Alg`ebre commutative 1 Congruence

Biblioth`eque d’exercices ´ Enonc´es
Alg`ebre commutative
Alg`ebre commutative
1 Congruence
Exercice 1 1. Trouver
999 ·1998 mod 1999,1367mod 137,1997 ·1998 ·1999 ·2000 mod 2001.
2. Trouver 2792217 mod 5 et 101000 mod 13.
Exercice 2 1. Examiner les carr´es a2mod npour n= 3,4,8.
2. Examiner a3mod 9 et b4mod 16.
Exercice 3 Passer mod navec un module appropri´e et montrer que chacune des ´equations
suivantes n’a aucune solution dans Z:
1. 3x2+ 2 = y2;
2. x2+y2=npour n= 2003, 2004 ;
3. x2+y2+z2= 1999 ;
4. x3+y3+z3= 5 ;
5. x4
1+x4 2+··· +x4 15 = 7936.
Exercice 4 On dit que amod nest inversible si il existe bmod ntel que ab ≡1 mod n.
1. Trouver tous les ´el´ements inversibles modulo 5, 6, 9, 11.
2. Trouver pgcd(107,281) et sa representation lin´eaire en utilisant l’algorithme d’Euclide.
3. Trouver l’inverse de 107 mod 281 et l’inverse de 281 mod 107.
4. Montrer que amod nest inversible ssi aet nsont premiers entre eux.
Exercice 5 Trouver toutes les solutions dans Z:
1. 2x+ 3 ≡10 mod 13 ;
2. (2x+ 3y≡5 mod 7
5x+ 2y≡2 mod 7;
3. x2+ 2x+ 14 ≡0 mod 17.
Exercice 6 (Le petit th´eor`eme de Fermat) Soit pun nombre premier et aun nombre pre-
mier `a p. Montrer que :
1. am ≡an mod pssi m≡nmod p;
2. La suite a, 2a, 3a, . . . , (p−1)amod pest une permutation de la suite 1,2,3,...,(p−1)
mod p;
3. ap−1≡1 mod p.
1

Exercice 7 1. Examiner 7n+ 11nmod 19.
2. Trouver 2792217 mod 5 et 101000 mod 13.
3. Montrer que 13 divise 270 + 370 et 11 divise 2129 + 3118.
Exercice 8 (Th´eor`eme de Wilson) Soit p= 2m+ 1 un nombre premier. Montrer que :
1. (p−1)! ≡ −1 mod p;
2. (m!)2≡(−1)m+1 mod p.
Exercice 9 Soit p > 2 un nombre premier.
1. Soit apremier `a p. Supposons que la congruence x2≡amod pposs`ede une solution.
Montrer que a(p−1)/2≡1 mod p.
2. La congruence x2≡ −1 mod pa une solution ssi p≡1 mod 4.
2 Anneaux et id´eaux
Un anneau dans le cours est un anneau commutatif avec l’unit´e.
Exercice 10 Donner la d´efinition d’un corps. Les op´erations binaires + et ·, sont-elles ´equivalentes
dans la d´efinition ?
Exercice 11 Trouver toutes les solutions des ´equations :
1. ax +b=c(a, b, c ∈K,Kest un corps) ;
2. 2x≡3 mod 10 et 2x≡6 mod 10 dans l’anneau Z10 =Z/10Z.
Exercice 12 Soit Aun anneau. D´emontrer que :
1. ∀a∈A0A·a= 0A;
2. (−1A)·a=−a;
3. |A|>2⇐⇒ 1A6= 0Adans A.
Exercice 13 1. Si x·yest inversible dans un anneau A, alors xet ysont inversibles.
2. Dans un anneau, un ´el´ement inversible n’est pas diviseur de z´ero et un diviseur de z´ero
n’est pas inversible.
Exercice 14 D´emontrer que tout anneau int`egre fini est un corps.
(Indication : Voir la solution de l’exercice 6, deuxi`eme question.)
Exercice 15 Lesquels de ces sous-ensembles donn´es de Csont des anneaux ? Lesquels sont des
corps ?
1. S
n∈N
10−nZ;
2. {m
n|m∈Z, n ∈N∗,(m, n) = 1, p -n}(pest un nombre premier fix´e) ;
3. Z[√−1] = Z+Z√−1, Z[√2] = Z+Z√2 ;
4. Q[√−1] = Q+Q√−1, Q[√2] = Q+Q√2.
Exercice 16 Les ´el´ements inversibles d’un anneau Aforment le groupe multiplicatif (A×,·).
1. Trouver A×pour les anneaux 1. et 2. de l’exercice 15.
2

2. Trouver le groupe Z[√−1]×en utilisant la norme complexe.
3. Montrer que le groupe Z[√2]×est infini.
Exercice 17 Un ´el´ement ad’un anneau As’appelle nilpotent, s’il existe n∈Ntel que an= 0.
Trouver tous les ´el´ements inversibles, les diviseurs de z´ero, les nilpotents des anneaux suivants :
1. Z/360Z;
2. Z/nZ;
3. D´emontrer que, pour tout nilpotent xde A, l’´el´ement 1 + xest inversible.
Exercice 18 Soit Iun id´eal d’un anneau A. On note par (a) = a·Al’id´eal principal engendr´e
par a. Montrer que :
1. I=Asi et seulement si Icontient une unit´e ;
2. (a) = Assi aest inversible ;
3. Un anneau Aest un corps ssi (0) est le seul id´eal propre de A.
Exercice 19 Montrer que les ´el´ements nilpotents d’un anneau forment un id´eal.
Exercice 20 (Sommes et produits d’id´eaux) 1. Soient I,Jdeux id´eaux d’un anneau
A. Montrer que
I∩J, I +J={x+y|x∈I, y ∈J}
sont des id´eaux de A.
2. Montrer que I+Jest le plus petit id´eal de Acontenant Iet J.
3. Soit n, m ∈Z,I= (n) = nZ,J= (m) = mZ. Trouver I∩Jet I+J.
4. Montrer que
I·J={x1y1+x2y2+. . . xnyn|n∈N, xk∈I, yk∈Jpour 1 6k6n}
est un id´eal. Il s’appelle produit des id´eaux Iet J.
5. On consid`ere les id´eaux I= (x1,...xn) = Ax1+··· +Axnet J= (y1,...ym) = Ay1+
··· +Aym. D´ecrire les id´eaux I+J,I·J,I2en fonction de xk,yl.
Exercice 21 (Id´eaux ´etrangers) 1. Montrer que I·J⊂I∩Jet (I+J)·(I∩J)⊂I·J
2. On dit que deux id´eaux Iet Jde Asont ´etrangers si I+J=A. Montrer que I∩J=I·J
si I,Jsont ´etrangers.
3 Anneaux de polynˆomes I
Exercice 22 1. Soit Aun anneau quelconque. Alors l’anneau de polynˆomes A[x] n’est pas
un corps.
2. Montrer que pour un anneau int`egre A, les polynˆomes unitaires lin´eaires de A[x] sont
irr´eductibles.
3. D´ecrire tous les polynˆomes irr´eductibles de C[x] et de R[x].
4. D´emontrer que pour tout corps K, l’anneau de polynˆomes K[x] a une infinit´e de po-
lyno ˆmes unitaires irr´eductibles.
3

Exercice 23 1. Montrer que l’id´eal (x, n) o`u n∈Z,n > 1 de l’anneau Z[x] n’est pas
principal.
2. Soit Aun anneau int`egre. Montrer que A[x] est principal ssi Aest un corps.
Exercice 24 Soit f(x)∈A[x] un polynˆome sur un anneau A. Supposons que (x−1) |f(xn).
Montrer que (xn−1) |f(xn).
Exercice 25 Pour n, m >2, d´eterminer le reste de la division euclidienne du polynˆome
(x−2)m+ (x−1)n−1 par (x−1)(x−2) dans Z[x].
Exercice 26 1. Si Kest un corps, montrer qu’un polynˆome Pde degr´e 2 ou 3 dans K[x]
est irr´eductible si et seulement si il n’a pas de z´ero dans K.
2. Trouver tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2, 3 `a coefficients dans Z/2Z.
3. En utilisant la partie pr´ec´edente, montrer que les polynˆomes 5x3+ 8x2+ 3x+ 15 et
x5+ 2x3+ 3x2−6x−5 sont irr´eductibles dans Z[x].
4. D´ecrire tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e 4 et 5 sur Z/2Z.
Exercice 27 1. Trouver tous les polynˆomes irr´eductibles de degr´e 2, 3 `a coefficients dans
le corps F3=Z/3Z.
2. D´ecomposer les polynˆomes suivants en facteurs irr´eductibles dans F3[x].
x2+x+ 1, x3+x+ 2, x4+x3+x+ 1 .
Exercice 28 En utilisant les r´eductions mod 2 ou mod 3 montrer que les polynˆomes x5−6x3+ 2x2−4x+ 5,
7x4+ 8x3+ 11x2−24x−455 sont irr´eductibles dans Z[x].
Exercice 29 Soient
f(x) = (x−a1)(x−a2). . . (x−an)−1, g(x) = (x−a1)2(x−a2)2. . . (x−an)2+ 1
o`u a1,...an∈Zsoient deux `a deux distincts. Montrer que fet gsont irr´eductibles dans Q[x].
Exercice 30 Soient f, g ∈Q[x]. Supposons que fsoit irr´eductible et qu’il existe α∈Ctel que
f(α) = g(α) = 0. Alors fdivise g.
Exercice 31 Pour quel n,mdans Zla fraction
11n+ 2m
18n+ 5m
est r´eductible ?
Exercice 32 Trouver le pgcd(xn−1, xm−1) dans Z[x].
Exercice 33 Trouver le pgcd(f, g) dans Z2[x] et sa repr´esentation lin´eaire fu +gv o`u d, u, v ∈
Z2[x] :
1.
f=x5+x4+ 1, g =x4+x2+ 1;
2.
f=x5+x3+x+ 1, g =x4+ 1.
4

Exercice 34 Trouver le pgcd(f, g) dans Z3[x] et Z5[x] de f=x4+ 1, g=x3+x+ 1.
Exercice 35 Trouver le pgcd(f, g) dans Z[x] de f=x4+x3−3x2−4x−1 et g=x3+x2−x−1.
Exercice 36 Montrer que fest irr´eductible dans Q[x] :
1. f=x4−8x3+ 12x2−6x+ 2 ;
2. f=x5−12x3+ 36x−12 ;
3. f=x4−x3+ 2x+ 1 ;
4. f=xp−1+··· +x+ 1, o`u pest premier.
Exercice 37 Soient A=Z[√−3] et Kson corps de fractions. Montrer que x2−x+ 1 est
irr´eductible dans A[x] sans pour autant ˆetre irr´eductible dans K[x]. Expliquer la contradiction
apparente avec le corollaire du lemme de Gauss.
Exercice 38 Soit P∈Z[x].
1. Supposons que P(0), P(1) soient impairs. Montrer que Pn’a pas de racine dans Z.
(Indication : Utiliser la r´eduction modulo 2.)
2. Soit n∈Ntel qu’aucun des entiers P(0), . . . , P (n−1) ne soit divisible par n. Montrer
que Pn’a pas de racine dans Z.
Exercice 39 1. Soit P∈Z[x]. Soit a
bsa racine rationnelle : P(a b) = 0, pgcd(a, b) = 1.
Montrer que ∀k∈Z(a−bk) divise P(k).
2. Quelles racines rationnelles ont les polynˆomes f(x) = x3−6x2+ 15x−14 et g(x) =
2x3+ 3x2+ 6x−4 ?
Exercice 40 1. Soient P∈Z[x], n∈N,m=P(n). Montrer que ∀k∈Zm|P(n+km).
2. En d´eduire qu’il n’existe aucun polynˆome P∈Z[x], non constant, tel que, pour tout
n∈Z,P(n) soit un nombre premier.
4 Anneaux de polynˆomes II
Exercice 41 Dans le cours nous avons d´ej`a montr´e que le produit de polynˆomes primitifs est
aussi primitif et que
c(f·g) = c(f)·c(g)∀f, g ∈Z[x].
1. Etant donn´e f∈Q[x], alors f=α·f0o`u f0∈Z[x] est un polynˆome primitif et α∈Q.
2. Soit g∈Z[x] un polynˆome primitif, α∈Qtel que α·g∈Z[x]. Alors α∈Z.
3. Consid`erons deux polynˆomes d,fsur Z. Si dest primitif et ddivise fdans Q[x] alors d
divise fdans Z[x].
4. Supposons que d= pgcdQ[x](f, g) soit le p.g.c.d. dans l’anneau Q[x] de deux polynˆomes
primitifs fet gde Z[x]. Soit d=α·d0sa repr´esentation de type 1). Montrer que :
d0= pgcdZ[x](f, g) dans l’anneau Z[x].
5. Soient f,g∈Z[x], f=c(f)f0,g=c(g)g0. Alors
pgcdZ[x](f, g) = pgcdZ(c(f), c(g)) ·pgcdZ[x](f0, g0).
Exercice 42 D´emontrer que tout morphisme d’un corps dans un anneau non-trivial est injectif.
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