ENSAIT concours d`entrée A mathématiques 2

ENSAIT concours d’entrée A mathématiques 2
I) n = 2, a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2
X (X − 1)
(X − 1) (X − 2)
; L1 = −X (X − 2) ; L2 =
1) L0 =
2
2
soit a, b, c ∈ R , P = aL0 + bL1 + cL2 = 0 , P (0) = P (1) = P (2) = 0 donc a = b = c = 0
(L0 , L1 , L2) est une famille libre de 3 éléments dans un espace vectoriel de dimension 3
B0 = (L0 , L1 , L2) est une base de R2 [X]
2
X
P (i)Li donc les composantes dans B 0 de P sont (P (0), P (1), P (2))
i=0


1
0
0
2) La matrice de passage de B à B 0 est A avec A =  −3/2
2 −1/2 
1/2 −1
1/2 1−λ
0
0 1
5
2
−1/2 = (1 − λ) λ − λ +
Le polynome caractéristique de A est χA (λ) = −3/2 2 − λ
2
2
1/2
−1 1/2 − λ √
17
5
il admet 3 racines réelles distinctes 1, ±
donc A est diagonalisable
4
4


1
1 est valeur propre entière et le sous-espace propre associé est engendré par  1 
−1
3) Un polynome de R2 [X] est entièrement déterminé par ses coordonnées dans B 0 , donc par P (0), P (1), P (2)
0
P (X) = P (0) + P (1)X + P (2)X 2 si et seulement
dans


 si P a les mêmes coordonnées
 B et B
P (0)
P (0)
P (0)
donc si et seulement si  P (1)  = A  P (1)  soit si et seulement si  P (1)  est un vecteur propre de A
P (2)
P (2)
P (2)
associé à la valeur propre 1
donc P (X) = P (0) + P (1)X + P (2)X 2 ⇔ ∃k ∈ R , P (X) = k 1 + X − X 2
∀P ∈ R2 [X] , P =
II) Retour au cas général
1) Soit (λ0, ...λk ) ∈ Rn+1, Q =
n
X
k=0
λk Lk = 0 , ∀k ∈ {0, ..n} , Q (ak ) = λk = 0
(Lk )0≤k≤n est une famille libre de (n + 1) éléments dans un espace vectoriel de dimension (n + 1) . C’est donc
une base de Rn [X]
n
X
∀P ∈ Rn [X] , P =
P (ai )Li donc les composantes dans B 0 de P sont (P (a0), P (a1), ...P (an))
i=0
2) A est la matrice de passage de B à B 0 , donc A est inversible
n
X
A−1 est la matrice de passage de B 0 à B , d’après 1) , ∀j ∈ {0, ..n} , X j =
aji Li
i=0 

1 a0 a20 · · · an
0

 ..

 .


j
2
n 
−1
−1

ai 
donc A = (mij ) 0≤i≤n avec mij = ai
; A =  1 a i ai
0≤j≤n

 .

 ..
1 an a2n
an
n
n
X
3) Soit Q =
Li − 1 , ∀j ∈ {0, ..n} , Li (j) = δ ij donc Q(j) = 0
i=0
Q est un polynome de degré inférieur ou égal à n, il a au moins (n + 1) racines, il est donc nul
n
X
Li = 1
i=0
Les coordonnées dans la base B de
n
X
i=0
Li sont donc (1, 0, .., 0)
donc la somme des éléments de la première ligne de A est égale à 1
et la somme des éléments de toute autre ligne est égale à 0
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III) Etude du cas a0 = 0
1) La première coordonnée dans la base B de Lj est Lj (0) , donc la première ligne de la matrice A est (1, 0, 0, .., 0)
Le polynome caractéristique de A : χA (λ) est donc factorisable par (1 − λ)
λ = 1 est valeur propre de A
2) Soit ϕ l’endomorphisme de Rn [X] tel que ∀j ∈ {0, ..n} , ϕ X j = Lj
Dans la base B , ϕ a pour matrice A qui admet 1 comme valeur propre
Il existe donc un polynome non nul de Rn [X] tel que ϕ (P ) = P , donc
n
n
X
X
bi Li
bi X i =
∃ (b0 , b1, .., bn) ∈ Rn+1 − {(0, 0, .., 0)} , P =
i=0
Or si P =
n
X
bi Li alors bi = P (ai) donc
i=0
i=0
∃ P ∈ Rn [X] , P 6= 0 , P (X) =
n
X
P (ai)X i
i=0
IV) Etude
du

 cas a0 = 1
b0
 b1 


n
n
X
X
 .. 
i
 est la j ième colonne de A , Lj =
.
Si 
b
X
donc
L
(1)
=
bi
i
j


 . 
i=0
i=0
 .. 
bn
Comme L0 (1) = 1 et Lj (1) = 0 si 1 ≤ j ≤ n, la somme des éléments de la première colonne de A est égale à 1
et la somme des éléments de toute autre colonne est égale à 0
V) Etude du cas a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2, ...an = n
k−1
Y
(X − i)
i=0
donc le degré de Lk,k est égal à k
k!
(L0,0 , L1,1, ..., Ln,n) est une famille de polynomes à degrés étagés, c’est donc une famille libre de (n + 1) éléments,
dim (Rn [X]) = n + 1
donc B00 = (L0,0 , L1,1, ..., Ln,n) est une base de Rn [X]
1) L0,0 = 1 , ∀k ∈ {1, ..n} , Lk,k =
Si j ∈ N , Lk,k (j) = Cjk ( en particulier Lk,k (j) = 0 si k > j )
min(n,j)
n
n
X
X
X
k
k
k
(−1) Cjk
(−1) Cjk =
(−1) Lk,k , ∀j ∈ N , P (j) =
Soit P =
k=0
k=0
k=0
n
X
j
k
Si j ≤ n , P (j) = (1 + (−1)) = 0 si 1 ≤ j ≤ n Donc les racines de P =
(−1) Lk,k sont 1, 2, ..., n
1 si j = 0
k=0
n
n Y
(−1)
Remarque : P =
(X − i)
n! i=1
2)
a) Soit PB0→B00 la matrice de passage de la base B 0 à la base B00
n
n
X
X
∀j ∈ {0, ..n} , Lj,j =
Lj,j (i) Li,n =
Cij Li,n donc PB0→B00 = (mij ) 0≤i≤n , avec mij = Cij
i=0
0≤j≤n
i=0
PB0→B00 est donc une matrice triangulaire inférieure
b) A = PB→B0 = PB→B00 × PB00 →B0 = PB→B00 × (PB0 →B00 )
−1
Comme, pour tout k, le degré de Lk,k est égal à k, la matrice PB→B00 est triangulaire supérieure
La matrice inverse d’une matrice triangulaire inférieure étant triangulaire inférieure , (P B0→B00 )
triangulaire inférieure
c) n = 2, a0 = 0, a1 = 1, a2 = 2



1
0
1 0 0
1
PB0→B00 =  1 1 0  ; (PB0→B00 )−1 =PB00 →B0 =  −1
1 −2
1 2 1
 
 

1 0
0
1
0
0
2 −1/2  =  0 1 −1/2  × 
A =  −3/2
donc
0 0
1/2
1/2 −1
1/2
−1
est



1 0
0
0
0  ; PB→B00 =  0 1 −1/2 
0 0
1/2
1

1
0 0
−1
1 0 
1 −2 1
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