DL N 4 – ENTIERS DE GAUSS Pour la rentrée de novembre Ce

DL N◦4 – ENTIERS DE GAUSS
Pour la rentr´ee de novembre
Ce sujet est assez long, mais il rec`ele beaucoup de questions abordables. Certaines testent votre
connaissance pr´ecise des d´efinitions du cours, d’autres votre habilet´e `a mener des calculs simples,
d’autres ne demandent que peu d’efforts ; tout le probl`eme teste votre capacit´e de compr´ehension
g´en´erale de notions nouvelles en un temps limit´e, car beaucoup de questions utilisent des r´esultats
pr´ec´edemment d´emontr´es.
On d´efinit une partie de Cqui s’appelle l’ensemble des entiers de Gauss :
A={a+ib |a, b, ∈Z}
et on ´etudie un certain nombre de ses propri´et´es, en culminant par le non trivial th´eor`eme des deux
carr´es.
I. Partie I
1. Montrer que Aest un sous-anneau de C, int`egre (sans diviseurs de z´ero).
On pose pour z=a+ib ∈Cou A, N(z) = a2+b2. Noter que pour z∈A, N(z)∈N.
2. (a) Montrer si possible sans calculs que pour tous z, z#∈Aon a N(zz#) = N(z).N(z#).
(b) Montrer que (z=a+ib ∈Aest inversible DANS A)⇐⇒ (N(z) = 1).
Quels sont les ´el´ements inversibles de A? Quelle structure poss`ede leur ensemble ?
3. (a) Montrer que pour tout z∈Cil existe un v∈A(pas forc´ement unique, ne cherchez pas la
petite bˆete) tel que
N(z−v)!1
2
(b) En d´eduire que l’anneau Aest euclidien, c’est `a dire que
∀z, z#∈Aavec z#non nul ∃q, r ∈A|z=qz#+ret 0 !N(r)< N(z#)
* * * *
On rappelle qu’un id´eal de Aest une partie non vide Itelle que :
•Iest un sous-groupe additif de (A, +) et
•Pour tout a∈A, aI ⊂I.
Soit alors Iun id´eal de A, non r´eduit `a 0.
(c) Montrer que tout ´el´ement de Iest multiple d’un ´el´ement fix´e u0(on prendra un ´el´ement u0de
norme minimale dans I\ {0}, en justifiant son existence, et on effectuera la division euclidienne de
z∈Ipar u0).
4. (a) En consid´erant l’id´eal I={ux +vz |u, v ∈A}, montrer que pour xet zdans A, on a
l’´equivalence
tout diviseur commun de xet zest inversible ⇐⇒ ∃u, v ∈A|ux +vz = 1
(th´eor`eme de Bezout dans A).
On utilisera sˆurement la remarque suivante : un id´eal de Aest ´egal `a Asi et seulement si il contient
un ´element inversible.
(b) Un ´el´ement irr´eductible est l’analogue d’un nombre premier, cette derni`ere appellation ´etant
r´eserv´ee aux entiers usuels :
zest irr´eductible si, et seulement si, (z=a.b)⇒(aou binversible).
On pourra observer que zest irr´eductible ⇐⇒ le seul id´eal contenant strictement zA est Atout
entier. On suppose que zest irr´eductible et qu’il divise le produit x.y. Montrer que
zdivise xou que zdivise y. (th´eor`eme de Gauss dans A).
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5. (a) On suppose que q=N(z) est un nombre premier (dans N). Montrer que zest irr´eductible
dans A.
(b) Soit pun nombre premier (p∈N).
Montrer que pn’est pas irr´eductible (dans A!) ⇐⇒ ppeut s’´ecrire p=a2+b2= (a+ib)(a−ib).
Exemples : d´ecomposer si possible dans Ales nombres 2,3,5.
6. On note Epl’ensemble des matrices !˙a˙
−b
˙
b˙a"o`u ˙a, ˙
bsont des ´el´ements de Fp, c’est `a dire des
entiers modulo p(on note ˙ala classe de amodulo p). Ainsi Epposs`ede exactement p2´el´ements. (Si
on prenait Rau lieu de Fp, on obtiendrait une construction de C!)
Montrer rapidement que Epest un anneau commutatif.
7. (a) On consid`ere fde Adans Ep, avec :
f(z) = f(a+ib) = !˙a−˙
b
˙
b˙a"
Montrer que fa bien un sens, qu’elle est surjective, et que c’est un morphisme d’anneaux.
Montrer que son noyau est l’id´eal pA, l’ensemble des multiples de pdans A(c’est un id´eal de A).
(b) Montrer que si pest irr´eductible (dans A), on a
pdivise a2+b2⇐⇒ pdivise aET pdivise b
(c) Montrer qu’une matrice de Epest inversible (dans M2(Fp)) si et seulement si son d´eterminant
˙a2+˙ b2est diff´erent de ˙ 0.
(d) Question clef. Montrer que l’anneau Ep=f(A) sera un corps si et seulement si pest irr´eductible
dans A.
Partie II - Carr´es modulo pet irr´eductibles de A
Un carr´e dans un anneau Aest bien ´evidemment un ´el´ement xqui peut s’´ecrire x=a2pour un certain
a∈A.
On fixe dans cette partie un nombre premier p"3.
1. ´ Enum´erer les carr´es dans F3,F5,F7. Pr´eciser dans chaque cas si -1 (modulo 3,5,7) est un carr´e.
2. Montrer que pest irr´eductible (dans A) si et seulement si -1 n’est pas un carr´e modulo p.
3. Montrer que si pn’est PAS irr´eductible, alors pest congru `a 1 modulo 4.
4. On pourrait utiliser les espaces Epde la deuxi`eme partie, mais on raisonne par un ´el´egant
d´enombrement : soit X=F∗
ple groupe multiplicatif des ´el´ements inversibles de Fp;Xposs`ede p−1
´el´ements. On fait travailler dans Xle groupe des transformations
G={x+→ x x +→ −x x +→ x−1x+→ −x−1}
On appelle orbite de x∈Xl’ensemble des transform´es de xpar les ´el´ements de G, ce sont les classes
d’´equivalence de la relation x∼y⇐⇒ ∃g∈G, y =g(x).
Quelle est l’orbite de 1 ? celle de -1 ? Montrer qu’il existe une et une seule orbite `a deux ´el´ements, sauf
quand il existe un ´el´ement x0dans Fptel que x0=−x−1
0auquel cas il existe 2 orbites `a 2 ´el´ements.
5. En ´ecrivant que Xest la r´eunion de toutes ces orbites, `a 2 ou 4 ´el´ements, montrer que
p≡1 (mod 4) ⇐⇒ −1 est un carr´e modulo p⇐⇒ ∃ a, b ∈N|a2+b2=p
6. D´eduire de ce qui pr´ec`ede que tout ´el´ement de As’´ecrit comme produit de trois sortes de facteurs :
•des facteurs inversibles
•des nombres ppremiers dans Net de la forme p= 4n+ 3
•des entiers de Gauss a+ib tels que a2+b2soit premier dans N.
Par exemple 1998 = (−6−i)(6 −i).(−3).32.(−1−i)(i−1),2000 = (1 + i)4(1 −i)4(1 + 2i)3(1 −2i)3et
2001 = 3.23.(2 + 5i)(2 −5i).
D´ecomposer 2002 de fa¸con similaire. Et 2003 ?

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Partie III - Le th´eor`eme des deux carr´es
1. On d´esigne par Cle sous-ensemble de Nconstitu´e des entiers naturels qui sont somme de deux
carr´es. Donner les 12 plus petits ´el´ements de C(commen¸cant par 0 = 02+ 02!).
Montrer que Cest stable par multiplication interne (il est conseill´e, mais pas indispensable, d’utiliser
l’application Ndu I).
2. Montrer que n∈C⇐⇒ 2n∈C.
3. Montrer que si n∈Cet si nn’a pas de facteurs carr´es, alors tous ses facteurs premiers impairs
sont congrus `a 1 modulo 4.
On raisonnera sur Ep, o`u pserait un diviseur de nde la forme 4k+ 3.
4. Montrer la caract´erisation des ´el´ements de C:
n∈C⇐⇒ ses facteurs premiers de la forme 4k+ 3 sont tous `a une puissance paire
Exemple : 2738519 EST somme de deux carr´es. grˆace `a l’ordinateur on peut trouver :
 = =+
5. ´ Ecrire une proc´edure qui teste si un entier donn´e est somme de deux carr´es ou non, et qui affiche
une telle d´ecomposition si elle existe.
NB : on d´emontre plus difficilement que tout entier sans exception est somme de quatre carr´es.
6. 1729 = 103+ 93= 123+ 13. Plus simplement, quel est le plus petit entier qui s’´ecrit de deux fa¸cons
distinctes comme somme de deux carr´es ?
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