante : sur b
parts (de gâteau par exemple), j’en ai pris a.
Les nombres entiers sont aussi des nombres rationnels. En effet, tout entier n peut s’écrire sous la
forme :
n
n= .
1
Les nombres décimaux aussi sont des rationnels, car ce sont les quotients d’un nombre entier (a)
par un entier (nombre fini de décimales). Par exemple, on peut écrire
7.28 =
728
.
100
En revanche, tous les rationnels ne sont pas décimaux : 13 , − 27 ne sont pas décimaux.
Propriété : Les nombres rationnels sont des nombres dont l’écriture décimale peut être infinie,
mais dont les décimales, à partir d’un certain rang, ont une période.
On détermine cette période en posant la division et en la poursuivant jusqu’à trouver un reste déjà
rencontré.
10
Exemple : Si on effectue la division de 533 par 700, on remarque qu’à partir de la troisième décimale
de ce nombre, on tombe sur un phénomène cyclique :
533
= 0, 76 142857 142857 · · ·
700
On note se nombre 0, 76 142857 (la période est soulignée et écrite qu’une fois ; on supprime les · · · )
Propriété : La somme, la différence, le produit et le quotient de deux nombres rationnels (dont
l’un non nul pour le quotient) est un nombre rationnel.
1.1.8
Nombres irrationnels
Tous les nombres réels ne sont pas √
rationnels
(loin √
de là !) Parmi les irrationnels (nombres réels
√
2
qui ne sont pas rationnels), on trouve : 2, 3, π, π , 5 − 3, − π1 ,... L’ensemble des nombres irrationnels est IR \ Q (qui se lit “IR privé de Q” ou bien “IR moins Q”).
Attention ! La somme ou le produit de deux irrationnels n’est pas toujours un irrationnel. Par
exemple :
(π + 1) + (−π) est un entier
√
√
3 × 3 = 3 est un entier
On peut toutefois énoncer quelques règles :
• √
La somme d’un rationnel et d’un irrationnel est toujours un irrationnel (par exemple π + 1,
2 − 3,...)
• Le produit d’un rationnel différent de zéro et d’un irrationnel est toujours un irrationnel ( 3π
,
2
√
2 5,...)
• L’inverse d’un irrationnel est un irrationnel ( π1 , 3+1√5 ,...)
√
• L’opposé d’un irrationnel est un irrationnel (−√ 7, −π,...)
√
√
• √
La racine carrée d’un entier est, soit entière ( 4 = 2, 49 = 7,...) , soit irrationnelle ( 2,
3,...)
1.1.9
Un nombre et plusieurs formes
Un nombre réel peut être représenté de plusieurs façons. Par exemple,
51
5, 1
=
= 10, 2
5
0, 5
Il faut bien comprendre que, quelle que soit la représentation adoptée, il s’agit toujours du même
nombre. En particulier,
• 51
est un nombre décimal,
5
√
• 9 est un nombre entier naturel,
• 45 est un nombre rationnel,
• 34.0 est un nombre entier.
Ces qualités (décimal, entier,...) sont celles du nombre lui-même et pas de sa représentation.
En résumé, il faut se souvenir que l’on a des ensembles emboîtés les uns dans les autres, comme
des “poupées russes” :
IN ⊂ ZZ ⊂ ID ⊂ Q ⊂ IR.
11
1.2
Règles opératoires
On donne ici un certain nombre de règles qui ne sont pas valables uniquement pour les entiers
naturels mais pour toute opération portant sur des nombres réels. Toutefois, dans un souci de simplicité, la plupart des exemples seront choisis avec des nombres entiers.
1.2.1
Opérations élémentaires
Addition de nombres réels
Règle :
Pour additionner deux nombres de même signe,
• On additionne leur distance à 0
• On met devant le résultat le signe commun aux deux nombres.
Pour additionner deux nombres de signes différents,
• On soustrait leur distance à 0
• On met devant le résultat le signe du nombre qui a la plus grande distance à 0.
Exemples :
• 7 + 2 = (+7) + (+2) = +9 (on additionne les deux nombres positifs +7 et +2.)
• −7 − 4 = (−7) + (−4) = −11 (on additionne les deux nombres négatifs −7 et −4.)
• 7 − 3 = (+7) + (−3) = +4 (on additionne le nombre positif +7 et le nombre négatif −3. Les
deux nombres sont de signes différents donc on soustrait les distances à zéro. La plus grande
distance à zéro est 7, le résultat est donc positif).
• −2 + 5 = +3 (on additionne le nombre négatif −2 et le nombre positif +5).
• −11 + 4 = −7 (on additionne le nombre négatif −11 et le nombre positif +4).
Soustraction de nombres réels
Règle :
Pour soustraire un nombre réel, on additionne son opposé.
Exemples :
• 5 − (−3) = 5 + (+3) = +8 (on additionne l’opposé de −3 qui est +3.)
• −11 − (−6) = −11 + (+6) = −5
Multiplication et division de nombres réels
Règle :
Le produit ou le quotient de deux nombres de même signe est un nombre positif. Le produit ou le
quotient de deux nombres de signes différents est un nombre négatif. Ceci permet de déduire qu’une
puissance paire d’un nombre négatif est positive et qu’une puissance impaire d’un nombre négatif est
négative.
Pour multiplier ou diviser deux nombres réels,
→ On applique la règle des signes
→ On multiplie ou on divise les deux distances à 0.
12
Exemples :
• (−2) × 6, 2 = −12, 4 ;
• (−5) × (−10) = 50 ;
−8
= (−8) ÷ (−2) = +4 ;
• −2
4,5
−6
• 3 = −2 ; −3
= −1, 5.
1.2.2
Priorités opératoires
Le calcul d’une opération est soumis à des règles de priorité :
En l’absence de parenthèses
Dans un calcul sans parenthèses,
a) on calcule en priorité les puissances,
b) puis les multiplications ou les divisions,
c) puis enfin les additions et les soustractions.
Exemples :
• 2 − 7 × 3 = 2 − 21 = −19
• 3 − 5 × 22 = 3 − 5 × 4 = 3 − 20 = −17.
Avec des parenthèses
Dans un calcul avec parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses. À l’intérieur
des parenthèses, on applique la règle ci-dessus.
Exemples :
• (2 − 9 − 7) − (4 − 5 − 3) = (−14) − (−4) = −14 + 4 = −10
• −10 − 5 × (2 − 6) = −10 − 5 × (−4) = −10 + 20 = 10
• (−35) ÷ (−7) + (−3) × 8 = 5 + (−24) = −19.
• 5 + 6 × (2 + 3 × 22 − 7). D’abord 2 + 3 × 22 − 7 = 2 + 3 × 4 − 7 = 2 + 12 − 7 = 7 puis
5 + 6 × (2 + 3 × 22 − 7) = 5 + 6 × 7 = 5 + 42 = 47.
Remarque : La multiplication et la division, ainsi que l’addition et la soustraction sont des opérations ayant même ordre de priorité ; cela vient du fait que la soustration n’est qu’une addition par
l’opposé et la division une multiplication par l’inverse.
Les opérations élémentaires (addition, multiplication) ont des propriétés qui permettent de faciliter les calculs : elles sont commutatives (cela signifie que l’on peut permuter l’ordre de deux termes
pour des opérations de même priorité) et associatives (cela signifie que l’on peut associer les termes
par “paquets” faciles à calculer pour des opérations de même priorité).
Exemple : Pour calculer le produit 4 × 6 × 25, la manière la plus rapide de procéder est de remarquer
que : 4 × 6 × 25 = 6 × 4 × 25 = 6 × (4 × 25) = 6 × 100 = 600 (on utilise d’abord la commutativité de
la multiplication pour permuter 4 et 6, puis son associativité pour calculer d’abord le “paquet” 4×25).
13
1.3
Division euclidienne dans IN, PGCD
La division euclidienne de deux entiers est la bonne vieille division, connue des étudiants depuis
l’école primaire. Elle s’avère toutefois très utile dans de nombreuses situations de la vie courante,
aussi bien que dans des problèmes algorithmiques (programmation informatique, par exemple). Cette
section a pour but de se refamiliariser avec cette technique.
1.3.1
Définition de la division euclidienne
Définition : La division euclidienne d’un nombre entier naturel n par un entier naturel non nul
d est l’opération :
n = d × q + r où 0 6 r < d
Le nombre n est appelé dividende, le nombre d diviseur, le nombre q quotient et le nombre r
reste.
Remarque : On trouve principalement deux types de problèmes utilisant la division euclidienne :
1) La division euclidienne est vue comme une suite de soustractions successives : on peut enlever
q fois le nombre d au nombre n de sorte que le résultat reste positif et r est le résultat de la dernière
soustraction.
Autrement dit, la division euclidienne de n par d, c’est chercher combien de fois je peux soustraire
d à n, et combien il me reste une fois que je ne peux plus soustraire.
Exemple : 786 = 8 × 98 + 4 donc, en effectuant les soustractions successives :
786 − 8 = 778
778 − 8 = 770
..
.
on peut faire 98 soustractions avant que le résultat soit inférieur strictement à 8 et le résultat de la
dernière soustraction est alors 4.
2) On utilise la division euclidienne pour résoudre des problèmes cycliques ; un exemple classique
de problème cyclique est le chiffre des unités d’une puissance d’un nombre quelconque.
Exemple : Quel est le chiffre des unités de mon capital au bout d’un an si je pars de 2 euros et que je
double mon capital chaque jour de l’année ?
P REUVE : Le deuxième jour, j’ai 4 euros, le troisième 8, le quatrième 16, le cinquième 32, le
sixième 64,... On remarque que les chiffres des unités sont : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, ... On se trouve donc
face à un cycle de longueur 4 ; on effectue alors la division euclidienne de 365 par 4 car, tous les 4
jours, on revient sur le même chiffre des unités :
365 = 4 × 91 + 1
donc le chiffre des unités de 2365 (= 2 × 2 × · · · × 2, notation vue plus tard) est le même que celui de
21 (2 à la puissance le reste de la division), c’est-à-dire 2.
2
14
La division euclidienne fait intervenir 2 nombres (dividende et diviseur) et donne 2 résultats (quotient et reste).
Lorsqu’on effectue la division euclidienne de 125 (dividende) par 7 (diviseur),
125 = 7 × 17 + 6,
17 est le quotient et 6 est le reste.
Suivant le problème posé, on peut s’intéresser à un seul des deux résultats ou aux deux :
Exemple : Je partage équitablement mes 15 chocolats entre mes 4 meilleurs copains et je mange
ceux qui restent.
Dans ce cas, les deux résultats sont intéressants : le nombre de chocolats récupérés par chacun de
mes copains, et aussi le nombre que je vais manger.
Exemple : On fait tourner une roue de la fortune comportant 36 graduations, elle tourne de 200
graduations avant de s’arrêter.
200 = 36 × 5 + 20 ; la roue a fait 5 tours et 20 graduations. Dans ce cas, seule la position finale
est importante car c’est elle qui définit le lot, si la roue avait effectué un ou deux tours de plus (236
ou 272 graduations), le lot serait le même. Elle aurait même pu ne tourner que de 20 graduations, le
reste de la division. 200, 236, 272, 20 donnent le même résultat.
Exemple : Dans une grande surface, le mardi, on a 3 euros de bons d’achats tous les 60 euros
d’achats. Sachant que ma note est de 537 euros, de quelle somme vais-je disposer en bons d’achats ?
Dans ce cas, le reste n’a pas d’importance, car il ne donne aucun bon d’achat. Par contre, on a
537 = 60 × 8 + 57 donc dans 537, il y a 8 fois 60, ce qui donne 8 bons d’achats (soit 24 euros).
1.3.2
Techniques opératoires de la division euclidienne
Lorsqu’on effectue la division euclidienne de n par d 6= 0, comme les entiers 0, d, d × 2, d × 3, ...
sont de plus en plus grands, il arrive un moment où on va “dépasser” n : le quotient q est précisément
le dernier entier pour lequel le produit ne “dépasse” pas n, c’est-à-dire que l’on a d × q 6 n et
d × (q + 1) > n. Pour le reste, on a alors r = n − d × q.
Exemple : Division euclidienne de 43 par 5
P REUVE : Les multiples successifs de 5 sont 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, ... On a donc
5 × 8 = 40 < 43 et 5 × 9 = 45 > 43. On en déduit donc que q = 8 et r = 43 − 40 = 3, soit
43 = 5 × 8 + 3.
2
Cette méthode s’avère très vite fastidieuse lorsque l’on est en présence de nombres plus grands,
comme par exemple n = 9163 et d = 38. Il est hors de question de déterminer tous les multiples de
38 jusqu’à 9163 ! Que faire alors ?
Un étudiant qui dispose d’une simple calculatrice, style téléphone mobile, va faire 9163 ÷ 38 et
va lire sur l’écran 241.1315789, ce qui signifie que 38 × 241 < 9163 < 38 × 242, ce qui donne
directement q = 241 et pour avoir r, il suffit alors de faire
9163 − 38 × 241 = 9163 − 9158 = 5.
Et sans calculatrice ? Il faut alors poser la division, comme à l’école primaire...
15
On rappelle la technique détaillée (avec les produits partiels et les soustractions successives) :
• Dans 9163, il y a 200 fois 38 et il reste 9163 − 38 × 200 = 9163 − 7600 = 1563
• Dans 1563, il y a 40 fois 38 et il reste 1563 − 40 × 38 = 1563 − 1520 = 43
• Dans 43, il y a 1 fois 38 et il reste 5.
Finalement, 9163 = 38 × 200 + [38 × 40 + (38 × 1 + 5)] = 38 × (200 + 40 + 1) + 5 = 38 × 241 + 5,
que l’on peut représenter :
9 1 6 3 3 8
− 7 6 0 0 2 0 0
1 5 6 3
− 1 5 2 0
4 0
4 3
− 3 8
1
5 2 4 1
Plus rapidement, on pose :
9 1 6 3 3 8
1 5 6
2 4 1
0 4 3
5
c’est-à-dire
• On calcule d’abord 2 × 38, on le soustrait de 91 (soit 15), puis on “abaisse” le 6 ;
• On calcule ensuite 4 × 38, on le soustrait de 156 (soit 4) puis on “abaisse ” le 3 ;
• On calcule enfin 1 × 38 que l’on soustrait de 43, ce qui donne le reste.
1.3.3
Diviseurs et multiples
Définition : Si n et d sont deux entiers naturels avec d non nul, on dit que n est un multiple de
d si le reste de la division euclidienne de n par d est nul ; dans ce cas, on dit aussi que d est un
diviseur de n. Cela signifie qu’il existe une entier naturel q tel que
n=d×q .
Exemple : 18 est un multiple de 3 car 18 = 3 × 6 et 3 est un diviseur de 18.
Il existe quelques critères simples pour découvrir les multiples des premiers entiers naturels :
• Les multiples de 2 sont les nombres pairs (dont le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8) ;
• Les multiples de 4 sont les nombres dont les deux derniers chiffres forment un nombre multiple
de 4.
Exemple : 1988 est un multiple de 4 car 88 est un multiple de 4 (88 = 4 × 22).
• Les multiples de 3 sont les nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 3.
Exemple : 1989 est un multiple de 3 car 1 + 9 + 8 + 9 = 27 et 2 + 7 = 9 où 9 est un multiple de 3.
• Les multiples de 9 sont les nombres dont la somme des chiffres est un multiple de 9.
Exemple : 1989 est un multiple de 9 car 1 + 9 + 8 + 9 = 27 et 2 + 7 = 9.
• Les multiples de 5 sont les nombres dont le chiffre des unités est égal à 0 ou 5.
16
• Les multiples de 11 sont les nombres dont la différence alternée des chiffres vaut 0.
Exemple : 2145 est un multiple de 11 car 2 − 1 + 4 − 5 = 0.
Par ailleurs, la divisibilité est une propriété transitive, c’est-à-dire que, si k divise d et si d divise
n, alors k divise n.
Exemple : 2 et 3 divisent 6 et 6 divise 18 donc 2 et 3 divisent 18.
Définition : → On appelle diviseur commun des entiers a1 , a2 , · · · , ap un nombre qui divise à
la fois a1 , a2 , · · · , ap .
→ On appelle multiple commun des entiers a1 , a2 , · · · , ap un nombre qui est à la fois multiple
de a1 , a2 , · · · , ap .
1.3.4
PGCD, PPCM
Définition : On appelle Plus Grand Commun Diviseur de deux nombres (noté P GCD) le diviseur des deux nombres qui soit le plus grand possible.
Définition : On appelle Plus Petit Commun Multiple de deux nombres (noté P P CM ) le multiple des deux nombres qui soit le plus petit possible.
Pour déterminer le P GCD de deux nombres, une des techniques les plus utilisées est l’algorithme
d’Euclide que l’on va maintenant énoncer. On commence par effectuer la division euclidienne du plus
grand des nombres par l’autre. Puis, à chaque étape, on divise le diviseur de l’étape précédente par le
reste. Le P GCD est alors le dernier reste non nul.
Remarque : Pour avoir le P P CM de deux nombres a et b, on utilisera alors le résultat admis très
pratique :
P GCD(a ; b) × P P CM (a ; b) = a × b.
Dans le cas de 15 et 8 :
→ On divise 15 par 8 : le quotient est 1, il reste 7 ;
→ On divise 8 par 7 : le quotient est 1, il reste 1 ;
→ On divise 7 par 1 : le quotient est 7, il reste 0.
Le dernier reste non nul est 1, donc P GCD(15 ; 8) = 1.
On a alors P P CM (15 ; 8) = 15×8
= 120.
1
Le P P CM peut s’avérer utile dans l’addition des fractions (section suivante) lorsqu’il faut réduire au même dénominateur...
1.4
1.4.1
Calculs avec des fractions
Addition et soustraction
Règle :
17
• Pour calculer la somme ou la différence de deux nombres en écritures fractionnaires, ces deux
nombres doivent obligatoirement être au même dénominateur. Alors,
→ On additionne ou on soustrait les numérateurs
→ On garde le dénominateur commun.
Si a, b, c sont des nombres relatifs ; c 6= 0,
a
c
+
b
c
=
a+b
c
;
a
c
−
b
c
=
a−b
c
Il est souvent possible (mais pas toujours), de trouver un dénominateur commun plus petit que le
produit des deux dénominateurs. En fait, le plus petit dénominateur commun est le P P CM des dénominateurs, mais il est parfois plus rapide de ne pas le calculer, quitte à ne pas avoir les plus simples
calculs !
Exemples :
•
17
25
•
−13
14
1.4.2
−
13
25
+
=
−4
7
17−13
25
=
4
25
−13
14
+
−8
14
=
−13
6
;
=
−21
14
=
+
−3
2
5
6
=
;
−13+5
6
=
5
6
1
2
−
−8
6
=
−4
3
5
6
−
3
6
=
=
2
6
= 31 .
Multiplication
Règle :
Pour multiplier deux nombres en écriture fractionnaire, on multiplie les numérateurs entre eux et
les dénominateurs entre eux, en respectant la règle des signes.
.
a, b, c, d sont des nombres relatifs, b 6= 0, d 6= 0, ab × dc = a×c
b×d
Cas particulier important : a ×
c
d
=
a×c
d
(car a = a1 ).
Exemples :
•
3
4
•
−8
9
7
5
=
3×7
4×5
×
−3
4
=
×
=
21
20
;
4×
8×3
9×4
=
2×4×3
3×3×4
= 32 .
−5
7
=
4×(−5)
7
=
−20
7
Il peut être judicieux, lorsqu’on n’a pas de calculatrice, de décomposer les différents facteurs et
simplifier avant de multiplier :
32 25
4×8 5×5
4×8×5×5
4×5
20
×
=
×
=
=
=
35
8
5×7
8
5×7×8
7
7
est préférable à :
32 25
800
80
40
20
×
=
=
=
= .
35
8
280
28
14
7
1.4.3
Division
Inverse d’un nombre
Définition : Deux nombres sont dits inverses lorsque leur produit est égal à 1.
Pour tout x 6= 0, l’inverse de x est x1 , noté aussi x−1 : x ×
18
1
x
= 1.
L’inverse de
a
b
est
b
a
;
a
b
×
b
a
= 1.
Exemples :
• L’inverse de 2 est 21
1
• L’inverse de −5 est −5
soit − 15
• L’inverse de 23 est 23 .
Quotient en écriture fractionnaire
Propriété : Diviser par un nombre (non nul), c’est multiplier par son inverse.
a
1
=a× .
b
b
Pour tous nombres a, b, c, d, b 6= 0, c 6== 0, d 6= 0,
a
b
÷
a
b
c
d
=
a
b
3×4
4×4×5
=
3
.
20
c
d
=
× dc .
Exemples :
3
4
2
3
=
3
4
• −4 ÷
−8
5
= −4 ×
•
÷
×
3
2
−4
5
= 89 ;
5
−8
=
4×5
8
÷
−2
7
= 52 ;
=
−4
5
3
16
5
4
×
=
7
−2
=
4×7
5×2
3
16
×
4
5
=
=
14
5
Remarque : Le mot fraction désigne seulement
une écriture du type ab . Le nombre ainsi représenté
√
n’est pas nécessairement rationnel. Ainsi, 23 est un nombre irrationnel, écrit sous la forme d’une fraction. Ainsi, les règles de calculs que l’on vient d’énoncer s’appliquent à toutes les fractions, qu’elles
représentent ou non un nombre rationnel.
1.4.4
Radicaux
Précisons le vocabulaire : le mot radical désigne une façon d’écrire
√ certains nombres. Par exemple,
2 est la racine carrée de 4, mais ce n’est un radical que si l’on écrit 4.
On rappelle les principales règles, lorsque a et b sont des réels positifs :
√
√
√
• √a × √ b = √ a × b
• √a + b 6= a + b (sauf si a ou √
b est nul)
• ( a)2 = a. (Attention ! si x < 0, x2 = −x)
1.4.5
Approfondissement : présence de radicaux au dénominateur
Dans l’écriture des fractions, on évite de laisser des radicaux au dénominateur.
→ Si le dénominateur est un radical, on simplifie en le multipliant par lui-même.
√
√
1
1× 2
2
√ = √
=
.
2
6
3 2
3( 2)
→ Si le dénominateur est une somme contenant des radicaux, on utilise alors la “quantité
conjuguée”. La quantité conjuguée de a + b est a − b : on fait alors apparaître un produit remarquable
19
a2 − b2 (voir section suivante), qui permet de se débarrasser des radicaux. Par exemple :
√
√
√
√
√
2 × ( 5 + 3)
2 × ( 5 + 3) √
2
√
√ = √
√
√
√ =
= 5 + 3.
5−3
5− 3
( 5 − 3) × ( 5 + 3)
1.5
1.5.1
Calculs avec des puissances
Définition
Soit a un nombre réel et n un nombre entier positif non nul,
a−n =
an = a
|×a×
{z· · · × a}
n fois
1
an
a0 = 1
Exemples :
• 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32, 2−1 = 211 = 12 , 81 = 9 × 9 = 92 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34
• 10000 = 104 , 10−3 = 0, 001, (−5)2 = (−5) × (−5) = 25,
1
1
• (−2)3 = (−2) × (−2) × (−2) = −8, −32 = −3 × 3 = −9, (−5)−2 = (−5)
2 = 25 .
Cas particulier : les puissances de 10
Soit n un entier positif,
10n = |10 × 10 ×
|
{z· · · 00}
{z · · · × 10} = 10000
1 suivi de n zéros
n fois
1
10−n =
= 0, 0000 · · · 001
|
{z
}
10 × 10 × · · · × 10
n zéros suivi de 1
1.5.2
Notation scientifique d’un nombre décimal
On rappelle qu’un nombre décimal est un nombre qui a une écriture décimale (écriture “à virgule”), avec un nombre fini de décimales (“de chiffres après la virgule”).
Plus précisément, on appelle nombre décimal un nombre réel qui peut s’écrire sous la forme :
x=
a
10n
où a est un entier relatif et n un entier naturel.
Exemple : Les trois nombres suivants sont décimaux :
728
728
−1
−5
−5
3
3
= 2 ;
=
= 1;
3 = = 0.
100
10
2
10
10
1
10
Ainsi, pour écrire les décimaux, on utilise souvent les puissances de 10. Attention : le nombre
2 000 000 se note 2 × 106 , et non 206 qui est égal à 20
{z · · · × 20} = 64 000 000.
| × 20 ×
7.28 =
6 fois
20
On appelle écriture scientifique d’un décimal, une écriture de la forme a × 10n où a est un décimal
dont la partie entière ne contient qu’un chiffre non nul et n est un entier positif ou négatif.
Exemples :
• Le nombre 0,00512 peut s’écrire 512 × 10−5 (car multiplier par 10−5 revient à “décaler” la
virgule de 5 positions vers la gauche) : son écriture scientifique est 5, 12 × 10−3 .
• Le nombre 124 000 000 peut s’écrire 124 × 106 (car multiplier par 106 revient à “décaler” la
virgule de 5 positions vers la droite) : son écriture scientifique est 1, 24 × 108 .
1.5.3
Règles opératoires avec des puissances
Pour a et b nombres réels, et m et n nombres entiers :
am × an = am+n
am
an
= am−n
Exemples :
312 ×3−5
• 2−5 × 27 × 22 = 2−5+7+2 = 24 = 16 ;
= 312−5−4 = 33
34
3
2
• 1010×10
= 103+2−(−4) = 109 = 1000000000
−4
(an )m = anm
Exemples :
(75 )2 ×7−4
= 710−4−6 = 70 = 1.
• (102 )−6 = 10−12 ;
76
• 46 × (25 )−2 = (22 )6 × 2−10 = 212 × 2−10 = 212−10 = 22
an × bn = (a × b)n
Exemple :
• 253 × 43 = (25 × 4)3 = 1003 = (102 )3 = 106 .
1.5.4
Approfondissement : Identités remarquables
→ Pour tous nombres réels a et b, (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 .
Cette identité remarquable peut permettre de calculer plus rapidement des carrés.
Exemple :
1022 = (100 + 2)2 = 1002 + 2 × 100 × 2 + 22 = 10 000 + 400 + 4 = 10 404.
→ Pour tous nombres réels a et b, (a + b)(a − b) = a2 − b2 .
Cette identité remarquable est utilisée pour la simplification d’écritures fractionnaires comportant
des radicaux (voir paragraphe 1.4.4).
21
1.6
Proportionnalité
1.6.1
Suites et grandeurs proportionnelles
On appelle suite de nombres un ensemble de nombres ordonné. Les nombres qui la composent
sont ses termes.
Deux suites de nombres sont dites proportionnelles si on peut passer des termes de l’une aux
termes de l’autre en multipliant (ou en divisant) par un même nombre non nul. Ce nombre est appelé
coefficient de proportionnalité (ou opérateur).
Exemple :
s1 4 6 8 10 12 14
s2 6 9 12 15 18 21
Les suites s1 et s2 sont proportionnelles, car on peut passer de s1 à s2 en multipliant tous les termes
par 1,5. Les quotients : 6/4 ; 9/6 ; 12/8 ; 15/10 ; 18/12 et 21/14 sont tous égaux à 1,5.
s3 4 6 8 10 12 14
s4 6 8 10 12 14 16
Les suites s3 et s4 ne sont pas proportionnelles, car les quotients : 6/4 ; 8/6 ; 10/8 ; 12/10 ; 14/12 et
16/14 ne sont pas égaux.
Deux grandeurs sont proportionnelles si les mesures de chacune d’entre elles forment deux suites
de nombres proportionnels.
Quand deux ou plusieurs suites proportionnelles sont représentées dans un tableau, on parle de
tableau de proportionnalité.
Exemple : Le tableau suivant donne la conversion de prix exprimés en euros, en francs suisses
Euros
100 350
70
:
Francs suisses 155 542, 5 108, 5
155
100
= 1, 55 ;
542,5
350
= 1, 55 ;
108,5
70
= 1, 55.
Ce tableau est un tableau de proportionnalité dont le coefficient est 1,55. Les sommes en francs
suisses sont proportionnelles aux sommes en euros et 1 euro vaut 1,55 francs suisses.
Dans un tableau, il y a donc proportionnalité quand les termes de la deuxième ligne s’obtiennent
en multipliant ceux de la première ligne par un même nombre. Ce nombre est le coefficient de proportionnalité.
Remarque : Sur un graphique, il y a proportionnalité quand tous les points sont alignés et la droite
passe par l’origine du repère.
Propriété intéressante : Lorsque deux grandeurs sont proportionnelles, elles varient dans les
mêmes proportions : si les valeurs de l’une deviennent deux fois, trois fois,... plus grandes, les valeurs
de l’autre deviennent aussi deux fois, trois fois,... plus grandes : deux colonnes seront donc également
proportionnelles
22
Exemple : Lorsqu’on achète de l’essence, le prix payé est proportionnel au nombre de litres. Par
exemple, 45 litres coûtent 3 fois plus que 15 litres. Si 15 litres d’essence coûtent 20,70 euros, alors 45
litres coûtent 20, 7 × 3 = 62, 10 euros.
Nombre de litres
Prix (en euros)
15
45
20, 70 62, 10
Autre propriété très utile : si ab = dc = k, alors a = kb et c = kd donc (a + c) = k(b + d) donc
la proportionnalité est conservée par addition de deux colonnes.
1.6.2
Quatrième proportionnelle, produits en croix
Dans un tableau de proportionnalité élémentaire (tableau à 2 lignes et 2 colonnes), le problème
est la recherche d’un quatrième nombre qui, avec trois nombres donnés formera une proportion. Ce
problème est souvent appelé recherche de la quatrième proportionnelle.
La règle du produit en croix est très efficace pour traiter ce problème :
c×b
Si ab = dc , alors a×d
= d×b
, et ces fractions égales ayant le même dénominateur, elles ont aussi des
b×d
numérateurs égaux, donc : a × d = c × b .
a c
, les nombres a et d sont parfois appelés les extrêmes ; les nombres b et c sont appelés
b d
les moyens. On traduit donc ainsi la règle du produit en croix :
Dans
Dans une proportion, les “produits en croix” (produit des extrêmes et produit des moyens)
sont toujours égaux. Inversement, si ces produits sont égaux, alors le tableau est un tableau de
proportionnalité : Si ab = dc , alors a × d = c × b
Si l’on cherche l’un des quatre nombres en connaissant les trois autres :
• Pour a : Si a × d = c × b, il suffit de diviser par d pour calculer a : a = c×b
d
• Pour b : Si a × d = c × b, il suffit de diviser par c pour calculer b : b = a×d
c
• Pour c : Si a × d = c × b, il suffit de diviser par b pour calculer c : c = a×d
b
• Pour d : Si a × d = c × b, il suffit de diviser par a pour calculer d : d = c×b
.
a
Exemples :
6 8
; Produit des extrêmes : 6 × 12 = 72 ; Produit des moyens : 9 × 8 = 72.
9 12
Ces produits sont égaux : il y a proportionnalité.
6 9
; Produit des extrêmes : 6 × 11 = 66 ; Produit des moyens : 7 × 9 = 63.
7 11
Ces produits ne sont pas égaux ; il n’y a pas proportionnalité.
Exemple : Trois boîtes de chocolats identiques coûtent 42,30 euros. Combien coûtent 8 boîtes ?
Combien peut-on acheter de boîtes avec 70,50 euros ?
P REUVE :
Soit x le prix de 8 boîtes.
23
nombre de boîtes
3
8
prix
42, 30 x
On a un tableau du type
a c
où a = 3, b = 42, 30, c = 8 et d = x.
b d
Il y a proportion, donc x = 8×42,30
On peut effectuer ce calcul en commençant par le quotient de
3
42,30 par 3, qui est égal à 14,10 euros et qui représente le prix d’une boîte (car le nombre 8 × 42, 30
ne représente rien d’intéressant).
Pour calculer le nombre de boîtes que l’on peut acheter avec 70,50 euros, il suffit de diviser 70,50
par 14,10 ; ce qui donne 5 boîtes.
2
Le calcul de la “quatrième proportionnelle” peut se faire de plusieurs façons :
Exemple : Un cycliste a parcouru 12 km en 40 min. S’ il continue à rouler à la même vitesse, quelle
distance aura-t-il parcourue au bout d’ une heure ?
temps
distance
40 min 60 min
12 km x km
• Méthode basée sur les produits croisés :
40 × x = 12 × 60 donc x =
12 × 60
720
=
= 18
40
40
Il aura donc parcouru 18 km au bout d’une heure.
• Méthode basée sur le coefficient de proportionnalité (“opérateur-ligne”) qui permet de passer de
la première ligne à la deuxième : 12÷40 = 0, 3 donc, pour passer de la première ligne (temps en min)
à la deuxième (distance parcourue, en km) on multiplie chaque terme par 0,3. C’ est le coefficient de
proportionnalité.
60 × 0, 3 = 18 : on retrouve le même résultat que précédemment.
Remarque : dans ce problème, le nombre 0,3 représente la distance parcourue en une minute. Le
cycliste parcourt 0,3 km (soit 300 m) en une minute ; donc en 1 h il parcourt 60 fois 0,3 km (règle de
trois), ce qui fait 18 km.
• Méthode basée sur le coefficient de proportionnalité (propriété “opérateur-colonne”) qui permet
de passer de la première colonne à la deuxième : 60 ÷ 40 = 1, 5 donc, pour passer de la première
colonne à la deuxième, on multiplie tous les termes par 1,5.
12 × 1, 5 = 18 : on arrive une nouvelle fois au même résultat.
Remarque : dans ce problème, ce coefficient 1,5 signifie que dans une heure il y a "une fois et
demie" 40 minutes ; en effet : 40 min + 20 min = 60 min. Donc, en 1 h, le cycliste parcourt :
12 km + 6 km = 18 km.
Les problèmes de proportions ne manquent pas dans la vie de tous les jours. Mais avant de les
résoudre, bien s’assurer que les grandeurs considérées sont proportionnelles...
24
1.7
Unités et changements d’unités
Lors des problèmes de proportionnalité évoqués à la section précédente, il arrive souvent que les
grandeurs considérées s’expriment avec une unité (distance, durée, masse, aire, volume,...) et que l’on
soit amené pour les résoudre à convertir ces unités (par exemple heures en minutes, ou kilomètres en
mètres).
1.7.1
Unités de longueur
L’unité standard est le mètre (m). Il en existe beaucoup d’autres.
Une unité de longueur est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.
On va considérer ici les plus utilisées, que l’on va ranger dans un tableau, par ordre décroissant de
mesure, en précisant la notation abrégée et le rapport avec le mètre.
unité kilomètre hectomètre décamètre mètre décimètre centimètre millimètre
abrégé
km
hm
dam
m
dm
cm
mm
valeur 1000 m
100 m
10 m
1m
0, 1 m
0, 01 m
0, 001 m
Pour passer d’une unité à une autre, on peut utiliser un tableau de conversion dans lequel on place
un chiffre par unité de mesure.
Exemple :
1
km hm dam m dm cm mm
3
5
0
0
0, 0
0
8 2
1,
5 0
0
13, 5 km = 13 500 m ;
1.7.2
8, 2 mm = 0, 0082 m ;
1 500 cm = 1, 5 dam.
Unités d’aire, unités de volume
L’unité d’aires standard est le mètre carré (m2 ) : le m2 est l’aire d’un carré de 1 m de côté. Comme
pour les longueurs, on peut ici aussi utiliser d’autres unités (que l’on écrit directement en abrégé) :
km2 ; hm2 ; dam2 ; cm2 ; mm2 pour lesquelles la même définition s’applique : le cm2 est l’aire d’un
carré de 1 cm de côté. On peut faire comme pour les longueurs un tableau avec ces unités rangées par
ordre décroissant de mesure mais ici, pour passer de l’une à l’autre, c’est un coefficient 100 qu’il faut
appliquer.
Une unité d’aire est égale à 100 fois l’unité immédiatement inférieure.
km2
hm2
dam2
m2
dm2
cm2
mm2
1 000 000 m2 10 000 m2 100 m2 1 m2 0, 01 m2 0, 0001 m2 0, 000001 m2
Ici aussi, pour faire les conversions d’unité, l’usage d’un tableau de conversion peut s’avérer utile
mais attention : il faut alors placer deux chiffres par case, c’est-à-dire par unité de mesure.
25
Exemple : Convertir 174, 6 dm2 en mm2 et dam2 .
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2
00, 01 74
60
00
174, 6 dm2 = 174 600 mm2 = 0, 01746 dam2 .
Aux unités d’aires précédentes, on peut ajouter une unité essentiellement utilisée pour des terrains : l’hectare (ha) qui n’a qu’une seule sous-unité utilisée l’are (a). Il faut savoir que 1 ha = 1 hm2
mais attention : 1 a = 1 dam2 et non 1 m2 .
Pour exprimer un volume, l’unité standard est le mètre cube (m3 ). Un m3 est le volume d’un cube
de 1 m de côté. Mais ici aussi, on peut utiliser des multiples et des sous-multiples du mètre cube.
Une unité de volume est égale à 1000 fois l’unité immédiatement inférieure.
Pour passer d’une unité à l’autre, on peut, ici aussi, utiliser un tableau de conversion dans lequel
on place alors trois chiffres par unité de mesure.
Le litre (l), ses multiples et ses sous-multiples sont d’autres unités de volume, appelées aussi
unités de capacité, car on utilise le terme de capacité quand on considère que l’intérieur du solide
peut être rempli. Mais attention :
Une unité de capacité est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.
On a la correspondance suivante : 1 litre = 1 dm3 .
Il s’ensuit alors 1 dal = 10 dm3 , 1 hl = 100 dm3 , 1 dl = 0, 1 dm3 = 100 cm3 , 1 cl = 10 cm3 et
1 ml = 1 cm3 .
Exemple : Exprimer 7, 1 m3 en dm3 , 12 mm3 en cm3 , 5 dam3 en m3 ; 0, 15 hl et 8 cl en litres, 0, 27 l
en ml ; 25 cl en dm3 , 3 cm3 en ml et 0, 4 l en cm3 .
dam3
m3
7,
hl
1
dm3
dal
0
l
0
dl
cm3
cl ml
0,
5,
0
0
mm3
0
0
0,
1
5
0,
0,
0,
0,
0
2
2
4
8
7
5
0
0
3
0
• 7, 1 m3 = 7 100 dm3 ;
12 mm3 = 0, 012 cm3 ; 5 dam3 = 5 000 m3
• 0, 15 hl = 15 l ;
8 cl = 0, 08 l ;
0, 27 l = 270 ml
3
3
• 25 cl = 0, 25 dm ;
3 cm = 3 ml ;
0, 4 l = 400 cm3 .
26
1
2
1.7.3
Échelles
Une échelle est souvent utilisée pour dessiner un plan ou réaliser une maquette. On réduit ou on
augmente les longueurs réelles. Les aires et les volumes des figures ou solides concernés varient aussi.
Les longueurs figurées sur un document (dessin, plan) et les longueurs réelles sont proportionnelles.
Définition : Une échelle est le rapport de la longueur figurée sur un document et la longueur
réelle exprimée dans la même unité.
Ainsi, si l’échelle est égale à k =
r cm dans la réalité.
1
r
(où r est un nombre entier), 1 cm sur le document représente
Exemple : Sur une carte, 1 cm représente 250 m dans la réalité, soit 25 000 cm. L’échelle de la carte
est : 25 1000 .
Si l’échelle k vérifie k < 1, on a une échelle de réduction : le document est plus petit que la réalité.
Si l’échelle k vérifie k > 1, on a une échelle d’agrandissement : le document est plus grand que
la réalité.
1
Exemple : L’aire d’une salle de séjour est 40 m2 . On la représente sur un plan à l’échelle 100
. Les
2
dimensions de la pièces sont divisées par 100, mais son aire est divisée par 100 = 10 000. L’aire de
la salle de séjour sur le plan est :
2
40
1
40 ×
=
= 0, 004 m2 = 40 cm2 .
100
10 000
1
• Le plan d’une maison est à l’échelle 100
. C’est une échelle de réduction : k = 0, 01.
• Si un dessin de biologie agrandit 50 fois la réalité, il est à l’échelle 50. C’est une échelle d’agrandissement : k = 50.
Pour calculer avec une échelle, on peut faire un tableau de proportionnalité. Si un plan est à
l’échelle 1r ,
• les dimensions réelles sont r fois plus grandes que les dimensions sur le plan ;
• les dimensions sur le plan sont r fois plus petites que les dimensions réelles.
Exemple : Sur une carte à l’échelle 5001000 , deux villes sont distantes de 7 cm. La distance réelle entre
les deux villes est :
7 × 500 000 = 3 500 000 cm = 35 km.
• Une longueur de 6 m est représentée sur un plan à l’échelle
6×
1
.
200
La longueur sur le plan est :
1
6
=
= 0, 03 m = 3 cm.
200
200
On peut s’intéresser à l’effet d’une réduction ou d’un agrandissement sur les aires et les volumes.
Propriété : Si toutes les dimensions d’une surface sont multipliées par le même nombre k, alors
l’aire de cette surface est multipliée par k 2 .
27
Propriété : Si toutes les dimensions d’un solide sont multipliées par le même nombre k, alors
le volume de ce solide est multipliée par k 3 .
Exemple : Le volume d’une maquette à l’échelle
1
50
vaut 3, 2 dm3 . Le volume de l’objet réel est :
3, 2 × 503 = 400 000 dm3 = 400 m3 .
1.7.4
Unités de masse, densité
L’unité de masse standard est le gramme (g). Comme pour les longueurs, on peut utiliser aussi ses
multiples, notés en abrégé dag, hg, kg et ses sous-multiples dg, cg, mg.
Une unité de masse est égale à 10 fois l’unité immédiatement inférieure.
Il existe deux autres unités de masse fréquemment utilisée : la tonne
1 tonne = 1 000 kg = 1 000 000 g
et le quintal. 1 quintal = 100 kg = 100 000 g .
La masse volumique d’un matériau est la masse d’une unité de volume fixé de ce matériau.
Exemple : La masse volumique de l’aluminium est 2 700 kg/m3 ; la masse de l’eau est de 1 kg/ l.
Cela signifie que 1 m3 d’aluminium pèse 2 700 kg et que 1 litre d’eau pèse 1 kilogramme.
La densité d’un matériau est la masse volumique de ce matériau divisée par la masse volumique
de l’eau, les deux masses volumiques étant exprimées dans la même unité.
Remarque : La densité n’a donc pas d’unité.
Exemple : L’aluminium a une masse volumique de 2 700 kg/m3 et l’eau de 1 kg/ l, avec 1 l = 1 dm3
et 1 kg = 1 000 dm3 . Pour ramener ces deux masses volumiques à la même unité, on va faire un
tableau de proportionnalité.
Masse en kg 2 700 x
Volume en dm3 1 000 1
700
x = 12 000
= 2, 7. Ainsi, 1 dm3 d’aluminium a une masse de 2, 7 kg donc la masse volumique de
l’aluminium est 2, 7 kg/dm3 ; sa densité est donc 2,7, ce qui signifie que l’aluminium a une masse 2,7
fois plus importante que l’eau.
1.7.5
Unités de durée, vitesse
Unités de durée
Les unités de durée mesurent le temps que dure un événement (le langage courant donne souvent
le même sens aux mots temps et durée). Les principales unités de durée sont la seconde (s), la minute
(mn), l’heure (h) et, un peu moins utilisés le jour (j) et la semaine. Ici, les choses ne sont pas aussi
simples que précédemment car le système n’est pas décimal, c’est-à-dire qu’on ne passe pas d’une
unité à l’autre en multipliant par une puissance de 10 mais
28
1 semaine = 7 j ; 1 j = 24 h ; 1 h = 60 mn ; 1 mn = 60 s
Remarque : On pourrait ajouter le mois et l’année, mais le problème est que l’année et le mois
n’ont pas toujours le même nombre de jours (365 ou 366 jours pour l’année ; 28, 29, 30 ou 31 jours
pour le mois).
Une durée est exprimée avec l’écriture sexagésimale lorsque le nombre d’heures et de minutes
sont des nombres entiers. La seconde n’est pas fractionnée en 60 parties, mais en fractions décimales :
dixièmes, centièmes,...
Exemple : Un coureur a réalisé le temps de 2 mn 17 s 82 centièmes. Cette durée s’écrit 2 mn 17, 82 s.
Dans l’écriture décimale d’une durée, le nombre d’heures ou le nombre de minutes peuvent ne
pas être des entiers. Cette écriture est de plus en plus courante : elle est plus facile d’utilisation que
l’écriture sexagésimale pour des calculs effectués avec une calculatrice ou avec un logiciel d’ordinateur.
Exemple : 2, 25 h est l’écriture décimale de 2 h 15 mn.
Conversions entre écritures décimales et sexagésimales
Pour passer de l’écriture sexagésimale d’une durée horaire à son écriture décimale,
• on prend pour partie entière le nombre d’heures
• on prend pour partie décimale le nombre de minutes divisé par 60.
Remarque : On peut transposer cette règle aux minutes.
Pour passer de l’écriture décimale d’une durée horaire à son écriture sexagésimale
• on prend la partie entière pour le nombre d’heures
• on obtient le nombre de minutes en multipliant la partie décimale par 60.
Remarque : On peut transposer cette règle aux minutes.
Exemple : Donner l’écriture décimale de 11 h 24 mn, de 7 h 14 mn 42 s et l’écriture sexagésimale de
3, 7 h et de 5, 132 h
= 0, 4 donc 24 mn = 0, 4 h et 11 h 24 mn = 11, 4 h .
• 24
60
42
= 0, 7 donc 42 s = 0, 7 mn et 14 mn 42 s = 14, 7 mn. Puis 14,7
= 0, 245 donc 14, 7 mn =
60
60
0, 245 h et finalement 7 h 14 mn 42 s = 7, 245 h .
P REUVE :
• 3, 7 h = 3 h + 0, 7 h avec 0, 7 h = 0, 7 × 60 mn = 42 mn. D’où 3, 7 h = 3 h 42 mn .
5, 132 h = 5 h + 0, 132 h avec 0, 132 h = 0, 132 × 60 mn = 7, 92 mn = 7 mn + 0, 92 mn et
0, 92 mn = 0, 92 × 60 = 55, 2 s. D’où 5, 132 h = 5 h 7 mn 55, 2 s .
2
Remarque : Pour convertir des heures en jours et heures, on procèderait de même en effectuant
une division euclidienne par 24.
Opérations sur les durées
Comme les unités de mesures de durée ne respectent pas un système décimal, les opérations sur
les durées nécessitent quelques adaptations. Deux méthodes sont alors possibles :
29
• Convertir toutes les données à additionner, soustraire ou multiplier dans la même unité en
notation décimale, effectuer l’opération comme d’habitude puis éventuellement reconvertir en
écriture hexagésimale (méthode souvent lourde en calculs)
• Effectuer directement les opérations en notation sexagésimale mais en faisant bien attention :
on ne peut additionner, soustraire ou multiplier par un nombre que des durées exprimées dans
la même unités. Il faudra alors faire parfois quelques petites adaptations, par exemple quand
le nombre de minutes obtenu par addition ou multiplication dépasse 60, ou quand la durée à
soustraire a un nombre de minutes plus élevé.
Exemple : Effectuer les opérations 2 h 56 mn 37 s + 3 h 37 mn 28 s ; 5 h 3 mn 12 s − 2 h 55 mn 53 s
et 4 h 13 mn 50 s × 6.
P REUVE : • 2 h 56 mn 37 s+3 h 37 mn 28 s = 5 h 93 mn 65 s. Or 65 s = (60+5) s = 1 mn+5 s,
donc 5 h 93 mn 65 s = 5 h 94 mn 5 s. De même, 94 mn = (60+34) mn = 1 h 34 mn donc finalement
2 h 56 mn 37 s + 3 h 37 mn 28 s = 5 h 93 mn 65 s = 6 h 34 mn 5 s.
• On ne peut pas effectuer ici directement l’opération pour les secondes, puisqu’il y en aurait
12 − 53 ; on écrit alors que 3 mn 12 s = 2 mn + 1 mn + 12 s = 2 mn + 72 s. De même, on ne
peut pas faire directement l’opération pour les minutes, puisqu’il y en aurait 2 − 55 ; on écrit donc
5 h 2 mn 72 s = 4 h 62 mn 72 s donc
5 h 3 mn 12 s − 2 h 55 mn 53 s = 4 h 62 mn 72 s − 2 h 55 mn 53 s = 2 h 7 mn 19 s.
= 5 donc 300 s = 5 mn et 24 h 78 mn 300 s =
• 4 h 13 mn 50 s × 6 = 24 h 78 mn 300 s mais 300
60
24 h 83 mn et 83 mn = (60 + 23) mn = 1 h 23 mn donc finalement
4 h 13 mn 50 s × 6 = 25 h 23 mn = 1 j 1 h 23 mn.
2
Vitesse
Définition : La vitesse moyenne d’un mobile en mouvement est la distance parcourue pendant
une unité de temps.
Les unités de vitesse les plus courantes sont le kilomètre par heure (km/h ou km.h−1 ) et le mètre
par seconde (m/s ou m.s−1 ). Mais on peut aussi utiliser le mètre par heure (m/h) pour des déplacements lents, le kilomètre par seconde (km/s) pour des déplacements rapides, ou toute autre unité
obtenue en divisant une longueur par une durée.
Pour passer d’une unité de vitesse à une autre :
→ on convertit l’unité de longueur dans l’unité demandée
→ on convertit l’unité de durée dans l’unité demandée
→ on effectue le quotient des mesures obtenues.
Exemple : Convertir 16, 2 km/h en m/s.
P REUVE :
16, 2 km = 16 200 m ; 1 h = 3 600 s donc 16, 2 km/h =
On a la relation suivante :
16 200
3 600
= 4, 5 m/s.
2
vitesse moyenne = distance
durée
Ainsi, si la vitesse est constante, la distance et la durée sont proportionnelles. Mais ce n’est pas
toujours le cas, par exemple pour un cycliste qui va plus vite en descente qu’en montée ! ! !
30
1.8
Taux de variation
L’utilisation des taux de variation est fréquente dans la vie courante : inflation, croissance, soldes,
taux de prêts ou intérêts d’un placement, ... Pour bien comprendre comment les manipuler, revenons
d’abord sur la notion de pourcentage, en effet, les taux de variation sont généralement exprimés en
pourcentage (on parle aussi, de façon équivalente, de pourcentage de variation).
Un pourcentage est une fraction dont le dénominateur est 100, il faut avant tout le voir comme
une notation :
a
(a = 100 × a%)
a% =
100
12
Par exemple : 12% = 100
= 0, 12 ; 12 = 100 × 12%.
On utilise les pourcentages pour écrire un rapport entre deux grandeurs de même nature (exprimées dans la même unité), ainsi un pourcentage n’est pas une unité (mais une notation) et un
pourcentage n’a pas d’unité (cela n’a pas de sens de dire 12% de km). Ils servent simplement à exprimer un rapport dans le language courant. Nous allons utiliser les pourcentages dans la suite pour
exprimer des taux de variation mais n’oublions pas que les pourcentages ne sont pas toujours des taux
de variation, nous les avons déjà utilisés au sujet des fréquences. Dans ce cas, il s’agissait du rapport
entre le nombre d’individus prenant telle modalité et le nombre total d’individus dans la population
et l’expression en pourcentage permettait de se ramener à un nombre entre 0 et 100 plutôt qu’entre 0
et 1.
Venons en à la notion de taux de variation.
Soit x une valeur donnée et a un nombre (positif ou négatif, supérieur à −100).
Si x subit une variation de a%, la nouvelle valeur sera :
a a
x= 1+
×x
x+
100
100
a
Autrement dit, si x varie de a%, x est multiplié par 1 + 100
.
a
.
On appellera multiplicateur associé au taux de variation a% le nombre 1 + 100
Prenons tout de suite un exemple où le taux de variation est négatif pour bien comprendre que les
formules proposées s’adaptent tout à fait à ce cas. Imaginons qu’une veste à 130 euros est soldée à
30%, c’est-à-dire subit une variation de −30%. Le nouveau prix sera :
−30
−30
130 +
× 130 = 1 +
× 130 = (1 − 0, 3) × 130 = 0, 7 × 130 = 91
100
100
Le nouveau prix sera donc de 91 euros. On peut remarquer au passage que le multiplicateur 0,7
associé au taux de variation −30% ne dépend pas du prix initial et si une vendeuse souhaite afficher
de nouveaux prix avec réduction de 30% le dernier calcul (multiplier par 0,7) est beaucoup plus rapide
que celui proposé dans le premier membre !
C’est le multiplicateur qui sera utile pour bien comprendre dans la suite les variations successives
et il faudra savoir passer rapidement du multiplicateur au taux de variation correspondant et inversement. La relation entre les deux est très simple mais il ne faut pas s’embrouiller avec l’expression du
taux en pourcentage :
Multiplicateur = Taux de variation + 1
Et de façon équivalente :
Taux de variation = Multiplicateur − 1
31
Nous venons de voir comment calculer une nouvelle valeur connaissant la valeur de départ et
le taux de variation, donnons maintenant une méthode pour trouver le taux de variation lorsqu’on
connaît la valeur de départ (V1 ) et la valeur d’arrivée (V2 ) :
Multiplicateur =
V2
V1
Puis on soustrait 1 pour avoir le taux de variation :
Taux de variation =
V2
−1
V1
Là encore ce calcul est très simple mais il ne faut pas oublier à la fin d’exprimer le taux en pourcentage.
Exemple : La population française est passée de 40,125 millions en 1946 à 49,724 millions en
1968 (ce sont deux années de recensement), quel est le taux de variation sur cette période ?
49, 724
= 1, 2392
40, 125
Le multiplicateur est 1,2392, c’est-à-dire que la population française a été multipliée par 1,2392 sur
cette période.
Taux de variation =
49, 724
− 1 = 1, 2392 − 1 = 0, 2392 = 23, 92%
40, 125
La population française a augmenté de 23,92% entre 1946 et 1968.
Notons au passage que la calculatrice est utile pour calculer le multiplicateur mais qu’ensuite, il
s’agit de soustraire 1 et de déplacer la virgule : avec un peu d’habitude, le taux de variation se lit
directement avec l’écriture décimale du multiplicateur. Il faut être un peu plus prudent lorsqu’il s’agit
d’une baisse et avoir en tête la remarque (évidente) suivante :
— Si le taux de variation est positif, c’est-à-dire si le multiplicateur est supérieur à 1, il s’agit
d’une augmentation.
— Si le taux de variation est négatif, c’est-à-dire si le multiplicateur est compris entre 0 et 1, il
s’agit d’une diminution.
Remarque : Une autre façon équivalente de définir le taux de variation connaissant la valeur de départ
V1 et la valeur d’arrivée V2 (mais le multiplicateur apparaît de façon moins évidente) est :
Taux de variation =
V2 − V1
V1
Regardons enfin comment traiter le cas de variations successives et pour simplifier, commençons par
étudier le cas de deux variations successives :
Soit x une valeur donnée qui subit deux variations successives de a% puis b%.
a%
−→
b%
−→
z
a
y = 1+
x
100
b
b
a z = 1+
y = 1+
1+
x
100
100
100
b
a
Le multiplicateur permettant de passer de x à z est 1 + 100
1 + 100
. Or :
a+b+
b
a b
a
ab
1+
1+
= 1+
+
+
=1+
100
100
100 100 100 × 100
100
x
y
32
ab
100
ab
Et donc le pourcentage de variation globale est a + b + 100
et non a + b : il ne faut pas additionner
les taux de variation !
Par exemple, si un article augmente de 20% puis de 40%, le multiplicateur global est 1, 2 × 1, 4 =
1, 68 soit un taux de variation global de 68% (et non 60%).
De façon générale, si l’on a n variations successives, le multiplicateur permettant de passer de la
première à la dernière valeur est le produit des n multiplicateurs. Une fois qu’on a trouvé le multiplicateur global, on n’a plus qu’à calculer le taux de variation correspondant (en soustrayant 1).
Exemple : Le gouvernement annonce trois augmentations du tabac : 6% par an pendant 3 ans. De
combien est le taux d’augmentation globale ?
6
3
= 1, 063 = 1, 191016, soit une augmentation globale de 19, 1% (et non 18%).
1 + 100
On peut noter au passage que dans le cas particulier où il y a n variations successives et identiques
a n
de a%, le multiplicateur est 1 + 100
.
33
Chapitre 2
Exercices
2.1
Les ensembles de nombres
Déterminer à quel ensemble appartient un nombre.
Exercice 1 : Déterminer le plus petit ensemble auquel appartiennent les nombres suivants :
a) − 48
;
3
b)
13
5
;
c)
30
7
;
d) −7 ;
e) 821.
Exercice 2 : Donner le plus petit ensemble parmi IN, ID, Q, IR auquel chaque nombre appartient :
q
q
√
25
49
a) 0, 0005 ; b) 3,6×3 4 ; c) 64
;
d)
;
e)
.
3
16
9
Exercice 3 : Reconnaître à quels ensembles appartiennent les nombres suivants :
√
√
25
52
a = −13 ; b = 23
;
c
=
−
;
d
=
;
e
=
34
;
f
=
4
;
g
=
2
−
7.
5
3
65
Exercice 4 : Parmi les nombres suivants :
a = 4, 567 ; b = 0, 001 ; c = −0, 001 ; d = 6545 ; e = 0, 004 ; f =
h = 13 ; i = − 22
;j =
9
√
√
3 ; k = 144 ; ` = 0 ; m =
2
π
√
3
π ; g = − 100
;
; n = − 23
;o=
6
p√
81
a) Quels sont ceux qui sont décimaux ?
b) Quels sont ceux qui sont rationnels mais non décimaux ?
c) Quels sont ceux qui ne sont pas rationnels ?
Exercice 5 : Remplacer les pointillés par ∈ ou ∈
/ :√
a) −7 · · · · · · IR ; b)√14, 4432 · · · · · · ID ;
17
3
6
c) 3 · · · · · · Q ; d) 40 · · · · · · ID ; e) − 7 · · · · · · IR ; f) 8 · · · · · · ZZ ; g) − 12 · · · · · · IN.
34
Exercice 6 : Remplacer les pointillés par ∈, ∈,
/ ⊂, 6⊂ : a) − 15
· · · · · · ZZ ; b)
3
∗
c) ZZ · · · · · · Q ; d) π · · · · · · Q ; e) IN · · · · · · Q ; f) 0, 001 · · · · · · IR+ .
√
9 · · · · · · IN ;
Comparaison des décimaux
Exercice 7 : Compléter par < ou > :
729 · · · · · · 635 ; 207, 5 · · · · · · 702, 4 ; 78, 4 · · · · · · 78, 58 ; 614, 88 · · · · · · 614, 877.
Exercice 8 : Compléter par < ou > : 48 · · · · · · − 3, 7 ; 0 · · · · · · 8 ; −7 · · · · · · − 9 ; 3, 15 · · · · · · 3, 51
−0, 2 · · · · · · 0 ; −100 · · · · · · − 95 ; −0, 03 · · · · · · 0, 02 ; −0, 04 · · · · · · − 0, 40.
Exercice 9 : Ranger par ordre croissant les nombres : 13,5 ; 15,3 ; 20,30 ; 17,81 ; 15,11 ; 2,03 ; 13,63.
Exercice 10 : Ranger par ordre croissant les nombres : 39, 7 ; −73, 47 ; −9, 83 ; 1, 61 ; −61 ; −4, 8 ;
39.
Exercice 11 : Ranger par ordre décroissant les nombres : 0,18 ; 1,45 ; 0,2 ; 0,07 ; 1,04 ; 0,9 ; 0,01.
Donner la valeur approchée d’un réel avec une calculatrice.
Exercice 12 : Donner les valeurs approchées de
c) arrondie.
√
2 au cent millième près a) par défaut ; b) par excès ;
Exercice 13 : Donner l’approximation décimale de
millième près.
√
√
2, − 2 et π par défaut et par excès au dix
Exercice 14 : Donner le plus petit nombre décimal à deux chiffres après la virgule et supérieur à 53.
Exercice 15 : Donner le plus grand nombre décimal à trois chiffres après la virgule et inférieur à 12.
Exercice 16 : a) Arrondir à l’unité les nombres : 6,2 ; 32,73 ; 74,512 ; 408,196 ; 3,18 ; 0,704 ; 1,053 ;
0,179 ; 7 562, 9.
b) Arrondir au dixième les nombres : 4,383 ; 41,63 ; 128,534 ; 408,196 ; 7,49 ; 0,704 ; 1,053 ;
0,179 ; 7 562, 98.
35
2.2
Règles opératoires
Exercice 17 : Simplifier et calculer :
a = (+7)+(−7) ; b = (+18)−(+29) ; c = (−18)−(−29) ; d = (−5)+(−7) ; e = (−14)+(+5) .
Exercice 18 : Calculer :
a = 6, 2 − 9 ; b = −7, 5 + 4, 1 ; c = −7 − 13 ; d = −0, 1 − 0, 1 ; e = −17 + 21 ; f = −5, 3 + 5, 3.
Exercice 19 : Calculer 2 × (3 − 2 × (3 − 2 × 3)).
Exercice 20 : Quel est le chiffre des unités du produit : 11 × 12 × 13 × 14 × 15 × 16 ?
Exercice 21 : Compléter la multiplication ci-dessous :
×
3
• •
• 8
• •
•
•
4
•
•
•
8 •
• 5
2 0
2
4 0
Exercice 22 : Calculer :
a = 14 − 3 × 2 + 1 ; b = 3 × 5 + 42 ; c = 3 × (5 + 42 ) ; d = 3 × (5 + 4)2 ; e = 4, 5 − 0, 2 × 10−1 .
Exercice 23 : Calculer :
a = 5 × (2 − 8) ; b = 7 − 14 × 3 + 5 ; c = −3 + 2 × 52 ; d = (3 − 2 × 4)2 ; e = −52 − 2 × (−8).
2.3
Division euclidienne dans IN, PGCD
Exercice 24 : Dans la division euclidienne par 7 :
1. quels sont les restes possibles ?
2. quels sont les dividendes possibles lorsque le quotient euclidien vaut :
a) 31 ?
b) 41 ?
c) 64 ?
Exercice 25 : Combien vaut le diviseur dans les divisions euclidiennes suivantes ?
1. Le quotient vaut 13, le reste 7 et le dividende 202.
2. Le quotient vaut 18, le reste 4 et le dividende 238.
3. Le quotient vaut 4, le reste 3 et le dividende 203.
36
Exercice 26 : Dans un collège, 143 élèves sont inscrits en classe de troisième.
Pour chacun des sports basket, football, rugby, dire combien d’équipes à respectivement 5, 11 et
15 joueurs ont peut former et combien d’élèves dans chaque cas ne pourront pas être intégrés dans
une équipe.
Exercice 27 : Quel est le chiffre des unités de 313 ?
Calculer le P GCD et le P P CM de deux entiers.
Exercice 28 : ** Utiliser la méthode des divisions euclidiennes successives pour calculer les P GCD
de a et b. En déduire le P P CM de a et b.
1. a = 898 425 et b = 6 375 ; 2. a = 2 940 et b = 6 358 ; 3. a = 600 et b = 8 390 ; 4. a = 3 596 et
b = 3 393.
Exercice 29 : * 1) Calculer le P GCD de 420 et 224 par la méthode des divisions euclidiennes
successives.
2) On veut faire carreler une pièce rectangulaire de 4,20m sur 2,24m. Sachant que les carreaux
employés sont des carrés dont la longueur est un nombre entier de centimètres compris entre 10 et 25,
calculer cette longueur.
2.4
Calculs avec les fractions
Simplification de fractions
Exercice 30 : Simplifier le plus possible les fractions suivantes :
a)
432
192
;
b)
1104
716
;
Exercice 31 : Simplifier les fractions suivantes :
c)
24
16
;
540
81
;
84
35
d)
;
21603
.
144
231
.
132
Calculer avec les rationnels
Exercice 32 : Écrire une fraction égale à
7
15
et de dénominateur 45.
37
Exercice 33 : Mettre
7
30
et
1
45
au même dénominateur.
Exercice 34 : Écrire sous la forme d’une fraction de dénominateur 1000, le nombre obtenu en additionnant 20 dixièmes et 8 millièmes ?
Exercice 35 : Ranger les 4 fractions suivantes dans l’ordre croissant : 43 ; 13 ; 76 ; 27 .
Exercice 36 : * Calculer
5
−
a = 37 + 73 ; b = 10
h=
4
25
+ 2; i =
7
3
5
25
;c =
1
3
−
1
7
+ 34 ; d = 5 + 15 ; e = 4 × 41 ; f =
× 35 ; j = 7 × 53 × 43 ; k =
7
12
1
6
+ 56 ; g =
÷ 32 ; ` = 11 ÷ 75 ; m = 7 ÷ 71 ; n =
10
7
5
4
9
× 59 ;
.
Exercice 37 : Calculer a) la moitié du tiers de 60 ; b) le tiers de trois cinquièmes ; c) le double de
l’inverse de deux tiers.
Exercice 38 : J’ai dépensé les deux cinquièmes des trois quarts de 300 euros. Combien ai-je dépensé ?
Exercice 39 : Les deux tiers d’un champ rectangulaire sont partagés en quatre lots de même aire.
Quelle fraction de l’aire totale du champ représente l’aire de chaque lot ?
Exercice 40 : J’ai mangé le quart d’une tarte. Le chat a mangé le tiers de ce qui restait. Quelle part
de tarte reste-t-il maintenant ?
Exercice 41 : * Simplifier le plus possible les fractions suivantes :
0,5
0,75
1,5
1
5
a = 0,5
; b = 0,25
; c = 0,25
; d = 1,75
; e = 2,25
; f = 0,75
; g = 0,4
.
0,75
2
Exercice 42 : ** Écrire sous forme de fractions les plus simples possibles les nombres ci-dessous :
3
6
11
1
6
−4
+1
−1
+1
−3
−1+4
A = 21 − 25 ; B = −52 +31 ; C = 47 + 52 ; D = 21 + 13 ; E = 54 + 17 × 52−13 .
3
7
3
2
3
6
4
5
38
3
2
4
Exercice 43 : *** Écrire sous forme de fractions irréductibles le nombre
A=1+
1 1 1
1
1
1
1
+ + +
+
+
+
.
2 4 8 16 32 64 128
Exercice 44 : *** Après avoir simplifié, lorsque c’est possible, chacune des fractions,
1calculer
:
3
25
15
26
14
2
2
A = 31 − 25 + 34 ; B = 24
; E =
−
+
;
C
=
×
×
;
D
=
2
+
−
28
14
35
42
39
35
5
4
3
4
1
2
2−
−2+
3
2
3
+ 53 × 13 × 2 −71 ; F = 1+
.
3
4
−1
3
2.5
2
4
3
Calculs avec les puissances
Puissances de dix
Exercice 45 : Calculer 102 ; 10−2 ; 107 ; 10−6 ; 104 ; 10−3 .
Exercice 46 : Écrire sous forme d’une puissance de 10 : 105 × 102 ; 10 × 102 ;
104 ×103
.
105
Exercice 47 : Écrire deux mille milliards comme le produit d’un entier par une puissance de 10.
Déterminer l’écriture scientifique d’un nombre décimal.
Exercice 48 : Écrire en notation scientifique les nombres suivants :
−2
a = 3600 ; b = 0, 02 ; c = 41 ; d = 10103 ; e = 4 × 10−2 × 0, 02.
Exercice 49 : Donner l’écriture scientifique des nombres suivants, ainsi que l’écriture décimale de e,
f et g :
a = 340 000 000 ; b = −0, 0348 ; c = 0, 0000034 238 ; d = 238 590 ; e = 0, 0002 × 10−3 ;
f = 12, 46 × 104 ; g = 0, 013 .
Calculs avec les puissances
Exercice 50 : Calculer : 82 ; 34 ; 43 ; 3−1 ; 2−3 ; 250 ; 0, 91 ;
39
2 2
3
; 0, 32 .
Exercice 51 : Calculer le quart de 1616 . Écrire le résultat sous la forme d’une puissance de 4.
Exercice 52 : Quel est le nombre de chiffres de l’entier 29 × 58 ?
4
2
3
Exercice 53 : Comparer les nombres suivants : a = 23 ; b = 34 ; c = 42 .
Exercice 54 : Écrire sous la forme 2n × 3p × 5q avec n ∈ ZZ, p ∈ ZZ, q ∈ ZZ :
A=
53 × 83 × 92
123 × 15−3
;
B
=
.
152 × 124
5−2 × 23
Exercice 55 : * Simplifier les nombres suivants :
A=
(23 × 54 )3
;
(22 × 72 )4
B = (33 × 74 )3 × (52 × 33 × 112 )−4 .
Exercice 56 : ** Simplifier l’écriture de A =
(0,2)3 ×104
23 ×81
÷
−83 ×15
.
(−12)5
Exercice 57 : * Calculer et simplifier :
a=
(223 )15
;
21000
b=
(0, 06)4 × (1, 6)−3
.
30 × (0, 0002)−10
Exercice 58 : Simplifier les écritures des nombres suivants : A = 10−3 × 1002 × 105 ; B =
−2 +3×10−1 −25×10−3
0, 2 × 10−4 × 103 ; C = 10 4×10
.
−1 −50×10−2
Exercice 59 : * Calculer et simplifier
3 3
2
5
4002 × 103 × 50−2
A=
×
× (12)3 ; B = 10−2 × 1003 × 10−3 ; C =
.
3
4
205 × 10−3
Exercice 60 : Simplifier les expressions suivantes :
a=
−6
10
106
10−2
(6 × 10−3 ) × 2
2−4 × 27
× 3 ; b = −3 ×
;
c
=
;
d
=
;
18
10
10
(103 )2
83
25
2
2
1 27
(53 )2
22 .53
0, 5
e=
; f=
; g= 3 4
; h=
;
3
20
254
2 .5 .125
0, 25
3
0, 01
0, 000025
(0, 000000003)2
i=
; j=
; k=
.
0, 05
0, 05
(0, 001)3
40
Exercice 61 : ** Simplifier
2 2
(52 × 10−5 )3
10
A=
;
×
−3
5
(5 × 10 )
5
23
24
B = 2 × (0, 5) ;
108
2
C=
× (1, 5)107 .
3
Exercice 62 : Écrire sous la forme 2n × 3k × 5p , où n, k et p sont des entiers relatifs, les nombres
suivants :
2 ×84
5
−3 ×95
422 ×214 ×87
454 ×276 ×1057
; B = 90150
A = 2 18×15
−3 ×102
7 ×30−2 ; C = 726 ×703 ×155 ; D = 426 ×245 ×757 .
Exercice 63 : ** Écrire sous la forme 2a × 3b × 5c × 7d × 11e , où a, b, c, d et e sont des entiers relatifs,
les nombres suivants :
A=
C=
214 × 27−5
9−2 × 423
2
3
635 × 162
B=
;
250−2 × 242
−5
2
35 × 724 ]4
D=
.
[982 × 1054 ]3
;
[568 × 81−2 × 257 ]3
;
[505 × 7003 ]4
Exercice 64 : ** Écrire sous la forme 2a × 3b × 5c × 7d × 11e , où a, b, c, d et e sont des entiers relatifs,
les nombres suivants :
3 ×7002
4
55003
; C = 560
; D = 0,000264
A = 0, 0014 × 42000−3 ; B = 9800
2.
0,035
0,00105−2
Exercice 65 : *** Écrire sous la forme 2a × 3b × 5c × 7d × 11e , où a, b, c, d et e sont des entiers
relatifs, les nombres suivants :
0, 000252
0, 00000882
A=
; B=
; C = (2 7003 × 240 0004 )2 × (0, 000163 × 0, 000000152 )3 ;
2
3
81000
630
D = (5124 × 0, 0000365 )3 × (0, 02432 × 9004 )−1 .
Exercice 66 : Calculer le plus vite possible a) 982 ; b) 10042 ; c) 9902 ; d) 1, 0012 ; e) 1032 .
2.6
Calculer avec les irrationnels
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Exercice
67
:
√
√ : Donner
√ la√valeur
√
√
√
√ exacte√
√
√
49 ; 121 ; 25 ; 16 ; 0, 09 ; 1, 44 ; 2, 25 ; 0, 01 ; 8100 ; 10 000 ; 400.
41
√
√
Exercice √
68 : **√Exprimer√les nombres
suivants
à
l’aide
de
2
et/ou
3: √
√
√
√
√
√
√
a = 4 2 + 5 2 ; b = 3 + 2 + 7 2 + 3 3 ; c = 18 + 50 ; d = 75 − 27.
Exercice 69 : ** On donne M =
√
175 ×
√1 .
7
Simplifier M .
√
Exercice
70
:
**
Écrire
les
nombres
suivants
sous
la
forme
a
entiers :
√
√
√
√
√
√
√ √ b où
√a et b sont
√ des√
a) 3 75 − 27 ; b) 2 7 − 63 ; c) 8 + 18 ; d) 2( 2 + 3) ; e) 24 + 54.
√
Exercice
71
:
***
Écrire
les
nombres
suivants
sous
la
forme
a
b où
√
√ √
√
√
√
√
√ a et b sont des entiers :
2 − 3 3)(√ 3 − 2√ 2) + 13 ; b) 50 − 32 ; c) 300 − 243 ;
√a) ( √
d) 2 − 200 + 7 8 − 2 72.
Exercice√72 : ***
√ Simplifier
√
√ les nombres
√ suivants
√ 2 :√
√
√
a) (2 5 − 5 2)( 2 + 5) ; b) ( 3 + 2) + ( 6 − 1)2 − ( 3 + 8)2 ; c)
Exercice
p suivants :
√ 73 : ** Simplifier
√ les nombres
a) 0, 036 ;
b) 0, 09 ;
c) 1, 6 × 105 ;
d)
√
√
15− 3
√
.
6−1
√1 .
0,25
√
√
Exercice 74 : *** 1) Écrire (3 − 11)2 sous la forme a + b 11 où a et b sont des nombres entiers
relatifs.
√
2) Quel est le signe de 3 − 11 ? p
√
3) En déduire une autre écriture de 20 − 6 11.
Exercice 75 : *** Rendre rationnel le dénominateur des fractions suivantes :
√4
2
;
10
√
1− 3
;
√ 2√ .
5+ 2
Exercice 76 : *** Montrer que les nombres suivants sont des entiers naturels :
√
√
√
√
√
√ 2
√
7+ 5
7− 5
2
√ +√
√ .
a = ( 3 + 5) + ( 15 − 1) ;
b= √
7− 5
7+ 5
Exercice 77 : *** Calculer A =
√
√2−1
2+1
√
+ 8 2.
42
2.7
Proportionnalité
Suites proportionnelles et tableaux de proportionnalité
Exercice 78 : Les tableaux suivants sont-ils de proportionnalité ?
17 7 12 5
;
34 14 24 10
3 8 7 5
12 32 21 20
Exercice 79 : Déterminer les nombres a et b figurant dans le tableau ci-dessous sachant que les suites
sont proportionnelles.
Suite S1 37 5 42 74
Suite S2 44, 4 6 a b
Exercice 80 : ** Sans calculer le coefficient de proportionnalité, compléter le tableau suivant, sachant
que les deux suites sont proportionnelles :
Suite S1 47 94 141 14, 1 108, 1 10, 81 151, 81
Suite S2 92
Exercice 81 : Compléter les 4 tableaux de proportionnalité suivants :
2, 8 3, 9
;
2, 1
7, 3
4, 2
;
6, 51
3, 4
;
2, 4 1, 5
8
.
4, 5 2, 5
Applications de la proportionnalité à des petits problèmes
Exercice 82 : * Pour 3,4 euros j’ai acheté 5 baguettes de pain. Pour 4,76 euros j’aurais 7 baguettes.
Sans calculer le prix d’une baguette, calculer le prix de 12 baguettes, 2 baguettes, 3 baguettes, 15
baguettes.
Exercice 83 : Avec 300 litres de lait, on peut fabriquer 75 kg de beurre. Quelle quantité de lait faut-il
pour fabriquer 100 kg de beurre ? Avec 250 litres de lait, quel poids de beurre peut-on fabriquer ?
Exercice 84 : Avec 27 oeufs, on prépare 9 omelettes. Combien faut-il d’oeufs pour faire 25 omelettes ? Avec 255 oeufs combien prépare-t-on d’omelettes ?
43
Exercice 85 : En travaillant 6 jours, j’ai gagné 210 euros. Combien gagnerai-je en travaillant 21
jours ? Combien de jours devrai-je travailler pour gagner 490 euros ?
Exercice 86 : Une voiture a consommé 21,16 litres pour faire 264,5 km. Quelle est la consommation
moyenne de cette voiture pour 1 km ? pour 100 km ?
Exercice 87 : Un livre de 250 pages a 2 cm d’épaisseur . Quelle est l’épaisseur d’une feuille ?
Exercice 88 : * En fin de semaine, les employés A, B et C d’un salon de coiffure se répartissent
les pourboires laissés par leurs clients proportionnellement à leur temps de travail. A a travaillé 30
heures, B 21 heures et C 32 heures. Le montant total des pourboires s’élève à 224,10 euros.
Calculer la répartition de cette somme entre les trois employés.
Exercice 89 : ** À deux, nous gâchons deux tonnes de ciment en 2 heures. Combien en gâcherionsnous à cinq en cinq heures ?
Exercice 90 : * Une voiture possède un réservoir d’une contenance de 35 litres d’essence. Cette
voiture consomme 7,5 litres d’essence aux 100 km. On a commencé un voyage de 250 km avec le
réservoir plein aux 4/5 de sa contenance.
Combien restera-t-il dans le réservoir à la fin du trajet ?
2.8
Unités et changements d’unités
Changement d’unités de longueur, aire, volume et masse
Exercice 91 : Convertir en m, puis en cm : 12, 25 km ; 35 dm ; 0, 425 hm ; 0, 2 mm.
Exercice 92 : Convertir en m2 , puis en ha : 15, 3 m2 ; 1 500 cm2 ; 2480 a ; 1, 35 km2 .
Exercice 93 : Convertir en m3 , puis en litres : 12 dm3 ; 12, 25 dam3 ; 350 ml ; 125 dl.
44
Exercice 94 : Convertir en g puis en kg : 5 000 cg ; 24, 78 dag ; 12, 8 t ; 3 560 mg.
Exercice 95 : Combien de bouteilles de 2 litres peut-on remplir avec le contenu d’un container cubique d’arête 40 cm ?
Exercice 96 : Sur un champ de 8 hectares, il est tombé uniformément une hauteur d’eau de 1 mm.
Quelle est la quantité d’eau tombée sur ce champ ?
Échelles
Exercice 97 : Le périmètre d’un triangle isocèle est égal à 120,4 cm. Sa base mesure 29,4 cm.
1) Calculer la longueur des côtés égaux.
2) On veut représenter ce triangle à l’échelle 1/7. Calculer les dimensions du dessin. Faire la figure.
Exercice 98 : Le croquis d’un jardin est à l’échelle 1/200.
1) On veut représenter un massif de 8 m de diamètres. Calculer en cm le diamètre du massif sur
le croquis.
2) Une allée a 5 cm de long sur le croquis. Calculer sa longueur réelle en mètres.
Exercice 99 : Un rectangle étant donné, on décide de construire un nouveau rectangle dont la longueur est une fois et demie celle du premier rectangle, et dont la largeur est la moitié de celle du
rectangle initial. À quelle proportion de l’aire du premier rectangle est égale l’aire du nouveau rectangle ?
Exercice 100 : Un carré bleu a une aire double de l’aire du carré rouge. Calculer le rapport des longueurs de la diagonale bleue à la diagonale rouge.
Exercice 101 : La Tour Eiffel pèse 9000 tonnes pour 300 mètres de haut. Combien pèserait, en kg,
une réplique exacte de 1,50 m de haut fabriquée avec les mêmes matériaux ?
Exercice 102 : Un cube a des arêtes qui mesurent 8 cm. On augmente celles-ci de 3 cm. Calculer
l’augmentation du volume du cube.
Problèmes de durées
45
Exercice 103 : Quelle est la notation sexagésimale de 4, 32 h ?
Exercice 104 : Convertir en heures, minutes, secondes les durées :
1, 2 j ;
12, 56 h ;
5 684 s ;
2561, 25 mn.
Exercice 105 : Donner, en notation décimale, la valeur en heures, au centième près, des durées :
2 h 32 mn 50 s ;
2, 12 j ;
562 mn.
Exercice 106 : Calculer :
1 h 47 mn 24 s + 5 h 32 mn 56 s ; (39 mn 25 s) × 2 ; 12 h 53 mn 36 s + 7 h 21 mn 34 s ;
1 h 30 mn − 48 mn ; 2 h 36 mn − 53 mn 40 s ; 3 × 6 h 52 mn 16 s.
Exercice 107 : La projection d’un film dure 1 h 57 mn. Ce film passe à la télévision et débute à
20 h 42 mn. Mais il est entrecoupé de trois publicités qui durent chacune 2 mn. A quelle heure finirat-il exactement ?
Exercice 108 : Peut-on enregistrer sur une cassette de 30 mn, quatre chansons dont les durées sont :
6 mn 39 s ; 5 mn 42 s ; 5 mn 37 s et 12 mn 13 s ?
Exercice 109 : On calcule le temps de cuisson d’une viande rouge proportionnellement au poids de
la viande : il faut 15 min pour 0,5 kg. ( 1/ 4 d’heure par livre). Quelle durée doit-on prévoir pour une
côte de 3,7 kg ?
Vitesse
Exercice 110 : Convertir 12 km/h et 50 km/h en m/s ; 50 m/s et 200 m/s en km/h.
Exercice 111 : Une voiture a parcouru 27 km en 15 mn. Quelle était sa vitesse moyenne ?
Exercice 112 : Je parcours 7,2 km en une heure en marchant à une vitesse constante. Quelle distance
ai-je parcourue en 40 minutes ? Combien de temps me faudra-t-il pour parcourir 16,2 km ?
46
2.9
Taux de variation
Exercice 113 :
1. Le prix du litre d’essence est de 5F le 1er janvier 1993. Il augmente de 25% dans les six
premiers mois, puis diminue de 25% dans les six derniers mois de l’année 1993. Quel est le prix du
litre d’essence au 1er janvier 1994 ?
2. Lorsqu’une hausse de a% est suivie d’une baisse de a%, y a-t-il toujours globalement une
baisse ? Qu’en est-il si la baisse a lieu avant la hausse ?
Exercice 114 :
1. Votre employeur vous propose deux types d’augmentation, soit 0, 2% par mois, soit 2, 5% dans
l’année. Quel est votre choix ?
2. Quel salaire devez-vous avoir pour qu’une augmentation de 3% soit plus intéressante qu’une
augmentation de 150 euros ?
Exercice 115 :
Un gouvernement fait le pari de ne pas dépasser 8% d’inflation une certaine année. Les résultats
mensuels sont donnés dans le tableau 2.1.
Mois
Inflation (en %)
J
F
M A
0,8 0,4 0,5 0,3
M
J
J
A
S
O
N
D
0,8 0,7 0,5 0,9 1,1 1,2 0,6 0,1
TABLE 2.1 – Inflation
Le pari est-il gagné ?
Exercice 116 :
Certains disent «les femmes gagnent en moyenne 33% de moins que les hommes » alors que
d’autres disent « les hommes gagnent en moyenne 50% de plus que les femmes ». Qu’en pensezvous ?
Exercice 117 :
Sachant que l’augmentation de la population d’un pays a été de 2, 7% en 5 ans, et que les variations
annuelles sont données dans le tableau 2.2, calculer le taux de variation en 2003.
Année
Pourcentage de variation
2001
1,1
2002 2003
-0,02
?
2004 2005
1,2
1,1
TABLE 2.2 – Variations annuelles de population
47
Exercice 118 :
Le taux de chômage est le rapport entre le nombre de chômeurs et le nombre d’actifs.
1. Sur une population de 50 millions d’individus, il y a 22 millions d’actifs dont 2 millions de
chômeurs. Quel est le taux de chômage ?
2. Si le nombre de chômeurs augmente de 50% alors que la population active reste stable, quel est
le taux de variation du taux de chômage ?
3. De façon générale, montrer que si le nombre d’actifs est stable le taux de variation du nombre
de chômeurs est égal au taux de variation du taux de chômage.
48