Exercice 1. Régime de vent dans l`atmosphère. On définit le repère

¤ PCSI ¤ 11/12. Approfondissement. Série 3.
Exercice 1. Régime de vent dans l’atmosphère.
On définit le repère Oxyz associé au référentiel terrestre RT:
Oest un point de la surface de la Terre (de centre T). L'axe Ox est porté par un parallèle et orienté dans le
sens Ouest-Est. L'axe Oy est porté par un méridien et orienté dans le sens Sud-Nord. L'axe Oz est porté par
le rayon (TO) et orienté de Tvers O.
Le référentiel terrestre n'est pas considéré galiléen ; par contre on supposera confondue la verticale en O
avec le rayon (TO).
Une particule fluide de l'atmosphère, de masse m, est étudiée dans le référentiel terrestre RT.
La particule fluide est soumise à des forces de pression
x x y y z z
F F e F e F e
.
On note
( , , )
v x y z
et
( , , )
a x y z
respectivement la vitesse et l'accélération de la particule dans RT.
Des observations sont réalisées pendant une durée T= 24 h jusqu'à l'altitude de la troposphère (c'est-à-dire
10000 m ) sur une région d'environ 1000 km de diamètre au sol et située à des latitudes voisines de = 45°.
Ces observations montrent que les composantes horizontales de la vitesse
v
de la particule fluide :
x
et
y
,
sont de l'ordre de U= 10 m/s et que la composante verticale est de l'ordre de W = 1 cm/s. De plus si on
néglige les « coups de vent » (effets turbulents de courte durée), pour ne retenir qu'un vent moyen, les
composantes de l'accélération
a
ne dépassent pas
U
T
pour
x
et
y
(respectivement
W
T
pour
z
).
1. Etablir la relation entre
, , ,
a v F m
, le champ de pesanteur
g
et le vecteur rotation de la Terre sur
elle-même
T
(on donne
5
7,29.10
T
rad/s et g= 9,81 m/s2)
2. Projeter cette relation sur le repère Oxyz.
Montrer que l'on peut procéder à un certain nombre de simplifications. On pourra effectuer des
applications numériques pour faciliter les comparaisons. Donner le nouveau système d’équations
différentielles.
En déduire que la vitesse horizontale de la particule est orthogonale au champ de force horizontal
horizontal
F .
Quelle relation a-t-on entre
horizontal
vet
horizontal
F?
3. En mécanique des fluides on démontre que les forces de pression s'exerçant sur un petit volume de
fluide de masse msont équivalentes à m
F gradp
(pest la pression atmosphérique au point M
où se trouve la particule fluide et sa masse volumique). Montrer que
horizontal
Fest orthogonale aux
courbes isobares, obtenues par intersection entre une surface isobare et un plan horizontal, et
orientée des zones de hautes pressions (anticycloniques) vers les zones de basses pressions
(dépressionnaires). En déduire la direction et le sens des vents dans le cas de la figure ci-après
établie dans l’hémisphère Nord.
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4. Estimer la vitesse moyenne des vents dans le cas de la figure ci-après.
(On prendra = 1,3 kg.m-3 pour la masse volumique de l'air)
Exercice 2. Haltère accrochée au centre de masse d’un satellite.
Dans le repère géocentrique Ro ayant son origine au centre Ode la Terre, assimilé à un astre de symétrie
sphérique de masse Mo et lié à des axes (OX,OY et OZ) dirigés des « étoiles fixes », le centre de masse G
d'un satellite artificiel Sde masse Mest animé dans le plan Z= 0 d'un mouvement circulaire et uniforme de
rayon Ret de vitesse angulaire .
On note Run repère lié à Set Gyz un trièdre orthogonal de ce repère, Gx étant dirigé de Overs G,Gy le
long de la tangente à la trajectoire de Get Gz orthogonalement au plan de son orbite (voir figure).
Une tige A'A de longueur 2a<< Ret de masse négligeable est articulée parfaitement en son milieu autour de
Gz. Elle porte à chaque extrémité Aou A' une masselotte de masse mtrès inférieure à celle de S. On désigne
par Tle solide constitué par la tige et les deux masselottes.
Les mouvements relatifs de Tsont repérés par l’angle ,OG GA   .
On note Kla constante de la gravitation universelle et r = OA , r’ =OA’,, ' 'r OA r OA 
    .
On donne :
2
1
1 1 avec 1
2
nn n
n      .
1. Expliciter en fonction de K,m, Mo, r,r’,et 'r r
  la force gravitationnelle s’exerçant sur Aet A’.
Expliciter en fonction de m, , R r,r’,et 'r r
  ces mêmes forces.
Montrer que le moment de ces forces calculé en G, peut s’écrire après un développement limité selon
les puissances de a/R :
2 2
3 sin 2 z m a u M
2. En appliquant dans le repère barycentrique R* de Sun théorème de que l'on explicitera
soigneusement, déduire du résultat précédent une équation différentielle (1). (Faire attention à la
vitesse angulaire des masses dans ce référentiel).
3. Expliciter de la même façon que 
M
la partie principale de l'énergie potentielle Ep de Tdans le
repère R.
4. Déduire du résultat précédent une équation différentielle du premier ordre notée (2).
Vérifier la compatibilité de (1) et (2).
5. Décrire les circonstances des mouvements possibles, notamment les éventuelles positions d'équilibre
relatif, ainsi que les petits mouvements éventuels.
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Exercice 3. Fluide en rotation.
Un réservoir cylindrique de rayon R, de hauteur H, est rempli complètement par un fluide de masse volumique
o
au repos. Le réservoir tourne à une vitesse angulaire constante autour de l'axe vertical (Oz) du cylindre
; il entraîne le fluide dans son mouvement. On se place en régime permanent. On note gl'intensité du champ
de pesanteur et rla distance à l'axe de rotation. Les phénomènes n e
dépendront explicitement que de la variable radiale r.
1. En choisissant un élément de volume cylindrique, montrer que la
pression p(r)satisfait l'équation différentielle, notée [1],
dp
dr
=
2
r µ(r)
On précisera le phénomène décrit par cette équation et le référentiel
dans lequel elle s'applique. Est –il légitime de ne pas tenir compte
de la dépendance de pselon la cote z?
2. Le fluide est un gaz parfait d'équation d'état p(r)= kBTµ(r) /m, où m
la masse d'une molécule de fluide et kBla constante de Boltzmann. Ce gaz est en équilibre thermique.
Trouver la loi de la distribution de la pression ; cette loi est déterminée ici à une constante multiplicative
près, qui est déterminée dans la question qui vient.
3. En exprimant la conservation de la masse, et en
notant P0la pression au repos, établir et commenter
la relation
Fluide incompressible.
4. On suppose dans cette question que la masse volumique µoest constante, ce que l'on exprime en disant que le
fluide est incompressible. Quelle est, sous cette hypothèse, la nouvelle loi de la distribution de la pression ?
Peut-on déterminer la constante d'intégration ?
Fluide compressible.
5. On abandonne l'hypothèse d'incompressibilité. On adopte comme équation d'état du fluide, liant la masse
volumique à la pression, l'équation µ=µo[l +
0(p−Po)] , où 0est une constante. Vérifier que 0n'est autre
que le coefficient de compressibilité isotherme du fluide,
T, à la pression Po : 0= T(P0).
6. On suppose que =
0(p— Po)vérifie |
|<< 1. Intégrer alors l'équation [1] de la question 1 et montrer qu'au
premier ordre en la masse volumique dépend de rselon la loi : 0
0²
( ) 1 ²
2
µ
µ r µ r K
.
7. Déterminer la constante Ken exprimant la conservation de la masse et donner l'expression complète de la
distribution de pression. Tracer l'allure du graphe de p(r)pour 0 r R. Le résultat obtenu serait-il valable
pour un fluide incompressible ?
8. Montrer que la condition de validité du calcul, c'est-à-dire | |<<1, est équivalente à l'inégalité :
2 2
1
o o R
.
9. Le fluide est de l'eau de masse volumique µ0=103kg.m-3. La vitesse de rotation du réservoir est
=100 rad.s-1, son rayon est R= 1 m ; la pression au repos est Po=105Pa et la vitesse,du son dans l'eau, ceau,
satisfait la relation
0µ0c²eau = 1 ; sa valeur numérique est ce a u =1450 m.s-1. L'hypothèse le |
|<<1 est-
elle valide ? Comparer la vitesse maximale vm a x des molécules dans le réservoir à la vitesse du son.
10. Soit cG P la vitesse du son dans un gaz parfait (GP) de masse moléculaire m;cette vitesse vérifie donc, à la
température T,la relation
TµGP c²GP =1 .Calculer Tpour le gaz parfait ; établir la relation mc²GP = kBT
et montrer que l'approximation vmax < < cG P appliquée au gaz parfait conduit à loi de distribution de
pression trouvée à la question 4. Expliquer la formulation, paradoxale pour un gaz : le gaz parfait est
incompressible.
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