MP2 MATH´EMATIQUES ANNALES D`ORAL Années 2006

MP2
MATH´ EMATIQUES
ANNALES D’ORAL
Ann´ees 2006-2007-2008-2009-2010
Mai-Juin 2011 Sylvie Massonnet 1
1. http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
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Table des mati`eres
1 INTRODUCTION 3
2 ANALYSE 4
2.1 CCP....................................................... 4
2.2 CENTRALE .................................................. 17
2.3 TPE....................................................... 28
2.4 MINES ..................................................... 36
2.5 DIVERS..................................................... 42
3 ALG` EBRE 49
3.1 CCP....................................................... 49
3.2 CENTRALE .................................................. 62
3.3 TPE....................................................... 73
3.4 MINES ..................................................... 80
3.5 DIVERS..................................................... 84
4 G´ EOM´ ETRIE 89
4.1 CCP....................................................... 89
4.2 CENTRALE .................................................. 90
4.3 TPE....................................................... 92
4.4 MINES ..................................................... 92
4.5 Divers ...................................................... 92
5 QUESTIONS DE COURS 93
6 CORRIG´ ES 94
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1 MP2 ORAL DE MATH´ EMATIQUES 2010-2011
D´eroulement des ´epreuves
CCP, CENTRALE, TPE
20 `a 30 mn de pr´eparation et 30 mn de passage au tableau. Ces dur´ees peuvent ˆetre r´eduites. Plusieurs exercices
portant sur deux sujets (alg`ebre/analyse) ou (g´eom´etrie/analyse) sont abord´es. Certains exercices sont donn´es en
direct au tableau. Fr´equentes questions de cours, en rapport ou non avec l’exercice.
Aux CCP, barˆeme souvent d´etaill´e (8+12)
A Centrale, Maple `a disposition dans la salle pour l’une des ´epreuves. Usage : calculs d’int´egrales ; de d´eriv´ees
partielles, simulation num´erique, diagonalisation, etc
ENSEA
Environ 10 mn de pr´eparation au tableau puis 20 `a 30 mn de passage ou deux exercices de 15 mn chacun.
INT
Pas de pr´eparation. 30 `a 35 mn au tableau.
MINES
1 h d’oral au tableau. Parfois 10 mn de pr´eparation au tableau ou sur feuille.
Les examinateurs
Lire les remarques des fiches d’oral pour mesurer la diversit´e des attitudes. Il faut savoir s’adapter. Etablir le
contact et le dialogue. Parler distinctement. Regarder l’examinateur. Organiser les calculs. Pr´esenter les id´ees. Citer
les connaissances mises en oeuvre avec pr´ecision par exemple les th´eor`emes. Ne pas se d´emonter `a la moindre question
ou remarque. Bannir les mouvements d’humeur. Ne pas jouer la montre.
Il ne s’agit pas tant de r´esoudre les exercices pos´es que d’ ˆetre actif et r´eactif en proposant des id´ees et en
montrant ses connaissances.
Suivre la pr´eparation `a l’oral.
⋆Pour r´eviser les contenus, m´ethodes et exercices classiques, et d´evelopper les capacit´es de re-
cherche.
⋆⋆ Pour travailler sur la forme, le dialogue, l’adaptation `a une situation.
Les exercices d’une mˆeme planche sont archiv´es s´epar´ement. Les fiches envoy´ees par les ´etudiants des ann´ees
ant´erieures vous donnent des exemples de regroupements.
Site : http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
Certains corrig´es d’exercices et les rectificatifs ´eventuels d’´enonc´es seront sur le site apr`es la fin des cours.
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2 ANALYSE
2.1 Concours communs polytechniques
Ann´ee 2010
CCP 1 8 points
a- Soit une suite (an)n∈Nune suite born´ee telle que andiverge. Quel est le rayon de convergence de anzn
b- Calculer le rayon de convergence de cos(nπ
2)zn
CCP 2 8 points
Soient (an)n∈Net (bn)n∈Ndeux suites complexes .
a- Montrer que si |an| ∼ |bn|alors 
n>0
anznet 
n>0
bnznont le mˆeme rayon de convergence.
b- Calculer le rayon de convergence de 
n>0
n2
n2+1 zn
CCP 3 8 points
n>1
(−1)nSnxnavec Sn=
n
k=1
1
k
a- Rayon de convergence ?
b- Somme ?
CCP 4
1- Soit vn=(−1)n
nao`u a∈R. Nature de vn?
2- Soit un=1
ln n+(−1)nna
a- (un)nest-elle altern´ee ?
b- Comportement de (un−vn) ?
c- En d´eduire le comportement de un?
CCP 5 8 points
a- D´eveloppement en s´erie enti`ere de x7→ arctan x
b- Montrer que la somme de cette s´erie enti`ere est continue sur [0,1]
c- Calculer
+∞
n=0
(−1)n
2n+1
CCP 6 12 points Soit f:x7→
+∞
n=1
1
n2arctan(nx)
a- Montrer que fest continue sur Ret C1sur R∗
4

b- Calculer le rayon de convergence et la somme de
+∞
n=0
cosh(n)x3n+1
CCP 7 8 points
a- Int´egrabilit´e de x7→ ln x
1+x2sur ]0,+∞[
b- Int´egrabilit´e de x7→ e−x
√x−1sur ]1,+∞[
CCP 8 Soit t∈[0,π
4]. Int´egrale curviligne le long de la courbe (γ)(cos t−→
i+ sin t−→ j+t−→ kde −→ V(x, y, z) = (z+y)−→ i+ (x+
z)−→ j+ (x+y)−→ k
a- Calcul direct
b- Calcul en introduisant une fonction scalaire U(x, y, z)
CCP 9
Soit fde [a, b] dans Kde classe C1avec 0 < a < 1< b telle que f(1) ̸= 0. On d´efinit fn(x) = f(x)
1+xn
a- In=abfn(x)dx Calculer la limite de Inquand ntend vers +∞.
b- Montrer que 1
axnfn(x)dx ∼+∞f(1) ln 2
n
CCP 10
Calculer D(xy −1)dxdy avec D={(x, y)∈R2, x >0, y >0, x +y−160}
CCP 11 12 points f(x) = 2x
xe−t2dt
1- Etudier fet donner un ´equivalent de fen +∞
2- D´evelopper fen s´erie enti`ere au voisinage de 0
3- Calculer I=+∞
0f(x)dx
CCP 12 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn)nd´efinie par : fn(x) = cos( n
n+1 x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
CCP 13
Soit xe−nx
nαavec x∈[0,1] et α∈R
a- Convergence simple de cette s´erie de fonctions ?
b- Convergence normale ?
c- Convergence uniforme ?
CCP 14 12 points
Soit r∈]0,1[ et f(x) = rncos(nx)
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