ENSAIT concours d`entrée A mathématiques 2

ENSAIT concours d’entr´ee A math´ematiques 2
I) n= 2, a0= 0, a1= 1, a2= 2
1) L0=(X−1) (X−2)
2;L1=−X(X−2) ; L2=X(X−1) 2
soit a, b, c ∈R , P =aL0+bL1+cL2= 0 , P (0) = P(1) = P(2) = 0 donc a=b=c= 0
(L0, L1, L2) est une famille libre de 3 ´el´ements dans un espace vectoriel de dimension 3
B0= (L0, L1, L2) est une base de R2[X]
∀P∈R2[X], P =
2
X
i=0
P(i)Lidonc les composantes dans B0de Psont (P(0), P (1), P (2))
2) La matrice de passage de B`a B0est Aavec A=
1 0 0
−3/2 2 −1/2
1/2−1 1/2
Le polynome caract´eristique de Aest χA(λ) = 
1−λ0 0
−3/2 2 −λ−1/2
1/2−1 1/2−λ
= (1 −λ)λ2−5
2λ+1 2
il admet 3 racines r´eelles distinctes 1,5
4±√17 4donc Aest diagonalisable
1 est valeur propre enti`ere et le sous-espace propre associ´e est engendr´e par 
1
1
−1
3) Un polynome de R2[X] est enti`erement d´etermin´e par ses coordonn´ees dans B0, donc par P(0), P (1), P (2)
P(X) = P(0) + P(1)X+P(2)X2si et seulement si Pa les mˆemes coordonn´ees dans Bet B0
donc si et seulement si 
P(0)
P(1)
P(2)
=A
P(0)
P(1)
P(2)
soit si et seulement si 
P(0)
P(1)
P(2)
est un vecteur propre de A
associ´e `a la valeur propre 1
donc P(X) = P(0) + P(1)X+P(2)X2⇔∃k∈R , P (X) = k1 + X−X2
II) Retour au cas g´en´eral
1) Soit (λ0, ...λk)∈Rn+1, Q =
n
X
k=0
λkLk= 0 ,∀k∈ {0, ..n}, Q (ak) = λk= 0
(Lk)0≤k≤nest une famille libre de (n+ 1) ´el´ements dans un espace vectoriel de dimension (n+ 1) . C’est donc
une base de Rn[X]
∀P∈Rn[X], P =
n
X
i=0
P(ai)Lidonc les composantes dans B0de Psont (P(a0), P (a1), ...P (an))
2) Aest la matrice de passage de B`a B0, donc Aest inversible
A−1est la matrice de passage de B0`a B, d’apr`es 1) , ∀j∈ {0, ..n}, Xj=
n
X
i=0
aj
iLi
donc A−1= (mij)0≤i≤n
0≤j≤n
avec mij =aj
i;A−1=
1a0a2
0··· an 0
.
.
.
1aia2
ian i
.
.
.
1ana2
nan n
3) Soit Q=
n
X
i=0
Li−1,∀j∈ {0, ..n}, Li(j) = δij donc Q(j) = 0
Qest un polynome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a n, il a au moins (n+ 1) racines, il est donc nul
n
X
i=0
Li= 1
Les coordonn´ees dans la base Bde
n
X
i=0
Lisont donc (1,0, .., 0)
donc la somme des ´el´ements de la premi`ere ligne de Aest ´egale `a 1
et la somme des ´el´ements de toute autre ligne est ´egale `a 0
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III) Etude du cas a0= 0
1) La premi`ere coordonn´ee dans la base Bde Ljest Lj(0) , donc la premi`ere ligne de la matrice Aest (1,0,0, .., 0)
Le polynome caract´eristique de A:χA(λ) est donc factorisable par (1 −λ)
λ= 1 est valeur propre de A
2) Soit ϕl’endomorphisme de Rn[X] tel que ∀j∈ {0, ..n}, ϕ Xj=Lj
Dans la base B,ϕa pour matrice Aqui admet 1 comme valeur propre
Il existe donc un polynome non nul de Rn[X] tel que ϕ(P) = P, donc
∃(b0, b1, .., bn)∈Rn+1 − {(0,0, .., 0)}, P =
n
X
i=0
biXi=
n
X
i=0
biLi
Or si P=
n
X
i=0
biLialors bi=P(ai) donc ∃P∈Rn[X], P 6= 0 , P (X) =
n
X
i=0
P(ai)Xi
IV) Etude du cas a0= 1
Si
b0
b1
.
.
.
.
.
.
bn
est la ji`eme colonne de A,Lj=
n
X
i=0
biXidonc Lj(1) =
n
X
i=0
bi
Comme L0(1) = 1 et Lj(1) = 0 si 1 ≤j≤n, la somme des ´el´ements de la premi`ere colonne de Aest ´egale `a 1
et la somme des ´el´ements de toute autre colonne est ´egale `a 0
V) Etude du cas a0= 0, a1= 1, a2= 2, ...an=n
1) L0,0= 1 ,∀k∈ {1, ..n}, Lk,k =
k−1
Y
i=0
(X−i)
k!donc le degr´e de Lk,k est ´egal `a k
(L0,0, L1,1, ..., Ln,n) est une famille de polynomes `a degr´es ´etag´es, c’est donc une famille libre de (n+ 1) ´el´ements,
dim (Rn[X]) = n+ 1
donc B00 = (L0,0, L1,1, ..., Ln,n) est une base de Rn[X]
Si j∈N , Lk,k(j) = Ck
j( en particulier Lk,k(j) = 0 si k > j )
Soit P=
n
X
k=0
(−1)kLk,k ,∀j∈N , P (j) =
n
X
k=0
(−1)kCk
j=
min(n,j)
X
k=0
(−1)kCk
j
Si j≤n , P (j) = (1 + (−1))j= 0 si 1 ≤j≤n
1 si j= 0
Donc les racines de P=
n
X
k=0
(−1)kLk,k sont 1,2, ..., n
Remarque : P=(−1)n
n!
n
Y
i=1
(X−i)
2)
a) Soit PB0→B00 la matrice de passage de la base B0`a la base B00
∀j∈ {0, ..n}, Lj,j =
n
X
i=0
Lj,j (i)Li,n =
n
X
i=0
Cj
iLi,n donc PB0→B00 = (mij )0≤i≤n
0≤j≤n
,avec mij =Cj
i
PB0→B00 est donc une matrice triangulaire inf´erieure
b) A=PB→B0=PB→B00 ×PB00 →B0=PB→B00 ×(PB0→B00 )−1
Comme, pour tout k, le degr´e de Lk,k est ´egal `a k, la matrice PB→B00 est triangulaire sup´erieure
La matrice inverse d’une matrice triangulaire inf´erieure ´etant triangulaire inf´erieure , (PB0→B00 )−1est
triangulaire inf´erieure
c) n= 2, a0= 0, a1= 1, a2= 2
PB0→B00 =
100
110
121
; (PB0→B00 )−1=PB00 →B0=
1 0 0
−1 1 0
1−2 1
;PB→B00 =
1 0 0
01−1/2
0 0 1/2
donc A=
1 0 0
−3/2 2 −1/2
1/2−1 1/2
=
1 0 0
01−1/2
0 0 1/2
×
1 0 0
−1 1 0
1−2 1
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