MP2 MATH´EMATIQUES ANNALES D`ORAL Années 2006

MP2
MATHÉMATIQUES
ANNALES D’ORAL
Années 2006-2007-2008-2009-2010
Mai-Juin 2011
Sylvie Massonnet 1
1. http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
1
Table des matières
1 INTRODUCTION
3
2 ANALYSE
2.1 CCP . . . . .
2.2 CENTRALE
2.3 TPE . . . . .
2.4 MINES . . .
2.5 DIVERS . . .
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4
4
17
28
36
42
3 ALGÈBRE
3.1 CCP . . . . .
3.2 CENTRALE
3.3 TPE . . . . .
3.4 MINES . . .
3.5 DIVERS . . .
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49
49
62
73
80
84
4 GÉOMÉTRIE
4.1 CCP . . . . .
4.2 CENTRALE
4.3 TPE . . . . .
4.4 MINES . . .
4.5 Divers . . . .
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89
89
90
92
92
92
5 QUESTIONS DE COURS
93
6 CORRIGÉS
94
2
1
MP2 ORAL DE MATHÉMATIQUES 2010-2011
Déroulement des épreuves
CCP, CENTRALE, TPE
20 à 30 mn de préparation et 30 mn de passage au tableau. Ces durées peuvent être réduites. Plusieurs exercices
portant sur deux sujets (algèbre/analyse) ou (géométrie/analyse) sont abordés. Certains exercices sont donnés en
direct au tableau. Fréquentes questions de cours, en rapport ou non avec l’exercice.
Aux CCP, barême souvent détaillé (8+12)
A Centrale, Maple à disposition dans la salle pour l’une des épreuves. Usage : calculs d’intégrales ; de dérivées
partielles, simulation numérique, diagonalisation, etc
ENSEA
Environ 10 mn de préparation au tableau puis 20 à 30 mn de passage ou deux exercices de 15 mn chacun.
INT
Pas de préparation. 30 à 35 mn au tableau.
MINES
1 h d’oral au tableau. Parfois 10 mn de préparation au tableau ou sur feuille.
Les examinateurs
Lire les remarques des ﬁches d’oral pour mesurer la diversité des attitudes. Il faut savoir s’adapter. Etablir le
contact et le dialogue. Parler distinctement. Regarder l’examinateur. Organiser les calculs. Présenter les idées. Citer
les connaissances mises en oeuvre avec précision par exemple les théorèmes. Ne pas se démonter à la moindre question
ou remarque. Bannir les mouvements d’humeur. Ne pas jouer la montre.
Il ne s’agit pas tant de résoudre les exercices posés que d’ être actif et réactif en proposant des idées et en
montrant ses connaissances.
Suivre la préparation à l’oral.
⋆ Pour réviser les contenus, méthodes et exercices classiques, et développer les capacités de recherche.
⋆⋆ Pour travailler sur la forme, le dialogue, l’adaptation à une situation.
Les exercices d’une même planche sont archivés séparément. Les ﬁches envoyées par les étudiants des années
antérieures vous donnent des exemples de regroupements.
Site : http ://perso.orange.fr/Sylvie.Massonnet
Certains corrigés d’exercices et les rectiﬁcatifs éventuels d’énoncés seront sur le site après la ﬁn des cours.
3
2
ANALYSE
Concours communs polytechniques
2.1
Année 2010
CCP 1 8 points
a- Soit une suite (an )n∈N une suite bornée telle que
∑
an diverge. Quel est le rayon de convergence de
n
b- Calculer le rayon de convergence de cos( nπ
2 )z
CCP 2 8 points
Soient (an )n∈N et (bn )n∈N deux suites complexes .
∑
∑
a- Montrer que si |an | ∼ |bn | alors
an z n et
bn z n ont le même rayon de convergence.
n>0
∑
b- Calculer le rayon de convergence de
n>0
CCP 3 8 points
n
∑
∑
(−1)n Sn xn avec Sn =
n>1
k=1
n>0
2
n
n
n2 +1 z
1
k
a- Rayon de convergence ?
b- Somme ?
CCP 4
1- Soit vn =
(−1)n
na
2- Soit un =
1
ln n+(−1)n na
où a ∈ R. Nature de
a- (un )n est-elle alternée ?
∑
b- Comportement de (un − vn ) ?
c- En déduire le comportement de
∑
∑
vn ?
un ?
CCP 5 8 points
a- Développement en série entière de x 7→ arctan x
b- Montrer que la somme de cette série entière est continue sur [0, 1]
+∞
∑ (−1)n
c- Calculer
2n+1
n=0
CCP 6 12 points Soit f : x 7→
+∞
∑
n=1
1
n2
arctan(nx)
a- Montrer que f est continue sur R et C 1 sur R∗
4
∑
an z n
b- Calculer le rayon de convergence et la somme de
+∞
∑
cosh(n)x3n+1
n=0
CCP 7 8 points
a- Intégrabilité de x 7→
ln x
1+x2
b- Intégrabilité de x 7→
−x
√e
x−1
sur ]0, +∞[
sur ]1, +∞[
→
−
−
→
→
−
−
→
−
→
CCP 8 Soit t ∈ [0, π4 ]. Intégrale curviligne le long de la courbe (γ)(cos t i + sin t j + t k de V (x, y, z) = (z + y) i + (x +
→
−
→
−
z) j + (x + y) k
a- Calcul direct
b- Calcul en introduisant une fonction scalaire U (x, y, z)
CCP 9
Soit f de [a, b] dans K de classe C 1 avec 0 < a < 1 < b telle que f (1) ̸= 0. On déﬁnit fn (x) =
∫
a- In = ab fn (x)dx Calculer la limite de In quand n tend vers +∞.
∫1
b- Montrer que a xn fn (x)dx ∼+∞ f (1)nln 2
CCP 10
∫∫
Calculer
(xy − 1)dxdy avec D = {(x, y) ∈ R2 , x > 0, y > 0, x + y − 1 6 0}
D
CCP 11 12 points f (x) =
∫ 2x
x
e−t dt
2
1- Etudier f et donner un équivalent de f en +∞
2- Développer f en série entière au voisinage de 0
∫ +∞
3- Calculer I = 0 f (x)dx
n
CCP 12 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn )n déﬁnie par : fn (x) = cos( n+1
x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
CCP 13
∑ e−nx
Soit
x nα avec x ∈ [0, 1] et α ∈ R
a- Convergence simple de cette série de fonctions ?
b- Convergence normale ?
c- Convergence uniforme ?
CCP 14 12 points
Soit r ∈]0, 1[ et f (x) = rn cos(nx)
5
f (x)
1+xn
∑
fn converge normalement. calculer sa somme S
∫x
b- Montrer que 0 sin(t2 )dt a une limite notée I
a- Montrer que
c- Montrer que
d- En déduire
1−r 2
1+r 2 −2r cos(x)
∫ 2π
0
+∞
∑
=1+2
rn cos(nx)
n=1
cos(nx)
1+r 2 −2r cos(x) dx
n
CCP 15 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn )n déﬁnie par : fn (x) = cos( n+1
x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
Année 2009
CCP 16 8 points
a- Montrer que si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites positives telles que un ∼ vn alors
nature.
b- En déduire la convergence absolue de la série de terme général un =
1
(1+i) sin( n
)
√
n
CCP 17 8 points
Rayon de convergence de
∑ α n
an z
∑
n
bcos( 2nπ
3 )z
CCP 18 8 points
y ′ + x22x
−1 y = x
Résoudre sur ]1, +∞[
CCP 19 8 points
Résoudre y ′ −
x
x2 −1 y
= 2x sur ]1, +∞[
CCP 20
an (θ) = cos(nθ)
a- Lorsque c’est possible calculer
+∞
∑
cos(nθ)
n=0
b- Si θ ̸= 0(2π) montrer que la suite (an (θ))n n’a pas de limite
+∞
∑
∑
c- Calculer le rayon de convergence R de
an (θ)xn et lim−
cos(nθ)xn
x→R
CCP 21 un (x) =
(1)n e−x
n
√
n
F (x) =
+∞
∑
un (x)
n=1
a- Domaine de déﬁnition de F et continuité ?
6
n=0
∑
un et
∑
vn ont même
b- Dérivabilité de F ?
c- Limite de F en +∞ ?
CCP 22
Exercice 8 points
a- Soient une suite d’applications (fn )n et une application f déﬁnies sur A vériﬁant :∃(αn )n suite de limite nulle
telle que
∀x ∈ A, |fn (x) − f (x)| 6 αn
Montrer que (fn )n converge uniformément vers f .
b- La suite de fonctions complexes (z 7→ z n )n converge-t-elle uniformément sur D(0, 12 ) ? Sur D(0, 1)
CCP 23 12 points Soit α > 0. pour tout n > 0, un =
(
1.3.....(2n−1)
2.4.....(2n)
)α
∑
ln(1 − k1 ). Montrer que
vk converge
n
∑
b- Montrer que ∀n ∈ N, ln(un ) = α[
vk − ln(2) − 21 ln(n)]
k=2
∑
c- CNS sur α pour que
un converge.
a- ∀k > 2, vk = ln(1 −
1
2k )
−
1
2
CCP 24
a- Résoudre x(1 − x)y ′′ − xy ′ + y = 0
b- Trouver les fonctions continues sur [0, 1] telles que
∫x
1−x
f (t)
t dt
= f (x)
CCP 25 12 points
√
f paire telle que pour x ∈ [0, π], f (x) = x
a- Représenter f . Calculer la série de Fourier de f ( Calcul de a0 , laisser an sous forme intégrale)
∫x
b- Montrer que 0 sin(t2 )dt a une limite notée I
c- Trouver A tel que an ∼
A
3
n2
d- En déduire la convergence de la série de Fourier de f . A-ton f = S ? ( S somme de la s de Fourier)
n
CCP 26 8 points. Deux fois Soit la suite de fonctions (fn )n déﬁnie par : fn (x) = cos( n+1
x)
a- Convergence simple
b- Convergence uniforme sur [−a, a] avec a > 0
c- Montrer qu’il n’y a pas CV uniforme sur R
CCP 27 8 points
1
a- Montrer que ∀n ∈ N, t 7→ 1+t2 +t
n e−t est intégrable sur [0, +∞[
∫ +∞
dt
b- On pose un = 0
1+t2 +tn e−t . Calculer la limite de un quand n tend vers +∞
CCP 28 12 points
∫x
∫π
x2
2
f (x) = 0 e−t dt, g(x) = 04 e− cos2 θ dθ
7
1- Montrer que f 2 + g = cste
∫∞
2
2- Calcul de 0 e−t dt
∫ +∞? −θ2 − x2
′
∗
cos2 θ dθ Sachant que h (x) = −2h(x) sur R . Trouver une expression simple de
3- Pour x ∈ R, h(x) = 0
e
+
∗
h(x) sur R+ puis sur R
Année 2008
CCP 29
un =
1
n(ln n)α
a- Montrer que si α 6 0 la série de terme général un diverge
b- Lorsque α > 0 étudier la convergence de la série
CCP 30 8 points. 2 fois
1- Soit (fn )n∈N une suite d’applications continues convergeant uniformément vers f sur [a, b]. Montrer que
∫b
converge vers a f (x)dx
+∞
∫ 1 +∞
∑ n
∑
1
2- Montrer que 02
x dx =
(n+1)2n+1
n=0
n=0
CCP 31 2 fois
1- Enoncer le théorème de dérivabilité de l’intégrale à paramètres.
∫ +∞
2
2- Montrer que f : x 7→ 0 e−t cos(tx)dt est C 1 sur R
3- Trouver une équation diﬀérentielle vériﬁée par f et la résoudre.
CCP 32 8 points. Exercice de cours
1
−x2 + x + 2
a. Développement en série entière de f au voisinage de 0.
b. Développement limité de f en 0 à l’ordre 3. Justiﬁer le lien entre DSE et DVL
f (x) =
CCP 33 8 points
1- Montrer que ∀z ∈ C,
∑ zn
n!
est absolument convergente. On pose f (z) =
+∞
∑
n=0
2- Montrer que ∀(z, z ′ ) ∈ C2 , f (z + z ′ ) = f (z).f (z ′ )
1
3- En déduire que ∀z ∈ C, f (z) ̸= 0 et f (−z) = f (z)
CCP 34 8 points
{
f (x, y) =
√
0
si
(x, y) = (0, 0)
sinon
xy
(x2 +y 2 )
8
zn
n! .
∫b
a
fn (x)dx
a- Montrer que f est continue sur R2
b- Montrer que f admet des dérivées partielles en tout point de R2 . Dire si f est C 1
CCP 35 Pour X ∈ R+ , C(X) = {(x, y) ∈ (R+ )2 , x2 + y 2 < X 2 }.
∫X
2
F (X) = 0 e−t dt
∫∫
∫∫
2
2
2
2
√ e−(x +y ) dxdy
e−(x +y ) dxdy 6 (F (X))2 6
a- Montrer que
C(X)
C(X 2)
∫ +∞
2
b- En déduire 0 e−t dt
CCP 36 8 points
Calculer
∫
+∞
lim
n→+∞
1+
0
CCP 37
∫
+∞
Γ(x) =
t2
dt
+ tn e−t
tx−1 e−t dt
0
a- Domaine de déﬁnition de Γ
∫n
b- Calculer In,p (x) = 0 tx−1 (1 − nt )p dt
c- Justiﬁer que (1 − nt )n etnd vers e−t et en déduire Γ(x) =
CCP 38 12 points
Montrer que
∫1
dt
0 1+t4
=
+∞
∑
k=0
(−1)k
4k+1
CCP 39
f (x, y) = x2 y + ln(1 + y 2 )
1- Vériﬁer que le théorème des fonctions implicites ne s’applique pas à l’origine
2- Soit Γ = {(x, y)/ f (x, y) = 0}. Montrer que tout point proche de l’origine est l’intersection de l’axe des abscisses
et d’une courbe dont on précisera la tangente à l’origine
3- Combien existe-t-il de fonctions y 7→ g(y) telles que le graphe de g soit inclus dans Γ ?
4- Déterminer les extrema locaux de f .
CCP 40 12 points
On déﬁnit f 2π périodique et paire par ∀x ∈ [0, π], f (x) = x2 .
1- Type de convergence de la série de Fourier ?
2- Calcul des coeﬃcients
+∞
+∞
∑ (−1)n
∑
3- Calcul de
puis
n2
n=1
n=1
1
n2
CCP 41 12 points
Soit la suite de fonctions fn (x) = n2 x(x − 1)n + arcsin(x − 1) déﬁnie de [0, 2] dans R
9
a- Domaine de convergence simple ?
b- Y-a-t-il convergence uniforme sur [α, 2 − α] ? Sur [0, 1] ?
CCP 42 12 points
Soit f ∈ C 0 ([0, T ], R)
a- Montrer que
∫
t
∀t ∈ [0, T ],
f (u)du = lim
x→+∞
0
b- Soit g telle que ∀n ∈ N,
∫T
0
∫
+∞
∑
(−1)k−1
k=1
k!
T
ekx(t−u) f (u)du
0
enu g(u)du = 0. Montrer que g est nulle.
CCP 43
12 pts
∑
On note ℓ1 = {(an )n∈N /
|an | converge }
∑
a- Soit
an xn de rayon de convergence R. A-t-on (an )n∈N ∈ ℓ1 ?
(n)
A-t-on ( f n!(0) )n∈N ∈ ℓ1 ?
∑
c- Soit ℓ2 = {(an )n∈N /
|an |2 converge }. A-t-on ℓ1 ⊂ ℓ2 ?
b- Soit f : x 7→
1
(2−x)(3−x)
CCP 44
(E) xy′ + 2y =
1
1+x
1- Trouver les solutions de (E) sur ]0, +∞[ qui admettent une limite ﬁnie en 0.
2- Trouver les solutions de (E) développables en série entière au voisinage de 0.
Année 2007
CCP 45
Développement en série entière au voisinage de 0 de f (x) = ex . cos x
CCP 46
fn (x) = xn + xn−1 + . . . + x − 1 déﬁnie sur R+
a. Montrer qu’il existe an tel que fn (an ) = 0
b. Montrer que an+1
= 2an − 1 et en déduire la limite de an
n
c. Limite et équivalent en +∞ de 2n ann
CCP 47
(E) xy” + y ′ + xy = 0
a. Montrer l’exitence d’une solution DSE telle que f (0) = 1
∫π
∫π
b. Comparer f avec g : x 7→ π1 0 cos(x cos t)dt et en déduire 0 (cos(t))2n dt
CCP 48 12 points On considère la série de fonctions
∑ xe−nx
nα
10
a. Etudier sa convergence simple
b. Etudier la convergence uniforme selon α
c. Etudier la convergence normale selon α
CCP 49 2 points Soit f déﬁnie sur (R+ )2
e−tx
f (x, t) =
1 + x2
2
a. Montrer que x 7→ f (x, t) est intégrable sur R+ . On pose
∫
+∞
F (t) =
f (x, t)dx
0
b. Montrer que F est C 0 sur R+ et C 1 sur R∗+
c. Exprimer f en utilisant la fonction θ(t) =
2
√
t
∫t
e−v dv
2
0
CCP 50 8 points
a. Démontrer la formule de Leibniz
b. Calculer la dérivée n-ième de f (x) =
e2x
1+x
CCP 51 8 points
1
a. Montrer que ∀n, t 7→ 1+t2 +t
n e−t est intégrable sur [0, +∞[
∫ +∞
1
b. un = 0
1+t2 +tn e−t dt Calculer la limite de (un )n .
CCP 52 12 points
∫
e−xt sin t
dt
t
+∞
f (x) =
0
a. Montrer que f est déﬁnie sur [0, +∞[ et calculer lim f (x)
x→+∞
b. Montrer que f est continue et dérivable sur ]0, +∞[
c. Calculer f ′ (x) et en déduire f (x)
d. En admettant que f est continue en 0 calculer
∫
+∞
I=
0
sin t
dt
t
CCP 53
(
)n
Soit la suite de fonctions un (x) = x cos( nx )
)n
(
a. Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], lim cos( nx ) = 1
n→+∞
b. Etudier la convergence simple de la suite (un )n∈N sur ] − 1, 1] et montrer que cette suite ne convege pas uniformément.
c. Montrer que (un )n est décroissanteà partir d’un certain rang.
11
CCP 54
Pour n ∈ N∗ \ {1, 2} on pose In = [1 − n1 , 1[.
a. Soit p ∈ R. intégrabilité de x 7→
b. Même question pour x 7→
(ln x)p
√
1+x2
| ln x|p
√
1+xp
c. Etudier la série de terme général un =
sur In en fonction de p
∫
In
|(ln x|p
√
dx
1+x2
CCP 55 12 points
1. Soient f et g continues positives sur [α, +∞[telles que f (t) ∼t→+∞ g(t)
Montrer que si f est intégrable alors g aussi et
∫
∫
+∞
+∞
f (t)dt ∼x→+∞
x
g(t)dt
x
2. Soit (a, b, c, d) ∈ R4 avec a > 0. Montrer que pour n assez grand,
∫ +∞
∫ +∞
1
d
at2 +bt+c dt existe. Nature de la série de terme général un = n + n
n
1
at2 +bt+c dt
CCP 56
a. Montrer que la convergence normale implique la convergence uniforme
∑ n2 n
b. Montrer que la série de fonctions
n! z converge uniformément sur tout disque de rayon r > 0
n>0
CCP 57
f (x) =
1
, avec |λ| < 1
1 − 2λ cos(x) + λ2
a. Trouver une relation entre les coeﬃcients de Fourier an (f ) de la forme αan+2 + βan+1 + γan = 0
b. En déduire que f est développable en série de Fourier et préciser le type de convergence.
CCP 58 Soit f : X −→ C
1. Soit f : X −→ C et (fn )n∈N avec fn : X −→ C.
On suppose qu’il existe (αn )n ∈ (R)N telle que lim αn = 0 et
n→+∞
∀x ∈ X, |f (x) − fn (x)| 6 αn
Montrer que (fn )n∈N converge uniformément sur X
2. Est-ce que (z n )n converge uniformément sur D(0, 12 ? Sur D(0, 1) ?
CCP 59 8 points
f (x, y) =
√
1 − x2 − y 2
a. Etude des extrema par méthode analytique
b. Idem par méthode géométrique
12
CCP 60 12 points
Montrer que
∫1
0
ln t. ln(1 − t)dt = 2 −
π2
6 .
( On pourra utiliser
+∞
∑
n=1
1
n2
=
π2
6 )
CCP 61
Soit u une application de classe C k sur R.
Lu
: C k (R)
y
→ C k−1 (R)
7
→
Lu (y) = y ′ + uy
a. Montrer que Lu est linéaire
b. Soit une équation diﬀérentielle de la forme
y” + a(x)y ′ + b(x)y
Conditions sur a et b pour qu’elle puisse s’écrire (Lu ◦ Lu )(y) = 0
c. Résoudre
y ′′ + 2 tanh xy ′ + y = 0
Année 2006
CCP 62 12 points
Soit (an )n∈N une suite réelle positive décroissante convergeant vers 0.
On déﬁnit pour x ∈ [0, 1], un (x) = an xn (1 − x).
Etudier les diﬀérents types de convergences de la série de fonctions de terme général un .
CCP 63
(E)xy” + 3y ′ − 4x.3y = 0
a. Montrer qu’il y a une unique série entière solution telle que f (0) = 1.
b. Exprimer f à l’aide de fonctions usuelles.
CCP 64 8 points.
Résoudre sur ]1, +∞[, l’équation diﬀérentielle suivante :
y′ −
x2
x
y = 2x
−1
CCP 65 12 points
Soit α ∈ R. pour n > 1 on déﬁnit
1
un = ∑
n
kα
k=1
Etudier la nature de la série de terme général un selon α.
13
CCP 66 8 points. Exercice de cours
a. Si an ∼ bn est-ce que les séries de terme généraux correspondants ont même nature ?
√
b. Nature de la série de terme général (1 + i). n + 2. sin( n12 )
CCP 67 12 points
(−1)n
n!(n + x)
∑
un .
a. Etudier la convergence simple puis la convergence normale de
∀x > 0, ∀n ∈ N, un (x) =
b. Montrer que la somme S est continue puis C 1 sur R∗+ .
En déduire les variations de S.
c. Trouver une relation entre S(x + 1) et S(x).
d. Trouver un équivalent de S en 0 et en +∞
CCP 68 Exercice regroupé avec le suivant =12 points
Soit λ > 0 et
fn : {
R → R
x 7→ 1+λxn .x2
a. Discuter la convergence simple ( suite ou série :à voir )de fonctions selon λ
b. Etudier la convergence uniforme sur R
CCP 69
gn (x) =
∑
ln(1 + 2n .x2 )
,
et
G(x)
=
gn (x)
2n+1
n>0
Domaine de déﬁnition, de continuité et de dérivabilité de G ?
CCP 70 8 points. Cours
∑
Soit une série entière
an z n de rayon R > 0.
n>0
a. Montrer que la série converge uniformément sur B(0, r) pour r < R.
b. Montrer que la somme est continue sur la boule ouverte B(0, R).
CCP 71 8 points
Résoudre y” − y = tanh x
CCP 72
Montrer en utilisant la formule de Stirling que
n
∏
(2k − 1)(2k + 1)
2
=
n→+∞
(2k)2
π
lim
k=1
14
CCP 73 Enoncé faux
un (x) = ln(1 +
x2
)
n(x2 + 1)
Montrer que la série de fonctions de terme général un converge uniformément sur R.
CCP 74 12 points
(−1)n n
.x
nα
un (x) =
a. Etude de la convergence simple.
b. Montrer que la somme est continue sur le domaine de convergence simple.
CCP 75 8 points. Cours avec résultats à démontrer
a. Etude de
b. Etude de
∑
∑
zn
e−x
2
n
CCP 76 12 points
∫
π/2
un = (−1)n
(cos x)n dx
0
a. Etablir la convergence de la série de terme général un .
b. Calculer sa somme.
CCP 77 12 points
Montrer que
∫
1
exp(−t ln t) dt =
0
CCP 78 12 points
Soit
S(x) =
+∞
∑
1
n
n
n=1
+∞
∑
1
x
n
n=1
a. Montrer que S est de classe C ∞ sur son domaine de déﬁnition.
b. Montrer que S a une limite quand x tend vers +∞.
c. Montrer que S(x) ∼1+
1
x−1
CCP 79 Soit f : R → R, 2π− périodique telle que
∀x ∈]0, 2π[, f (x) = (2π − x).x et f (0) = π
Etudier la convergence de la série de Fourier de f et calculer cette série.
15
CCP 80 12 points
Soit g impaire, 2π− périodique telle que
∀x ∈ [0, π[, g(x) = x2 et g(π) = 0
a. Nature de la série de Fourier de g
b. Calcul des coeﬃcients de Fourier.
n
∑
∑
(−1)n
c. Calcul de
+∞ (2n+1)
+∞ (−1)
3 ( avec
2n+1 =
n=0
n=0
CCP 81
f (x) =
π
4 donné)
1
λ2 − 2λ cos(x) + 1
a. Trouver une relation de récurrence entre les coeﬃcients trigonométriques de f .
b. En déduire leur expression.
c. Résultats de convergence de la série de Fourier de f ?
CCP 82 8 points
(E)
∂2z
∂2z
1
x
−
= 2 Φ( )
2
2
∂x
∂y
x
y
a. Montrer que (E) admet des solutions de la forme z(x, y) = f ( xy ).
b. Donner l’ensemble des solutions de (E).
CCP 83 8 points
f (x, y) = √
xy
x2 + y 2
, f (0, 0) = 0
a. Montrer que f est continue sur R2 .
b. Montrer que f admet des dérivées partielles en tout point.
CCP 84 8 points
f (x, y) =
√
9 − x2 − y 2
a. Par les méthodes du cours, étudier les maxima locaux de f sur son domaine de déﬁnition.
b. Par une méthode géométrique, retrouver les résultats.
CCP 85 12 points
Soit f continue ( + hypoth genre f intégrable ) sur R+ et
∫
F (x) =
(
0
a. Calculer la limite de
F (x)
x
+∞
sin(xy) 2
) f (y) dy
y
en +∞
16
b. Montrer que
∫
+∞
0
sin u 2
(
) du =
u
c.
∫
+∞
G(x) =
(
0
∫
+∞
0
sin u
du
u
sin t −2xt
)e
dt
t
1
Montrer que G est C . Calculer G et G(0).
2.2
CENTRALE
Année 2010
CENTRALE 1
u 0 = u1 =
3
2
et un+1 = 1 +
√
un un−1
1- Avec Maple calculer les 20 premiers termes de la suite, ainsi que un − un−1 et un+1 − 21 (un + un−1 )
2- Etudier la convergence de (un )n
3- Montrer que 0 6 un − un−1 6 1 en utilisant la fonction auxiliaire f (x) = 1 +
√
x(1 + x) − x
4- Etc ?
CENTRALE 2 2 fois
Sur ] − ∞, 1[, pour ̸= 0, f (x) =
x
ln(1−x)
1- Montrer que f admet un DL à tout ordre en 0. Avec Maple calculer les 20 premiers termes du DL
+∞
∑
2- Montrer que f est développable en série entière de la forme f (x) =
an xn . On admet que ∀n > 1, an > 0
n=0
En utilisant g(x) =
1
f (x)
trouver une relation de récurrence qui relie an à (a0 , a1 , . . . , an−1 )
∫1
1
dx
3- Justiﬁer l’existence de I = 0 x1 + ln(1−x)
∑ an
∑ an
4- Montrer la convergence de
n et montrer que I =
n
n=1
n>1
CENTRALE 3
∫b
∫b
Soit f ∈ C 0 ([a, b], C) où a < b telle que | a f (x)dx| = a |f (x)|dx. Montrer que f est d’argument constant.
CENTRALE 4 Couplé avec le précédent
1- Résoudre x3 y′′ − 2xy + 3 = 0
2- Existe-t-il une solution déﬁnie sur R ?
CENTRALE 5
Soit f continue sur [0, 1]
∫1
1- lim n 0 xn f (x)dx ?
n→+∞
∫1
2- En déduire lim
n→+∞
∫01
0
xn f (x)dx
xn ex2 dx
∫x√
n sin2n (2πt)dt. Calculer lim Fn (x) avec x ∈]0, 14 [ puis pour x =
n→+∞
∫ π2
2n
x réel. ( Indication : utiliser In = 0 sin (t)dt)
3- On pose Fn (x) = 2π
0
17
1
4
et enﬁn pour tout
4- Montrer la convergence de
∑
n>1
CENTRALE 6
1- Montrer que x 7→
∫x
an
n
∑
et montrer que I =
n=1
an
n
sin t
t dt
a une limite ﬁnie quand x tend vers +∞. La déterminer avec Maple.
∫x
2- Soit a > 0. Montrer que x 7→ a cost t dt a une limite ﬁnie quand x tend vers +∞.
0
3- Résoudre sur ]0, +∞[, y” + y =
1
x
avec Maple.
4- Les solutions admettent-elles des limites en 0 ? Sont-elles bornées ?
Quelles sont celles qui ont une limite en +∞ ?
∫ +∞ sin t
5- Question suppl au tableau Soit x 7→ 0
t+x dt. Montrer que cette fonction existe et qu’elle est solution de
1
y” + y = x .
CENTRALE 7
1- Montrer que
∑
n>1
ζ(2n)
n(2n+1)22n
2- Soit la série entière
∑
converge. En utilisant Maple donner une valeur approchée de sa limite ℓ et de eℓ+1
x2n
2n(2n+1)
a- Calculer son rayon R et sa somme S(x) pour x ∈] − R, R[. Vériﬁer avec Maple
N
∑
1
b- Calculer
)
S( 2n
n=1
c- Retrouver les résultats sur ℓ
CENTRALE 8
Soit n > 2.
{
fn :
{
1- gn :
R+ × R+
(x, t)
→
7
→
R
tn−1 e−xt sinn (x)
R+ → R
n
. Montrer que gn est intégrable sur [0, +∞[
x 7→ sinxn(x)
2- Montrer que fn est intégrables sur R+ × R+ et trouver une relation entre
∫ +∞
gn (x)dx
0
∫∫
R+ ×R+
fn (x, t)dxdt et In =
3- Avec maple calculer I2 , . . . , I10
∫∫
∫ +∞ ∫ +∞
∫ +∞
f (x, t)dxdt = 0 ( 0 fn (x, t)dx)dt et trouver un moyen de calculer 0 fn (x, t)dt
R+ ×R+ n
4- Montrer que
Année 2009
CENTRALE 9 Soit (un )n telle que ∀n > 1 un+1 = un +
un−1
n+1
∑
1- Avec Maple u0 = u1 = 1 calculer un pour n 6 20. Montrer que le rayon de convergence de un xn est strictement
positif.
+∞
∑
2- Trouver l’équation diﬀérentielle vériﬁée par
un xn pour x ∈] − R, R[. en déduire R en résolvant l’équation
n=0
diﬀérentielle avec Maple
3- Etudier la suite
|un |
n2
ainsi que la série de même terme.
CENTRALE 10 Etudier la convergence normale et uniforme de
∑
un avec un (x) =
18
(−1)n x
(1+x2 )n
CENTRALE 11 Soit f ∈ C 0 ([0, 1], R). On pose fn : t 7→ tn f (t)
∑
1- Montrer que
fn converge unformément sur [0, 1] si et seulement si f est dérivable en 1 et f (1) = f ′ (1) = 0
∑
2- On suppose f C 2 sur [0, 1] et f (1) = f ′ (1) = 0 et f ′′ (1) ̸= 0. Montrer que
fn converge normalement sur [0, 1]
CENTRALE 12
∫ +∞
Domaine de def de f (x) = 1
(ln t)x
t(t+1) dt
CENTRALE 13
1- Résoudre
n
∑
cos(kθ) = 0
k=1
2- Soit αn le plus grand des zéros trouvés. Etudier lim
k→+∞
CENTRALE 14 In =
∫
π
2
0
sin(kαk )
k
( A vériﬁer)
cosn (t)dt
1- Etude de la suite (In )n
2- Montrer que ((n + 1)In+1 In )n est constante ( préciser la cste)
3- Equivalent de In ?
∫ +∞
2
4- En déduire 0 e−t dt
CENTRALE 15
1- Montrer qu’il existe une unique fonction f sur R telle que ∀x ∈ [0, π2 ], f (c) = cos(x),
et f est paire et 2π- périodique
∀x ∈] π2 ], f (x) = 0
2- Calculer les coeﬃcients de Fourier de f et indiquer quel type de convergence on a pour la série de Fourier.
3- Résoudre sur [−π, π],
y ′′ + y = f
4- CNS sur les coeﬃcients de Fourier de f pour qu’il existe g somme de série trigonométrique telle que g ′′ + ag = f
avec a ﬁxé ( ...)
Maple utilisable pour coefs de Fourier et eq dif...
CENTRALE 16
1- Soit f continue sur R dérivable en 0 et (n, p) ∈ N∗2 . calculer lim
np
∑
n→0 k=0
f ( nk2 )
2- A rechercher...
CENTRALE 17
1-
a- Soit f une fonction positive continue sur [a, +∞[ avec a > 0. On suppose que f est intégrable sur [a, +∞[.
Montrer que xf (x) tend vers 0 quand x tend vers +∞.
b- Montrer que pour une fonction positive continue sur [a, +∞[ la condition xf (x) tend vers 0 quand x tend
vers +∞ ne suﬃt pas pour avoir f intégrable.
2-
a- Soit f une fonction positive uniformément continue sur [a, +∞[. Montrer que si f est intégrable sur [a, +∞[
alors f (x) tend vers 0 en +∞.
19
b- Donner un exemple de fonction uniformément continue positive décroissante sur [a, +∞[ non intégrable.
CENTRALE 18 Pour x ∈]0, +∞[, fn (x) =
xn
(sinh(x))n
et un =
∫ +∞
0
fn (x)dx
1- Existence de (un )n∈N
2- Montrer que (un )n converge et calculer sa limite
3- DSE de
1
(1−x)n+1
4- Montrer que fn (x) =
∑
2n xn
(n+p−1)
p
e−(n+2p)x
5- En déduire un
6- Calculer u1 , u2
7- Par dècomposition en éléments simples calculer u1 0
CENTRALE 19
1- (E, ∥ ∥) un R- espace vectoriel ( je suppose de dim ﬁnie) et F un sev de E. Φ une forme linéaire sur F qui vériﬁe
∀x ∈ F, |Φ(x)| 6 ∥x∥
On se propos de montrer que Φ est prolongeable sur E
a- Soit a ∈ E\F . Montrer que ∀(x, x′ ) ∈ F 2 , Φ(x) − ∥x + a∥ 6 ∥x′ − a∥ − ϕ(x′ ).
En déduire qu’il existe λ ∈ R tel que : ∀(x, x′ ) ∈ F 2 , Φ(x) − ∥x + a∥ 6 ∥λ 6 x′ − a∥ − ϕ(x′ )
b- Montrer qu’alors on peut prolonger Φ à F ⊕ V ect(a) en une forme Φ telle que
∀x ∈ F ⊕ V ect(a), |Φ(x)| 6 ∥x∥
c- En déduire par récurrence que Φ est prolongeable sur E.
2- On ﬁxe E = Rn . On déﬁnit sur Mn (R), |∥A∥| = max ∥AX∥ =
∥X∥=1
max ∥AX∥ .
∥X∥=1̸=0 ∥X∥
Soir enﬁn u ∈ E de norme 1. (
On ” confond” colonnes et n-uplets)
a- Montrer qu’il existe un supplémentaire de V ect(u) tel que
∀(x, s) ∈ R × S, |x| 6 ∥xu + s∥
En déduire qu’il existe P ∈ Mn (R) telle que P u = 0 et |∥A − P ∥| = ∥Au∥
b- Dans cette question A ∈ GLn (R). Montrer que d(A, Mn (R\GLn (R)) =
1
|∥A−1 ∥
Année 2008
CENTRALE 20
S1 (x) =
S2 (x) =
+∞
∑
1
sinh(nx)
n=1
+∞
∑
1
2
(sinh(nx))
n=1
1- Calculer S1 (10−2 ) et S1 (10−3 ) avec Maple à 10−3 près
2- calculer les équivalents en 0 de S1 et de S2
CENTRALE 21
1- f (x, y) =
√
x2 + (y − a)2 +
√
y 2 + (x − a)2 Calcul des extrema de f sur R × R
2- g(x, y, z) = xln(x) + y ln(y) + z ln(z) Ensemble de déﬁnition et calcul des extrema
20
3- x4 + y 4 − 2(x − y)2 Calcul des extrema de f sur R × R
CENTRALE 22 Exercice couplé avec le suivant
Résoudre
(1 + x2 )y′′ + 2xy′ +
1
y=1
1 + x2
Indication : poser x = tan(t)
CENTRALE 23 Exercice couplé avec le précédent
Montrer que
∫
1
0
+∞
∑
ln(x). ln(1 − x)
1
dx =
x
n3
n=1
CENTRALE 24 Exercice couplé avec le suivant
xy′′ + 2xy′ + xy = 0
( vérif signe)
1- Trouver les solutions DSE0
2- Résoudre en posant y(x) = φ(x) sin(x)
x
CENTRALE 25 Exercice couplé avec le précédent
∫1
Etudier la onvergence de la série de terme général un (x) = ( 0 (1 − t)n dt)xn
CENTRALE 26
∫
1
an =
√
0
1- Existence des an
2- nature de la série
∑
tn
dt
1 − t3
an xn ?
3- A-t-on an v an+1 ?
4- Trouver un équivalent de an en +∞
CENTRALE 27 Pour n ∈ N∗ on pose un =
∫ +∞
0
x
coshn (x) dx
1- Justiﬁer l’existence de (un )n∈N∗
2- Etudier la convergence de la suite et préciser éventuellement sa limite.
3- Calculer u2 sous forme de somme de séries
4-
a- Calculer un pour n ∈ [|2; 20|] à l’aide de Maple.
b- trouver une relation de récurrence entre un et un−2
p
∏
2k−1
5- n = 2p et p > 2. On pose Qp =
2k−2
Calculer Qp u2p − Qp−1 u2p−2
k=2
6- En déduire que (Qp u2p )p>2 est convergente
21
7- Etudier la nature de
∑
un
CENTRALE 28 Soit f ∈ C 0 (R, R), 2π - périodique. on pose
∫ 2π
∫
1
1 n
N (f ) =
f 2 (t)dt et Fn (x) =
f (t + x)f (t)dt
2π 0
n 0
1- Limite simple de (Fn )n ?
2- Y-a-t-il convergence uniforme ?
3- Comparer N (f ) et ∥f ∥∞ ?
CENTRALE 29 Questions indépendantes
∑
1- (un )n∈N avec u1 = u2 = 1 et un+2 = ln(n + 1)un+1 + ln(n)un . Que dire du rayon de convergence de
un xn
2- Soit (un )n suite réelle à tremes strictement positfs. Pour n ∈ N∗ on ose
αn =
n
1 ∑ k2
n2
uk
k=1
√
a- Montrer que
b- Montrer que
n(n+1)
2
n
n
∑
uk
k=1
c- En déduire que si
6
n2 αn
n
∑
uk
k=1
6 2(αn − αn+1 +
∑
1
uk
1
un+1 )
converge alors
∑
n
n
∑
uk
converge.
k=1
CENTRALE 30 Avec des questions de cours concernant les sommations des relations de comparaison
0 < a < 1. Soient deux suites (un )n et (vn )n positives telles que
√
∀n > 1, vn+1 = avn + (1 − a) un + vn2
1- Calculer les premiers termes de la suite vn dans les cas suivants : un = 1 un =
1
n+1
un =
1
(n+1)2
2- On suppoqe que la suite (vn )n converge. Que peut-on dire de la suite (un )n ?
3- Etudier alors la série de terme général un
∑
un ?
4- On suppose que la suite (vn )n diverge. Que dire de
CENTRALE 31
∫
f (x) =
0
+∞
arctan(xt)
dt
t(t + 1)
Domaine de déﬁnition, continuité, dérivabilité, calcul de f ′ limites et équivalents simples de f en 0 et en +∞
CENTRALE 32
1- (E) y′′ + α(t)y′ + β(t)y = 0 avec α et β continues sur un intervalle ouvert I. Monterr que la résolution de (E)
revient à celle de (F) y′′ + q(t)y = 0
2- Soit p continue de R dans R∗+ et soit
(G) y′′ + p(t)y = 0
Montrer que si y est solution de (G) alors y s’annule au moins une fois sur R
22
3(H) y′′ − p(t)y = 0
Montrer que y s’annule au plus une fois sur R. on pourra poser z = yy′′ − p(t)y 2
CENTRALE 33
1- (E) y′′ + α(t)y′ + β(t)y = 0 avec α de classe C 1 et β continue sur I. CNS sur a et b pour qu’on ait deux solutions
y1 et y2 tells que y1 n’est pas la fonction nulle et ∀x ∈ I, y2 (x) = xy1 (x)
2- Trouver alors la solution générale.
3- Application
(a) y′′ + tan(t)y′ + 14 (2 + 3(tan(t))2 )y = 0
t2
(b) y′′ + 2ty′ + (t2 + 1)y = te− 2
CENTRALE 34
Soit (un )n telle que u0 > 0, u1 > 0 et
∀n > 1, un+1 = un +
2un−1
n+1
1- La suite converge-t-elle ?
2- Montrer que la suite ( unn2 )n>1 converge
3- La suite ( unn )n>1 converge-t-elle ?
∫
CENTRALE 35
∀n ∈ N, un =
a
(tan(t))n dt avec a ∈]0,
0
π
[
2
1- Limite de un selon a
On pose vn = un xn
∑
2- Nature de
vn selon x
∑
3- Expression de n vn à l’aide de fonctions usuelles.
CENTRALE 36 Donner trois méthodes diﬀérentes pour approcher π en précisant l’erreur pour chacune. On pourra utilisqer des
polynômes pour une méthode géométrique.
CENTRALE 37 Soit (xn )n déﬁnie par x0 ∈ R et xn+1 =
1-
∫ +∞
0
arctan(txn )e−t dt
a- Montrer que la suite est bien déﬁnie
b- Calculer avec Maple les cinquante premiers termes de la suite. Faire une conjecture.
∫ +∞
2- f : x 7→ 0 arctan(tx)e−t dt. Montrer que f est C 3 sur R. Tracer la courbe entre −10 et 10 avec Maple.
3- Etudier la suite (xn )n
4- On choisit x0 > 0
α
a- Déterminer un réel α tel que xα
n+1 − xn converge vers un réel non nul.
b- En déduire un équivalent de xn
23
CENTRALE 38 Soit K un compact d’un espace vectoriel normé et f : K → K continue. Montrer qu’il existe une partie non vide
G de K telle que f (G) = G
CENTRALE 39 E et F désignent deux evn. Soit K un compact et une application continue
f : E×K →
(λ, x) 7→
F
y
1- Soit y ∈ F et Ey = {λ ∈ E/ ∃x ∈ K; f (λ, x) = y}. Montrer que Ey est fermé.
2- On suppose que ∀λ ∈ Ey il existe un unique x tel que f (λ, x) = y. On déﬁnit φ qui à λ associe cet x. Montrer
que φ est continue.
3- Si K est seulement fermé qu’en est-il des questions précédentes ?
Année 2007
CENTRALE 40 Soit a ∈]0, 1[. Résoudre dans C 0 (R, R) et en utilisant le logiciel de calcul formel ( Maple)
∫ ax
f (x) =
f (t)dt
0
∑ np
CENTRALE 41 Montrer que ∀p ∈ N,
p = 0, 1, 2, 3, . . .
n!
converge en utilisant le logiciel de calcul formel ( Maple) Indication : calcul pour
CENTRALE 42 Pour x > 0 on déﬁnit :
∫
+∞
I(x) =
0
1
1. Montrer que I est C sur
R∗+
√
t3
exp(− xt2 ) cos( )dt
3
et que
I ′ (x) = −
∫
+∞
0
2. Montrer que I est C 2 et solution de
3. On rappelle que
Montrer que
∫ +∞
0
2
eu du =
√
t3
texp(− xt2 ) sin( )dt
3
√
1
y ′′ − 2 xy ′ − √ y
2 x
√
π
2 .
∫
+∞
0
√
π ∏
1
e u du =
.
(k + )
2
2
u2 2n
n−1
k=0
4. Equivalent de I(x) en +∞ etc....
CENTRALE 43
Déterminer le plus petit λ tel que
∫
∀P ∈ Rn (X),
(P ′ (x))2 e−
x2
2
R
24
∫
dx 6 λ
R
(P (x))2 e−
x2
2
dx
CENTRALE 44
Pn (x) = xn + x − 1
1. Montrer que Pn (x) a une racine > 0 unique. On la note αn
2. Expliciter les αn
3. Calculer la limite de la suite (αn )n . On la note ℓ
4. Trouver un équivalent de αn − ℓ
CENTRALE 45
1. Extrema de
f
R2
(x, y)
:
−→ R
7−→ ℜe((x + iy)10 )
2. Soit S un compact de R2 . Montrer que sup f = sup f
S
3. Généralisation avec n ∈ N
CENTRALE 46 Sn =
n
∑
k=1
1
kα
et S =
+∞
∑
k=1
1
kα
fn
F r(S)
:
R2
(x, y)
−→ R
7−→ ℜe((x + iy)n )
Etudier la série de terme général
un = S Sn − SnS
Maple à disposition
Année 2006
CENTRALE 47 On déﬁnit (un )n∈N par u0 ∈ R∗+ , u1 ∈ R∗+ et pour n > 0, un+2 = un+1 .un . Donner la forme explicite de un .
CENTRALE 48 On déﬁnit (un )n∈N par u0 , u1 et pour n > 0, un+2 = (n + 2)un+1 − (n + 1)un .
a. Calculer u2 etc jusqu’à u10 pour (u0 , u1 ) = (1, −1) puis (u0 , u1 ) = (1, −2) ( maple à disposition)
∑
b. Soit f (z) =
un z n . Trouver une équation diﬀérentielle vériﬁée par f .
n>0
CENTRALE 49 On déﬁnit (un )n>1 par
un =
np
∑
k=0
1
n+k
avec p > 1 ﬁxé.
. Montrer que (un )n>1 converge. sa limite est notée ℓ ( On ne demande pas de la calculer)
b. Soit f : R+ → C f de classe C 1 et f (0) = 0 et
vn =
np
∑
f(
k=0
1
)
n+k
Montrer que (vn )n>1 converge et donner sa limite en fonction de ℓ
c. f (x) = ln(1 + x). A l’aide des questions précédentes, calculer ℓ.
d. Trouver f continue et f (0) = 0 telle que (vn )n>1 diverge
25
CENTRALE 50
Soit E = R[X] et a et b tels que a < b.
Soit {
E → R
Na,b :
P 7→ sup |P (t)|
t∈[a,b]
a. Montrer que Na,b est une norme sur E .
E → R
P 7→ φc (P ) = P (c)
Etudier la continuité de φc en fonction de a, b et c.
b. Soit φc : {
c. Montrer que Na,b et Na′ ,b′ sont équivalentes si et seulement si a = a′ et b = b′
CENTRALE 51
{
N:
R[X] → R
P 7→
sup |P (t)|
t∈[−1,1]
a. Montrer que N est une norme.
b. Pour n ∈ N on note
Fn = {P ∈ R[X]/ deg(P ) 6 n et P unitaire }
Montrer qu’il existe an > 0 tel que ∀P ∈ Fn , N (P ) > an
c. Montrer que an tend vers 0 quand n tend vers +∞.
CENTRALE 52
∫
1
f (c) =
√
0
1
(1 − t)(1 + xt)
dt
a. Domaine de déﬁnition de f ?
b. Montrer que f est C 1 sur ce domaine et étudier les variations de f
c. Expression de f à l’aide de fonctions usuelles. ( Indication donnée : poser u =
d. f est-elle de classe C ∞ ?
CENTRALE 53
bp = (−1)p
(p!)2
2p .(2p + 1)!
a. Etablir la convergence de la série de terme général bp
b. Calculer la somme de cette série ( Indication : utiliser un : x 7→ xn (1 − x)n )
c. Utiliser Maple pour calculer une valeur approchée de ln 2 à 10−50 près.
CENTRALE 54
Soit f continue et 2 − π périodique de R dans R. Soit n ∈ N∗ .
∫ +∞
t2
g(x) =
e− n2 f (x − t) dt
−∞
a. Montrer que g est développable en série de Fourier.
b. Calculer les coeﬃcients de Fourier de g
26
√
1+xt
1−t )
CENTRALE 55
∫ +∞
On déﬁnit la suite (an )n avec an = 0
1
(cosh t)n
dt
a. existence de an et limite éventuelle de la suite (an )n .
b. Rayon de convergence de la série entière de variable réelle x :
∑
n
an xn et expression de sa somme.
c. Trouver une relation de récurrence entre an et an−2 . En déduire a2n+1 et a2n
d. Calculer an an−1 et en déduire un équivalent de an quand n tend vers +∞
CENTRALE 56
a > 0, f (x) =
+∞
∑
1
2 + (x + nπ)2
a
n=−∞
a. Montrer que f est déﬁnie et paire.
b. Montrer que f est développable en série de Fourier.
c. Calculer avec maple
∫ +∞ cos x
a2 +x2 dx
0
d. En déduire les coeﬃcients de Fourier de f .
e. Exprimer f à l’aide de fonctions usuelles.
∫ ∫
CENTRALE 57
(x2 − y 2 ) cos(xy)dxdy
I=
∆
∆ = {(x, y)/ 2a 6 x + y 6 4a xy > a2 , x 6 y}
Poser u = x + y et v = xy et calculer I par changement de variable.
CENTRALE 58
∫
+∞
f (x) =
0
arctan(xt)
dt
1 + t2
a. Domaine de déﬁnition de f
b. Montrer que f est C 1 et calculer f ′ sur R∗
∫ 1 ln t
c. Existence de 0 1−t
2 dt
d. En déduire
+∞
∑
n=0
1
2n+12
et
+∞
∑
n=0
1
n2
CENTRALE 59
∫
π
2
F (x) =
(sin t)x . dt
0
a. Domaine de déﬁnition de F ?
b. Montrer que F est C ∞
c. Calculer F (n) en fonction de F (n−2), montrer que nF (n).F (n−1) est constant. Equivalent de F (n) ? equivalent
de F (x) quand x tend vers +∞ ?
d. Equivalent de F (x) quand x tend vers −1− ?
27
CENTRALE 60
C = [0, 1]2 et D = C\(1, 1)
f :{
D
(x, y)
→
7
→
R
x(1−x)y(1−y)
1−xy
a. Montrer que f est prolongeable en une fonction continue sur C ( ?)
b. Existence et valeur du sup de f sur C
CENTRALE 61
Soit E un espace préhilbertien réel et N la norme sur E. Soit p un projecteur ( continu ? ) non nul.
a. Montrer que ker p et Imp sont des parties fermées.
b. Montrer que N (p) > 1
c. Quand a-t-on N (p) = 1 ?
d. Montrer que si la série de fonctions de terme général pn avec pn projecteur orthogonal, converge simplement vers
p, montrrer que p est un projecteur orthogonal.
e. Trouver une suite de projecteurs orthogonaux pn non nuls convergeant vers 0
2.3
TPE
Année 2010
TPE 1
∫π
1. Soit f positive continue déﬁnie sur [0, π] Montrer que lim 0 f (t)| sin(nt)|dt =
n→+∞
∫π
2. Soit f de classe C 1 sur [0, π]. Calculer lim 0 f (t) sin(nt)dt
2
π
∫π
0
f (t)dt
n→+∞
TPE 2
1. Soit E l’ensemble des fonctions continues de [0, 1] dans R. C’est un evn , muni de ∥ ∥∞ .
Soit λ ∈ R∗ et K[0, 1]2 → R tel que |λ|∥K∥∞ < 1 et soit g ∈ E
On déﬁnit (fn )n suite de fonctions par f0 = h et fn+1 = Φ(fn ) avec Φ(f ) : x 7→ g(x) − λ
a. Montrer que (fn )n converge
b. En déduire ∃!f ∈ E, ∀x ∈ [0, 1], g(x) = f (x) + λ
∫1
0
∫1
0
K(x, y)f (y)dy
K(x, y)f (y)dy
c. Montrer que Φ est continue.
2. Soit f : R → R dérivable à dérivée bornée tell que f (n) → +∞ quand n ∈ N tend vers +∞. Montrer que f (x)
tend vers +∞ quand x tend vers +∞
TPE 3
1. f (x) =
1
13+12 cos x
a. Calcul de la série de Fourier etc
∫ π cos(nt)
b. En déduire In = 0 13+12
cos t dt
{
2. Soient a et b deux réels strictement positifs. On déﬁnit
x0
xn+1
Montrer que ces deux suites convergent vers la même limite.
28
= a
√
xn y n
=
{
et
y0
yn+1
= b
n
= xn +y
2
TPE 4
1. ℓ∞ = {(an )n∈N ,
suite complexe bornée } muni de ∥(an )n∈N ∥∞ = sup |an |, ℓ1 = {(an )n∈N ,
∞
∑
de ∥(an )n∈N ∥1 =
|an | et ℓ0 l’ensemble des suites à support ﬁni.
série ACV } muni
n=0
Trouver l’adhérence de ℓ0 dans ℓ∞ puis dans ℓ1
∫1
∫1
cos x
sin x
2. I = 0 √1+cos
dx et J = 0 √1+cos
dx
x. sin x
x. sin x
a- Montrer que I = J
b- Calculer I
TPE 5
1.
a- Etude de la série de Fourier de f déﬁnie par ∀t ∈ [0, π], f (t) = t(π − t) f impaire et 2π− périodique.
+∞
+∞
∑
∑ 1
1
b- En déduire
(2p+1)3 et
n6
p=0
n=1
2. Equivalent lorsque x tend vers +∞ de
∫ x2
et
dt
x3 sin(t)
TPE 6
1. Soit f : R+ → R continue. Détreminer parmi les proposition suivantes celles qui sont vraies ( resp fausses ) en
justiﬁant
∫ +∞
a- 0 f (t)dt converge ⇒ f (x) → 0 quand x → +∞
∫ +∞
b- ( 0 f (t)dt converge et f (x) → ℓ) ⇒ ℓ = 0
∫ +∞
c- ( 0 f (t)dt converge et f (x) > 0 et f décroı̂t ) ⇒ xf (x) → 0 quand x → +∞
∑ sin(ln n)
?
2. Nature de
n
n>1
TPE 7
1.
a- Montrer que O(n) est compact.
b- Montrer que si G est un sous-groupe compact de GLn (R) alors ∀A ∈ O(n), detA ∈ {−1, 1}
2n √
∑
2. Soit Sn =
e k
k=n
a- Equivalent de Sn ?
b- Etude de Sn − n Indication ∀x > 0, x 6 ex − 1 6 xex
TPE 8
n
∑
Soit Sn =
k=0
1
k! .
Calculer le rayon de convergence et la somme de
∑
Sn z n
n>0
TPE 9
Soit f continue de R dans R. Montrer qu’il existe une seule solution bornée sur R de y” − a2 y = f
TPE 10
f (x, y) = x3 + 3xy 2 − 15x − 12y.
29
1- Etude des extrema de f sur R2
2- Etude des extrema globaux de f sur K = {(x, y) ∈ R2 0 6 x 6 3, 0 6 y 6 x}
TPE 11
Soit f déﬁnie sur R2 par f (x, y) = x4 + y 4 − 2(x − y)2 . Etude des extrema de f ?
Année 2009
TPE 12
Est-il vrai que
TPE 13 Γ(x) =
∫ +∞
∫1
dt
0 tt
=
+∞
∑
n=1
1
nn
?
e−t tx−1 dt
0
1. Montrer que Γ(x) ∼0 x1
2. Montrer que ln(Γ) est convexe.
TPE 14 Soit (an )n∈N la suite déﬁnie par an = le nombre de couples (x, y) ∈ N2 tels que 3x + 2y = n
∑
an xn
1. Calculer le rayon de convergence de la série entière
+∞
∑
2. Calculer f (x) =
an xn et en déduire (an )n∈N .
n=0
TPE 15 Soit r ∈]0, 1[
a. Pour x ∈ R calculer k(x) = 1 +
+∞
∑
2rp cos(px)
p=1
b. Pour f continue sur [0, 2π) et t ∈ R on pose
T (f )(t) =
1
2π
∫
2π
k(x − t)f (x)dx
0
Montrer que T (f ) est 2π périodique et que T est un endomorphisme de C 0 ([0, 2π])
c. Exprimer les coeﬃcients de Fourier réels de T (f ) en fonction de ceux d ef .
TPE 16
Calculer
+∞
∑
n=1
(−1)n
n+1
TPE 17
On déﬁnit f sur l’ensemble P des (x, y, z) ∈ R3 tels que x + y + z = 1 par f (x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 . Etudier les
extrema de f sur P
Année 2008
S(C)
TPE 18 Soit Φ :
(εn )n
→ S(C)
n
∑
εk
7→ (
k )n
k=1
30
a. Que peut-on dire de Φ((1)) puis de Φ((−1)n )et de Φ((j n ))
b. On suppose que (εn )n est périodique. Montrer que la suite Φ((εn )n ) converge si et seulement si la moyenne de
la suite (εn )n est nulle
TPE 19
∫
1
f (x) =
0
1 − (1 − t)x
dt
t
a. Domaine de déﬁnition ?
b. Continuité ? Dérivabilité ?
TPE 20 Montrer que pour tout (x, y) ∈ R × R∗+
∫
1
y
txt dt =
0
+∞
∑
(−1)n xn
(1 + ny)n+1
n=0
TPE 21
(a, b) ∈ (R∗+ )2
{
x0
xn+1
{
= a
√
xn y n
=
y0
yn+1
= b
n
= xn +y
2
Montrer que (xn )n et (yn )n ont la même limite.
TPE 22 y 2 + (y′)2 + 2y′ = 0 Etudier l’ensemble des solutions déﬁnies sur R entier.
TPE 23 Résoudre sur R∗ × R
x
√
∂f
∂f
+y
= x2 + y 2
∂x
∂y
TPE 24 Soit H un hyperplan de E evn. Existe-t-il une norme telle que H soit fermé ?
TPE 25 Résoudre
{
2x′
x′
+ y′
+ y′
− 3x − y
− 4x − y
= t
= et
TPE 26 Déterminer les fonctions continues sur R telles que ∀x ∈ R, f (−f (x)) = x
TPE 27
a. f, 2π− périodique déﬁnie par f (t) = |t| si t ∈ [−π, π]. Etude de la série de Fourier de f et calcul de
∑ sin(nx)
√
b. f (x) =
. Montrer qu’il n’y a pas CVU en utilisant les SdFourier.
n
31
∑
1
n4
TPE 28
a. Soit (fn )n suite d’applications de I dans J et soit g uniformément continue de J dans R. On suppose que (fn )n
converge uniformément vers f . montrer que (g ◦ fn )n CVU vers g ◦ f
b. ( application de 1 voir aussi feuille d’exos gn =
fn
2)
1+fn
 ′
x(t)
+
 x (t) =
y ′ (t) = −2x(t) +
(S)

x(0) =
y(0)
TPE 29
y(t)
3y(t)
− 3
+ 1
a. Justiﬁer l’existence d’une solution
b. Trouver A et B tels que X ′ = AX + B équivaut au système ci-dessus
c. Résoudre
Année 2007
TPE 30
DSE0 de ln(1 +
x
1+x2 )
TPE 31
∫
F (x) = (
x
e−t dt)2
2
0
∫
1
G(x) =
0
e−x (1+t )
dt
1 + t2
2
2
1. Montrer que F et G sont dérivables sur R et que F ′ + G′ = 0
∫ +∞
2
2. Montrer que F + G = π4 et en déduire 0 e−t dt
+
TPE 32
1.
∫
φ(x) =
0
1
et
dt
t+x
Domaine de déﬁnition de φ et limites aux bornes du domaine
∑
1
2. Calculer n>2 (n2 −1)2
n
TPE 33 Soit f une fonction continue de R dans R, dérivable en 0 et telle que f (0) = 0. Etudier
un =
n
∑
f(
k=0
1
)
n + kp
avec p ∈ N∗
TPE 34 Résoudre
f ′′ (x) + f (−x) = x
sur R
32
TPE 35 Soit f une fonction continue de R dans R, et bornée. Montrer que l’équation diﬀérentielle
y ′′ − w2 y = f (x)
possède une unique solution bornée.
TPE 36 Soit f (x, y) = x4 + y 4 − (x − y)2 Chercher les extrema de f
y ′′ − w2 y = f (x)
possède une unique solution bornée.
TPE 37
a. Soit f continue sur R+ telle que t 7→ f (t)
t soit intégrable sur [1, +∞[. Soit a < 0 < b
∫ +∞ f (at)−f (bt)
Montrer que 0
dt = f (0) ln( ab )
t
∫ +∞ sin2 t
b. Application : calculer 0
t2 dt
Année 2006
TPE 38 Existence et valeur de
+∞
∑
xn
1 − n2
n=2
TPE 39 Existence et valeur de l’intégrale
∫
+∞
0
cos(nt)
dt
1 + t2
TPE 40
Existence et calcul de
∫
π
2
0
1
dt
1 + tan2006 t
TPE 41 Déterminer l’adhérence, l’intérieur et la frontière du groupe spécial linéaire SLn (R) ( ens des matrices de
déterminant 1).
TPE 42
∫
π
ln(1 − 2x cos θ + x2 ) d θ
Ix =
0
a. Déterminer les valeurs de x pour lesquelles Ix est déﬁnie.
b. Calculer Ix al’aide d’une somme de Riemann.
c. Calculer I1
33
TPE 43
E = {f ∈ C 1 ([0, 1])/ f (0) = 0}
On déﬁnit N1 (f ) = supx∈[0,1] |f (x)| et N0 (f ) = supx∈[0,1] |f ′ (x)|.
On note E1 = E muni de N1 et E0 pour E muni de N0 . On note Id1 l’identité de E1 dans E1 et Id0 l’identité de
E0 dans E0 .
Etudier la continuité de ces deux applications. Indication donnée : on pourra utiliser fn (x) =
TPE 44
Kn =
n
∑
(−1)k−1
k
k=1
(nk )
a. Montrer que limn→+∞ Kn = +∞
b. Etudier la limite de Kn − ln n. Indication donné : utiliser fn (t) =
TPE 45
f (x) =
1−(1−t)n
t
cos(2x)
sin x + sin(3x)
a. Domaine de déﬁntion de f ?
b. Primitives de f ?
TPE 46
∑ xe−nx
CNS sur α pour que
converge uniformément sur R+ .
nα
TPE 47
∫
e−xt
dt
1 + t2
2
F (x) =
R+
1
a. Domaine de déﬁnition, de continuité et caractère C de F ?
b. Trouver une équation diﬀérentielle vériﬁée par F
c. Calculer F (0) et la limite de F en +∞
∫
d. Lien entre F et
e−u du
2
I=
R+
et calcul de I.
TPE 48
x(1 + cos2 x)
1 + n 2 x2
Domaine de convergence simple ? Etude de la continuité de la somme et de sa limite en +∞.
fn (x) =
TPE 49
un
: R+ →
x 7→
34
R
xe−nx
ln n
xn
n
Etudier la convergence normale et la convergence uniforme de la série de fonctions de terme général un .
TPE 50
a. Montrer que Q est dénombrable.
∩
b. Soit A ⊂ R, partie inﬁnie telle que ∀x ∈ A, ∃εx > 0/ A ]x − εx , x + εx [= {x}.
Montrer que A est dénombrable.
TPE 51
: [0, +∞[ → R
∫ +∞
x 7→ 0
f
1−e−tx −t
e dt
t
a. Montrer que f est continue et dérivable.
b. Calculer f
c. En déduire l’existence et la valeur de
∫∞
0
e−t −e−2t
dt
t
et
∫1
0
t2 −1
ln t dt.
TPE 52 Soit la suite déﬁnie par u0 ∈]0, 1[ et un+1 = u2n E( u1n )
a. Montrer que (un )n converge.
b. Montrer que sa limite est nulle ou bien elle est stationnaire.
c. Déterminer u0 tel que la limte soit
TPE 53 Calculer la limte de
1
2
1
1 (2n)! n
n ( n! )
TPE 54 Soit E un espace vectoriel normé. Que peut-on dire de l’intérieur d’un sous-espace vectoriel F de E ?
TPE 55 Soit E et F deux evns et f une application de E dans F . On suppose que f est bornée sur la boule unité de E et
que :∀(x, y) ∈ E 2 , f (x + y) = f (x) + f (y).
Montrer que f est linéaire et continue.
TPE 56 Soit E et F deux evns et u une application linéaire de E dans F . On suppose que ∀(xn )n ∈ E n si (xn )n converge
vers 0E alors (u(xn ))n est bornée.
1. Montrer que u est continue.
2. Etudier la réciproque
TPE 57 Soit a0 > 0 et an+1 = ln(1 + an )
a. Calculer le rayon de convergence de
∑
an xn
b. Montrer qu’il y a convergence pour x = −1
c. Calculer la limite de
1
an+1
−
1
an
d. En déduire la limite de nan
35
TPE 58
Résoudre pour a > 0
√
∂z
∂z
+y
= a x2 + y 2
∂x
∂y
en choisissant un changement de variables approprié.
x
TPE 59
E : ẋ(t) = x(t) sin(x(t))
Montrer que les solutions maximales sont monotones, bornées et déﬁnies sur R.
2.4
MINES
Année 2010
MINES 1
1.
∑
xn
n
∑
k2
n>1
Rayon de convergence ? Somme ?
k=1
2. En déduire
∑
n>1
1
n
∑
k2
k=1
MINES 2
1. Bn désigne le nombre de partitions possibles d’un ensemble de cardinal n.
n ( )
∑
n
Montrer que Bn+1 =
k Bk
2. B(t) =
∑
n>0
k=0
Bn tn
n!
Trouver une équation diﬀérentielle du premier ordre vériﬁée par B et la résoudre.
MINES 3
(E) xn = x + n
1. Montrer que ∃xn ∈ R+ unique, solution de (E)
2. Montrer que la suite (xn )n ainsi déﬁnie converge vers une limite ℓ
3. Trouver un équivalent de xn − ℓ
MINES 4 Soit f une fonction dérivable sur R telle que
{
∀(x, y) ∈ R2 ,
1 + f (x).f (y) ̸= 0
f (x)+f (y)
f (x + y) = 1+f
(x).f (y)
1. On suppose f constante. La déterminer.
2. Cas où f n’est pas constante ?
MINES 5
36
∫ +∞
e−x dx = lim
2
∫ √n
2
(1 − xn )n dx
∫ +∞
√ ∫π
2
b. 0 e−x dx = lim ( n 02 cos2n+1 (t)dt)
n→+∞
∫ π2
n
c. In = 0 cos (t)dt Montrer que ∀ni N∗ , nIn In−1 =
∫ +∞
2
d. Calculer 0 e−x dx
a.
0
n→+∞ 0
π
2
Année 2009
MINES 6
Soient (an )n∈N
∑suite réelle
∑ décroissaante et qui tend vers 0. On pose bn = n(an−1 − an ).
Montrer que
an et
bn ont même nature.
MINES 7
Convergence et calcul de la somme
+∞
∑
n=0
ln( nn3 −1
+1 )
3
MINES 8
∫ +∞
Convergence de 0 sin(t2 )dt
MINES 9
∑
Soit la série entière
an xn avec an = 2n si n ≡ 1[3], an = 0 si n ≡ 2[3] et an =
Calcul du rayon de convergence R et nature pour le cas |z| = R
MINES 10
∑+∞
Soit (λn )n∈N une suite de réels ( non nuls ? ) et soit f : x 7→ n=1
MINES 11 Soit I = [nπ, nπ + π2 ] et (E) tan x =
eiλn x
n2
1
3n
si n ≡ 0[3].
Déterminer
lim
T →+∞ −T
1
x
1. Montrer qu’il existe un unique xn de I vériﬁant (E)
∑
2. Conditions sur α et β pour que n (xn + αn + nβ ) converge
MINES 12 Soit E un espace euclidien et f ∈ C 0 (E, R) On suppose que f (x) → 0 quand ∥x∥ → +∞.
1. Montrer que f a un minimum
2. Soit f : x 7→ ∥x∥4 − ⟨x, v⟩ avec v ∈ E\{0E }. existence et calcul du minimum de f
Anné 2008
MINES 13
f (x) =
+∞
∑
1 − xn
n2
n=1
1. Domaine de déﬁnition de f
2. Dérivabilité de f ?
37
∫T
f (x)dx
3. Equivalent de f en 1
MINES 14
+∞
∑
1 − xn
n2
n=1
f (x) =
1. Domaine de déﬁnition de f
2. Dérivabilité de f ?
3. Equivalent de f en 1
MINES 15 E est un R− evn et F un espace de Banach.
f ∈ C 0 (E, F ) vériﬁe
∃M, ∀(x, y) ∈ E 2 , ∥f (x + y) − f (x) − f (y)∥ 6 M
On pose pour n ∈ N et x ∈ E , un (x) =
f (2n x)
2n
1. Montrer que la suite de fonctions (un )n converge uniformément vers une fonction L(f )
2. Montrer que L(f ) est linéaire et continue et que L(f ) − f est bornée
3. Montrer que L(f ) est l’unique application linéaire telle que ∥L(f ) − f ∥ 6 M
MINES 16 Enoncé incomplet
Existe-t-il des normes sur Mn (R) telles que
∀A ∈ Mn (R), ∀P ∈ GLn (R), N (P A) = N (AP )
MINES 17
f (x) =
+∞
∑
(−1)n sin(
n=1
1
1. Montrer que f est C sur
1
)
nx2
R∗+
2. Calculer lim f (x) et un équivalent simple de f en +∞
x→+∞
MINES 18
∑ 4n (n!)2
x2n+1
(2n + 1)!
n>0
1. Rayon de convergence de la série entière.
2. On note f la somme. Montrer que f est solution de
(1 − x2 )y′(x) − xy(x) = 1
3. En déduire l’expression explicite de f .
MINES 19 Soit f ∈ C 0 ([0, 1], R) telle que f (1) = 0 et fn (x) = xn f (x) ( je pense qu’on doit supposer que f est C 1
∑
1. Montrer que (fn )n et
fn convergent uniformément sur tout [0, a] tel que 0 < a < 1
2. Montrer que (fn )n converge uniformément sur [0, 1]
38
3. Montrer que converge uniformément sur [0, 1] si et seulement si f ′ (1) = 0
MINES 20
1. Etude de la fonction x 7→
∑ √n n
2. Rayon de cv de
n+1 x
MINES 21 f (x, y) =
sin(xy)
|x|+|y|
∫ x2
x
dt
ln(t)
si (x, y) ̸= (0, 0) et f (0, 0) = 0
1. f est-elle continue ?
2. Montrer que f est C 1 sur (R∗+ )2
3. f est-elle C 1 sur R2
MINES 22
n
∑
Soit f dérivable en 0 et f (0) = 0. Calculer la limite de
f ( nk2 ) quand n tend vers +∞
k=1
MINES 23
Soit a ∈] − 1, 1[.
g : x 7→
1 − a cos(x)
1 − 2a cos(x) + a2
Soit λ ∈ R et soit f : R → C. Déterminer les f telles que f est 2π− périodique continue et
∫
2π
g(x − t)f (t)dt +
f (x) = λ
0
+∞
∑
cos(nx)
n2
n=1
MINES 24 (a, b) ∈ (R∗+ )2
1. Montrer que
∫
0
2. Calculer
+∞
∑
n=0
1
+∞
∑
ta−1
(−1)n
dt
=
b
1+t
a + nb
n=0
(−1)n
1+3n
MINES 25 Soient E et F deux espaces vectoriels normés et f continue de E dans F .
Montrer que f continue si et seulement si ∀A ⊂ E on a f (A) ⊂ f (A)
Année 2007
MINES 26
39
1. Soit (ai )i∈[|1...n|] ∈ (R∗+ )n
Montrer que
(
n
∏
1
ai ) n 6
i=1
∗
2. Pour n ∈ N on pose
∫
1
un =
0
n
1 ∑
ai )
(
n i=1
xn
dx
1 + x + . . . + xn
Etudier la suite (un )n
3. Etudier la série de terme général un .
MINES 27
f (x, y) =
+∞ −n(x2 +y 2 )
∑
e
n2
n=1
Montrer que f est C 1 et calculer ses dérivées ( partielles)
MINES 28
un = 1 − tanh(nθ) avec θ ∈ R et n ∈ N
a. Nature ( ? ) de la convergence de la série ?
b. Equivalent ( ? de la somme ) quand θ tend vers +∞
c. Equivalent ( de la somme ) quand θ tend vers 0
MINES 29 Etude de la convergence de
∑
ln(1 +
(−1)n
√
6 n ).
Etude de la convergence de
∫ +∞
1
(ln t)3
3
t2
dt
MINES 30
1. (1 + x)y ′′ (x) − 2y ′ (x) + (1 − x)y(x) = 0. Résoudre .
Indication : poser z(x) = e−x y(x)
2. Sur [0, 1] on déﬁnit q0 (x) = 1 et ∀n ∈ N, qn+1 (x) =
MINES 31
∫
∫x
0
+∞
f (x) =
0
qn (t − t2 )dt. Montrer que
tx−1
dt
1+t
a. Domaine de déﬁnition
b. Montrer que f est de classe C 1 et
f ′ (x) =
∫
+∞
1
c. Signe de f
ln t x−1
(t
− t−x )dt
t+1
′
d. Limite de f en 0
e. Montrer que x =
1
2
est axe de symétrie
40
∑
n qn
converge normalement
Année 2006
MINES 32
∫
lim+
x→0
MINES 33 Soit f ∈ C 1 ([0, π])/ f (0) = f (π) = 0 et
Montrer qu’il existe (an )n>1 /
MINES 34 a0 = 1 et an+1 =
2n+1
2n+4 an .
∑+∞
n=1
f (x) =
∫π
0
a2n =
+∞
∑
+∞
0
√
t2 + 1 − 1
√
dt
(t2 + 1) t2 + x)
(f ′ (t))2 dt = 1
et ∀x ∈ [0, π] f (x) =
2
π
∑+∞
an
n=1 n
an xn
n=0
a. Rayon de convergence
b. f est-elle déﬁnie en R ou −R ? Est-elle continue en ces points ?
c. Valeur de f (R) ?
MINES 35 Soit z ∈ C Calculer
MINES 36 Montrer que
∫ +∞
0
e−t cos(zt) dt
2
∫
0
+∞
√
√ ∑
+∞
t
π
1
√
dt
=
t
e −1
2 n=1 n n
MINES 37 Trouver une suite réelle positive non décroissante tendant vers 0
MINES 38
a. Donner le DL de
x 7→
1−x2
x2 −2x cos α+1
où α ∈]0, π[
b. En déduire le développement de Fourier de
x 7→
MINES 39
∫1
Soit f : [0, 1] → R continue. Etudier un = 0 f (tn ) dt
MINES 40 Etudier la série de terme général un = (−1)n
n−1
∑
k=1
1
k(n−k)
MINES 41
41
1
1− 12 cos x
sin(nt)
Soit f 2π périodique telle que
∀x ∈ [−π, π], f (x) = cos(αx)
a. Calculer la série de Fourier de f .
+∞
∑
απ
b. Montrer que sin(απ)
= 1 + 2α2
n=0
c. Montrer que
∫ +∞ tα−1
t+1 dt =
0
(−1)n−1
n2 α2
απ
sin(απ)
MINES 42
∫
+∞
lim
n→+∞
2.5
0
e−nt
√ dt
t
DIVERS
Année 2010
Divers 1 ICNA
ln(1+x)
. Rayon de convergence ?
x
ln(1+x)
f1 (x) = ln(x)
1+x et f2 (x) =
x
1- DSE de
2- Soient
Etude de la CV normale.
a- Intégrabilité de f1 et f2 sur ]0, 1[ ?
∫1
∫1
b- Relation entre 0 f1 (x)dx et 0 f2 (x)dx
+∞
∫1
∑ 1
c- Calculer 0 f1 (x)dx sachant que
n2 =
n=1
π2
6
Divers 2 ENSEA/ENSIIE
Soient (a, b) ∈ R2 et E = C 0 ([a, b], R). Sur E on déﬁnit les normes ∥ ∥1 , ∥ ∥2 et ∥ ∥∞ usuelles
√
√
1- Montrer que ∀f ∈ E, ∥f ∥1 6 b − a∥f ∥2 et ∥f ∥2 6 b − a∥f ∥∞
2- Pour n ∈ N on pose fn : x 7→ xn . Calculer ∥fn ∥1 , ∥fn ∥2 et ∥fn ∥∞
3- Montrer que ces normes ne sont pas deux à deux équivalentes.
Divers 3 ENSEA/ENSIIE
Soient (E) xy ′ − 2y = 0
1- Montrer que l’ensemble des solutions sur R est un plan vectoriel
2- Base de l’ev des solutions ?
3- Solutions C ∞ sur R
Divers 4
TELECOM SUD PARIS
15 mn couplé avec ALG 15 mn
∫ +∞
x
Soient f : x 7→ xasin
f (x)dx
+sin x . Convergence de A
Année 2009
42
Divers 5
Télécom Sud Paris ex INT
(x + y)
∂f
∂f
+ (x − y)
=0
∂x
∂y
Résoudre en posant v = y et u = −x2 + 2xy + y 2
Divers 6
∫π
ENSIIE Deux fois α ∈ R, Iα = 02 | ln(sin(x))|α
1- Existence de Iα selon les valeurs de α
∫π
1
2- un = π2 02 (sin(x)) n dx. Calculer la limite de un notée l
3- Donner un équivalent de un − l en fonction de I1 . Calculer I1 .
Divers 7
Petites Mines
 ′
 x
y′
Résoudre
 ′
z
= −2x +
4y
= −4x +
8y
= 5x + −10y
Divers 8
ENSTIM Calcul de lim n
∫ +∞
n→+∞
0
+
+
−5z

2z
 x(0) =
4z et
y(0) =

z(0) 1
0
1
x
)
ln(1+ n
x(1+x2 ) dx
Divers 9
Petites Mines
Pour n ∈ N∗ on pose fn (x) = ln(x + n1 )
1- Etude de la convergence simple de la suite (fn )n
2- Etude de la convergnec uniforme sur [1, +∞[
Divers 10
ENSIIE f (x) =
+∞
∑
n=1
−nx
(i1)n e√n
a- Etude du domaine de déﬁnition de f
b- Etude de la continuité, la dérivabilité et les limites aux bornes du domaine de déﬁnition de f .
Divers 11
ENSEA F : x 7→
1
x2 −1
a- Calcul des f (n) ( dérivées successives de f )
b- Calculer les zéros de la dérivée n-ième de f dans C
Divers 12 Magistère Rennes
Trouver une fonction v continue sur [0, 1] et a ∈ R tels que
∫ t
a
v ′ (s)
√
∀t ∈ [0, 1],
ds = te− 2
a − ev(t)
e
0
43
a- Montrer que v est croissante et majorée par a
b- Résoudre le probl‘eme en posant u = v(s) et w2 = ea eu
Année 2008
Divers 13
ENSIIE
S(x) =
+∞
∑
1
1
−
n
n
+
x
n=1
1. Montrer que S est déﬁnie sur R+ , k lipschitzienne et trouver k. Calculer S(0) et S(1)
2. Montrer que S est C ∞
3. Equivalent de S en +∞
4. Représentation graphique de S
5. Mq S(x) − ln(x) a une limite ﬁnie en +∞
Divers 14
Petites Mines
∫
1.
e
x2 (ln(x))p dx
Ip =
1
Trouver une relation entre Ip et Ip+1 . Etdudier la cv de
2.
un =
Convergence de
∑
1+
1
2
∑
Ip
xn
+ ... +
1
n
un
Divers 15
ENSTIM
∫
+∞
xa ln(x + eax )dx
Ia =
0
Etudier selon les valeurs de a la convergence de Ia
Divers 16
AIR
∫
+∞
f (x) =
0
e−xt cos(t)
dt
t
1
Montrer que f est C ; trouver une équation diﬀérentielle vériﬁée par f puis en déduire
∫ +∞
0
e−t dt
2
Divers 17
St Cyr
1
a. Montrer que la série de tg n.n!
converge. On note S sa somme
∫∫
∫1
b. Soit I =
xyexy dxdy. Exprimer I en fonction de S. Montrer que S = − 0 ex ln(x)dx
[0,1]2
44
Divers 18
St Cyr
a. Etudier la cv des séries un =
en n!
b. wn =
1
nn+ 2
1
n
− (1 +
1
2n ) ln(1
+ n1 ), vn = 1 − (n + 21 ) ln(1 + n1 ).
Montrer que la suite wn converge en étudiant ln(wn+1 ) − ln(wn )
Divers 19
ENSIIE
1. f (x) = e
√
x 3
2
2. fn (x) ==
cos( x2 ). calculer le DSE de f en 0
(−1)n
n!(x+n)
a. Montrer que la série de fonctions cv simplement sur {x ∈ R, −x ∈
/ N}. Sa somme ets notée S.
b. Montrer que S(1) =
e−1
e
c. Montrer que ϕ : x 7→ xS(x) − S(x + 1) est constante.
d. Etudier la continuité de S
Divers 20
INT
f (x) =
+∞
∑
nx e−nx
n=1
a. Domaine de déﬁnition
b. Continuité de f
c. Limite de f en +∞
Année 2007
Divers 21
AIR
∫
un = (−1)n
π
2
(cos x)n dx
0
Convergence de la série et calcul de la somme.
Divers 22
AIR
(E) x2 y ′′ + (x2 + x)y ′ − y = 0
a. Trouver les solutions développables en série entière et calculer leur rayon de convergence
b. Exprimer les solutions DSE à l’aide de fonctions usuelles
c. Comment trouver les ” autres ” solutions.
Divers 23
NAVALE Exercice posé deux fois par un examinateur diﬃcile
Soit (εn )n ∈ ({−1, 1})N et
an = ε0 +
n
∏
εi
ε0 .ε1
+ . . . + i=0n
2
2
45
1. Montrer que la suite (an )n converge et tend vers ℓ ∈ [−2, 2]
2. Montrer que rout réel a ∈ [−2, 2] est limite d’une suite de cette forme.
√
3.
xn = ε0
√
2 + ε1
√
2 + . . . + εn−1
√
2 + εn 2
π
yn = 2 sin( .an )
4
Trouver un lien entre xn et yn . Etudier la suite (xn )n .
Divers 24
ENSTIM
1. Montrer que la suite
n
∑
1
n+k
k=1
2. Quelle est la limite de n(
n
∑
k=1
converge. On note ℓ sa limite. la calculer
1
n+k ℓ ) ?
Divers 25
INT
α
un = (cos( n1 )n nature de la série selon α
Divers 26
INT
fn (x) =
x
n(1 + nx2 )
Etude de la série de fonctions. Continuté ? Dérivabilité de la somme ?
Divers 27
INT E et F deux ev euclidiens. Soit f : E → F , surjective, telle que f (0E ) = 0F et
∀(x, y) ∈ E 2 , ∥f (x) − f (y)∥ = ∥x − y∥
Montrer que f conserve la norme, le produit scalaire, et est linéaire.
Divers 28
INT
x2 ∫ x
t2
DSE de e− 2 0 e 2 dt
Divers 29
INT
Enoncé à vériﬁer
f (x, y) = x((ln x2 ) + y 2 ) Etude des extrema locaux et absolus
Divers 30
INT
n
∏
P ∈ R[X], P (X) = λ
(X − ak )ωk avec a1 < a2 < . . . < an
k=1
46
Montrer que
∀(x, y) ∈]ai , ai+1 [2 , P (
1
x+y
) ≥ (P (x)P (y)) 2
2
Est-ce vrai pour ]an , +∞[ ? Pour ] − ∞, a1 [ ?
Divers 31
IIE
∫
E = {g ∈ C ([0, 1], R),
0
1
g(t)dt =
0
1
}
e
∗
1. On déﬁnit pour n ∈ N , la fonction aﬃne par morceaux gn sur [0, 1] par gn (0) = λn .n = gn ( n1 et gn ( n1 +
∫1
0 = gn (1) en déﬁnissant λn de façon que gn ∈ E. Calculer lim 0 et gn (t)dt
n
∫1 t
2. Etudier inf { 0 e |g(t)|dt} ( Existence et valeur)
g∈E
Divers 32
Petites Mines
x(x2 − 1)y ′ + 2y = x
1. Résoudre
2. Structure de l’espace des solutions.
3. Existence de solutions maximales
Divers 33
ENSEA
Nature de la série de terme général
√
(−1)n
n+(−1)n
Divers 34
ENSEA
Soit A une partie non vide d’un espace vectoriel normé E. Montrer que
∀(x, y) ∈ E 2 , |d(x, A) − d(y, A)| 6 d(x, y)
Divers 35
ENSEA
Soit E un evn complet et soit f : E −→ E telle qu’il existe k ∈]0, 12 [ vériﬁant :
∀(x, y) ∈ E 2 , ∥f (x) − f (y)∥ 6 k(∥f (x) − x∥ + ∥f (y) − y∥)
1. Montrer que f a au plus un point ﬁxe
{
u0 ∈ E
2. Soit (un )n∈N déﬁnie par
un+1 = f (un )
a. Montrer que ∥un+1 − un ∥ → 0
b. Montrer que (un )n converge. On note ℓ sa limite.
c. Montrer que f possède un unique point ﬁxe
47
1
n2 )
=
Anne 2006
Divers 36
IIE
Soit a ∈ [0, π]. Soit f impaire 2π périodique déﬁnie par
∀x ∈ [0, a], f (x) = (π − a)x, ∀x ∈]a, π], f (x) = (π − x)a
a. Calculer la série de Fourier de f .
∑+∞ 2
b. Calculer n=1 sin n(na)
2
∑+∞ −1
c. Calculer n=1 (2n+1)2
Divers 37
INT TELECOM
∫
1
an =
Rayon de convergence de la série entière
∑
0
tn
dt
tn + t + 1
n
an x .
Divers 38 INT TELECOM
Soit (an )n suite à termes > 0, soit a > 0 et φ : N → R tels que
terme général an converge.
an
an+1 φ(n)
− φ(n + 1) > a. Montrer que la série de
Divers 39 INT TELECOM
Trouver les fonctions f : R → R∗ , de classe C 2 telle que ∀x ∈ R∗ , f ′ (x) = f ( x1 )
48
3
ALGÈBRE
3.1
Concours communs polytechniques
Année 2010
CCP 86 8 points. Cours !
a. Montrer que T r(AB) = T r(BA)
b. Montrer que si deux matrices représentent le même endomorphisme alors elles ont même trace.
c. Montrer que si A et B sont semblables alors ∀n ∈ N, T r(An ) = T r(B n )
CCP 87 Cours couplé avec un ex d’analyse
1- Montrer que si (A, B) ∈ Mn (R)2 , T r(AB) = T r(BA)
2- En déduire qu’en dimension ﬁnie les matrices d’un même endomorphisme ont la même trace et que 2 matrices
semblables ont même trace.
CCP 88 8 points
Soit E un K- espace vectoriel de dimension n. Soient f et g deux endomorphismes de E qui commutent et sont
diagonalisables.
a. Montrer que tout sous-espace propre de g est stable par f
b. En déduire qu’il existe une base commune de veteurs propres de f et g.

2 0 a
A =  0 1 1  ∈ M3 (C)
0 0 a
1- Rang de A ? Est-elle inversible ?
2- A est-elle diagonalisable ?
CCP 89

CCP 90
8 pts[
]
1 2
f : M2 (R)
A=
et
2 4
M
1- ker f ?
2- f est-elle surjective ?
3- Bases de ker f et de Im(f )
CCP 91
8 pts
0
A= 1
0
0
0
1
→ M2 (R)
7→ AM

1
0  ∈ M3 (C)
0
49
1- Valeurs propres et vecteurs propres ? A est-elle diagonalisable ?
2- Soit B = aI3 + bA + cA2 avec (a, b, c) ∈ C3 Eléments propres de B?
CCP 92
Soit A ∈ Mn (R) non nulle.
f : Mn (R)
M
→ Mn (R)
7
→
T r(A)M − T r(M )A
1- Montrer que f est un endomorphisme
2- Expliciter ker f et Im(f )
3- Expliciter le spectre de f
4- f est-il diagonalisable ?
CCP 93
12 pts
On suppose
n>2




A=


(0)
1 2 ...
1- Rang de A ?
1
2
..
.






n−1 
n−1
n
2- Calculer tr(A2 )
3- En déduire les valeurs propres de A
CCP 94 Soit A ∈ Mn (C) possédant n valeurs propres distinctes λ1 , λ2 , . . . , λn avec λn = 0
1- Rappeler pourquoi c A.A = Ac A = det(A).In
2- Calculer det(A)
3- Que représentent les vecteurs propres de A pour c A
4- Minorer dim(Ker(c A))
5- Montrer que c A a deux valeurs propres distinctes.
CCP 95
12 pts

2

 −1
On suppose n > 1 et on note det(A) = Dn avec A = 


(0)
a. Montrer que Dn+2 = 2Dn+1 − Dn
b. Calculer Dn
c. A est-elle diagonalisable ? 0 est-elle valeur propre ?
CCP 96
50
−1
..
.
..
.
(0)





..
. −1 
−1 2
..
.



Soit n > 1 et A ∈ Mn (R). M = 


0
1
..
.
1
..
.
..
.
1 ...

... 1
. 
..
. .. 


..
. 1 
1 0
a. Rang de M + In ?. En déduire une valeur propre de M
b. M est-elle diagonalisable ? Eléments propres de M ?
CCP 97
8 points. [
]
a b
Soit F = {
(a, b) ∈ R2 }
−b a
1. Montrer que F est un espace vectoriel
2. Déterminer une base orthobormée de F
[
]
1 1
3. Calculer p(J) où p est le projecteur orthogonal sur F et J = {
1 1
CCP 98
12 points
[
]
A 0
Soit A ∈ Mn (C) et B = {
∈ M2n (C)
A A
a. Pour k ∈ N calculer B k . Calculer pour P ∈ C[X], P (B).
b. Soit P ∈ C[X] scindé à racines simples. Montrer que P et P ′ n’ont aucune racine commune.
c. On suppose que B est diagonalisable. Que peut-on dire de A ?
CCP 99
Exercice 12 points
Soit (αi )i∈{1,...,n} une famille de réels de [0, π] On note p =
∏
(cos(αj ) − cos(αi ))
16i<j6n
1. Combien p contient-il de termes ? Soit M = (mi,j )(i,j) avec mi,j = cos((j − 1)αi )
2.
a. Ecrire la matrice M
b. Pourquoi mi,j est-il un polynôme en cos(αi )
3.
a. Calculer det M en fonction de p
b. Montrer que | det M | 6 512 ( modif : trouver n pour avoir . . .)
CCP 100
8 points
E ev préhilbertien et F sev de dim ﬁnie n
a. Montrer que ∀x ∈ E, ∃y0
unique tq x − y0 ∈ F ⊥ . Montrer que d(x, F ) = ∥x − y0 ∥
b. Soit E = [
M2 (R) muni
] du produit scalaire canonique ( Schur). Soit F l’ev des matrices triangulaires supérieures.
2 0
Soit A =
. Calculer d(A, F )
−1 1
CCP 101 Exercice 12 points
51
1. Montrer que ⟨P/Q⟩ = P (0)Q(0) +
∫1
0
P ′ (x)Q′ (x)dx déﬁnit un produit scalaire sur R2 [X]
2. Soit H = {P ∈ R2 [X], P (0) + P (1) = 0}. Montrer que c’est un sous-espace vectoriel de R2 [X] et en donner une
base.
3. Calculer la distance de 1 à H.
Année 2009
[
]
3 −2
2 −2
1- A est-elle diagonalisable ?
CCP 102 A =
2- Calculer An
3- Montrer que les coeﬃcients de An sont divisibles par 3
CCP 103 Soit E un ev de dimension n et f ∈ L(E). On suppose que f a n valeurs propres distinctes.
Soit F = {g ∈ L(E), g ◦ f = f ◦ g}
1- Montrer que {idE , f, . . . , f n−1 } est une famille libre
2- Soit g ∈ F . Montrer que toute valeur propre de f est une valeur propre de g
3- En déduire que g est diagonalisable.
4- Montrer que g s’exprime comme un polynôme en f, de degré 6 n − 1
CCP 104 Soient E et F deux C-espaces vectoriels de dimensions ﬁnies. Soient f : E → F et g : F → E deux applications
linéaires telles que g ◦ f = idF
a. Montrer que ker f = ker g ◦ f
b. Montrer que Img = Img ◦ f
⊕
c. Montrer que E = ker f
Img
CCP 105
1- 8 points
∫b
Mq ⟨f, g⟩ = a f (x)g(x)dx est un produit scalaire sur C 0 ([a, b], R en redémontrant le th d’int qui sert pour ”
déﬁni”.
∫1√
Majorer 0 xe−x dx
2- 12 points
Soient E et F deux C-espaces vectoriels de dimensions ﬁnies. Soient φ : E → F et ψ : E → F deux applications
linéaires. Montrer que
∩
(rg(φ + ψ) = rg(φ) + rg(ψ) ⇔ (Im(φ) Im(ψ)) = {0E } et E = ker φ + ker ψ)
CCP 106
12 points
1- Mq ⟨f, g⟩ =
∫b
f (x)g(x)dx est un produit scalaire sur E = C 0 ([a, b], R . Ecrire Cauchy-Schwarz.
∫b
∫b 1
dx
2- On pose Φ : f 7→ a f (x)dx. a f (x)
a
a- En choisissant une suite de fonctions appropriée montrer que Φ(E) n’est pas majorée.
52
b- Montrer que Φ(E) est minorée.
c- Déterminer l’ensemble des g ∈ E telles que Φ(g) = inf Φ(f ).
f ∈E
CCP 107 12 points Soit E un espaces vectoriels et p et q deux projecteurs de E
a. Montrer que p ◦ q + q ◦ p = 0L(E) ⇒ p ◦ q = q ◦ p = 0L(E)
b. Trouver une condition nécessaire et suﬃsante pour que p + q soit un projecteur de E
c. On suppose la CNS réalisée. Trouver ker(p + q) et Im(p + q)
CCP 108 8 points. Deux fois

2

 −1


Soit n > 1 et A ∈ Mn (R). Dn = det(A) A = 


 (0)
−1
..
.
..
.
..
.


(0) 


..

.


..
. −1 
−1 2
..
.
a. Relation entre Dn , Dn+1 et Dn+2
b. En déduire l’expression de Dn .
c. Justiﬁer A diagonalisable. 0 est-il valeur propre ?
CCP 109 12 points Soit E un ev euclidien de dimen,sion 4 et B = (e1 , . . . , e4 ) une base orthonormale.
On pose a = e1 + e2 + e3 + e4 et b = 2e2 + 3e3 et F = vect(a, b).
Ecrire la matrice du prtojecteur orthogonal sur F dans la base B
CCP 110 8 points. Cours ! Soit u un endomorphisme d’un ev euclidien conservant le produit scalaire.
a. Montrer que u est bijectif
b. Montrer que l’ensemble des endomorphismes qui conservent le produit scalaire est un groupe pour ◦
CCP 111 12 points E un espace euclidien, f un automorphisme orthogonal g = IdE − f
a. Montrer que ker g = (Img)⊥
b. Montrer que ∀x ∈ E,
lim 1 ∥x
n→+∞ n
n−1
∑ (k)
1
f (x)
n
n→+∞
k=0
c. Montrer que lim
− f n (x)∥ = 0
= p(x) avec p le projecteur orthogonal sur ker(g)
CCP 112 Exercice 12 points
U et V sont deux vecteurs colonnnes. On pose M = In + U t V .
a. Montrer qu’il existe t ∈ K tel que M 2 − (t + 2)M + (t + 1)In = 0
b. CNS pour que M soit inversible
CCP 113 Exercice 12 points Soit (A, B) ∈ (Mn (Z))2 tels que det(A) ∧ det(B) = 1
53
a. Montrer qu’il existe (U, V ) ∈ (Mn (Z))2 tel que U A + V B = In Indication On pourra montrer que le polynôme
caractéristique de A est de la forme XQA (X) + det(A)
b. Application avec n = 2...
CCP 114 12 points Soit (A, B) ∈ Mn (R)2 telles qu’il existe P ∈ GLn (C) telle que P −1 AP = B
1- Montrer qu’il existe R et I dans Mn (R) telles que P = R + i I
2- Montrer qu’il existe x0 réel tel que det(R + x0 I) ̸= 0
3- Montrer qu’il existe Q ∈ GLn (R) telle que Q−1 AQ = B
[
]
[
]
1 −1
−1 1
4- En déduire que A =
et B =
sont semblables dans R
1 0
−3 2
Année 2008
CCP 115 Soit E un C- espace vectoriel de dimension n
a. Montrer que p est un projecteur de E si et seulement si IdE − p est un projecteur de E
b. Soit p un projecteur. Montrer que ker(p) = Im(IdE − p), que Im(p) = ker(IdE − p) et que E = ker(p)
⊕
Im(p)
c. Soit f ∈ LC (E).
Montrer que f ◦ p = p ◦ f si et seulement si ker(f ) et Im(f ) sont stables par p
CCP 116 8 points, 2 fois
Soit E un espace préhilbertien réel et F un sous-espace vectoriel de dimension ﬁnie de E
a. Montrer que ∀x ∈ E il existe un unique y0 ∈ F tel que x − y0 ∈ F ⊥
b. Montrer que d(x, F ) = ∥x − y0 ∥
c. Application : soit A ∈ E = M2 (R). E est muni du produit scalaire :⟨A, B⟩ =
matrice
supérieures.
[ triangulaires
]
1 0
A=
−1 2
Exprimer d(A, F )
CCP 117
8 points
∑
(i,j)
[
]
a b
Sur M2 (R) × M2 (R) on déﬁnit φ(A, B) = T r(t AB) et F = {
, (a, b) ∈ R2 }
−b a
a. Montrer que φ est un produit scalaire
b. Montrer que F est un sous-espace vectoriel
c. Trouver une base orthonormale de F[⊥
]
1 1
d. Déterminer le projeté orthogonal de
sur F ⊥
1 1
CCP 118
8 points

1
 0
0
1
2
1

a
0  avec a ∈ R
a
54
ai,j bi,j Soit F l’ev des
a. rg(A) ? A est-elle inversible ?
b. A est-elle diagonalisable ?
CCP 119 12 points E espace et f ∈ LR (E). On suppose que f ∗ = −f
a. Montrer que ∀x ∈ E, ⟨f (x), x⟩ = 0. En déduire que idE − f et idE + f ∈ GL(E)
b. Montrer que (idE − f )−1 et idE + f commutent.
c. Montrer que (idE − f )−1 ◦ (idE + f ) ∈ SO(E)
[
]
a b
E={
, (a, b) ∈ R2 }
−b a
CCP 120
a. Montrer que E est sev et sous-anneau de M2 (R) et calculer dim(E)
b. Soit
φ:
C −→ E
[
]
a b
a + ib 7−→
−b a
Montrer que φ est un isomorphisme d’ev et d’anneaux.
CCP 121 12 points
Soit (A, B) ∈ Mn (C)2 sans valeur propre commune.
a. Montrer que χA (B) est inversible
b. Montrer que ∀X ∈ Mn (C), (AX = XB ⇔ X = 0)
c. Montrer que ∀M ∈ Mn (C), ∃X ∈ Mn (C), unique / AX − XB = M
CCP 122 12 points
E euclidien et u endomorphisme de E tel que u ◦ u∗ = u∗ ◦ u
1. Montrer que ker u = ker u∗ et que u et u∗ ont les mêmes valeurs propres et les mêmes vecteurs propres
2. Montrer que deux vecteurs propres associés à deux valeurs propres distinctes sont orthogonaux
3. Soit λ valeur propre de u. Montrer que u et u∗ stabilisent Eλ⊥
4. Montrer que si u est diagonalisable alors il est orthodiagonalisable
CCP 123 12 points
[
A=
3
1
3
5
]
1. Diagonaliser A
2. (E) M 2 + M = A
a. Montrer que si M est solution de (E) alors M est diagonalisable et ses valeurs propres sont parmi {−2, 1, 2, −3}
b. Résoudre (E)
CCP 124 12 points Soit u ∈ L(R3 ) non nul tel que u3 + u = 0L(R3 )
1. Montrer que u n’est pas injectif
55
2. Montrer que E = ker u
⊕
Im(u)
2
3. Montrer quie ker(u + IdE ) = Im(u)
4. Montrer que rg(u) = 2

0
5. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la matrice de u est  0
0

0
−1 .
0
0
0
1
CCP 125 8 points

1
 0
M =
 0
2
0
1
1
0

2
0 

0 
4
0
1
1
0
a. Sans calcul, dire si M est inversible ? Diagonalisables ?
b. Valeurs propres et vecteurs propres des matrices suivantes :
[
]
[
1 1
1
A=
et B =
1 1
2
2
4
]
c. Dans R4 muni de sa base canonique (e1 , e2 , e3 , e4 ) on pose F = vect(e1 , e4 ) et G = vect(e3 , e2 ). On note
f l’endomorphisme représenté par M dans la base canonique. Montrer qu’il existe une base dans laquelle la
matrice de f est diagonale et la calculer.
CCP 126 8 points

−2 −2 1
A =  −2 1 −2 
1 −2 −2

a. Montrer que A est diagonalisables ?
b. Trouver P orthogonale et D diagonale telles que D =t P AP
CCP 127 12 points
On déﬁnit pour k ∈ [0 . . . , n − 1], ωk = e

2iπ
n

1
ωk
..
.


et Xk = 





ωkn−1
a. Montrer que B = (X0 , X1 , . . . , Xn−1 ) est une base de Mn,1 (C)

b.


A=


a1
an
..
.
a2
Montrer que B est une base de vecteurs propres de A
CCP 128 12 points
56
a2
..
.
..
.
...
...
..
.
..
.
an

an
.. 
. 


an 
a1
1. Soit (A, B) ∈ (Mn (R))2 et (X, Y ) ∈ (Mn,1 (R))2 et soit (λ, µ) ∈ R2 tels que
AX = λX,
t
BY = µY
Calculer pour C = X t Y, AC + CB
2. Application
[
A=
3 2
2 3
]
[
B=
1 −2
1 4
]
Résoudre AM + M B = M ′ avec M application de classe C 1 de R dans M2 (R)
La solution passant par A à t = 0 passe-t-elle aussi par B ?
CCP 129 12 points
Soit E un espace vectoriel ( de dimension ﬁnie) et f et g dans L(E) telles u’il existe α vériﬁant
g ◦ f − f ◦ g = αf
1. Exprimer g ◦ f k − f k ◦ g en fonction de α, k et f
2. Montrer que f est nilpotent. (Indication : utiliser
Φ:
L(E) →
h 7→
L(E)
g◦h−h◦g
CCP 130 8 points
n > 1, P (X) = X 2n − 2X n cos(na) + 1
Factoriser en produit de polynômes irréductibles dans C[X] puis dans R[X]
Année 2007
CCP 131
[
4 2
−1 1
]
Calculer An
CCP 132 Soit E un ev de dimension ﬁnie et f un endomorphisme de E
a. Montrer que E = Imf + ker f ⇒ Imf = Imf 2
b. Montrer que Imf = Imf 2 ⇒ ker f = ker f 2
c. Etude des réciproques
CCP 133 Soit E = Mn (R)
a. Soit (A, B) ∈ E 2 Montrer que T r(AB) = T r(BA)
b. Soit u ∈ LK (E). Montrer que toutes les matrices qui représentent u ont la même trace
c. Soit (A, B) ∈ E 2 . Montrer ∀k ∈ N, T r((AB)k ) = T r((BA)k ).
d. En déduire que AB et BA ont le même polynôme caractéristique.
57
CCP 134 Soit u un endomorphisme de R2 de matrice A dans le base canonique
[
]
−1 −4
A=
1
3
a. Montrer que A n’est pas diagonalisable
b. Trigonaliser u
c. Résoudre le système
{
x′
y′
= −x − 4y
= x + 3y

CCP 135

a
0 
a
1 1
a ∈ R et A =  0 2
0 0
a. Rang (A) ? Pour quelles valeurs de a , A est-elle inversible ?
b. Pour quelles valeurs de a, A est-elle diagonalisable ?
CCP 136

1
 0
M =
 0
2
0
1
1
0
0
1
1
0

2
0 

0 
4
a. Montrer que M n’est pas inversible. Montrer qu’elle est diagonalisable sans calculs
[
b.
A=
]
1 1
1 1
[
et B =
1
2
2
4
]
Valeurs propres et vecteurs propres de A et de B
c. Soit f l’endomorphisme de R4 canoniquement associé à M . Déterminer une base dans laquelle la matrice de f
est diagonale. Diagonaliser M .
CCP 137






A=





−2
1
0
..
.
..
.
0
1
..
.
0
..
.
...
..
.
.. .. ..
.
.
.
.. .. ..
.
.
.
.. ..
.
.
... ... 0
Déterminer les valeurs propres de A ( par récurrence)
CCP 138 Soit a ∈ R∗ et soit A la matrice de terme général ai,j = a
a. Dire sans calcul si A est inversible ? Diagonalisable ?
b. Calculer An ? Calculer le polynôme caractéristique de A
58
...
..
.
..
.
..
.
1
0
..
.
..
.








0 


1 
−2
c. Trouver deux polynômes annulateurs de A
CCP 139
Soit A ∈ Mn (C)
[
B=
[
a. Etude de M =
1 4
1 1
]
A
A
4A
A
]
[
]
−A 0
b. Montrer que B est semblable à
0
3A
c. Montrer que B est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable
CCP 140 Soit E un espace vectoriel euclidien et F un sev
⊕ ⊥
a. Montrer que E = F
F
b. Montrer que (F ⊥ )⊥ = F
CCP 141 8 points
Soit E un ev euclidien ( dimension ﬁnie) et F , G DEUX sev
∩
a. Montrer que (F G)⊥ = F ⊥ + G⊥
∩
b. Montrer que (F + G)⊥ = F ⊥ G⊥
CCP 142 8 points
Soit E un R espace vectoriel de dimension 3 , e = (e1 , e2 , e3 ) une base de E. Soit v = xe1 + ye2 + ze3 . On pose
q(v) = x2 + 2y 2 − z 2 + 2xy + 4xz − 2yz
a. Matrice A de q dans e
b. Calcul du polynôme caractéristique
c. Trouver e′ base de E telle que , les coordonnées d ev étant notées (X, Y, Z) on ait q(v) = αX 2 + βY 2 + γZ 2
CCP 143 Dans Mn (C) on pose ∥A∥ = sup |ai,j |
i,j
a. Montrer que ∀(A, B), ∥A.B∥ 6 n∥A∥∥B∥ puis que ∀p ∈ N, ∀A, ∥Ap ∥ 6 np−1 ∥A∥p
∑ Ap
b. Montrer que
p! converge absolument puis converge
CCP 144
8 points
1
⟨f, g⟩ =
2π
∫
2π
f (t)g(t)dt
0
a. Montrer que c’est un produit scalaire ( Fonctions continues 2π périodiques
b. Soit F engendré par f : x 7→ cos x et g : x 7→ cos(2x). Déterminer les projeté orthogonal de u :7→ sin x et de
v : x 7→ sin(2x) sur F
59
CCP 145 8 points
∫b
a. Soit h positive continue sur [a, b]. Montrer que si a h(t)dt = 0 alors h est la fonction nulle.
∫b
b. Soit E = C 0 ([a, b], R]) et ⟨f, g⟩ = a f (t)g(t)dt. Montrer que c’est un produit scalaire sur E
∫1√
c. Majorer 0 xe−x dx en utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz
CCP 146 Soit E euclidien et u un endomorphisme antisymétrique de E c’est-à-dire
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x)/y⟩ = −⟨x/u(y)⟩
a. Montrer que u a une seule valeur propre réelle et la préciser
b. u est-il diagonalisable ? Montrer que u ◦ u est symétrique
c. On choisit une base orthonormale B de E et on note A la matrice de u. Montrer que les valeurs propres complexes
non nulles de A sont imaginaires pures
CCP 147
12 points



Soient A = 

a1
a2
..
.






 et B = 


an
b1
b2
..
.



 deux vecteurs colonnes indépendants. On déﬁnit M = (ai bj + aj bi )16i,j6n

bn
a. Exprimer M en fonction de A et B. Exprimer pour X vecteur colonne, M X en utilisant le produit scalaire canon
ique
b. En déduire les éléments propres de M
c. On suppose que A et B sont orthogonaux. Eléments propres de P = (ai aj + bi bj )i,j
CCP 148 A est l’ensemble des endomorphismes d’un espace euclidien tels que f ∗ ◦ f ◦ f ∗ = f ∗
a. Montrer que f ∈ A si et seulement si f ∗ ◦ f est un projecteur orthogonal
∩
b. Montrer que O(E) = A det−1 (R∗ ) et en déduire que O(E) est un ouvert relatif de A
Année 2006
CCP 149 12 points
Soit M ∈ Mp (C) où p ∈ N∗ . On suppose qu’il existe deux réels distincts λ et µ ainsi que (A, B) ∈ Mp (C) distinctes
et non nulles tels que :

A
+
B
 Ip =
M = λA + µB

M 2 = λ2 A + µ 2 B
1. Calculer (M − λIp )(M − µIp ). En déduire que M est diagonalisable.
2. Montrer que A et B sont des projecteurs.
3. Montrer que ∀n ∈ Z, M n = λn A + µn B.
4. Quel est le spectre de M ?
CCP 150 12 points
60
Soit E le sous-espace vectoriel de C 0 (R) engendré par x 7→ 1, x 7→ x, x 7→ ex .
On pose (f /g) =
∫1
0
f (t)g(t) dt .
1. Montrer que c’est un produit scalaire sur E.
2. Trouver deux réels a et b tels que la distance de x 7→ ex à x 7→ ax + b soit minimale
CCP 151 Soit f l’endomorphisme de R2 dont la matrice dans la base canonique est
[
]
1 2
2 4
a. Noyau de f ?
b. Montrer que f n’est pas surjective
c. Donner une base de ker f et une base de Imf
CCP 152 12 points
Soit A ﬁxé dans Mn (K) et φ :
{
Mn (K)
M
→ Mn (K)
7
→
T r(M )A − T r(A)M
Etudier la réduction de φ
CCP 153 8 points. Posé deux fois.
E désigne un espace euclidien de dimension n et B une base orthonormale, u un endomorphisme de E de matrice A
dans B.
Montrre que u est un automorphisme orthogonal si et seulement si t A.A = In si et seulement si A est inversible
d’inverse t A.
CCP 154 8 points.
a. (E, ⟨|⟩) désigne un espace euclidien et u un endomorphisme de E. On suppose que ∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨u(x)|u(y)⟩ =
⟨x|y⟩⟩.
Montrer que u est bijectif.
b. Montrer que l’ensemble des automorphismes orthogonaux de E muni de la loi ◦ est un groupe
CCP 155 E = R3 . Soit u ∈ E/ ∥u∥ = 1 et soit D = vect(u). On ﬁxe a ∈ R∗ et on déﬁnit fa (x) = x + a⟨x|u⟩u.
1. Montrer que fa est un endomorphisme.
2 a. existence et unicité de a′ etl que
∀x ∈ E, ∥x∥ = ∥fa′ (x)∥
2 b. Montrer que E = ker(fa′ + IdE ) ⊕ ker(fa′ − IdE ). Que peut-on dire de fa′ ?
3 a. Soit a quelconque non nul. Montrer que fa est un endomorphisme symétrique.
3 b. Donner les éléments propres de fa .
CCP 156 E = C considéré comme R espace vectoriel ( Base (1, i)). Soit f ∈ LR (E).
61
a. Montrer qu’il existe α et β tels que ∀z ∈ E, f (z) = αz + βz
b. Condition nécessaire et suﬃsante sur α et β pour que f soit inversible ?
c. Condition nécessaire et suﬃsante sur α et β pour que f soit autoadjoint ?
CCP 157 f (P ) = P − P ′ . Antécédent P de Q ﬁxé ?
CCP 158 8 points. Cours. Plusieurs fois
Démontrer :
a. h continue positive sur [a, b] d’intégrale nulle implique h nulle.
∫b
b. Sur C 0 ([a, b]), ⟨f, g⟩ = a f (t)g(t) dt est un produit scalaire.
[
CCP 159
E = {M/∃(a, b) ∈ R2 /
a
−b
b
a
]
}
1. Montrer que E est un sous-espace vectoriel et un sous-anneau de M2 (R)
2. Soit φ : C → E telle que φ(a + ib) = M (a, b). Montrer que φ est un isomorphisme d’espaces vectoriels. Est-ce
un isomorphisme d’anneaux ?
CCP 160 Soit A ∈ Mn (C). On note PA le polynôme caractéristique de A et MA son polynôme minimal.
a. Montrer que ∀λ ∈
/ Spec(A), T r(λIn − A)−1 =
′
PA
(λ)
PA (λ)
b. Montrer qu’il existe un polynôme unitaire Q tel que ∀λ ∈
/ Spec(A), (λIn − A)−1 =
CCP 161 Résolution de M 2 = A avec A matrice 3 × 3 ayant deux vp .
CCP 162
Très classique
Soit E un C-espace vectoriel de dimension ﬁnie n et soit p ∈ L(E).
1. Montrer que p est un projecteur si et seulement si IdE − p est un projecteur.
2. Soit p un projecteur.
a. Montrer que ker(p) = Im(IdE − p) et que ker(IdE − p) = Im(p)
b. Montrer que E = ker(p)
⊕
Im(p)
3. Soit f ∈ L(E). montrer que p ◦ f = f ◦ p ⇔ ker(p) et IM (p) sont stables par f .
3.2
CENTRALE
Année 2010
CENTRALE 62
62
Q(A)
mA (λ)
1. Soit E un R− espace vectoriel de dimension 3n, f ∈ LR (E) tel que rg(f) = 2n et f 3= 0LR (E) . Montrer que
0 0 0
ker f = Imf 2 et trouver une base de E dans laquelle la matrice de f est  In 0 0 
0 In 0
2. Trouver une condition nécessaire et suﬃsante sur les aﬃxes de trois points pour que ces points forment un
triangle équilatéral.
CENTRALE 63
1. Soit E un R− espace vectoriel de dimension n, f ∈ LR (E) . Trouver c tel que si α ∈]c, +∞[
alors det(f ) > 0.

 
1 1 (0)
a1,1

 
.
.
.
.

 
.
.
 et 
2. CNS pour que les deux matrices suivantes soient semblables : 

 
.
.. 1  

(0)
1
et f 3 = f + αIdE
...
..
.
(0)
...
..
.
a1,n
..
.
..
.
an,n






CENTRALE 64
[
]
0
34
1. On munit M2 (R) du produit scalaire canonique et de la norme associée notée ∥ ∥. Soit M =
et
−10 −1
[
]
x
X=
∈ M2,1 (R)
y
A l’aide du logiciel Maple montrer que les valeurs propres de M sont de partie réelle < 0 et calculer F (X) =
∫ +∞
∥exp(tM )X∥2 dt. Toujours avec le logiciel montrer que f est une forme quadratique dont la forme polaire
0
est un produit scalaire.
2. Soit M ∈ Mn (R) et A ∈ Sn (R) et les valeurs propres de A > 0 et telles que ∀X ∈ Mn,1 (R), ⟨AM X, X⟩ < 0.
Montrer que toute valeur propre de M est de partie réelle négative.
3. Réciproquement soit M ∈ Mn (R) dont les vap sont de partie réelle négative. On admet ∃(C, K) ∈ R∗+ , ∥exp(tM )∥ 6
∫ +∞
Ce−Kt . Montrer que F (X) = 0 ∥exp(tM )X∥2 dt existe ( J’imagine qu’il fallait aussi montrer que c’est une fq
associée à un prod scalaire)
CENTRALE 65 Pour n > 1 on suppose qu’il existe P ∈ R[X] et λ ∈ R tels que
(P (X))2 − X(X + 1)(X + 2) . . . (X + 2n − 1) = λ2
1. Etudier les cas n = 1 et n = 2
2. Cas n > 3. Supposons qu’il existe (P, λ) qui convient tel que P (0) = λ. Que peut-on dire des racines de P − λ
et P + λ ?
3. On ordonne les racines de P − λ : a0 = 0 > a1 > . . ..
Soient a et b deux racines consécutives de P − λ. Montrer que b = a + 1 ou b = a + 3
CENTRALE 66
1.
(E) x2 − 4x + 3 = 0
a. Résoudre (E) dans Z/11Z et dans Z/143Z avec Maple
b. faire le calcul à la main
2. Soit M ∈ M2 (Z/11Z) et
(E) M 2 − 4M + 3I2 = 0M2 (R)
63
a. Si T r(M ) ̸= 4 résoudre (E)
b. Essayer les matrices de trace ( ? ) 4
c. Conclure
CENTRALE 67 Soit E = Mn (C) et φ : E → E M 7→ AM + M B
1. Soit X un vecteur propre de A associé à α et Y un vecteur propre de t B associé à β. Montrer que X t Y est un
vecteur propre de φ. Donner la vap associée
2. Soit M un vecteur propre de φ associé à λ et P ∈ C[X]. Montrer que P (A)M = M P (λIn − B).
En déduire le spectre de φ en fonction de ceux de A et B
3. Si A et B sont diagonalisables, montrer que φ est diagonalisable.
CENTRALE 68
1. Soit E = Mn (R) . Montrer que
∀f ∈ E ∗ ∃!X ∈ Mn (R), ∀M ∈ Mn (R) f (M ) = T r(XM )
2. Soit G l’ensemble des rotations de O3 (R) laissant invariant le dernier vecteur de la base canonique.
Trouver f ∈ L(M3 (R), R) telle que
∀A ∈ M3 (R), ∀B ∈ G, f (B −1 AB) = f (A)
3. Trouver f ∈ L(Mn (R), R) telle que
∀A ∈ Mn (R), ∀B ∈ On+ (R), f (B −1 AB) = f (A)
CENTRALE 69
Grand classique
Soit E un K− espace vectoriel de dimension n. Soit f un endomorphisme de E et C(f ) = {g ∈ L(E), g ◦ f = f ◦ g}
1. Montrer que tout spus-espace propre de f est stable par g
2. On suppose f diagonalisable. Déterminer C(f ) et donner sa dimension.
3. Si f a n valeurs propres distinctes montrer que C(f ) est l’ensemble des polynômes en f . ( Je rajoute : donner
une base de C(f ))
CENTRALE 70
Soit n ∈ N et Φn ∈ Mn (R) la matrice de terme général Φn [i, j] = i + j si i ̸= j et i sinon
1. En utilisant Maple calculer le polynôme caractérisrique de Φ2 , Φ3 , Φ4 et Φ10 . Que remarque-t-on au sujet des
vap
2. Montrer que toutes les valeurs propres de Φn sont racines d’une fraction rationnelle
Exercice bizarre : peut-être qu’il fallait montrer que ce sont des nombres rationnels..)
3. On forme la suite (λn )n avec λn plus grande vap de Φn . Montrer que cette suite converge.
[
]
a b
Soit M ∈ M2 (R) avec M =
c d
Soit A ∈ Mn (R). On déﬁnit le produit de Kronecker de M par A :
[
]
aA bA
M ⊗A=
cA dA
CENTRALE 71
64
1. Montrer que ∀(M1 , M2 ) ∈ M2 (R)2 , ∀(A1 , A2 ) ∈ Mn (R)2 , (M1 ⊗ A1 )(M2 ⊗ A2 ) = (M1 M2 ) ⊗ (A1 .A2 )
2. Soit M inversible, que peut-on dire de M ⊗ In ?
3. Soit M diagonale non nulle. Montrer que A est diagonalisable si et seulement si M ⊗ A est diagonalisable.
4. Si M et A sont diagonalisables que peut-on dire de M ⊗ A ?
[
]
1 0
5. Soit M =
1 1
Soit B = M ⊗ A Calculer B 2k pour k ∈ N puis P (B) avec P polynôme.
[
]
0 1
6. Soit M =
Montrer que si A est antisymétrique alors B est diagonalisable
−1 0
Année 2009
CENTRALE 72 ∥ ∥ désigne la norme inﬁnie sur Rn .
∥|A|∥ = sup ∥AX∥ = sup ∥AX∥
∥X∥
∥X∥=1
X̸=0
Pour i ∈ [|1, . . . n|], Li (A) =
n
∑
|ai,j |
j=1
1. Exprimer ∥|A|∥ en fonction des Li (A)
2. Montrer que si ∀X, ∥AX∥ = ∥X∥ alors A est le produit d’une matrice de permutation avec une matrice
diagonale dont les termes diagonaux sont des 1 ou des −1
3. Soit A ∈ Gln (R. Montrer que min ∥AX∥ > 0 on le note µ. Montrer que µ =
∥X∥=1
1
∥|A|∥−1
4. Montrer que d(A, Mn (R)\GLn (R) > µ
5 Montrer que d(A, Mn (R)\GLn (R) = µ
CENTRALE 73 Soit (e1 , . . . , en ) la base canonique de Rn et An = {fσ , σ ∈ Sn } avec fσ déﬁnie par ∀i, fσ (ei ) = eσ(i)
1. Montrer que An est une algèbre
2. Soit Bn ⊂ An tel Bn est l’ensemble des fσ de l’un des types suivants
- σ = id
- σ = (1, i) ( transposition (1, i))
- σ = (1, j, k) ou (1, k, j) avec 2 6 j < k 6 n
Donner les matrices de ces fσ et la dimension de B3 dans le cas n = 3
3. Montrer que dim(An ) > 1 + (n − 1)2
CENTRALE 74



A=


1 + x2
x
..
.
x
x
..
. (x)
(x)
...
...
..
.
..
.
x
x
x
1 + x2






a. Sans calculs, valeurs propres de A. En déduire det(A)
b. Soit P (X) = X 2 − X + 1 Matrice de M3 (C) ( resp M3 (R), M2 (R), M4 (R)) dont P est le polynôme minimal ?
CENTRALE 75 (Fn )n∈N , F0 = 0 F1 = 1 ∀n > 0, Fn+2 = Fn+1 + Fn
1. Soit m ∈ N. Que peut-on dire du couple (Fn , Fn+1 ) dans Z/mZ. En déduire ∃T / Fn+T ≡ Fn [m]
2. Avec Maple donner T pour m = 2 et m = 5. En déduire T pour m = 10
65
CENTRALE 76 (Fn )n∈N , F0 = 0 F1 = 1 ∀n > 0, Fn+2 = Fn+1 + Fn
1. Soit p un nombre premier.
a. Montrer que ∀x ∈ Z, xp ≡ x[p]
b. Montrer que ∀k ∈ {0, . . . , p − 1},
(p)
k
est divisible par p
c. Soit P un polynôme à coeﬃcients dans Z/pZ. Montrer que P a au plus p racines.
2.
a. Avec Maple déterminer le reste de Fn+2 − 3Fn+1 + 1 par n pour n de 2 à 30. Remarques ?
b. Déterminer les nombres inférieurs à 1000 tels que ce reste soit nul.
5
3. On suppose qu’il existe d ∈ Z\pZ tel que d2 = b
a. Montrer que x2 − x − b
1=b
0a a deux solutions α et β distinctes.
cn = (αn − β n )(α − β)−1
b. Montrer que F
[
[ b b
c. En déduire que F
p+2 − 3Fp+1 + 1 = 0
CENTRALE 77
1. Résoudre x2 = x + 1 dans Z/41Z
2. Soit p un nombre premier impair. Montrer que :
∃u ∈ Z, ∀x ∈ Z, (x2 ≡ x + 1[p]) ⇐⇒ ((x − u)2 ≡ 2xu + 1[p])
CENTRALE 78
1. Soit A ∈ Mn (R) telle que Spec(At A −t AA) ⊂ R+ . Montrer que A et t A commutent
∩
2. Soit H un hyperplan de Mn (R). Montrer que H GLn (R) ̸= ∅
CENTRALE 79
{
1. Soit a > 0 et
u0
un+1
= 1
= 13 (2un +
a
u2n )
Etudier la convergence et calculer la limite de cette suite.
2. Soit A ∈ Sn (R). Montrer qu’il existe B ∈ Sn (R),
1
unique. On la note A 3
B 3 = A. Montrer ou admettre selon eﬃcacité qu’elle est

3. Soit
9
 1
A=
 1
1
1
9
1
1
1
1
9
1

1
1 

1 
9
1
Trouver A 3 .
4.
Année 2008
CENTRALE 80 Apparu deux fois
Soit E un K− ev de dimension ﬁnie n et (f, g) ∈ (L(E))2 .
1. Montrer que n = dim(ker f ) + rg(f )
2. Montrer que rg(f ) + rg(g) − n 6 rg(f ◦ g) 6 inf (rg(f ), rg(g))
3. Montrer que rg(f n ) = rg(f n+1 )
4. Montrer que pour 0 6 k 6 n − 1, 2rg(f k ) 6 rg(f k+1 ) + rg(f k−1 )
66
CENTRALE 81 Soit E un K− ev de dimension ﬁnie n et p un projecteur de E.
Φ :
L(E)
f
→
7
→
L(E)
p◦f +f ◦p
1. Montrer que Φ est un endomorphisme. Déterminer son noyau ; en déduire son rang.
2. Calculer les valeurs propres de Φ. Est-ce que Φ est diagonalisable ? Quel est son polynôme minimal ? Pour k ∈ N
déterminer un polynôme P tel que Φk = P (Φ)


0 −1 −1
3. Application A =  −1 0 −1 
1
1
2
Vériﬁer que A est la matrice d’un projecteur p. Sous-espaces propres de p, puis de ϕ .
CENTRALE 82 Soit E un K− ev de dimension ﬁnie n.
f endomorphisme de E est cyclique si et seulement si il existe x ∈ E tel que (x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x)) est libre.
1. Dans le cas où f est nilpotent d’ordre n prouver que f est cyclique et préciser quels sont les x tels que
(x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x)) est libre.
2. Un endomorphisme qui a n valeurs propres distinctes est-il cyclique ?
3. Même question avec un endomorphisme qui a n valeurs propres dont deux au moins sont égales
4. Application à une dizaine de matrices 3 × 3 ( j’imagine avec Maple)
CENTRALE 83
Exercice apparu aussi en 2007
Soit E un espace vectoriel euclidien et u ∈ L(E)
a. On suppose qu’il existe (x, y) tels que x est vecteur propre de u associé à λ et y vecteur propre associé à µ. et
que λµ 6 0.
Montrer qu’il existe z non nul z ∈ [x, y] tel que u(z) ⊥ z
b. On suppose que T r(u) = 0. Montrer en traitant d’abord le cas où u est autoadjoint que’il existe z de norme 1
tel que u(z) ⊥ z.
c. Montrer que T r(u) = 0 si et seulement si il existe une base orthonormale de E dans laquelle la matrice de u est
à diagonale nulle.
CENTRALE 84 Sur Mn (C) on considère l’équation
(En ) : M 2 − tr(M ).M + det(M ).In = 0Mn (C)
1. Résoudre (E2 )
2. Résoudre (E3 )
3. Résoudre (En ) pour n > 4
CENTRALE 85 Soit (a0 , a1 , . . . , an ) ∈ Rn+1 tels que a0 < a1 < . . . < an
1. Montrer qu’il existe une unique famille (P0 , P1 , . . . , Pn ) de Rn [X] constituée de polynômes unitaires telle que
∀i ̸= j, Pi (aj ) = 0
2. Montrer que (P0 , P1 , . . . , Pn ) est une base de Rn [X]
3. Caractériser les polynômes de degré n unitaires Q de racines b1 , . . . , bn telles que a0 < b1 < a1 < b2 < . . . <
an−1 < bn < an
67
4. Soit R de degré n à coeﬃcients entiers et m tel que ∀k ∈ [|0; n|], m divise R(k). Montrer que ∀k ∈ Z, m divise R(k)
CENTRALE 86 Soit E = Rn et u ∈ LR (E)
1. Montrer l’équivalence de
(i) ∃v ∈ LR (E) tel que u ◦ v = 0 et u + v ∈ GL(E)
⊕
(ii) E = ker u Im(u)
2. Trouver deux conditions équivalentes aux précédentes portant sur les noyaux et images de u et u2
3. Quels sont les résultats qui subsistent en dimension inﬁnie ?
CENTRALE 87 E = Rn muni du produit scalaire canoniquee. Pour u endomorphisme de E on déﬁnit ∥|u|∥ = sup
x̸=0E
1. Montrer que ∥|u|∥ = sup{⟨u(x)/y⟩,
∥u(x)∥
x
(x, y) ∈ E 2 , ∥x∥ 6 1, ∥y∥ 6 1}
2. En déduire que ∥|u|∥ = ∥|u∗ |∥
3. Montrer que ker(Id − u) = (Im(Id − u∗ ))⊥
4. Déterminer (ker(Id − u))⊥
CENTRALE 88 Soit E un C− ev de dimension n > 2. Soit A un sous ev de L(E) non réduit à {0L(E) } stable par composition et
tel que les seuls sous-espaces vectoriels de E stables par tout élément de A soient E et {0E }. Le but de l’exercice est
de montrer que A contient un projecteur de rang 1.
1. Soit x ∈ E\{0E }, Ax = {a(x)/ a ∈ A} Montrer que Ax ̸= {0E } puis que Ax = E
2. Montrer qu’il existe a ∈ A, a ̸= 0A de rang minimal r > 1. Soit f ∈ A tel que ker a
f = 0L(E)
ker f . Montrer que
3. Soit u ∈ E tel que a(u) ̸= 0E . Montrer qu’il existe g ∈ A tel que g ◦ a(u) = u
4. Soit p = g ◦ a. Montrer que p est un projecteur de rang r
5. Montrer que pour f ∈ A il existe λf valeur propre de p ◦ f/Im(p) . En déduire que p ◦ f ◦ p = λf p
6. Montrer que Au ⊂ ker(p) + vect(u) et conclure.
CENTRALE 89 Soit E = Cn . Soit u un endomorphisme de E.
1. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace vectoriel de E stable par u possède un
supplémentaire stable.
2. Est-ce vrai si E = Rn ?
3. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si pour tout λ ∈ C, ker(u − λIdE ) = ker(u − λIdE )2
4. Est-ce vrai si E = Rn ?
CENTRALE 90 (p, q, r) ∈ (R∗+ )3 avec p + q + r = 1

p
M = q
r
r
p
q

q
r 
p
1. A quelle condition M a-t-elle 3 valeurs propres réelles ?
2. A quelle condition M a-t-elle 1 valeurs propres réelles ?
3. Dans ce cas quelle est la projection sur cet espace parallèlement aux autres esp propres ( ? ?)
68
CENTRALE 91 Soit E un espace euclidien. Soit t ∈ O(E). on pose s = t − idE
1. Montrer que ker s et Im(s) sont en somme directe.
n−1
∑ k
2. Pour n ∈ N on pose tn = n1
t . Convergence et limite de la suite (tn )n
k=0
CENTRALE 92

1.


A=


1 2
2
3
2
1 2
3
3
1
2
3
2
2 1
an
an−1
(0)
2






Diagonaliser A et polynôme minimal de A ( avec Maple)
2. Soit An ∈ M2n−1 (C)

a1
..
.



 an−1

An = 
 an
 an−1

 .
 ..
a1
. . . an−1
...
an−1
an
an−1
..
.
(0)
. . . an−1
an
a1
..
.
an−1
...
a1
0
1
0
0

0
−1 

0 
0












Etudier la diagonalisation de An

CENTRALE 93
1
 0
A=
 0
0
1.
0
−1
0
0


0
−1 0
 −1 1
0 
 et B = 
 −1 0
1 
0
−1 0
0
0
0
a
a. Avec Maple, χA et χB
b. A (resp B) est-elle diagonalisable ?
2.
a. Avec Maple chercher les P telles que AP = P B
b. Chercher les P inversibles telles que P −1 AP = B
Année 2007
CENTRALE 94
Soit F une R algèbre intègre commutative de dimension ﬁnie.
1. Soit x0 ∈ F \ R. Montrer que (1, x0 ) est libre et que (1, x0 , x20 ) est liée.
2.
a. Montrer qu’il existe y0 ∈ R + Rx0 tel que y02 = −1
b. Montrer que
θ
:
C →
a + ib 7→
R + Rx0
a + by0
est un isomorphisme d’algèbres.
3.
a. On suppose F ̸= R + Ry0 . Soit z0 ∈ F \ R + Ry0 . Montrer qu’il existe t0 ∈ R + Rz0 tel que t20 = −1
b. Montrer que R + Rz0 = R + Ry0
4. Conclure
69
CENTRALE 95 Soit P ∈ R[X]. On pose
Bn (P ) =
∑
k=0
k
nCnk P ( X k (1 − X)n−k
n
2
1. Calcul de B(1), B(X), B(X )
2. Montrer que ∀P ∈ R[X], Bn (XP ) = XBn (P ) + X(1 − X)(Bn (P ))′ . En déduire que deg(Bn (P ) ≤ deg(P )
3.
Φ : R4 [X] → R[X]
P 7→ Bn (P )
Montrer que ϕ est un endomorphisme diagonalisable. On note λn,0 > . . . > λn,4 les valeurs propres et Pn,0 , . . . , Pn,4
les vecteurs propres associés choisis uunitaires.
4. Montrer que ∀k, (λn,k )n converge.
5. Montrer que ∀k, (Pn,k )n converge uniformément
CENTRALE 96
n ∈ N∗ . Soit Gn le sous-groupe de GLn (K)
[
] [
0
0 µ1
1. Si λ ∈ C∗ , en étudiant
et
1
µ 0
[µ
1
2. En remarquant que ∀L ∈ Mn,1 (C),
0
engendré par les A de Mn (C) telles que A2 = In
]
[ 1
]
µ
0
pour un µ correctemet choisi, montrer que λ
∈ G2
0
0 λ
] [
] [
]
[
]
0
1
L
1 L
1 L
.
=
montrer que
∈ Gn+1
−In
0 −In
0 In
0 In
3. Montrer que Gn = {A ∈ Mn (C)/ det(A) =+
− 1}
[
CENTRALE 97 Soit g ∈ GL2 (C). On note g =
a b
c d
]
1. Soit ug : P 7−→ (cX + d)n−1 P ( aX+b
cX+d ) Montrer que ug est un endomorphisme de Cn−1 [X]
2. Montrer que
∀(g1 , g2 ) ∈ GL2 (C)2 , ug2 g1 = ug1 ◦ ug2
3. Exprimer det(ug ) en fonction de det(g)
4. Déterminer les valeurs propres de ug
CENTRALE 98
Soit la matrice

1
A= 1
1
1
1
0

1
0 
0
1. Montrer que A est diagonalisable et possède trois valeurs propres α < β < γ
2. Montrer qu’il existe trois matrices U, V et W telles que ∀n ∈ Z, An = αn U + β n V + γ n W
CENTRALE 99 Soit (G, ·) un groupe. H et K deux sous-groupes de G et HK = {x ∈ G/ ∃(h, k) ∈ H × K
Montrer que HK est un sous-groupe de G si et seulement si HK = KH
CENTRALE 100 Soit H un hyperplan de Mn (R) Montrer que H
∩
GLn (R) ̸= ∅
Année 2006
CENTRALE 101
70
x = h · k}
1. Soit O ∈ On (R) et S ∈ Mn (R) symétrique réelle positive. Montrer que T r(OS) 6 T r(S).
Montrer qu’il y a égalité si et seulement si OS = S.
2. Calculer la distance de S àOn (R)
CENTRALE 102 Trouver M ∈ Mn (R) telle que
(1). M 5 = M 2
(2). T r(M ) = n
CENTRALE 103 On ﬁxe (p, q) ∈]0, 1[, p + q = 1. E = C ∞ (R, R) et u est l’endomorphisme de E déﬁni par u(f ) : x 7→ f (px + q)
1. Etudier les suites (un )n telles que un+1 = p.un + q
2. Montrer que les valeurs propres de u sont dans ] − 1, 1]\{0}
3. Soit f un vecteur propre pour u. Montrer qu’il existe un entier naturel k tel que f (k) = 0E
4. Quelle est la forme des vecteurs propres de u ?
CENTRALE 104
a. Soient A et H deux matrices 2 × 2 symétriques réelles positives. On suppose de plus que A est déﬁnie.A-t-on
AH + HA positive ?
b. Soient A et H deux matrices n × n symétriques réelles. On suppose de plus que A est positive et déﬁnie et que
AH + HA est positive. Montrer que H est positive.
CENTRALE 105 Soit T application linéaire de L(R[X])déﬁnie par
T (P ) = (8 + 3X)P (X) − (5X − X 2 )P ′ (X) + (X 2 − X 3 )P ”(X)
Etudier l’injectivité, la surjectivité de T .
calcul des vecteurs et valeurs propres de T
CENTRALE 106 Enoncé à revoir
Soit E un espace vectoriel sur un corps inﬁni K. Soient L1 et L2 deux sous-espaces vectoriels de LK (E) tels que
L1 + L2 = L(E) et ∀(f1 , f2 ) ∈ L1 × L2 , f1 ◦ f2 = f2 ◦ f1
1. Soient (f1 , f2 ) ∈ L1 × L2 et x ∈ E \ {0E } tel que ∃(λ, µ) ∈ R2 / f1 (x) = λx et f2 (x) = µx.
Montrer que ker(f1 − λIdE ) + ker(f2 − µIdE ) = E
2. montrer que s’il existe f1 ∈ L1 tel que f1 ait un sous-espace propre de dimension 1 alors L2 est constitué
d’homothéties.
CENTRALE 107
1. V et W W désignent deux sev de Rn .
∩
On suppose que dim(V ) + dim(W ) > n + 1. Montrer que dim(V W ) > 1.
71
2. Soit S une matrice symétrique réelle d’ordre n. ( S ∈ Sn (R)). λ1 6 λ2 6 . . . 6 λn sont ses valeurs propres.
On note
[
S=
A
t
C
C
a
]
avec A ∈ Sn−1 (R) et µ1 6 µ2 6 . . . 6 µn−1 les vp de A.
besoin de vp distinctes pour S et A ? ou bien interpréter la notation entermes de dimension des sep ?
a. Soit X ∈
k
∑
e=
ker(A − µi In−1 et soit X
[
]
X
0
i=1
∈ Mn,1 (R).
Montrer que
t
b. Y ∈
n
∑
e X
e 6 ∥X∥
e 2
XS
ker(S − λi In−1 . Montrer que
i=k
t
Y SY > ∥Y ∥2
. En déduire que λk 6 µk .
c. Montrer que λ1 6 µ1 6 λ2 . . . 6 µn−1 6 λn
3. q(x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Trouver (α, β, γ) tels que l’intersection du plan αx + βy + γz = 1 et de la quadrique
q(x, y, z) = 0 soit une parabole.
CENTRALE 108 Soit A un sous-anneau de Q et a ∈ A, a =
a. Montrer que
1
q
p
q
avec p ∧ q = 1
∈A
b. Soit I un idéal de A. Montrer qu’il existe n ∈ N tel que I
∩
Z = nZ. En déduire que I = nA
c. Soit p ∈ N un nombre premier et
Zp = { ab / (a, b) ∈ Z × N∗ et p ne divise pas b}. Montrer que Zp est un sous-anneau de Q. Soit x ∈ Q∗ . Montrer
que x ou x−1 appartient à Zp .
d. Soit A un sous-anneau de Q diﬀérent de Q tel que ∀x ∈ Q, x ou x−1 ∈ A. Soit I l’ensemble des éléments non
inversibles de A. Montrer que c’est un idéal de A et que tout idéal de A diﬀérent de A est inclus dans I. ( ?) En
déduire qu’il existe p tel que A = Zp . ( plutôt : A est une intersection de certains Zp )
CENTRALE 109
a. Déterminer {P ∈ C[X]/ P (C) ⊂ R}
b. Déterminer {P ∈ C[X]/ P (N) ⊂ Q}
CENTRALE 110
a. Soit G un groupe multiplicatif tel que ∀g ∈ G, g 2 = eG avec eG neutre pour la loi * de G.
Montrer que G est commutatif.
b. Soit E un sous-groupe de GLn (C) tel que ∀A ∈ E,
∀A ∈ E, P −1 AP soit diagonale.
A2 = In . Montrer qu’il existe P ∈ GLn (C) tel que
Que peut-on dire de l’ordre de E ( ordre=cardinal)
c. Montrer que GLn (C) et GLm (C) ne sont pas isomorphes.
72
CENTRALE 111 E = C ∞ (R, R), p ∈] − 1, 1[\{0}, q = 1 − p
Soit u : E → E f 7→ u(f ) avec u(f ) : x 7→ f (px + q)
a. Montrer que u est un automorphisme
b. Montrer que si λ est valeur propre de u alors −1 < λ 6 1
c. Montrer que si f est un vecteur propre de u alors ∃k ∈ N tel que f (k) = 0
d. Quels sont les vecteurs propres de u ?
CENTRALE 112
a. Montrer que ∀k ∈ N si k est impair alors
∀a ∈ N∗ , k 2
b. Montrer que n divise
n−1
∑
a−1
≡ 1[2a ]
k n si et seulement si n est impair.
k=1
3.3
TPE
Année 2010
TPE 60 Soit n > 2. Déterminer le nombre de sous-groupes de Z/nZ.
TPE 61 Résoudre dans Z/11Z


x+y+z
x2 + y 2 + z 2
 3
x + y3 + z3
= 6
= 3
= 3
TPE 62 Soit A ∈ Mn (C) et
[
B=
A
0n
In
A
]
Calculer ΠB en fonction de ΠA
TPE 63
1- Soit A ∈ Mn (C). Montrer que A est nilpotente si et seulement si ∀k ∈ {1, . . . , n} T r(Ak ) = 0
2- Soit A ∈ Mn (R) telle que A4 + 5A2 + 4In = 0 . Montrer que tr(A) = 0
3- Rajouté après que les autres aient étés ﬁnis
Montrer que ∀P ∈ K[X] P (X) − X divise P (P (X)) − X
TPE 64
1- Montrer que φ(A, B) = T r(t B.A) est un produit scalaire sur Mn (R)
73
2- Trouver Ω ∈ Mn (R) telle que
{
f:
E
M
→ E
7
→
ΩM
soit orthogonale pour φ.
TPE 65
Soit H un sous-ensemble ( je suppose de cardinal ﬁni) de GLn (R) non vide stable par produit.
{
Z → H
1- Soit M ∈ H ﬁxée et φ :
k 7→ M k
Montrer que φ n’est pas injective.
2- Montrer que H est un sous-groupe de GLn (R).
∑
1
M montrer que si M ∈ H alors P M = M P puis que P 2 = P .
q
3- Soit q le cardinal de H et P =
M ∈H
TPE 66
Soit G un sous-groupe de GLA(R2 ) ( groupe des applications aﬃnes de R2 dans R2 ). G est supposé de cardinal n
impair.
∑
g((0, 0))
1- m = n1
g∈G
Montrer que ∀h ∈ G, h(m) = m
∑
2- On pose φ(u, v) = n1
⟨g(u), g(v)⟩.
g∈G
Montrer que φ est un produit scalaire sur R2
3- On suppose que G un sous-groupe de SO(R2 ). Montrer que G est isomorphe à Z/nZ
TPE 67
Regroupement de 2 exercices plus un troisième car 1 et 2 ﬁnis
1- Soit A ∈ Mn (K) avec A = (C1 , C2 , . . . , Cn ) et soit B ∈ Mn (K) avec B = (D1 , D2 , . . . , Dn ). et ∀j, Dj =
∑
k̸=j
Exprimer detB en fonction de detA
2- Soit u ∈ LK (E) tel que u2 = 0. Montrer que ker(u + u∗ ) = ker u ∩ ker u∗
t
3- Soit A ∈ Mn (R) et S A+2 A .
Soit α la plus petite et β la plus grande vap de S. Montrer que ∀λ ∈ Spec(A), α 6 λ 6 β
TPE 68
Couplé avec un exercice d’analyse
1- Soit A ∈ Sn+ (R).
montrer qu’il existe M ∈ Sn+ (R) tel que M 2 = A
2- Montrer que ∀(A, B) ∈ (Sn+ (R))2 , T r(AB) > 0
TPE 69
Couplé avec un exercice d’analyse
Soit f ∈ LR (E) donnée par f (x) = . . . avec α ∈ R∗ et a ∈ E\{0E }
1- Valeurs propres de f
74
Ck .
2- CNS sur α et a pour que f soit une isométrie.
TPE 70
1- On admet que
∫
e−u du =
2
R
√
π
a- Montrer que A ∈ Sn+ (R) si et seulement si toute vap de A est positive.
[
]
x
b- Soit Soit A ∈ S2+ (R) et X =
.
y
∫∫
calculer I =
exp(−t XAX)dxdy
R×R
2- Trouver les entiers n tels que
∃a ∈ N∗ , n2 =
a
∑
k!
k=1
Année 2009
TPE 71
1- Pour tout entier naturel n montrer qu’il existe deux entiers an et bn tels que (1 +
√
√
2)n = an + bn 2
2- Montrer que pour tout n > 1, an et bn sont premiers entre eux.
3- Etudier la suite ( abnn )n .
TPE 72 Résoudre dans M3 (R) le système d’inconnue M

M4
= 



M3 − M



M

3 −2 −1
=  3 −2 −1 
1 −1 0
TPE 73 Soit A ∈ Mn (C). Montrer qu’il existe un polynôme P tel que exp(A) = P (A)
TPE 74
1. Pour i ∈ [|1 . . . n|], xi > 0. Montrer que (
n
∑
i=1
xi )(
n
∑
i=1
1
xi )
> n2
2. Soient A et B deux matrices symétriques réelles positives. montrer que tr(A.B) > 0
3. Soit A une matrice symétrique réelle. montrer que ker A = kert AA
4. Soient f et g deux endomorphismes de E ( dim ﬁnie). Montrer que dim(ker(g ◦ f ) 6 dim(ker(f )) + dim(ker(g))
TPE 75 A = [ai,j ]16i,j6n ∈ Sn (R) telle que ∀i ∈ {1, . . . , n}, ai,i > 1 et
∑
(i,j)/i̸=j
1. Montrer que ∀X ∈ Mn (R)\{0Mn (R) },
t
XAX > 0
2. En déduire que A est inversible.
75
a2i,j < 1
[
TPE 76 Soit f un endomorphisme de R2 de matrice dans la base canonique A =
1 −1
2 1
]
. Existe-t-il un produits scalaire
sur R2 tel que f soit une rotation ?
TPE 77 Résoudre 15x2 − 7y 2 = 9 dans Z2
2008
[
TPE 78 Soit A ∈ Mn (C) et M =
A
0
In
A
]
CNS sur A pour avoir M diagonalisable ?
f : Mn (C) → Mn (C)
M 7→ AM
Montrer que f est diagonalisable si et seulement si A est diagonalisable.
TPE 79 Soit A ∈ Mn (C) et

TPE 80
0
 −3
A=
 0
−1
1 0
0 4
1 0
0 1


2
1
 0 −1
0 
 et B = 
 0 0 1
3 
0
0 0 0




−1
Ces matrices sont-elles semblables ?
TPE 81 a et b deux vecteurs non nuls de R3 . Résoudre
a∧x=b
TPE 82 E ev euclidien. Déterminer les endomorphismes f de E tels que
∀(x, y) ∈ E 2 , f (x ∧ x) = f (x) ∧ f (y)
TPE 83 E = K[X]
f: E
P
→ E
7→ P ′
ϕ:
L(E)
g
→
7
→
L(E)
f ◦g−g◦f
Valeurs propres de ϕ ?
TPE 84 Montrer que deux matrices réelles semblables dans Mn (C) sont semblables dans Mn (R)
Année 2007
TPE 85 Soit F l’ensemble des endomorphismes antisymétriques de R3 . Montrer que c’est un ev et en trouver une base.
76
TPE 86
ϕ :
N∗
1
p premier
→
7
→
7
→
N
0
1
et telle que ∀(x, y) ∈ (N∗ )2 , ϕ(x.y) = ϕ(x) + ϕ(y) ceci est une modif de l’énoncé initialement erroné que je tente
sans garantie de succès
a. Calcul de ϕ(n) pour n ∈ N∗
b. Déterminer les n ∈ N∗ tels que ϕ(n) = n
TPE 87 Soit E de dimension n et u ∈ LK (E).
⊕
a. On suppose que Πu = X k Q(X) avec Q(0) ̸= 0 et k ∈ N∗ Montrer que E = ker uk
Imuk
⊕
Imuk alors u a un polynôme annulateur de valuation k
b. Montrer que si E = ker uk
TPE 88
Soit (G, ·) un groupe commutatif et soit (a, b) ∈ G2 . On suppose que a est d’ordre p et b d’ordre q et que p ∧ q = 1.
Montrer que l’ordre de a · b est pq

1
TPE 89 Résoudre l’équation M 2 =  0
0
1
4
0

0
1 
9
TPE 90
a. Soit A ∈ Mn (C).
Montrer que A est inversible si et seulement si l’application ϕ : M 7→ AM est un automorphisme de Mn (C)
b. Soit (E, ⋆) associatif de neutre e. Soit a ∈ E et f : x 7→ a ⋆ x. On suppose que a est inversible. Que peut-on dire
de f ?
TPE 91
Soit A ∈ Sn+ (R. Montrer que
T r(A) =
sup
T r(AU )
U ∈On (R)
TPE 92 Soit λ une valeur propre de A ∈ Mn (C). Que peut-on dire des valeurs propres de B =t (comA) ?
Année 2006
TPE 93 Soit E le R espace vectoriel des applications de classe C 1 sur R telles que f (0) = 0.
T est l’application déﬁnie sur E par T (f ) : x 7→ (T (f ))(x) =
∫x
0
f (t)
t
dt
a. Montrer que T est un endomorphisme
b. Déterminer ses valeurs propres et la dimension de ses sous-espaces propres.
77
TPE 94 E est un espace vectoriel euclidien. Soit f ∈ L(E)/ ∀x ∈ E, ∥f (x)∥ 6 ∥x∥ et soit D = vect(u). On ﬁxe a ∈ R∗
et on déﬁnit fa (x) = x + a⟨x|u⟩u.
1. Montrer que f (x) = x ⇒ f ∗ (x) = x
2. Montrer que E = ker(f + IdE ) ⊕ ker(f − IdE ).
N∑
−1
3.
lim
fk
N →+∞ k=0
TPE 95 Déterminer les couples (a, b) ∈ N tels que a ∧ b = 50 et a ∨ b = 600
TPE 96 Soit A ∈ Mn (R). montrer qu’il existe U ∈ O(n) telle que t A.A = U −1 At AU
TPE 97 E evn de dimension n et f ∈ L(E) non nulle telle que
∀(x, y) ∈ E 2 , ⟨x|y⟩ = 0 ⇒ ⟨f (x)|f (y)⟩ = 0
a. Montrer qu’il existe a > 0 etl que ∀x ∈ E, ∥f (x)∥ = a∥x∥
b. Montrer que f est la composée d’une homothétie et d’une isométrie.
TPE 98 Soient deux formes bilinéaires symétriques sur R2 :
α(x, y) = x1 y1 + x2 y2 et β(x, y) =
1
(x1 y2 + x2 y1 )
2
Soit φ une forme bilinéair symétrique sur R2 . Montrer qu’il existe un automorphisme g de R2 tel que l’on ait l’une des
trois propriétés suivantes :
P1
∀(x, y) ∈ R2 , φ(g(x), g(y)) = α(x, y)
P2
∀(x, y) ∈ R2 , φ(g(x), g(y)) = −α(x, y)
P3
∀(x, y) ∈ R2 , φ(g(x), g(y)) = β(x, y)
TPE 99 Que peut-on dire des valeurs propres réelles d’une matrice antisymétrique réelle ?
TPE 100 Soit X ∈ Mn (R). Résoudre X t XX = In
TPE 101
A = {(xn )n∈N ∈ KN / xn+5 = xn+4 + 5xn+3 − xn+2 − 8xn+1 − 4xn }
Soit u l’endomorphisme de l’espace des suites tel que u((yn )n ) = (yn+1 )n .
a. Montrer que A = ker(u − id)3 ⊕ ker(u − 2Id)2 .
b. En déduire une expression simple des éléments de A
78
TPE 102 Soit A ∈ Mn (R) symétrique de valeurs propres (λ1 , . . . , λn ) a priori pas distinctes. Montrer que
n
∑
λ2i =
∑
i=1
a2i,j
i,j
TPE 103 Soit A symétrique réelle. Montrer que A + iIn est inversible.
TPE 104 Soit n ∈ N et n > 2. Soit M ∈ Mn (C)
a. On suppose que toutes les valeurs propres de M sont simples. Combien de solutions l’équation Z 2 = M a-t-elle ?
b. Donner un exemple de matrice M telle que léquation ait une inﬁnité de solutions.

c.
0
1
..
.

 0


M =



(0)
0
0
..
.
...
..
..
.
..
.
.
...

0
.. 
. 


.
0 


1 
0
Montrer que l’équation n’a aucune solution.
TPE 105
Déterminer les matrices A ∈ Mn (R) avec n > 3 telles que A =t (comA)
TPE 106 Soit E euclidien, (e1 , . . . , en ) et (f1 , . . . , fn ) deux bases orthonormées de E. et ui nL(E). Calculer
n ∑
n
∑
⟨u(ei )|fj |⟩
i=1 j=1
TPE 107 n > 2. Soit A un hyperplan de Mn (C). On suppose que A est stable pour la multiplication et In ∈
/ A.
a. Montrer que M 2 ∈ A ⇒ M ∈ A
b. En déduire que ∀i ∈ [1, n], Ei,i ∈ A
c ; En déduire une absurdité.
TPE 108
1. Soit (A, B) ∈ Mn (C)2 . Montrer que
Spec(A)
∩
Spec(B) = ∅ ⇔ χA (B) ∈ Gln (C)
2. Soit (A, B, P ) ∈ Mn (C)3 , P ̸= 0Mn (C) . On suppose que P A = BP . Montrer que A et B ont une valeur propre
commune.
{
TPE 109
f=
Mn (C)
M
Calculer T r(f )
79
→
7
→
Mn (C)
t
M
TPE 110 Déterminer l’ensemble des f ∈ L(Rn ) telles que f (Zn ) = Zn
TPE 111 Déterminer l’ensemble des matrices semblables à diag(1, 2, . . . , n) et qui commutent avec elle.
3.4
MINES
Année 2010
MINES 43
Deux fois

a

Soit A =  (c)
..
.

∗
(b)  avec a ∈ C . Soit J = [(1)] ;
a
P (x) = det(A + xJ)
a- Quel est le degré de P ?
b- Calculer det(A)
MINES 44
Soit E un K− espace vectoriel, p un projecteur de E et f un endomorphisme de E.
1- Montrer que p ◦ f = f ◦ p si et seulement si Im(p) et ker p sont stables par f
2- Si f est un projecteur qui commute avec p montrer qu’il existe une base de vecteurs propres commune à p et f
3- f ◦ p ( resp f + p) sont-ils des projecteurs ? Valeurs propres de f + p ?
MINES 45
1- Quelles sont les valeurs propres réelles possibles d’une matrice antisymétrique ?


0


2- Quelles sont les vap complexes de A =  (−1) . . . (1) 
0
MINES 46
Soit (A, B) ∈ Mn (R)2 deux matrices symétriques réelles positives. Etablir une relation entre det(A + B) et
det(A) + det(B). L’égalité est-elle possible ?
Année 2009
MINES 47 Soient E, F, G trois R- espaces vectoriels. Soit f ∈ L(E, F ) et g ∈ L(F, G)
∩
1- Montrer que rg(g ◦ f ) + dim(ker g Imf ) = rg(f )
2- E = F = G et dimE = n
Montrer que rg(f ) + rg(g) − n 6 rg(g ◦ f ) 6 M in(rg(g), rg(f ))
MINES 48 Soit p un nombre premier de la forme 4n + 1. Montrer qu’il existe u ∈ Z tel que u2 + 1 ≡ 0[p].
*En déduire que p est la somme de deux carrés
80
MINES 49 Soit u∩un endomorphisme d’un ev E. Montrer que u est diagonalisable si et seulement si u/ Im(u) est diagonalisable
et Im(u) ker u = {0E }

MINES 50


A=

a1
a2
..
.
a2
...
an
(0)





an
A est-elle diagonalisable. Si oui, donner une base de vecteurs propres.
Année 2008
MINES 51 E est un espace euclidien de dimension n et p et q sont deux projecteurs orthogonaux non triviaux.
p ◦ q est-il diagonalisable ?

MINES 52
0
M = 0
1
1
1
0

1
0 
0
Quels sont les sous-espaces vectoriels de R3 stables par M ?
MINES 53 Dans (R3 , ⟨ , ⟩) soit r une rotation vectorielle et s une réﬂexion. Que peut-on dire de s ◦ r ◦ s ?
MINES 54
Déterminer tous les morphismes de groupe de Sn dans (−1, 1)
MINES 55 Soit E un ev de dimension n et H1 , . . . , Hn des hyperplans de E tels que
n
∩
Hk = {0E }. Soit f un endomorphisme
k=1
de E
1. Montrer que ∀k ∈ [|1; n|∥, dim(
k
∩
)Hi > n − k ( en fait =)
i=1
2. On suppose que H1 , . . . , Hn sont stables par f . Montrer que f est diagonalisable.
3. Etude de la réciproque de 2.
MINES 56 Soit Rn muni de son produit scalaire canonique w = (1, . . . , 1)
1. Matrice du projecteur orthogonal sur vect(w). En donner le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, et
les valeurs et vecteurs propres
2. Soit A = (ai,j )i,j telle que si i ̸= j, ai,j = c et ai,i = b. Exprimer A en fonction de la matrice précédente. En
donner le polynôme caractéristique, le polynôme minimal, et les valeurs et vecteurs propres
MINES 57
A ∈ Mn (K). Montrer que A est nilpotente si et seulement si tr(A) = tr(A2 ) = . . . = tr(An ) = 0
81
MINES 58 Le juillet 2008 tombait un vendredi. Quel jour tombe le 11 juillet 2009 ?
MINES 59 Soit G un sous-groupe de GLn (K) vériﬁant ∀A ∈ G, A2 = In
1. Montrer que G est ﬁnie et a au plus 2n éléments
2. Exo classique( centrale ?) à transcrire
MINES 60 Soit A ∈ Mn (C) telle que A2 est diagonalisable.
Montrer que A est diagonalisable si et seulement si ker(A) = ker(A2 )
[
MINES 61
M=
A
0Mp,n (K)
C
B
]
avec A ∈ Mn (K), B ∈ Mp (K), C ∈ Mn,p (K)
1. On suppose A et B diagonalisables de spectres disjoints. Montrer que M est diagonalisable
2. Etudier la réciproque
Anné 2007
MINES 62
E ev de dimension n, F sev de E.
K = {u ∈ LK (E)/F ⊂ ker u}
a. Montrer que K est un ev
b. Dimension de K ?
MINES 63
Soit F une application non constante sur Mn (R) telle que ∀(A, B) ∈ (Mn (R), F (AB) = F (A)F (B)
Montrer que F (A) ̸= 0 ⇔ A ∈ GLn (R)

x1


X =  ...  ∈ Mn,1 (R)
xn
n
∑
On suppose que
x2i = 1
MINES 64

i=1
on pose A = X.t X
a. Valeurs propres et vecteurs propres de A ?
b. Nature de u de matrice A dans une BON de Rn ?
MINES 65
Soit A ∈ Mn (R) telle que A3 + A2 + A = 0.
Montrer que le rang de A est pair
82
MINES 66
CNS sur α pour que la forme quadratique sur Rn
q(x) =
n
∑
x2i − α(
i=1
n
∑
xi )2
i=1
soit déﬁnie positive.
Année 2006
MINES 67
Résoudre dans Mn (R) et Mn (C) l’équation At AA = In . Calculer eA . A est-elle diagonalisable ?
MINES 68 Soit M une matrice symétrique réelle telle que M 12 = In . Que peut-on dire de M 2 ?
MINES 69 Soit
E = {f ∈ C ∞ (R, R)/ f est 1-périodique }
et soit
∆ :
E
f
1. Déterminer ker ∆2
2. Si g ∈ E montrer que
→
7
→
∫
E
f”
1
g ∈ Im(∆) ⇔
g(t) dt = 0
0
3. Montrer que E = ker ∆ ⊕ Im(∆)
MINES 70 Soit P ∈ R[X]. montrer qu’il existe Q, unique tel que Q(X + 1) − Q(X) = P (X) et Q(0) = 0
MINES 71
√
√
Z[ 5] = {a + b 5, (a, b) ∈ Z2 }
Est-ce un anneau isomorphe à Z ?
MINES 72
A désigne la matrice réelle antisymétrique telle que ∀i < j, ai,j = 1
a. Quelle est la seule valeur propre réelle possible de A ?
b. Déterminer les valeurs propres complexes de A
c. Que peut-on dire de A3 ?
MINES 73 Soit A ∈ Mn (C) nilpotente. Comparer ker(A) et ker(exp(A) − In )
MINES 74

1
 j
j2
j
j2
1
83

j2
1 
j
a. A est-elle diagonalisable ?
b. Calcul de exp(A).
MINES 75 Recherche des plans et droites stables par un endomorphisme représenté par A matrice 3 × 3 avec 2 vp et pas
diagonalisable.
MINES 76 Condition nécessaire et suﬃsante sur α pour que q((x1 , . . . , xn )) =
n
∑
i=1
MINES 77 Soit U ∈ On (R). Montrer que |
∑
x2i − α(
n
∑
xi )2 soit déﬁnie positive.
k=1
ui,j | 6 n
16i,j6n
3.5
DIVERS
Année 2010
Divers 40 INT
7
Quel est le dernier chiﬀre en numération décimale de N = 77
Divers 41 ENSEA ENSIIE
E euclidien et f ∈ L(E) telq eu
∀(u, v) ∈ E 2 , ⟨u, v⟩ = 0 ⇒ ⟨f (u), f (v)⟩ = 0
Montrer qu’il existe λ > 0 tel que ∀u ∈ E, ∥f (u)∥ = ∥u∥
Année 2009
Divers 42
ENSTIM(Petites Mines)

1 ... 1


Soit A =  ... (0) ... .
1 ... 1
Calculer ses valeurs propres et ses vecteurs propres. est-elle diagonalisable ?
Divers 43
Magistère de Rennes
1- Donner un exemple d’endomorphisme Φ de noyau réduit à {0E } et qui n’est pas inversible.
2- Soit N ∈ Mn (R) nilpotente st Φ : A 7→ AN − N A
a- Pour p ∈ N, calculer Φp (A)
b- Montrer que Φ est nilpotente.
Divers 44
84
ENSTIM (Petites
Mines)


1
1−b 1+b
1
1−b 
Ma,b = a.  1 + b
1−b 1+b
1
a- CNS pour que ce soit la matrice d’une rotation vectorielle
b- Détermination de la rotation
Divers 45
Soit A ∈ M6 (R) On suppose que A3 − 3A2 + 2A = 0 et det(A) ̸= 0 et tr(A) 6 8. Calculer χA (X)
Divers 46
Télécom Sud paris ex INT
Soit E un R- espace vectoriel de dimension n et g et h deux endomorphismes de E. On suppose que g et h
commutent et que h est nilpotent. Montrer que g + h ∈ GLn (R) si et seulement si g ∈ GLn (R)
Année 2008
Divers 47
INT
A ∈ Mn (K) et
fA : Mn (K) → Mn (K),
Calculer la trace de fA
M 7→ M A + AM
Divers 48 Petites Mines
a. Trouver les suites vériﬁant
{
un+3
u0
+
=
un+2
1
+ un+1
u1
un
=
b. Trouver les matrices A vériﬁant At AA = In
Divers 49
ENSTIM

O
A= 0
a
1. Calculer ker(A)
2. Calculer le polynôme caractéristique de A
3. A est-elle diagonalisable ?
Divers 50
INT
3
Trouver
 les sev de
 R stables par u de matrice
0 1 1
A= 1 0 1 
0 0 1
85
O
0
b

a
b 
c
=
2
0
u2
= 0
Divers 51
St Cyr
Soit A ∈ Mn (R) telle que
A4 + A3 + 2A2 + A + In = 0
Montrer que n est pair et que tr(A) est un entier négatif.
Divers 52
INT





M =



b1
..
.
..
.
..
.
bn
1
0
..
.
..
.
0
0
..
.
..
..
.
.
...
...
(0)
..
.
..
.
...
0








0 
0
Calculer χM et ΠM
Année 2007
Divers 53
INT
(A, B) ∈ (Sn+ (R))2
Montrer que det(A + B) ≥ det(A) + det(B)
Divers 54
INT
(A, B) ∈ (Sn+ (R))2
Montrer que det(A + B) ≥ det(A) + det(B)
Divers 55 NAVALE
Soit (A, B) ∈ (Mn (K))2 avec rg(A) = rg(B) = 1
Montrer que A et B sont semblables si et seulement si T r(A) = T r(B)
Divers 56
INT
Soit A ∈ Mn (R) telle que ∀O ∈ O(n), AO = OA
a. Montrer que A commute avec toutes les matrices de projecteurs
b. Montrer que A commute avec toutes les matrices symétriques
Divers 57
IIE
−−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→
Soient A, B, C et D quatre points quelconques de R3 . Exprimer DA ∧ DB + DC ∧ DA + DB ∧ DC en fonction de
−−→ −→
AB et AC
Divers 58
IIE
86
a. A ∈ GLn (R). Montrer qu’il existe Ω orthigonale et T triangulaire telles que A = ΩT et montrer l’unicité
b. A ∈ Mn (R) Montrer que
n
∏
∥Ci ∥
|detA| 6
i=1
avec ∥Ci ∥ la norme euclidienne du i-ème vecteur colonne de A
Divers 59 NAVALE
Soit (A, B) ∈ (Mn,1 (R))2 tels que (A, b) libre. Etudier la diagonalisation de At B + B t A
Divers 60 NAVALE
E euclidien et u ∈ LK (E) tel que u ◦ u∗ = u − u∗
Que peut-on dire de u ?
Divers 61 AIR
⊕
E de dimension ﬁnie. f ∈ LK (E). Montrer qu’il esiste p ∈ N tel que E = ker f p Imf p
Divers 62 INT
Soit P ∈ R[X] scindé sur R
a. Montrre que P ′ est scindé sur R
b. Montrer que Q = P + P ′ est scindé sur R
Divers 63 INT Soit M ∈ GLn (C) telle que M 2 soit diagonalisable. Montrer que M est diagonalisable.
Divers 64 ENSEA
E de dimension n et f nilpotent d’ordre n.
a. Montrer qu’il existe e ∈ E tel que (e, f (e), . . . , f n−1 (e)) est une base de E et donner la matrice de f dans cette
base
b. Montrer que ∀p ∈ {0, 1, . . . , n}, dim(ker(f p )) = p
Divers 65 ENSEA
[
M (θ) =
1 − θ cos( θ2 )
−θ sin( θ2 )
−θ sin( θ2 )
1 + θ cos( θ2 )
Trouver les valeurs propres de M (θ) et une base de vecteurs propres.
Divers 66 ENSEA
∫
Calculer inf R∗ e−t (t − (at + 2)(bt − 1))2 dt
a,b
Divers 67
87
]
ST CYR

M =
0
1
a
1
a2
a
0
1
a

a2
a 
0
a. Calculer M 2 en fonction de M et I3 . en déduire que M est diagonalisable
b. Calcul des vp et diagonalisation
Divers 68 ST CYR


−1 a
a
A =  −1 −1 0 
1
0 −1
a. Trouver V1 tel que AV1 = −V1 AV2 = V1 − V2 AV3 = V3 − V1
b. Calculer An pour n ∈ N
c. Calculer exp(xA
Année 2006
Divers 69
INT TELECOM
Déterminer l’ensemble des X ∈ M3 (R) vériﬁant X 3 + X = 0.
Divers 70
INT TELECOM Soit E un espace vectoriel de dimension ﬁnie . Soientu et v deux endomorphismes tels que
u ◦ v = v ◦ u et v nilpotent.
a. Montrer que u + v est bijectif si et seulement si u est bijectif.
b. Montrer que det(u + v) = det(u)
Divers 71
INT TELECOM
Soit n ∈ N et n > 2. Quelles sont les matrices A ∈ Mn (R) telles que ∀M ∈ Mn (R), det(A+M ) = det(A)+det(M )
Divers 72
INT TELECOM
Soit P ∈ R[X]. Montrer que
∀a ∈ R, P (a) > 0 ⇔ ∃(S, T ) ∈ R[X]2 / P = S 2 + T 2 , avec Set T sans racine commune
88
TPE 111
4
GÉOMÉTRIE
Années 2010 et 2009
Année 2008
4.1
CCP
{
CCP 163 Etude et tracé de
x(u)
y(u)
=
=
u2 −1
u
u2 +1
u+1
1- Allure de la courbe ?
2- Méthode pour trouver les asymptotes et la position relative de la courbe par rapport aux asymptotes.
CCP 164 Etude, tracé de
ρ(θ) = sin(θ) − 2 cos(θ)
Année 2007
CCP 165
a. Symétries de la courbe
b. Allure
c. Etude de la tangente en
√
ρ(θ) = 2 cos(2θ)
π
4
Année 2006
CCP 166 12 points
Dans le plan aﬃne euclidien muni d’un rep‘ere orthonormé d’origine O on considère l’ellipse
{
√
x(t) =
5 cos t
E:
y(t) = sin t
Soit M ∈ E et A le centre du cercle tangent à l’ellipse en M et passant par O. Donner les équations paramétriques de
la courbe décrite par A lorsque M décrit E. ( lieu de A)
CCP 167
12 points
{
CCP 168 Etude et tracé de
x(t) = cos2 t + ln | sin t|
y(t) = sin t. cos t
{
x(u) =
y(u) =
89
u−1
u
u2
u+1
CCP 169 Dans le plan aﬃne euclidien muni d’un repère orthonormé, soit la courbe d’équation x2 + 4x − 4y 2 + 8y − 4 = 0
1. Tracer la courbe placer foyers et asymptotes
2. Equation de la tangente aux points d’intersection avec l’axe des x.
CCP 170 Dans le plan aﬃne euclidien muni d’un repère orthonormé, soit la courbe d’équation x2 + +3y 2 − 6y + 4x − 2 = 0
1. Représenter cette courbe
2. Pente de la tangente à la courbe en les points où elle coupe l’axe des y.
CCP 171
Dans le plan aﬃne euclidien muni d’un repère orthonormé, soit la courbe d’équation x2 + 4y 2 + 2x − 8y + 1 = 0
1. Tracer la courbe.
2. Equation de la tangente aux points d’intersection avec l’axe des y.
4.2
CENTRALE
Année 2010
CENTRALE 113
Soit un cercle de centre O rayon r et trois points A, B et C sur ce cercle.
Comment faut-il les positionner pour avoir un triangle ABC d’aire maximale.
Cas d’une ellipse ?
Année 2009
{
x = t2
y = t
M (t) désigne un point de P et D la tangente à P en M (t).
Soit (a, b) ∈ R2 tel que 1 < a < 2b et A(a, b). On appelle H(t) le projeté orthogonal de A sur D
CENTRALE 114 Avec Maple Soit P la parabole
1- Déterminer les coordonnées (X(t), Y (t)) de H(t).
2- Tracer le lieu des points H(t). Monterr que cet arc possède un point double unique.
3- Déterminer la position des branches inﬁnies par rapport aux asymptotes.
4- Montrer que l’arc rencontre la parabole en exactement 3 points.
Année 2008
CENTRALE 115
x(t) =
t−1
t2 − 4
y(t) =
t2 − 3
t+2
1- Conditions sur r, s et t pour que M (r), M (s) et M (t) soient alignés.
2- Points doubles de la courbe ?
3- Equation de la tangente en M (1)
CENTRALE 116
Soit E ellipse de foyers F1 et F2 . On note H1 et H2 les projetés orthogonaux de F1 resp F2 sur la tangente en un
point courant M de l’ellipse.
90
Calculer les coordonnés de H1 et H2 en utilisant Maple. ( sans doute une question manquante sur le lieu de ces
points).
Tracer dans le cas a = 2 et b = 1
Année 2007
CENTRALE 117
Tracé de ρ = (cos(4θ) + 1)
CENTRALE 118
Soit C1 le cercle de centre (a, 0) et de rayon a et C2 le cercle de centre (−b, 0) et de rayon b. Soient M1 ∈ C1 et
M2 ∈ C2 . Déterminer ces points de façon que l’aire deOM1 M2 soit maximale
CENTRALE 119
Soient A1 , A2 , . . . , An n points distincts de R2 d’aﬃxes respectifs a1 , . . . , an .
Soit Σ l’ensemble des points M tels que
−−→
n −
∑
M Ai
→
−
2 = 0
M
A
i
i=1
n
∏
Soit P (X) =
(X − ai )
i=1
a. Montrer que M ∈ Σ si et seulement si
P ′ (z)
P (z)
= 0 ( avec z aﬃxe de M )
b. Montrer que si card(Σ) = n − 1 l’isobarycentre de Σ est le même que celui de (A1 , . . . , An )
−−→ →
n −
∑
M Ai = −
c. Si card(Σ) = n − 1 soient B1 , . . . , B8n npoints tels que l’ensemble des points M tels que
0 soit égal
M A2i
i=1
−−→ →
n −
∑
M Bi = −
à ’ensemble des points M tels que
0
M B2
i=1
i
Montrer que {A1 , . . . , An } et {B1 , . . . , Bn } sont deux ensembles égaux ou bien disjoints.
CENTRALE 120 Soit (C) d’équation y = x3 − x2 + x + 1. Montrer que les droites qui coupent (C) en trois points tels que l’un soit
le milieu des deux autres passent par un point ﬁxe.
CENTRALE 121 On considère le lieu des points
M (t) = (
2 cos t
2 sin2 t
,
)
2 − sin(2t) 2 − sin(2t)
a. Equation cartésienne, tracé, point double A
b. On suppose que M (s) et M (t) sont deux points de la courbe alignés avec O. Equation du cercle passant par
M (s), M (t) et A
c. Aire de la boucle ( entre cercle et courbe j’imagine)
Année 2006
CENTRALE 122 Exercice sur la cocyclicité à revoir
CENTRALE 123 Réduire et donner la nature de xy + xz + yz = 1
91
4.3
TPE
Années 2010 et 2009
Année 2008
TPE 112
Lieu du centre de courbure de la conique
x2
a2
+
y2
b2
=1
Année 2007
√
TPE 113 Etude des courbes paramétrées d’équations ρ(θ) = 2 7 cos(θ − α) et ρ(θ) =
4
√
3 sin θ−cos θ
TPE 114 Déterminer les courbes planes dont le rayon de courbure est constant.
4.4
MINES
Année 2009
MINES 78 Soit l’arc gauche

 x(t) =
y(t) =

z(t) =
cos t
sinh t
sin t
sinh t
cosh t
sinh t
Montrer que la tangente et le plan osculateur sont tangents à une sphère de centre O
Année 2008
MINES 79 Reconnaı̂tre selon les valeurs de m
x2 + 2y 2 + (m2 + 1)z 2 + 2xy − 2yz + 2x − 4y + 4 + m2 = 0
Année 2007
MINES 80 Petit exercice posé à la ﬁn d’une planche
Soit un cercle C et une droite D qui est un diamètre de C Soit un point A qui n’est pas sur le cercle. Placer le
projeté orthogonal de A sur D en utilisant seulement une règle inﬁnie.
4.5
Divers
Année 2010
Divers 73 ENSEA/ENSIIE
{
x = z
→
→ −
−
→ −
Dans (0, i , j , k ) déterminer analytiquement la rotation Rθ d’angle θ autour de (d) :
. On choisit
y = 0
un vecteur directeur de (d) de première coordonnée positive.
Années 2009 et 2008
Année 2007
Divers 74 ST CYR
Calcul de l’aire délimitée par une ellipse en utilisant la formule de Green-Riemann
92
5
QUESTIONS DE COURS
ANALYSE
Propriétés des suites monotones. Théorème des segments emboı̂tés.
Enoncé et démonstration du théorème de Bolzano-Weierstrass.
Enoncé et démonstration du théorème de Césaro.
Fonction réciproque de sinus hyperbolique ; son expression en logarithme.
Théorème des séries alternées : énoncé et démonstration.
Montrer que si deux séries positives ont leurs termes équivalents alors elles ont même nature.
Constante d’Euler.
Trouver une série numérique de terme général o(1/n) et qui diverge.
Montrer que si une série de complexes converge absolument alors elle converge.
Types de convergences pour les suites de fonctions.
Ecriture avec les ε.
Types de convergences pour les séries de fonctions. Montrer CVN ⇒ CVU.
Inégalités et égalités de Taylor.
Produit de Cauchy de deux séries numériques.
Déﬁnition et caractérisation des diﬀéomorphismes de classe C k . Lemme D’Abel : énoncé et démonstration.
Déﬁnition du rayon de convergence d’une série entière.
Description des solutions d’un système diﬀérentiel : justiﬁcation.
Théorème de Cauchy-Lipschitz pour les équations diﬀérentielles.
Une limite uniforme d’une suite d’applications continues est continue.
Intégrales à paramètres (théorème de continuité)
Déﬁnition des coeﬃcients de Fourier et énoncés des théorèmes∩
de Dirichlet.
∪
Déﬁnition d’un ouvert, d’un fermé. Propriétés relatives à leur et leur .
Lien entre compact et fermé/borné.
L’image continue d’un compact est un compact.
Un evn de dim ﬁnie est complet.
La boule unité d’un evn de dim ﬁnie est convexe et compacte. (démos)
Comparaison des moyennes arithmétique et géométrique.
Méthodes de calcul de π
ALGÈBRE
Déﬁnition d’un anneau. Caractérisation des sous-anneaux. Des idéaux
Formule du binôme : énoncé et démonstration.
Ordre d’un élément dans un groupe cyclique.
Qu’est-ce que la signature d’une permutation ?
Décomposition d’un polynôme en facteurs irréductibles.
Le polynôme minimal d’un endomorphisme est-il toujours irréductible ?
Interpolateur de Lagrange
Décomposition en éléments simples.
Méthodes de résolution de systèmes linéaires
Trace d’un endomorphisme. Pour un projecteur lien entre trace et rang.
CNS diagonalisabilité
Démonstration de Cayley-Hamilton dans le cas diagonalisable. Dans le cas trigonalisable.
La restriction d’un endomorphisme diagonalisable à un sev stable est diagonalisable.
Démonstration de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité
Existence de bases orthonormales dans un ev euclidien
Isométries. Matrices orthogonales.
Endomorphismes autoadjoints.
Sous-espaces stables par un endomorphisme diagonalisable.
Théorème de D’Alembert.
GEOMÉTRIE
Expression du rayon de courbure en coordonnées paramétriques avec démonstration.
Plan tangent d’une nappe paramétrée.
93
6
CORRIGÉS
CCP 1
∑
a- La suite
an diverge donc 1 n’est pas dans le disque ouvert de convergence donc R 6 1. (an )n est bornée donc
1 n’est pas dans le complémentaire du disque fermé de convergence. Donc 1 6 R. Donc R = 1
b- On applique a-. La suite (an )n∈N est bornée et comme a2n = (−1)n , la suite ne tend pas vers 0 donc la série
diverge. R = 1
CCP 2
abCCP 3
abCCP 4
12-
abc-
CCP 5
abcCCP 6
abCCP 7
abCCP 8
abCCP 9
abCCP 10
CCP 11
123CCP 12
ab94
cCCP 13
abcCCP 14
abcdCCP 15
abcCCP 16
abCCP 17
abCCP 18
CCP 19
CCP 20
abCCP 21
abCCP 22
abCCP 23
abCCP 24
abCCP 25
abCCP 26
abc95
CCP 27
abCCP 28
123CCP 29
abCCP 30
12CCP 31
123CCP 32
a. Pour |x| < 1,
f (x) =
+∞
1∑
1
((−1)n + n+1 )xn
3 n=0
2
b. Le DL s’obtient par troncature à l’ordre 3 ( à expliquer).
CCP 33
123CCP 34
abCCP 35
abCCP 36
CCP 37
abcCCP 38
CCP 39
1234CCP 40
96
123CCP 41
abCCP 42
abCCP 43
abCCP 44
CCP 45
∀x ∈ R, f (x) = ℜ(e(1+i)x ) =
+∞
∑
n=0
√
xn
( 2)n cos( nπ
4 ) n!
CCP 46
a. fn est croissante sur ]0, +∞[, fn (0) = −1 et fn (1) > 0 donc (TVI) an existe et est unique. De plus fn+1 (an ) =
an+1
> 0 donc an décroı̂t. Minorée et décroissante, (an )n converge vers ℓ ∈ [0, 1[
n
n+1
b. fn (x) = x−x
− 1. Comme fn (an ) = 0 on obtient la relation voulue. Comme an+1
tend vers 0( passer par la
n
1−x
1
limite du log). On a alors 2an − 1 tend vers 0 = 2ℓ − 1. D’où ℓ = 2 .
c. 1
CCP 47
CCP 48
a.
b.
c.
CCP 49
a.
b. Théorèmes
√
√
c. F ′ (t) − F (t) = −2√t2 . On résout par variation de constante et on trouve F (t) = (− π2 θ( t) + C)et . la constante
C = F (0) = π2 . Finalement on a
∫ +∞
√
2
F (t) = πet √ e−v dv
t
CCP 50
a. Récurrence et Pascal
n
∑
(−1)k k! n−k 2x
b. f ( n)(x) =
. . . (1+x)
)e
k+1 2
k=0
CCP 51
a. fn (t) =
1
1+t2 +tn e−t
est continue sur [0, +∞[. Pour ∀n, fn (t) ∼n→+∞
b. Sur [0, 1[la suite (fn )n CVS vers f : t 7→
1
1+t2
∫1
a: 0
1
t2
intégrable sur [1, +∞[.
qui est continue et f domine (fn )n . Par application du théorème
de Lebesgue de convergence dominée on
fn (t)dt tend vers π4 .
1
Sur ]1, +∞[la suite (fn )n CVS vers la fonction nulle et elle est dominée par f : t 7→ 1+t
2 donc par le théorème
∫ +∞
de Lebesgue de convergence dominée on a : 1 fn (t)dt tend vers 0 La limite de (un )n est donc π4 .
97
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
CCP
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
a. Lu est linéaire : le seul point est de repérer que la variable de Lu est une fonction : y
b. b(x) −
(a(x))2
4
−
a′ (x)
2
=0
d
c. La relation 1 − (tanh x)2 = dt
(tanh x) est vériﬁée. Donc l’ensemble des solutions est ker(Lu )2
α
On calcule d’abors ker Lu , soit encore on résout y ′ + tanh xy = 0. On trouve y(x) = cosh
x.
α
′
Ensuite cherche les y telles que Lu (y) ∈ ker Lu soit encore on résout y + tanh xy = cosh x .
Les solutions sont
1
y(x) = (λx + µ)
cosh x
avec (λ, µ) ∈ R2
CCP 62 La série de fonctions converge absolument simplement sur [0, 1] car un (1) = 0 et la suite (an )n est bornée.
De plus il y a convergence normale sur tout segment [0, b] où b ∈ [0, 1[.
n
Par étude fonctionnelle on trouve sup un (x) = un ( n+1
).
x∈[0,1]
Or
n
un ( n+1
)
Avec an =
∼
1
n+1
an
e.n .
On va montrer qu’il n’y a pas de résultat général concernant la convergence normale sur [0, 1].
on a CVN. Avec an =
1
ln(n+1)
il n’y a pas convergence normale.
Etude de convergence uniforme : Rn (1) = 0 et pour x ̸= 1, comme (an )n décroı̂t, 0 6 Rn (x) 6 an+1 .xn+1 6 an+1 .
Donc sup Rn (x) tend vers 0 quand n tend vers +∞. Il y a convergence uniforme de la série de fonctions sur[0,1].
x∈[0,1]
Remarque : comme sup un (x) tend vers 0, la condition nécessaire de convergence uniforme de la série de fonctions
x∈[0,1]
etait a priori vériﬁée.
CCP 63
CCP 64
√
y(x) = λ. x2 − 1) + 2(x2 − 1)
CCP 65 Si α < −1 la série de terme général nα . On note Sα sa somme. Alors un tend vers
grossièrement.
1
Sα .
Donc la série diverge
Si α > −1 alors la suite un tend vers 0.
Si α = −1 alors un ∼
1
ln n
Si α > −1 alors un ∼
α+1
nα+1 .
donc la série diverge.
La série converge si et seulement si α > 0.
Remarque : les équivalents utilisés se calculent en utilisant la monotonie de x 7→ xα et les intégrales.
CCP 66
a.
b.
CCP 67
a.
98
b.
c.
d.
CCP 68
a. solution du second
b.
CCP 69
a. solution du premier
b.
CCP 70
a.
b.
CCP
CCP
CCP
CCP
71
72
73
74
a.
b.
CCP 75
a.
b.
CCP 76
a.
b.
CCP 77
CCP 78
a. Voir dans le cours fonction dzêta
b. Il y a CVU sur [2, +∞[ et
1
nx
c. Introduire la fonction Φ(x) =
tend vers 0 donc par théorème d’interversion de limites, S(x) tend vers 0
+∞
∑
n=1
(−1)n
nx
qui est continue sur ]0, +∞[. On a (1 −
− ln 2 en 1. Enﬁn calculer un équivalent de l’expression en 1.
CCP 79
CCP 80
a.
b.
c.
CCP 81
a.
b.
CCP 82
a. solution du second
b.
CCP 83
a. solution du second
b.
99
1
2x )S(x)
= Φ(x) et tend vers
CCP 84
a. f est déﬁnie sur le disque fermé de centre 0 et rayon 3. Continue sur ce disque elle a des extréma atteints. Sur le
bord elle est nulle et ailleurs positive. Donc minima absolus sur le bord. Point critisue l’intérieur : 0. f (0, 0) = 3
et c’est un majorant donc max relatif et absolu en 0
b. (f (x, y))2 = 9 − OM 2
CCP 85
a.
b.
c.
CENTRALE 1
1234CENTRALE 2
1234CENTRALE 3
CENTRALE 4
12CENTRALE 5
1234CENTRALE 6
1234CENTRALE 7
12-
abc-
CENTRALE 8
1234CENTRALE 9
12100
3CENTRALE 10
CENTRALE 11
12CENTRALE 12
CENTRALE 13
12CENTRALE 14
1234CENTRALE 15
1234CENTRALE 16
12CENTRALE 17
12CENTRALE 18
12CENTRALE 19
1-
abc-
2-
ab-
CENTRALE 20
12CENTRALE 21
12CENTRALE 22
CENTRALE 23
CENTRALE 24
12101
CENTRALE 25
CENTRALE 26
1234CENTRALE 27
1234567CENTRALE 28
123CENTRALE 29
12CENTRALE 30
1234CENTRALE 31
CENTRALE 32
123CENTRALE 33
123CENTRALE 34
1- La suite (un )n est strictement croissante. Si elle converge, c’est vers ℓ > 0. On calcule
2
n
∑
k=1
n
∑
uk+1 −uk = un+1 −u1 =
k=1
uk−1
k+1 .
Cela tend vers ℓ − u1 . Or
uk−1
k+1
∼
ℓ
k
série divergente. C’est absurde donc un diverge et tend vers +∞
2- Montrer que la suite proposécv
3- série génératrice
CENTRALE 35
123102
CENTRALE 36
CENTRALE 37
123CENTRALE 38
CENTRALE 39
123CENTRALE 40
CENTRALE 41
CENTRALE 42
1. Calculer
∫1
0
1√
√
dx
1+x2 + 1−x2
2. Utiliser un développement en série pour évaluer
∫1
0
1√
√
dx
1+x3 + 1−x3
CENTRALE 43
CENTRALE 44
1.
2.
3.
4.
CENTRALE 45
1.
2.
CENTRALE 46
CENTRALE 47 La √
suite vn = ln(u
) est déﬁnie et veriﬁe une relation de récurrence linéaire d’ordre 2. Donc vn = λαn + µβ n avec
√n
1− 5
1+ 5
α = 2 et β = 2
CENTRALE 48
CENTRALE 49
CENTRALE 50
a. Existence par continuité de P sur un segment. caractère déﬁni car inﬁnité de racines.
b. On remarque que φc est linéaire. Si c ∈ [a, b] alors φc est 1- lipschitzienne. Sinon prendre dans le cas où a > b,
n
Pn (X) = ( X−a
b−a ) . On a |φc (Pn )| tend vers +∞ et (Na,b (Pn ))n suite bornée.
c. Supposons que les deux normes sont équivalentes alors il existe α > 0 tel que α.Na,b 6 Na′ ,b′ .
Comme |φa | 6 Na,b on déduit de la question précédente que a ∈ [a′ , b′ ]. En faisant le même raisonnement pour
a′ on obtient a = a′ et de la même façon b = b′
CENTRALE 51
a. ...
b. Sur Rn [X] la norme N et la norme ∥ ∥∞ sont équivalentes. Il existe en particulier an > 0 tel que ∀P ∈
Fn , an ∥P ∥∞ 6 N (P ). Or pour P ∈ Fn , on a ∥P ∥∞ > 1 car P est unitaire.
1
c. Le polynôme Tn (X) = 2n−1
.Qn (X) où Qn désigne l’unique polynôme tel que ∀θ ∈ R, Qn (cos θ) = cos(nθ) est
1
dans Fn et N (Tn ) = 2n−1 . Donc an tend vers 0.
CENTRALE 52
a.
b.
103
CENTRALE 53
a. Théorème des séries alternées.
∫1
b. Par parties, 0 xn (1 − x)n dx =
On justiﬁe l’interversion et on a
n
n+1
∑
0
∫1
0
xn+1 (1 − x)n−1 dx. On obtient ﬁnalement
+∞ (−1)
2n
n
∫1
0
xn (1 − x)n dx =
alors terminer le calcul.
CENTRALE 54
a.
b.
CENTRALE 55
a.
b.
CENTRALE 56
a.
b.
CENTRALE 57
a.
b.
CENTRALE 58
a.
b.
CENTRALE 59
a.
b.
CENTRALE 60
a.
b.
CENTRALE 61
a.
b.
TPE 1
1.
2.
TPE 2
1.
2.
TPE 3
1.
2.
TPE 4
1.
2.
TPE 5
1.
2.
104
∫1∑
0
0
(n!)2
(2n+1)! .
+∞( x(x−1)
)n dx =
2
∫1
2
dx
0 −x2 +x+2
On peut
TPE 6
1.
2.
TPE 7
1.
2.
TPE 8
TPE 9
TPE 10
TPE 11
TPE 12
TPE 13
1.
1.
TPE 14
1.
1.
TPE 15
a.
b.
c.
TPE 16
TPE 17
TPE 18
a.
b.
TPE 19
a.
b.
TPE 20
TPE 21
TPE 22
TPE 23
TPE 24
TPE 25
TPE 26
TPE 27
a.
b.
TPE 28
a.
b.
TPE 29
a.
b.
105
c.
TPE 30 ln(1 − x3 ) − ln(1 − x) − ln(1 + x2 ) et formulaire
TPE 31
1.
2.
TPE 32
1.
2.
TPE
TPE
TPE
TPE
TPE
TPE
33
34
35
36
37
38 Le rayon de convergence st 1. Calcul pour |x| < 1.
1
1−n2
1
= 12 ( 1−n
+
1
1+n ).
Puis faire apparaı̂tre des DSE de ln(1 − x).
On trouve
TPE
TPE
TPE
TPE
1
x2
((x2 − 1) ln(1 − x) − x − )
2x
2
39
40
41 Ferméd’intérieur vide, donc égal à sa frontière.
42
a. Si |x| ̸= 1 la fonction de θ ne s’annule pas sur [0, π] et reste strictement positive. Si x = 1 ( resp x = −1) elle
s’annule en θ = 0 ( resp θ = π). Dans ces deux cas la fonction est intégrable : ce sera détaillé dans le c.
b. On suppose |x| ̸= 1. En utilisant le théorème de Riemann des fonctions continues :
n−1
kπ
π∑
ln(1 − 2x cos( ) + x2 )
n→+∞ n
n
Ix = lim
k=0
n−1
∑
ln(1 − 2x cos(
k=0
kπ
) + x2 ) = ln(
n
n
∏
k=0
On obtient
(1 − x)2 .
n
∏
k=1
(x − ei
kπ
n
)(x − e−i
k=1
Si |x| < 1 on a donc Ix tend vers 0.
Si |x| > 1 on a
∏
kπ
kπ
kπ
) + x2 ) = ln((1 − x)2 .
(x − ei n )(x − e−i n ))
n
n
(1 − 2x cos(
kπ
n
)=
(x2n − 1).(x − 1)
x+1
(x2n − 1).(x − 1)
π
ln(
)
n→+∞ n
x+1
Ix = lim
) ∼ 2n ln(|x|) donc Ix = 2π ln(|x|).
On a ln( (x −1).(x−1)
x+1
∫π
c. I1 = 0 ln(2(1 − cos(θ))). Or ln(2(1 − cos(θ))) = ln(4 sin2 ( θ2 )).
√
Or ln(sin2 ( θ2 )) est négligeable devant θ au voisinage de 0 donc intégrable.
∫π
I1 = 2π ln(2) + 4 02 ln(sin(θ))dθ.
∫π
∫π
Puis posons J = 02 ln(sin(θ))dθ = 02 ln(cos(θ))dθ en posant ϕ = π2 − θ.
∫π
∫π
∫π
)dθ
On a alors 2J = 02 ln(sin(θ))dθ + 02 ln(cos(θ))dθ = 02 ln( sin(2θ)
2
Or en posant ϕ = 2θ on a
∫ π2
∫π
ln( sin(2θ)
)dθ = −π ln(2)
+ 12 0 ln(sin(θ))dθ.
2
2
0
Mais
∫π
ln(sin(θ))dθ = 2J d’où J = −π ln(2)
2
0
et en remplaçant dans l’expression de I1 on obtient I1 = 0.
2n
106
TPE 43
TPE 44
a.
b.
TPE 45
a.
b.
TPE 46
TPE 47
a.
b.
TPE 48
TPE 49
TPE 50
a.
b.
TPE 51
a.
b.
c.
TPE 52
a.
b.
TPE 53 Passer au logarithme.
TPE 54 Si F ̸= E il est d’intérieur vide.
TPE 55 On montre d’abord que pour x ∈ E et r ∈ Q on a f (rx) = rf (x). Ensuite prendre r > ∥x∥. On a f (x) = rf ( xr ).
Or xr est dans la boule unité donc ∥f ( xr ∥ 6 K. Donc ∥f (x)∥ 6 rK On utilise la suite des approximations rationnelles
par excès de ∥x∥ pour conclure que ∥f (x)∥ 6 K∥x∥.
On obtient que f est continue en 0E , puis en tout y. Enﬁn on a f (λx) = λf (x) par densité de Q et continuité de f .
TPE 56
TPE 57
a. | aan+1
| tend vers 1 car (an )n d’ecroı̂t, est minoré donc converge vers la seule valeur solution de ln(1 + x) = x qui
n
est 0. Donc (. . .) R = 1
b. Pour x = −1 le théorème des séries altern´es s’applique et donne la convergence de la série.
c. On trouve
1
2
en utilisant un DL de ln(1 + an )
d. En utilisant la sommation des relations de comparaison et la somme t´lescopique on obtient la limite 2.
TPE 58
TPE 59 Equation diﬀérentielle non linéaire autonome de la forme x′ = F (x) = x sin(x). Comme F est C 1 le th de CauchyLipschitz s’applique : pour t0 ﬁxé il existe une solution maximale telle que x(t0 ) = 0 ( resp telle que x(t0 ) = kπ) . Elle
est déﬁnie sur un intervalle I ouvert. Donc c’est la solution nulle sur I = R ( resp la solution constante x(t) = kπ sur
R. En dehors de ces cas x′ ne s’annule pas sur I donc garde un signe constant. On obtient par séparation de variables
que x(t) = Ke− cos(t) . Ces solutions sont sur I = R et bornées.
MINES 1
MINES 2
MINES 3
1.
2.
107
3.
MINES 4
MINES 5
MINES 6
MINES 7
MINES 8
MINES 9
MINES 10
MINES 11
1.
2.
3.
MINES 12
1.
2.
MINES 13
1.
2.
3.
MINES 14
1.
2.
3.
MINES 15
1.
2.
3.
MINES 16
MINES 17
1.
2.
MINES 18
1.
2.
3.
MINES 19
1.
2.
3.
MINES 20
1.
2.
3.
MINES 21
1.
108
2.
3.
MINES 22
MINES 23
MINES 24
1.
∫1
ta−1
dt
0 1+tb
∫ 1 +∞
∑
un (x) avec un (x) = (−1)n ta+nb−1 car pour t ∈ [0, 1[,
0
n=0
∑
Pour l’interversion on ne peut pas utiliser le th car
N1 (un ) diverge.
=
1
1+tb
=
+∞
∑
(−1)n tnb .
n=0
On utilise le th de Lebesgue de convergence dominée appliqué à (Sn )n avec Sn (t) =
n
∑
uk (x).
k=0
∀n ∈ N, ∀t ∈ [0, 1[, |S − Sn (t)| =
ta+(n+1)b−1
1+tb
∫
6 1 et la constante 1 est intégrable sur [0, 1[. On a donc
∫
1
|
1
S(t) − Sn (t)dt| 6
0
tend vers 0.
∫1
Enﬁn on calcule 0 (−1)n ta+nb−1 dt =
|S(t) − Sn (t)|dt
0
(−1)n
a+nb
2. Avec a = 1 et b = 3 la somme est égale à
∫1
1
dt.
0 t3
On a
1
1+t3
=
1
3(t+1)
−
1
3(t2 −t+1)
. On trouve
ln(2)
3
√
+
3π
9
MINES 25
MINES 26
1. D’après la caractère concave de la fonction ln
∫1
1
2. un 6 0 xn dx = n+1
donc tend vers 0
∫
n
(1−x)
3. un = [0,1[ x1−x
n+1 dx
MINES 27
MINES 28
MINES 29
MINES 30
1.
2.
MINES 31
a. R∗+
b. Hypothèse de domination ” sur les compacts ” pour ∂f
∂x (x, t).( comme pour Γ ).
Soit [a, b] ⊂]0, +∞[.
∂f
ln t
| (x, t)| 6
(ta + tb )
∂x
t(1 + t)
Pour l’expression de f ′ poser sur ]0, 1[, u =
c.
1
t
−x
t.t
− t−x ) = ln1+t
(t2x−1 − 1) Or pour t ﬁxé avec t > 1, x 7→ t2x−1 − 1 est une fonction strictement
croissante. comme sa valeur en x = 21 est nulle , f ′ < 0 sur ]0, 12 [ et f ′ > 0 sur ] 12 , +∞[
ln t x−1
1+t (t
d.
e.
MINES 32
MINES 33
MINES 34
a. Par la règle de d’Alembert, R = 1
b.
c.
109
MINES
MINES
MINES
MINES
35
36
37 u2p =
38
a.
b.
1
p+1 ,
u2p+1 =
1
p
MINES 39
MINES 40
MINES 41
a.
b.
c.
−nt
MINES 42 Justiﬁer d’abord l’intégrabilité puis poser convergence dominée | e√n 6
u = nt ce qui fournit léquivalent
√
√π
n
Divers 7
Divers 13
1.
2.
3.
4.
5.
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
14
15
16
17
18
19
20
21 SCV. Somme 1
22
a.
b.
c.
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
23
24
25
26
27
28
Equation diﬀérentielle
Divers 29
Equation diﬀérentielle
Divers 30
Equation diﬀérentielle
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
31
32
33
34
35
110
−t
e√
t
ceci pour n > 1. On peut aussi poser
1. On suppose que x et y sont des points ﬁxes de f . On a alors ∥x − y∥ = ∥f (x) − f (y)∥ 6 0
2.
k
k
a. ∥un+1 − un ∥ 6 k(∥un+1 − un ∥ + ∥un − un−1 ∥ d’où ∥un+1 − un ∥ 6 1−k
∥un − un−1 ∥. Or λ = 1−k
<1
n
n
Par récurrence immédiate on a ∥un+1 − un ∥ 6 λ ∥u1 − u0 ∥. Or λ tend vers 0
(∑
)
∑p−1
p−1 k
b. Soit p > n. Comme up − un = k=n uk+1 − uk on a, ∥up − un ∥ 6
λ
∥u1 − u0 ∥
k=n
∑p−1 k
p−n
n
λ
Or k=n λ = λn . 1−λ
6 1−λ
.
1−λ
On montrer alors que la suite (un )n est de Cauchy dans E donc converge. On note ℓ sa limite.
c. ∥f (un ) − f (ℓ)∥ 6 k(∥f (un ) − un )∥ + ∥f (ℓ) − ℓ∥). Or f (un ) tend vers ℓ. par passage à la limite on déduit :
∥f (ℓ) − ℓ∥ 6 k∥f (ℓ) − ℓ∥ d’où∥f (ℓ) − ℓ∥ = 0.
f possède un unique point ﬁxe, ℓ.
Divers 36
a.
b.
c.
Divers 37
1
n+1
6 an 6 1 donc R = 1
Divers 38
Divers 39
Algèbre
CCP 86
a.
b.
c.
CCP 87
12CCP 88
a.
b.
CCP 89
12CCP 90
1- ker f ?
2- f est-elle surjective ?
3- Bases de ker f et de Im(f )
CCP 91
1- A est diagonalisable car 3 vap : 1, j et j 2 . E1 = V ectt (1, 1, 1). Ej = V ectt (j, 1, j 2 ). Ej 2 = V ectt (j 2 , 1, j)
2- En diagonalisant A on trouve A = P Diag(1, j, j 2 )P −1 . On a alors B = P Diag(a+b+c, a+bj+cj 2 , a+bj 2 +cj)P −1
avec les sep Ea+b+c = V ectt (1, 1, 1), Ea+bj+cj 2 = V ectt (j, 1, j 2 ). Ea+bj 2 +cj = V ectt (j 2 , 1, j)
CCP 92
1234CCP 93
111
1- Rang(A) = 2
23- A est symétrique réelle donc diagonalisable. Les valeurs propres réelles ( car diagonalisable) de A sont 0 de
multiplicité > n − 2, λ et µ telles que λ + µ = T r(A) = n et T r(A2 ) = λ2 + µ2 . ( car A est diagonalisable etc )
On en déduit λ.µ = 21 ((λ + µ)2 − (λ2 + µ2 )) =. D’où λ = et µ =
CCP 94
1- Le terme général de c A.A est ci,j =
n
∑
Ak,i ak,j . D’après la formule de développement du déterminant suivant
k=1
la colonne j on obtient det(A).δi,j
2- det(A) = 0 ( λn = 0)
3- Si X est une colonne propre assocée à λk avec k < n on a c AAX =c Aλk X = 0 Donc c AX = 0. X est colonne
propre de c A associée à 0.
4- dim(Ker(c A)) > n − 1
5- D’après le th du rang, rg(c A) = 0 ou rg(c A) = 1. Si rg(c A) = 0 alors rg(A) 6 n − 2. Or dimKer(A) = 1 donc
ce n’est pas possible. Donc rg(c A) = 1. Im(c A) est une droite stable donc engendrée par un vecteur propre de
c
A et Im(c A) = Ker(A). Notons µ la valeur propre correspondant à Imc A. Montrons que µ ̸= 0 soit encore que
Im(c A) * Ker(c A). Sinon on a . . .
CCP 95
a.
b.
c.
CCP 96
a.
b.
CCP 97
1.
2.
3.
CCP 98
a.
b.
c.
CCP 99
1.
2.
a.
b.
3.
a.
b.
CCP 100
a.
b.
CCP 101
1.
2.
3.
CCP 102
1112
23CCP 103
1234CCP 104
a.
b.
c.
CCP 105
CCP 106
CCP 107
a.
b.
c.
CCP 108
a.
b.
c.
CCP 109
CCP 110
a.
b.
CCP 111
a.
b.
c.
CCP 112
a.
b.
CCP 113
a.
b.
CCP 114
1234CCP 115
a.
b.
c.
CCP 116
113
a.
b.
c.
CCP 117
a.
b.
c.
CCP 118
a.
b.
c.
CCP 119
a.
b.
c.
CCP 120
a.
b.
c.
CCP 121
a.
b.
c.
CCP 122
1. Ou bien on calcule pour x ∈ ker(u), ⟨u∗ (x), u∗ (x)⟩ en utilisant adjoint et hypothèse ou bien on utilise ker(u◦u∗ ) =
ker(u) en le montrant. Pour λ ∈ R on remplace u par u − λidE et on utilise la question 1
2. Soit x tel que u(x) = λx et y tel que u(y) = µy. On calcule ⟨u(x), y⟩ em utilisant l’adjoint et u ∗ (y) = µy d’après
2
3. On le montre pour u puis les rôles sont symétriques car ils ont mms ss espces propres. Soit x ∈ Eλ⊥ et y ∈ Eλ .
⟨u(x), y⟩ = ⟨x⟨, u∗ (y)⟩ = λ⟨x, y⟩ = 0
4. Récurrence en utilisant 3. Calquer les endomorphismes symétriques
CCP 123
a.
b.
c.
CCP 124
1.
2.
3.
4.
5.
CCP 125
a.
b.
c.
CCP 126
114
a.
b.
c.
CCP 127
a.
b.
c.
CCP 128
1.
2.
CCP 129
1.
2.
CCP 130 Si a ̸= kπ
X 2n − 2X n cos(na) + 1 = (X n − ena )(X n − e−na ) =
n
∏
(X − eia .e
2ikπ
n
)
k=0
X 2n − 2X n cos(na) + 1 =
n
∏
n
∏
(X − e−ia .e
2ikπ
n
)
k=0
(X 2 − 2X cos(a) + 1)
k=0
Si a = kπ regrouper les facteurs car eia = e−ia
CCP 131
CCP 132
a.
b.
CCP 133
a. Cours
b. T r(P −1 AP = T r(A)
c. Par récurrence. Pour k = 1 : vrai d’après a. Si vrai pour k alors T r((AB)k+1 ) = T r(B(AB)k A) or (recurrence
sur k aussi) B(AB)k = (BA)k B. etc
d. On travaille dans C. Pour M matrice ﬁxée, on note λ1 , . . . , λn les vp de M .
n
n
∑
∑
Lemme : si on connaı̂t les sommes S1 =
λi , . . . , Sn−1 =
(λi )n−1 alors on connaı̂t les fonctions symétriques
i=1
i=1
σ1 , . . . , σn donc le polynoôme caractéristique. justif lemme : cf revisisons polynomes
CCP 134
a.
b.
c.
CCP 135
a.
b.
CCP 136
a.
b.
CCP 137
CCP 138
115
a.
b.
CCP 139
a.
b.
CCP 140
a.
b.
CCP 141
∩
a. ⊃: ∀x ∈ F ⊥ +G⊥ , ∀y ∈ F G on a x = x1 +x2 avec x1 ∈ F ⊥ et x2 ∈ G⊥ donc ⟨x, y⟩ = ⟨x1 , y⟩+⟨x2 , y⟩ = 0.
∩
On en déduit que x ∈ (F G)⊥ .
∩
∩
⊥ ⊥
⊂: ∀x ∈ (F ⊥ + G⊥ )⊥ , x ∈ (F
) = F et x ∈ (G⊥ )⊥ = G d’où x ∈ F G. Bilan : (F ⊥ + G⊥ )⊥ ⊂ F G. On
∩
en déduit que F ⊥ + G⊥ ⊃ (F G)⊥
b. Poser F ′ = F ⊥ et G′ = G⊥ et appliquer a. puis passer à l’orthogonal.
CCP 142
a.
b.
c.
CCP 143
a.
b.
CCP 144
a.
b.
CCP 145
a.
b.
c.
CCP 146
a.
b.
CCP 147
a.
b.
CCP 148
a.
b.
CCP 149
1. Test de solution
2.
3.
4.
CCP 150
a.
b.
116
CCP 151
a.
b.
CCP
CCP
CCP
CCP
152
153 Cours !
154 Cours !
155
a.
b.
CCP 156
a.
b.
CCP 157
CCP 158
a.
b.
CCP 159
1.
2.
CCP 160
a.
b.
CCP 161
CCP 162
a.
b.
CENTRALE 62
1.
2.
CENTRALE 63
1.
2.
CENTRALE 64
1.
2.
3.
CENTRALE 65
1.
2.
3.
CENTRALE 66
1.
a.
b.
2.
a.
117
b.
CENTRALE 67
1.
2.
3.
CENTRALE 68
1.
2.
3.
CENTRALE 69
1.
2.
3.
CENTRALE 70
1.
2.
3.
CENTRALE 71
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
CENTRALE 72
1.
2.
3.
4.
5.
CENTRALE 73
1.
2.
3.
CENTRALE 74
a.
b.
CENTRALE 75
1.
2.
CENTRALE 76
1.
2.
CENTRALE 77
118
1.
2.
3.
CENTRALE 78
1. At A −t AA est symétrique réelle donc diagonalisable et ses valeurs propres sont par hyp. positives. Leur somme
est T r(At A −t AA) = 0. Donc toutes les vap sont nulles. Donc At A −t AA = 0
2. H = ker φ où φ est une forme linéaire non nulle donc il existe A ∈ Mn (R) telle que ∀M, φ(M ) = T r(AM ).Notons
r le rang de A est équivalent à Jr . A = P Jr Q−1 et T r(AM ) = T r(Jr Q−1 M P ).


0 ... ... 0 1


 1 ...
0 



.. . Elle est inversible et T r(J F ) = 0. On a alors QF P −1 matrice inversible
Soit alors F =  0 . . . . . .
r
. 


 .

..
 ..
.
0 
0 ... ... 0 1
dans H.
3.
CENTRALE 79
1.
2.
3.
CENTRALE 80
1. Cours
2. Im(f ◦ g) ⊂ Im(g) donc rg(f ◦ g) 6 rg(g) et Im(f ◦ g) = Im(f/Im(g) donc rg(f ◦ g) 6 rg(f ). On en déduit
l’inégalité de droite. De plus par th du rang rg(f ◦g) = dim(Im(g))−dim(ker(f ◦g)) > dim(Im(g))−dim(ker(f ))
d’où l’inégalité de gauche
3. On a les inclusion Im(f k+1 subsetIm(f k ). Si elles sont toutes strictes pour k ∈ {0, . . . , n} alors la dimension
diminue de 1 au moins à chaque itéré d’où rg(f n+1 ) < 0 c’est absurde. Donc il existe k 6 n tel que rg(f k ) =
rg(f k+1 On montre alors que la suite des images est constante à partir de k etc
4. On utilise vk restriction de f à Im(f k ) et on a
(1) rg(vk ) = rg(f k+1 ) = rg(f k ) − dim(ker(vk ))
On utilise uk−1 restriction de f à Im(f k−1 ) et on a
(2) rg(f k−1 ) = rg(f k ) + dim(ker(uk−1 ))
∩
∩
On remarque que ker(vk−1 ) = ker(f ) Im(f k ) est inclus dans ker(vk ) = ker(f ) Im(f k−1 ) par l’inclusion des
images des itérés. Donc par somme des égalités (1) et (2) on a :
rg(f k+1 ) + rg(f k−1 ) = 2rg(f k ) + dim(ker(vk−1 )) − dim(ker(vk ))
et dim(ker(vk−1 )) − dim(ker(vk )) > 0 d’où le résultat.
CENTRALE 81
1. On travaille dans une base adaptée à la décomposition
⊕
Im(p)
ker(p) = E
Les matrices dep ( resp f ) sont P ( resp M ) par blocs
[
P =
Ir
0
0
0
]
[
M=
A
B
C
D
]
Par calcul par blocs on trouve que le noyau de Φ est isomorphe au sev des matrices telles que A = B = C = 0,
de dimension (n − r)2 ( D est d’ordre n − r). Donc le rang de ϕ est r(2n − r)
119
2. Recherche des λ tels qu’il existe M non nulle telle que ϕ(M ) = λM . on trouve en plus de 0, 1 dont les M
associées vériﬁent A = D = 0 B et C quelconques. Dimension de E1 : 2r(n − r) et 1/2 dont les M associées
vériﬁent B = C = D = 0 et A quelconque. dim(E1/2 ) = r2 .
On calcule la somme des dim des sev propres et on trouve n2 . Donc diagonalisable.
3
CENTRALE 82
1.
2.
CENTRALE 83
a. Soit z ∈ [x, y]. Il existe t ∈ [0, 1] tel que z = tx + (1 − t)y. On calcule ⟨u(z)/ z⟩ = . . . = P (t) avec P fonction
polynomiale de degré 2. Or P (0) = µ∥y∥2 et P (1) = λ∥x∥2 . Donc P (0).P (1) est du signe de λ.µ. En appliquant
le th des valeurs intermédiaires on obtient l’existence de t tel que P (t) = 0 cqfd
b. Si u est autoadjoint il est diagonalisable. Comme T r(u) = 0 ( et on suppose n > 2) u a au moins deux valeurs
propres telle que λµ 6 0. On applique a. et on divise si besoin z par sa norme pour avoir un vecteur unitaire.
Si u n’est pas autoadjoint on applique le résultat à v = u + u∗ qui est autoadjoint.
Soit alors z tel que v(z) et z sont orthogonaux. On a ⟨(u + u∗ )(z)/z⟩ = ⟨u(z)/z⟩ + ⟨u∗ (z)/z⟩ = 2⟨u(z)/z⟩ en
utilisant la propriété classique de l’adjoint.
c. le seul sens non trivial est de montrer que si T r(u) = 0 alors il existe une BON dans laquelle la matrice de u est
de diagonale nulle.
On raisonne par récurrence sur n = dim(E).
Si n = 1 et tr(u) = 0 alors u = 0L(E) et la propriété est vraie.
Supposons que c’est vrai en dimension n − 1.
Soit u tel que T r(u) = 0. D’aprè b. il existe e1 unitaire tel que u(e1 ) ⊥ e1 . On considère alors w = p ◦ u avec p
projecteur orthogonal sur H = (vect(u))⊥ . w est restreint et corestreint
à H. On a tr(w) = 0 ( on le prouve en
⊕
écrivant la matrice A de u dans une BON adaptée à E = vect(u) (vect(u))⊥
CENTRALE 84
1. Toute matrice 2 × 2 est solution par Cayley-Hamilton ( ou un calcul explicite)
2.
CENTRALE 85
1.
2.
CENTRALE 86
1.
2.
CENTRALE 87
1.
2.
CENTRALE 88
1.
2.
3.
4.
5.
6.
CENTRALE 89
1.
2.
3.
120
4.
CENTRALE 90
1.
2.
3.
CENTRALE 91
1.
2.
CENTRALE 92
1.
2.
CENTRALE 93
1.
a.
b.
2.
a.
b.
CENTRALE 94
1. Si on a une CL non triviale de 1 et x0 on aboutit à x0 ∈ R. Comme F est de dimension ﬁnie n la famille
(1, x0 , . . . , xn0 ) est liée donc il existe P ∈ Rn [X] ̸= 0 tel que P (x0 ) = 0. On fait la décomposition de P en
polynômes irréductibles. Comme x0 ∈
/ R, et comme F est une alg commt int, x0 est racine d’un facteur irréductible
sur R de degré 2. cela implique la dépendance linéaire de (1, x0 , x20 ).
2.
a. On pose y0 = α + βx0 et on résout en utilisant que x20 = a + bx0 puis que (1, x0 ) est libre.
b. facile
3.
a. Même principe que 2a et b
b. On a t20 = y02 = −1. Donc (t0 − y0 )(t0 + y0 ) = 0. D’où t0 = z0 ou t0 = −y0 . On en déduit que y0 ∈ R + Rz0
et réciproquement.
4. Par l’absurde F = R + Ry0 et on montre que F est ismorphe à C en tant que R- algèbre et en tant que corps.
CENTRALE 95
1.
2.
CENTRALE 96
1.
2.
3.
CENTRALE 97
1.
2.
3.
4.
CENTRALE 98
1.
2.
CENTRALE 99
CENTRALE 100
CENTRALE 101
121
t
t
t
1. Diagonaliser S avec
∑ matrice de passage orthogonale. T r(OP D P ) = T r( P OP D. U = P OP est orthogonale.
On a tr(U D) = i=1 nui,i λi . Or |ui,i | 6 1 et les λi sont positifs. D’où le résultat.
Egalité ssi chaque ∀i si λi ̸= 0, ui,i = 1 etc
2.
CENTRALE 102
CENTRALE 103
CENTRALE 104
a.
b.
CENTRALE 105
CENTRALE 106 E = Rp . I ⊂ L(E) sev vériﬁant
(∗)∀u ∈ I, ∀v ∈ L(E), v ◦ u ∈ I
1. Soit F un sev de E et If F = {u ∈ L(E)/ u\F = 0L(F ) . Montrer que IF vériﬁe (∗).
2. Soit I vériﬁant (∗). Montrer qu’il existe n ∈ N et (u1 , . . . , un ) ∈ I n tels que
∩
ker(u) =
n
∩
ker(ui )
i=1
u∈I
3. Soit u ∈ I et p un projecteur de E tel que ker(p) = ker(u). Montrer que p ∈ I
4. Soient p1 et p2 deux projecteurs éléments de I. Montrer qu’il existe un projecteur p de E tel que p ◦ p1 = 0 et
ker(p) = ker(p2 ◦ (Id − p1 )).
CENTRALE 107
a.
b.
CENTRALE 108
a. ∃(u, v) ∈ Z2 / up + vq = 1 Donc 1q = ua + v Or aZ ⊂ A et A contenant 1Z car sous-anneau donc Z ⊂ A.
∩
b. On montre que I Z est un idéal de Z en utilisant que Z ⊂ A.
Le résultat en découle. Comme n ∈ I on a l’inclusion nA ⊂ I. Réciproquement, soit x ∈ I. Alors x = pq . Donc
∩
∩
qx ∈ I Z Donc qx = nk. Or 1q ∈ A. Donc x = n. kq ∈ A I. cqfd
c. Zp est bien un sous-groupe additif non vide et 1 lui appartient. DE plus il est stable par produit. Dans l’écriture
réduite d’un rationnel, on a a ∧ b = 1. Donc si p divise b alors il ne divise pas a et donc x−1 ∈ Zp .
d.
CENTRALE 109
a.
b.
CENTRALE 110
a.
b.
CENTRALE 111
a.
b.
CENTRALE 112
a.
b.
122
TPE
TPE
TPE
TPE
60
61
62
63
12-
TPE 64
12TPE 65
123TPE 66
123TPE 67
123TPE 68
12TPE 69
12TPE 70
1-
ab-
2TPE 71
123TPE 72
TPE 73
TPE 74
1.
2.
3.
4.
TPE 75
1.
2.
123
TPE 76
TPE 77
TPE 78 Si M est diagonalisable il existe un polynôme annulateur scindé à racines simples de M . Par le calcul par blocs
on a P (A) = 0 donc
A est] diagonalisable. Si A est diagonalisable on a D = P −1 AP avec D diagonale. On pose alors
[
D 0
Q = . . . et ∆ =
. On calcule Q−1 M Q = ∆
0 D
TPE 79
TPE 80
TPE 81
TPE 82
TPE 83
TPE 84
TPE 85 Passer par les matrices ( dimension 3)
TPE 86
a. ϕ(n) = somme des exposants des facteurs premiers de n.
b. cas n = 2k on a n = 2n pas de sol. Idem pour n = pk . ...
TPE 87
a.
b.
TPE 88
TPE 89
TPE 90
a.
b.
TPE 91
TPE 92
TPE 93
a.
b.
TPE 94
1.
2.
3.
TPE 95
TPE 96
TPE 97
a.
b.
TPE 98
TPE 99 Seule 0 est possible. ( les vp complexes sont imaginaires pures)
TPE 100
TPE 101
a.
b.
TPE 102
TPE 103 −i n’est pas valeur propre !
TPE 104
124
a.
b.
TPE 105
TPE 106
TPE 107
a.
b.
TPE 108
1.
2.
TPE 109
TPE 110
TPE 111
MINES 43
abMINES 44
123MINES 45
123MINES 46
MINES 47
12MINES
MINES
MINES
MINES
MINES
MINES
MINES
MINES
48
49
50
51
52
53
54
55
1.
2.
3.
MINES 56
1.
2.
3.
MINES 57
MINES 58
MINES 59
125
1.
2.
3.
MINES 60
1.
2.
3.
MINES 61
1.
2.
MINES 62
a.
b.
MINES 63 On remarque que F (In ) ̸= 0. En eﬀet, si F (In ) = 0 comme ∀A, F (A) = F (A.In ) = F (A).F (In ) on obtiendrait F (A) = 0 donc F serait constante. Comme F (In ) ̸= 0, alors si A est inversible on a F (In ) = F (A.A−1 ) =
F (A).F (A−1 ) ̸= 0. Donc F (A) ̸= 0.
On remarque que F (0Mn (R) .0Mn (R) ) = F (0Mn (R) )2 Donc F (0) = 0 ou F (0) = 1. Si F (0) = 1 alors ∀A F (0) =
F (A.0) = F (A).F (0) donc F (A) = 1 et F serait constante. Donc F (0) = 0
Soit alors A non inversible. Supposons que F (A) ̸= 0 Notons r son rang. On a r < n. Considérons la matrice de
rang r suivante :
[
]
O Ir
B=
0 0
B est de rang r donc équivalente à A. Donc il existe P et Q inversibles telles que B = P −1 AQ. On a donc
F (B) = F (P −1 )F (A)F (Q). Comme P −1 et Q sont inversibles et qu’on a supposé F (A) ̸= 0 on en déduit que
F (B) ̸= 0. Or B est nilpotente et plus précisément B r+1 = 0. Donc F (B r+1 ) = 0 = (F (b))r+1 . C’est absurde. Donc
F (A) = 0.
MINES 64
a.
b.
MINES 65
MINES 66
MINES 67 A est inversible d’inverse t AA donc A−1 est symétrique donc A l’est aussi. On a A3 = In . Dans Mn (R), A
symétrique réelle est diagonalisable et sa seule vp possible est 1 dons A = In .
Dans Mn (C) X 3 − 1 est scindé à racines simples donc A est diagonalisable. Son spectre est inclus dans {1, j, j 2 }.
eA = S0 In + S1 A + S2 A2 avec Sk =
+∞
∑
n≡k
1
n! .
On a s0 + S1 + S2 = e, puis S0 + jS1 + j 2 S2 = ejx et de même avec j 2
MINES 68 M est diagonalisable sur R et ses valeurs propres ( réelles) vériﬁent λ1 2 = 1 donc ce sont les valeurs 1 ou −1.
Donc M 2 = In .
MINES 69
1.
2.
3.
MINES 70 Introduire l’endomorphisme ∆ tel que ∆(Q) = Q(X + 1) − Q(X).
√
MINES 71 Dans Z[ 5] , 5 est un carré. Donc ces anneaux ne sont pas isomorphes.
MINES 72
a.
b.
126
c.
MINES 73
MINES 74
a. 0 est valeur propre et on trouve (1, 1, 1) et (1, j, j 2 ) dans le noyau. Donc ( voir trace) 0 est la seule valeur propre
et A n’est pas nulle donc pas diagonalisable.
b. On remarque que Im(A) ⊂ ker(A) donc A2 = 0 donc eA = I3 + A
MINES
MINES
MINES
Divers
Divers
75
76
77
42
43
12-
ab-
Divers 44
abDivers
Divers
Divers
Divers
45
46
47
48
a.
b.
Divers 49
1.
2.
3.
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
Divers
50
51
52
53
54
55
56
a.
b.
Divers 57
Divers 58
a.
b.
Divers
Divers
Divers
Divers
59
60
61
62
a.
127
b.
Divers 63
Divers 64
a.
b.
Divers 65
Divers 66
Divers 67
a.
b.
Divers 68
a.
b.
c.
Divers 69
Divers 70
a.
b.
Divers 71
Divers 72
Géométrie
CCP 163
12CCP 164
CCP 165
a.
b.
c.
CCP 166
CCP 167
CCP 168
CCP 169
1.
2.
CCP 170
1.
2.
CCP 171
1.
2.
CENTRALE 113
CENTRALE 114
1128
234CENTRALE 115
123CENTRALE 116
CENTRALE 117
CENTRALE 118
CENTRALE 119
a.
b.
CENTRALE 120
CENTRALE 121
CENTRALE 122
CENTRALE 123
TPE 112 Calculs, paramétrage, dessin. Astroı̈de
TPE 113
TPE 114
MINES 78
MINES 79
MINES 80
Divers 73
Divers 74
129